中考《圆》有关的证明和计算
半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直
例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：EF与O O相切.
例2 如图，AD是/ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA与O O相切.
证明一：作直径AE，连结EC.
?/ AD是/ BAC的平分线，
???/ DAB= / DAC.
?/ PA=PD ,
???/ 2=Z 1+ / DAC.
???/ 2=Z B+ / DAB ,
???/ 仁/ B.
又???/ B= / E,
???/ 仁/ E
?/ AE是O O的直径，
?AC 丄EC,/ E+ / EAC=90°.
???/ 1 + / EAC=90°.
即OA丄PA.
? PA与O O相切.
证明二：延长AD交O O于E,连结OA , OE.
?/ AD是/ BAC的平分线，
?BE=C1E, c
? OE 丄BC.
?/ E+/ BDE=900.
?/ OA=OE , ? / E=/ 1.
例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且 OA 2=OD ? OP. 求证：PC 是O O 的切线.
说明: 求证: ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, ???/ 1 + Z PAD=90 0
即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切
此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用
如图，AB=AC , AB 是O O 的直径，O O 交BC 于D ,
DM 与O O 相切.
例4 如图，已知：AB 是O O 的直径，点 C 在O O 上，且/ CAB=30°, BD=OB , D 在AB 的延长线上 求证：DC 是O O 的切线
例6如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点, 求证：CE与厶CFG的外接圆相切.
分析：此题图上没有画出△ CFG的外接圆，但△
们取FG的中点0,连结0C,证明CE丄OC即可得解.
证明：取FG中点0,连结0C.
T ABCD是正方形，
??? BC 丄CD , △ CFG 是Rt△
?/ 0是FG的中点，
?0是Rt △ CFG的外心.
?/ 0C=0G ,
???/ 3= / G ,
?/ AD // BC,
?/ G=Z 4.
?/ AD=CD , DE=DE ,
/ ADE= / CDE=45°,
?△ ADE ◎△ CDE (SAS)
???/ 4=Z 1,Z 1 = / 3.
/ / 0
vZ 2+Z 3=90 ,
???/ 1 + Z 2=90°.
即CE丄0C.
AG交BD于E,交CD于F.
CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我
??? CE与厶CFG的外接圆相切
方法二：若直线l与O O没有已知的公共点，又要证明I是O O的切线，只需作OA丄I, A为垂足，证
明OA是O O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”（一般用于函数与几何综合题）
例1如图，AB=AC , D为BC中点，O D与AB切于E点.
求证：AC与O D相切.
分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的,
这类习题多数与角平分线有关
例2：已知：如图，AC , BD 与O O 切于A、B，且AC // BD，若/ COD=90
求证：CD是O O的切线.
证明一：连结OA , OB，作OE丄CD , E为垂足.
???AC , BD 与O O 相切，
?AC 丄OA , BD 丄OB.
?/ AC // BD ,
???/ 1+ / 2+Z 3+ / 4=180°.
? / COD=90°,
?/ 2+Z 3=90°,/ 1 + / 4=90°.
?/ 4+Z 5=900.
?Z 1 = / 5.
?Rt△AOC s Rt△BDO.
AC OC
? __ __
"OB OD .
?/ OA=OB ,
AC OC
"OA OD.
又?/ CAO= / COD=900,
A
B C
? △ AOC ODC ,
? / 1 = / 2.
又? OA 丄AC , OE 丄CD,
??? OE=OA. ? E 点在O O 上. ? CD 是O O 的切线.
连结OA , OB ,作OE 丄CD 于E ,延长 DO 交CA 延长线于 F.
??? AC ，BD 与O O 相切， ? AC 丄 OA , BD 丄 OB. ?/ AC // BD , ? / F= / BDO. 又??? OA=OB ,
? △ AOF ◎△ BOD (AAS ) ? OF=OD. ???/ COD=9O °, ? CF=CD ，/ 1 = / 2.
又??? OA 丄 AC , OE 丄 CD , ? OE=OA. ? E 点在O O 上. ? CD 是O O 的切线.
连结AO 并延长，作 OE 丄CD 于E ,取CD 中点F ，连结OF.
??? AC 与O O 相切， ? AC 丄 AO. ?/ AC // BD , ? AO 丄 BD.
??? BD 与O O 相切于B , ? AO 的延长线必经过点 B. ? AB 是O O 的直径.
?/ AC // BD , OA=OB , CF=DF , ? OF // AC , ? / 1= / COF.
???/ COD=90 0, CF=DF ,
1
? OF = CD =CF .
2
? / 2= / COF.
证明二: 证明三: