一元二次方程分类练习题

一元二次方程题型分类总结

知识梳理 一、知识结构:

考点类型一概念

(1)定义：①只含有一个未知数， 并且②未知数的最高次数是 二次方程。

2

(2) 一般表达式：ax bx c 0(a 0)

⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是 2”： ① 该项系数不为“ 0”； ② 未知数指数为“ 2”；

③ 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、卜列方程中是关于 x 的 ?兀二次方程的是

( )

A 3 x

1 2 2

x 1

B 1

2

1

2 0

x x

C ax 2

bx c 0

D

x 2 2x x 2 1

变式：当k

时, 关于x 的方程kx 2 2x x

3是一元二 、次方程。

例2、方程 m 2 x'

叫3mx 1

0是关于 x

的一 ?兀二次方程，

则

m 的值

为 ____________ ★ 1、方程8x 2 7的一次项系数是 ___________ ，常数项是 ★ 2、若方程m 2 x 冋1

0是关于x 的一元一次方程，

⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★ 3、若方程m 1 x 2 、m?x 1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围

是 _____ 。

★★★ 4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是( ) A.m=n=2

B.m=3 ,n=1

C.n=2,m=1

D.m=n=1

兀二次方程

解与解法 根的判别

韦达定理

2，这样的③整式方程就是一元

考点类型二方程的解

⑴概念：I使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；

典型例题：

例1、已知2y2 y 3的值为2,则4y2 2y 1的值为____________________ 。

例2、关于x的一元二次方程a 2x2 x a2 4 0的一个根为0,则为。

例3、已知关于x的一元二次方程ax2 bx c 0a 0的系数满足a c 此方程必有一根为 _______ 。

例4、已知a,b是方程x2 4x m 0的两个根，b,c是方程y2 8y 5m 个根，则m的值为________ 。

针对练习：

★ 1、已知方程x2 kx 100的一根是2，则k为，另根疋

★ 2、已知关于x的方程x2kx 2 0的一个解与方程x 1

X 13的解相同

x 1

⑴求k的值；⑵方程的另一?个解。

C b c

D a

★★★ 6、若2x 5y 3 0,则4x?32y a的值b，则0的两

★ 3、已知m是方程x2 x 10的一个根，则代数式m2★★ 4、已知a 是x2 3x 1 0的根，贝U 2a2 6a

★★ 5、方程a b x2 b c x c a 0的一个根为（

考点类型三解法

⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次

x 2 2ax a 2

典型例题:

例 1、 2x x 3

的根为

X

1

i ,x2 3

例2、若4x

2

3 4x

0，则4x+y 的值为

变式1： a 2

b 2 2

a 2

b 2

0,则 a 2 b 2

变式2:若x 3 0 ,则x+y 的值为

变式3:若x 2 xy y 14 ，

y 2 xy x 28，则x+y 的值为

例3、方程x 2

x 6 0的解为(

类型一、直接开方法:―X 2 mm 0 , x

_ 2

※※对于x a m ， ax m

典型例题：

例1、解方程：1 2x 2 8 0;

2

bx n 等形式均适用直接开方法

2

2 25 16x =0;

2

3 1 x 9

0;

例2、若9 x

1 2 16 x 2 2，贝U x 的值为 针对练习:

F 列方程无解的是(

2 2 2

A. x

2

3 2x 2

1 B. x

2 0 C.2x

3 1 x

D. x 2

类型二、因式分解法： x x 1 x x 2

0 x x 1,或 x

X 2

※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积, 右边为 0”,

※方程形式：如ax

bx

?>

A. x 1

3,X 2

2 B. x 1 3,X 2 2 C. x 1 3,X 2

3 D. x 1 2，x 2

2

例4、解方程: x 2 2 .3 1 x 2..3 4 0

例5、已知2x 2 3xy 2y 2 0,则

x

变式：已知2x 2 3xy 2y 2 0,且x

o,y

0,则

x

: ①方程x 2 px q 0的二根为捲， X 2，则 px q (x X 1)(x X 2)

② x 2 6x 8 (x 2)(x 4). ③ a 2 5ab 6b 2 (a 2)(a 3) ④ x 2 y 2 (x y)C x .. y)(、x ⑤方程（3x 1)2

7 0可变形为（3x 1 、7)(3x 、7) 0

正确的有（ A.1个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 ■. 7为根的 儿一次方程是（） A. x 2 2x 6 0 x 2 2x 6 0 C. y 2 2y 6 0 y 2 2y 6 0 ★★ 3、 ⑵写出一个 儿一次方程，要求二次项系数不为 1,且两根互为倒数: 儿一次方程，要求二次项系数不为 1,且两根互为相反数： — ⑴写出一个 ★★ 4、若实数x 、 y 满足x y 3 x y 2 0，则x+y 的值为（ A 、-1 或-2 5、方程：x 2

B 1 2 x 、-1 或 2

C 、1 或-2 2的解是 2 ax bx c 0 a 0 x 2a

b 2 4a

c 4a 2

※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。

0,且 b 2 4ac

8.

2

⑶ x 4x 1 0

⑷ 3x 2 4x 1 0 ⑸ 3 x 1 3x 1 x 1 2x 5

例1、试用配方法说明X 2 2x 3的值恒大于00

例2、已知x 、y 为实数，求代数式x 2 y 2 2x 4y 7的最小值

例3、已知x 2 y 2 4x 6y 13 0, x 、y 为实数，求x y 的值。

例4、分解因式：4x 2 12x 3

针对练习:

★★ 1、试用配方法说明 10x 2 7x 4的值恒小于0 ★★ 2、已知x 2 1 x 1 4 0，则 x 1

x 2

x

x

★★★ 3、若 t

为 。

2

v' 3x 2

12x 9，则 t 的最大值为

，最小值

★ ★ ★ 4、如

果

a b J c 1 1 4ja 2 2 Jb 1

4 ,那么 a 2b 3c 的值

为 ____

a ⑵x ⑴ 31 x 2

6.

3. 例2、在实数范围内分解因式： (1) x 2 2 . 2x 3 ；

(2) 4x 2 8x 1.

⑶ 2x 2 4xy 5y 2

说明：①对于二次三项式ax 2 bx c 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解, 一般情况要用求根公式，这种方法首先令 ax 2 bx c =0,求出两根，再写成

2

ax bx c = a(x x 1)(x x 2).

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去 ?

考点类型四 根的判别式b 2-4ac

① 定根的个数；

② 求待定系数的值； ③ 应用于其它。

例1、若关于x 的方程x 2 2、..kx 1 0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围

是 ______ 。

例2、关于x 的方程m 1 x 2 2mx m 0有实数根，则m 的取值范围是() A. m 0且m 1 B. m 0 C. m 1 D. m 1 例3、已知关于x 的方程x 2 k 2 x 2k 0

(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；

⑵若等腰ABC 的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求ABC 的周长。

mx y

例4、已知二次三项式9x 2 (m 6)x m 2是一个完全平方式，试求m 的值.

例5、m 为何值时，方程组

2y 2 6,有两个不同的实数解？有两个相同的实

数解?

3.