全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
(2015年-2018年共11套) 函数与导数小题(共23小题)
一、函数奇偶性与周期性
1.(2015年1卷13)若函数f (x )
=ln(x x +为偶函数,则a=
【解析】由题知ln(y x =
是奇函数,所以ln(ln(x x ++- =22ln()ln 0a x x a +-==,解得a =1.考点:函数的奇偶性
2.(2018年2卷11)已知是定义域为的奇函数,满足
.若
,
则
A.
B. 0
C. 2
D. 50
解:因为是定义域为
的奇函数,且
,
所以,
因此,
因为
,所以,
,从而
,选C.
3.(2016年2卷12)已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-,若函数1
x y x
+=
与()y f x =图像的交点为()11x y ,,()22x y ,,?,()m m x y ,,则()1
m
i i i x y =+=∑( )
(A )0 (B )m (C )2m
(D )4m
【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01,
对称,而11
1x y x x +==+也关于()01,对称, ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +,∴()1
1
1
022
m
m
m
i i i i i i i m
x y x y m ===+=+=+?
=∑∑∑,故选B .
二、函数、方程与不等式
4.(2015年2卷5)设函数211log (2),1,
()2,1,x x x f x x -+-=?≥?
,2(2)(log 12)f f -+=( )
(A )3 (B )6 (C )9 (D )12
【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=,又2log 121>, 所以22log 121
log 62(log 12)226f -===,故,2(2)(log 12)9f f -+=.
5.(2018年1卷9)已知函数
.若g (x )存在2个零点,
则a 的取值范围是
A. [–1,0)
B. [0,+∞)
C. [–1,+∞)
D. [1,+∞) 解:画出函数的图像,
在y 轴右侧的去掉,
画出直线
,之后上下移动,
可以发现当直线过点A 时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个
解,也就是函数有两个零点,此时满足
,
即,故选C.
6.(2017年3卷15)设函数1,0,()2,0,
+?=?>?x x x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是
________.
【解析】()1,02 ,0
+?=?>?x x x f x x ≤,()112f x f x ??+-> ???,即()112f x f x ??->- ???
由图象变换可画出12y f x ?
?=- ??
?与()1y f x =-的图象如下:
114
1
)
2
-)
由图可知,满足()112f x f x ??->- ???的解为1,4??
-+∞ ???
.
7.(2017年3卷11)已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点,则a =()
A .1-2
B .13
C .1
2 D .1
【解析】由条件,211()2(e e )x x f x x x a --+=-++,得:
221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )
4442(e e )
2(e e )
x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++
∴(2)()f x f x -=,即1x =为()f x 的对称轴,由题意,()f x 有唯一零点,
∴()f x 的零点只能为1x =,即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=,解得1
2
a =.
三、函数单调性与最值
8.(2017年1卷5)函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足
21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]- B .[1,1]- C .[0,4] D .[1,3]
【解析】:()()()()12112112113f x f f x f x x -≤-≤?≤-≤-?-≤-≤?≤≤故而选D 。【考点】:函数不等式,函数的单调性。
9.(2016年3卷6)已知43
2a =,254b =,13
25c =,则( )
(A )b a c << (B )a b c << (C )b c a << (D )c a b <<
9.【解析】因为4223
3
5
244a b ==>=,1223
3
3
2554c a ==>=,所以b a c <<,故选A . 考点:幂函数的图象与性质.
10.(2016年1卷)8.若101a b c >><<,
,则 (A )c c a b < (B )c c ab ba < (C )log log b a a c b c < (D )log log a b c c <
【解析】用特殊值法,令3a =,2b =,1
2
c =得112232>,选项A 错误,11
223223?>?,选项B
错误,2
313log 2log 22<,选项C 正确,3211
log log 22
>,选项D 错误,故选C . 考点:指数函数与对数函数的性质
11(2017年1卷11)设xyz 为正数,且235x y z
==,则
A .2x <3y <5z
B .5z <2x <3y
C .3y <5z <2x
D .3y <2x <5z
【解析】:分别可求得1
11
2
35
2
1
3
1
51
2,3,5log 2
log 3
log 5
log 2log 3log 5m m m m m m x y z =
===== 分别对分母乘以30可得1115
1063
2
30log 2log 2,30log 3log 3,30log 5m m m m m ==, 故而可得1015610
15
6
1log 3log 2log 5325325
m m m m y x z >??>>?<>>?,故而选D 。
12.(2018年3卷12)设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则
A .0a b ab +<<
B .0ab a b <+<
C .0a b ab +<<
D .0ab a b <<+
解:.
,即
又
即
故选B.
四、函数的图象 13.(2018年2卷3)函数
的图象大致为
解:
为奇函数,舍去A,
舍去D;
,
所以舍去C ;因此选B.
14.(2016年1卷7)函数22x
y x e =-在[]2,2-的图像大致为
(A )(B )
(C )(D )
考点:函数图像与性质
15.(2018年3卷7)函数422y x x =-++的图像大致为
解:当
时,
,排除A,B.
,当
时,
,排除C
故正确答案选D.
五、导数几何意义
16.(2018年2卷13)曲线在点
处的切线方程为__________.
解:
17.(2018年3卷14)曲线()1e x y ax =+在点()01,处的切线的斜率为2-,则a =________.
解: 则
所以
故答案为-3.
18.(2018年1卷5)设函数,若
为奇函数,则曲线
在点
处
的切线方程为
A.
B.
C.
D. 解:因为函数是奇函数,所以,解得,所以
,
,
所以,所以曲线
在点
处的切线方程为
,
化简可得,故选D.
19.(2016年3卷15)已知()f x 为偶函数,当0x <错误!未找到引用源。时,
()ln()3f x x x =-+错误!未找到引用源。,则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是
_______________.
【解析】当0x >时,0x -<,则()ln 3f x x x -=-.又因为()f x 为偶函数,所以
()()ln 3f x f x x x =-=-,所以
1()3
f x x '=
-,则切线斜率为(1)2f '=-,所以切线方程
为32(1)y x +=--,即21y x =--.
考点:1、函数的奇偶性与解析式;2、导数的几何意义.
20.(2016年2卷16)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线,也是曲线()ln 1y x =+的切线,b = .
【解析】 ln 2y x =+的切线为:11
1
ln 1y x x x =
?++(设切点横坐标为1x ) ()ln 1y x =+的切线为:()2
2221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122
12
21
11
ln 1ln 11x
x x x x x ?=?+??
?+=+-?+?
解得112x = 21
2
x =-,∴1ln 11ln 2b x =+=-.
六、导数应用
21.(2017年2卷11)若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为( )
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
【解析】由题可得12121()(2)(1)[(2)1]x x x f x x a e x ax e x a x a e ---'=+++-=+++- 因为(2)0f '-=,所以1a =-,21()(1)x f x x x e -=--,故21()(2)x f x x x e -'=+- 令()0f x '>,解得2x <-或1x >,所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞单调递增,在(2,1)-单调递减,所以()f x 极小值(1)f =11(111)1e -=--=-,故选A 。
22.(2015年1卷12)设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1,若存在唯一的整数0x ,使得0()f x 0,则a 的取值范围是( )
(A )[-32e ,1) (B )[-错误!未找到引用源。,34
错误!未找到引用源。) (C )[错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。) (D )[错误!未找到引用源。,1) 【解析】设()g x =(21)x e x -,y ax a =-,由题知存在唯一的整数0x ,使得0()g x 在直线
y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+,所以当12x <-
时,()g x '<0,当1
2
x >-时,()g x '>0,所以当1
2
x =-
时,m a x [()]g x =1
2
-2e
-
,当0x =时,
(0)g =-1,(1)30g e =>,直线
y ax a =-恒过(1,0)斜率且a ,
故
(0)1
a g ->=-,且
1
(1)3g e a a --=-
≥--
,解得3
2e
≤a <1,故选D.
23.(2015年2卷12)设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数,f (-1)=0,当0x >时,
'()()0xf x f x -<,则使得()0f x >成立的x 的取值范围是
(A )(1)01-∞-?,(,) (B )-101?+∞(,)(,) (C )(1)-10-∞-?,(,) (D )011?+∞(,)(,)
【解析】记函数()()f x g x x =,则''
2
()()()xf x f x g x x
-=,因为当0x >时,'()()0
x f x f x -<,故当0x >时,'()0g x <,所以()g x 在(0,)+∞单调递减;又因为函数()()f x x R ∈是奇函数,故函数()g x 是偶函数,所以()g x 在(,0)-∞单调递减,且
(1)(1)0g g -==.当01x <<时,()0g x >,则()0f x >;当1x <-时,()0g x <,则()0f x >,综上所述,使得()0f x >成立的x 的取值范围是A
函数与导数解答题(共11题)
一、零点个数问题
1.(2015年1卷)已知函数f (x )=3
1
,()ln 4
x ax g x x ++
=-. (Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x = 的切线;
(Ⅱ)用min {},m n 表示m,n 中的最小值,设函数}{
()min (),()(0)h x f x g x x => ,
讨论h (x )零点的个数.
解析:(Ⅰ)设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ,则0()0f x =,0()0f x '=,即
3
0020
10
430
x ax x a ?++=???+=?,解得0
13,24x a ==.因此,当34a =时,x 轴是曲线()y f x =的切线. (Ⅱ)当(1,)x ∈+∞时,()ln 0g x x =-<,从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<, ∴()h x 在(1,+∞)无零点.
当x =1时,若54a ≥-
,则5
(1)04f a =+≥,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===,故x =1是()h x 的零点;若54a <-,则5
(1)04
f a =+<,(1)min{(1),(1)}(1)0h f
g f ==<,故x =1
不是()h x 的零点.
当(0,1)x ∈时,()ln 0g x x =->,所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数.
(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥,则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点,故()f x 在(0,1)单调,而
1(0)4f =
,5
(1)4
f a =+,所以当3a ≤-时,()f x 在(0,1)有一个零点;当a ≥0时,()f x 在(0,1)无零点.
(ⅱ)若30a -<<,则()f x 在(01)单调递增,故当
x ()f x 取的最小值,最小值为f 14.
①若f >0,即34-<a <0,()f x 在(0,1)无零点.
②若f =0,即34a =-,则()f x 在(0,1)有唯一零点;
③若f <0,即334a -<<-,由于1(0)4f =,5(1)4f a =+,所以当5344a -<<-
时,()f x 在(0,1)有两个零点;当5
34
a -<≤-时,()f x 在(0,1)有一个零点.…10分 综上,当34a >-或54a <-时,()h x 由一个零点;当34a =-或5
4a =-时,()h x 有两个
零点;当53
44
a -<<-时,()h x 有三个零点.
2.(2016年2卷)
(I)讨论函数2(x)e 2
x
x f x -=+的单调性,并证明当0x >时,(2)e 20;x x x -++> (II)证明:当[0,1)a ∈ 时,函数()2
e =(0)x ax a
g x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ,
求函数()h a 的值域.
【解析】⑴证明:()2e 2x x f x x -=+ ()()()22224e e 222x x x x f x x x x ??-' ?=+= ?+++??
∵当x ∈()
()22,-∞--+∞,时,()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞,和上单调
递增 ∴0x >时,
()2e 0=12
x
x f x ->-+ ∴()2e 20x x x -++> ⑵ ()()()
2
4
e
2e x
x
a x x ax a g x x
----'=
()4
e 2e
2x
x
x x ax a x -++=
()32
2e 2x x x a x x -??
+?+ ?+??
=
[)01a ∈,
,由(1)知,当0x >时,()2e 2
x
x f x x -=?+的值域为()1-+∞,,只有一解. 使得
2e 2
t
t a t -?=-+,(]02t ∈, 当(0,)x t ∈时()0g x '<,()g x 单调减;当(,)x t ∈+∞时()0g x '>,()g x 单调增
()()()22
2e 1e e 1e 22t
t t t t t a t t h a t t t -++?-++===+,记()e 2t k t t =+,在(]0,2t ∈时,()()()2
e 102t t k t t +'=>+,∴()k t 单调递增∴()()21e 24h a k t ??
=∈ ???
,.
3.(2017年1卷)已知函数()()2e 2e x
x f x a a x =+--.
(1)讨论()f x 的单调性;
(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.
解析:(1)由于()()2e 2e x x
f x a a x =+--,所以
()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+.
①当0a …时,e 10x a -<,2e 10x +>,从而()0f x '<恒成立,所以()f x 在R 上单调递减. ②当0a >时,令()0f x '=,从而e 10x a -=,得ln x a =-.
x
()ln a -∞-,
ln a - ()ln a -+∞,
()f x ′
-
+
()f x
极小值
综上所述,当0a …时,()f x 在R 上单调递减;
当0a >时,()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减,在(ln ,)a -+∞上单调递增.
(2)由(1)知,当0a …时,()f x 在R 上单调递减,故()f x 在R 上至多一个零点,
不满足条件.当0a >时,()min 1
ln 1ln f f a a a
=-=-+.令()()11ln 0g a a a a =-+>,
则()211
0g a a a
'=+>,从而()g a 在()0+∞,
上单调递增.而()10g =,所以当01a <<时,()0g a <;当1a =时()0g a =;当1a >时,()0g a >.由上知若1a >,
则()min 1
1ln 0f a g a a =-+=>,故()0f x >恒成立,从而()f x 无零点,不满足条件.
若1a =,则()min 11ln 0f a g a a
=-+==,故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=,不满足件; 若01a <<,则()min 11ln 0f a g a a =-+=<,注意到ln 0a ->,()22
110e e e
a a f -=++->,
故()f x 在()1ln a --,
上有一个实根.而又31ln 1ln ln a a a ??
->=- ???
, 且33ln 1ln 133ln 1e e 2ln 1a a
f a a a a ????
-- ? ?????????????-=?+---?? ? ?????????????
()33132ln 1a a a a ????=-?-+---= ? ?????
331ln 10a a ????---> ? ?
????,故()f x 在3ln ln 1a a ??
??-- ? ????
?,上有一个实根. 又()f x 在()ln a -∞-,
上单调递减,在()ln a -+∞,单调递增,故()f x 在R 上至多两根. 综上所述,01a <<.
4(2018年2卷)已知函数
.
(1)若,证明:当时,
;
(2)若在只有一个零点,求. 解:(1)当
时,
等价于
.设函数
,则
.当
时,,所以
在
单调递减.
而,故当时,
,即.
(2)设函数.
在
只有一个零点当且仅当
在
只有一个零点.(i )当时,
,没有零点;(ii )当
时,.
当时,
;当时,
.所以
在单调递减,在单调递增.故是在的最小值.①若
,即
,
在
没有零
点;②若,即,
在
只有一个零点; ③若
,即
,由于,所以
在
有一个零点,
由(1)知,当时,,所以
.
故
在
有一个零点,因此
在
有两个零点. 综上,在
只有一个零点时,
.
二、构造函数问题
5.(2015年2卷)设函数f(x)=e mx +x 2-mx.
(1)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;
(2)若对于任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f(x 1)-f(x 2)|≤e -1,求m 的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=m(e mx -1)+2x.若m≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0,f′(x)<0;
当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0,f′(x)>0.若m<0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0,f′(x)<0;
当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.
(2)由(1)知,对于任意的m,f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x 1,x 2∈[-1,1],|f(x 1)-f(x 2)|≤e -1的充要条件是
()(),()(),f f e f f e 1-0≤-1??-1-0≤-1?即,,
m
m
e m e e m e -?-≤-1??+≤-1??①设函数g(t)=e t -t-e+1,g′(t)=e t -1. 当t<0时,g′(t)<0;当t>0时,g′(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.
又g(1)=0,g(-1)=e -1+2-e<0,故当t ∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m ∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立; 当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m -m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e -m +m>e-1.
6.(2016年1卷)已知函数错误!未找到引用源。有两个零点. (I)求a 的取值范围;
(II)设x 1,x 2是()f x 错误!未找到引用源。的两个零点,证明:122x x +<
【解析】(1)f'(x)=(x-1)e x +2a(x-1)=(x-1)(e x +2a).①设a=0,则f(x)=(x-2)e x ,f(x)只有一个零点;②设a>0,则当x ∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x ∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b 满足b<0且b , 则f(b)>a 2 (b-2)+a(b-1)2=a 23b b 2 ? ? - ?? ? >0,故f(x)存在两个零点; ③设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-e 2 ,则ln(-2a)≤1,故当x ∈(1,+∞)时, f'(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)内单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 若a<-e 2 ,则ln(-2a)>1,故当x ∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;当x ∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0. 因此f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增, 又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点,综上,a 的取值范围为(0,+∞). (2)不妨设x 1 2x e -+a(x 2-1)2, 而f(x 2)=(x 2-2)2x e +a(x 2-1)2=0,所以f(2-x 2)=-x 22 2x e --(x 2-2)2x e , 设g(x)=-x 2-x e -(x-2)e x ,则g'(x)=(x-1)( 2x e - -e x ).所以当x>1时,g'(x)<0,而g(1)=0, 故当x>1时,g(x)<0.从而g(x 2)=f(2-x 2)<0,故x 1+x 2<2. 7.(2016年1卷)已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-. (1)若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >; (2)若0x =是()f x 的极大值点,求a . 解:(1)当0a =时,()(2)ln(1)2f x x x x =++-,()ln(1)1x f x x x '=+-+. 设函数()()ln(1)1x g x f x x x '==+- +,则2 ()(1)x g x x '=+. 当10x -<<时,()0g x '<;当0x >时,()0g x '>.故当1x >-时,()(0)0g x g ≥=,且仅当0x =时,()0g x =,从而()0f x '≥,且仅当0x =时,()0f x '=. 所以()f x 在(1,)-+∞单调递增 又(0)0f =,故当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >. (2)(i )若0a ≥,由(1)知,当0x >时,()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=,这与0x =是()f x 的极大值点矛盾. (ii )若0a <,设函数22 ()2()ln(1)22f x x h x x x ax x ax = =+-++++. 由于当||min{x <时,220x ax ++>,故()h x 与()f x 符号相同. 又(0)(0)0h f ==,故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点. 22222222 12(2)2(12)(461) ()1(2)(1)(2) x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++. 如果610a +>,则当61 04a x a +<<- ,且||m in{1,x <时,()0h x '>,故0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +<,则22 4610a x ax a +++=存在根10x <,故当 1(,0)x x ∈,且||min{x <时,()0h x '<,所以0x =不是()h x 的极大值点. 如果610a +=,则322 (24) ()(1)(612) x x h x x x x -'=+--.则当(1,0)x ∈-时,()0h x '>;当(0,1)x ∈时,()0h x '<.所以0x =是()h x 的极大值点,从而0x =是()f x 的极大值点 综上,16 a =-. 三、不等式证明 8.(2016年3卷)设函数f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a>0,记|f(x)|的最大值为A. (1)求f'(x);(2)求A ;(3)证明|f'(x)|≤2A. 【解析】(1)f'(x)=-2asin2x-(a-1)sinx. (2)当a≥1时,()()()()() cos 21cosx 11232,||0f a x a a a a f x =+-+≤+-?=-= 当0 令cosx=t ∈1,1??-?? ,则f(x)=g(t)=2at 2+()a 1-t-1,其对称轴为t=1a 4a -, 当t= 1a 4a -∈()1,1-时,解得a<-()1舍去3或a>15,所以当1 5 0,又()()()1a 17a 1a g g 104a 8a -+?? ---=> ? ?? , 所以A=g 21a a 6a 1 4a 8a ??-++= ? ?? .当0 23a,0a ,5a 6a 11 ,a 1,8a 53a 2,a 1.?-<≤?? ?++< ? ?-≥?? (3)由(1)得.