函数的值域和最值教案

【教学目标】1．让学生了解求函数值域（最值）常用的方法；

2．让学生了解各种方法的适用题型，并能灵活运用各种方法解函数的值域．

【教学重点】直接法、利用函数单调性求值域（最值）、数形结合法【教学难点】判别式法和数形结合方法的使用

【例题设置】例1（强调定义域的重要性），其它例题主要指出各种方法适用的题型及

注意点．

【教学过程】

第一课时

〖例1〗已知函数3()2log f x x =+（19x ≤≤），求函数22()[()]()g x f x f x =+的最值．错解：令3log [0,2]t x =∈，则

22222233()[()]()(2log )(2log )(2)22(3)3g x f x f x x x t t t =+=+++=+++=+-

∴当0t =时，min ()6g x =；当2t =时，max 2()()|22t g x g x ===．

错因分析：当2t =时，9x =，2(9)[(9)](81)g f f =+无意义．产生错误的原因主要是忽略了定义域这个前提条件．

正解：由2

1919

x x ≤≤??≤≤?，得()g x 的定义域为[1,3]，3log [0,1]t x =∈，则 22222233()[()]()(2log )(2log )(2)22(3)3g x f x f x x x t t t =+=+++=+++=+-

∴当0t =时，min ()6g x =；当1t =时，max 2()()|13t g x g x ===． ★点评：1．求函数的值域(最值)同样得在定义域上进行；

2．运用换元法解题时，一定要注意元的取值范围，这步较容易被忽略；

3．配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可用此法解决．该法常与换元法结合使用．

〖例2〗求下列函数的值域：

⑴ 121

x x y ++=+；

法一：（直接法）1212(21)11

2212121

x x x x x

y +++-===-+++ 由20x >，211x +>，1

0121

x <

<+，故12y <<，即原函数的值域为(1,2)

法二：（逆求法）由121

x x y ++=+得1202x y y -=>-，

故12y <<，即原函数的值域为(1,2) ★ 点评：1．对于一些简单的函数可直接利用直接法求解即可；

2．若原函数中有某一元素的范围易确定，则常用“逆求法”来求值域，即用y 来表示该元素，通过该元素的范围来确定原函数的值域．

⑵

2y x =-；

法一：

（换元法）令0t =，则21x t =-，故

2222(1)42422(1)4y t t t t t =--=--+=-++

当0t =时，max 2y =；当t →+∞时，y →-∞，无最小值 ∴原函数的值域为(,2]-∞

法二：由10x -≥得原函数的定义域为(,1]-∞，易知函数12y x =

和2y =-(,1]-∞都为增函数，故原函数在(,1]-∞也为增函数，故1|2x y y =≤=

∴原函数的值域为(,2]-∞

★ 点评：求函数的解析应优先考虑直接法和判断函数的单调性．

⑶

y x =

解：由210x -≥得原函数的定义域为[1,1]-，设cos ,[0,]x θθπ=∈，则

cos |sin |cos sin sin()4

y π

θθθθθ=-=-=-

∵0θπ≤≤，34

πθ-≤

-≤

，1sin()4

θ-≤-

≤

∴1y ≤

，即原函数的值域为[

★ 点评：用三角换元时，在不改变x 的范围的前提下，应尽可能缩小θ的范围，这

样可以避免一些不必要的讨论，如本题中的|sin |θ去绝对值．

⑷ 2

y x x =

++ 解：由221

y x x =++得2(2)0yx y x y +-+=……⑴，则该方程有解

① 当0y =时，方程⑴可化为20x -=，方程有解，符合题意

② 当0y ≠时，要使方程⑴有解，当且仅当22(2)40y y ?=--≥，解得223

y -≤≤，且0y ≠

这里可能只有极少学生会考虑到限制

θ的范围，可结合

后面去绝对值，强调限制θ的范围的必要性．

综上所述，2

y -≤≤

，即原函数的值域为2[2,]3-．

⑸ 221

(1)1

x x y x x -+=>-

解：令10t x =->，则1x t =+，故

2(1)(1)12321

2()32237t t t t y t t t t +-++++=

==++≥?+=

当且仅当1

t t

=且0t >，即1t =时取等号

另一方面，当t →+∞时，y →+∞，故原函数无最大值 ∴原函数的值域为[7,)+∞

★ 点评：当函数的定义域为R 时才比较适用判别法．

【课堂小结】

1．求函数的值域(最值)同样得在定义域上进行；

2．本节课我们复习了函数值域（最值）的几种较为常见的方法 ⑴ 直接法：一些简单的函数可利用该法求解；

⑵ 配方法：求“二次函数类”值域的基本方法，该法常与换元法结合使用；

⑶ 换元法：包括代数换元和三角换元，运用换元法解题时，一定要注意元的取值范

围．换元法很多时候可以很大程度的简化解题过程，如例2⑸；

⑷ 逆求法：若原函数中有某一元素的范围易确定，用y 来表示该元素，通过该元素的范围来确定原函数的值域；

⑸ 不等式法：利用均值不等式求最值时，一定要注意“正、定、等”三个条件缺一

不可；

⑹ 判别式法：该法只有当定义域为R 时才比较适用； ⑺ 利用函数的单调性（注意导数的应用）；

具体解题中应优先考虑直接法或判断函数的单调性．

【教后反思】

1．思考：该题为什么不采用判别式法？

若用判别式法，则所方程

22(1)10x y x y -+++=应是在(1,)+∞上有解，情况较为复杂

2．该法采用了换元法，这要比拼凑法和待定系数法更容易让学生接受．

第二课时

〖例3〗求下列函数的值域

⑴ |1|y x =+解：|1||2|y x x =++-表示数轴上点x 到1-与2的距离之和，故3y ≥，即原函数的值域为[3,)+∞． ⑵ |3||1|y x x =--+

解：|3||1|y x x =--+表示数轴上点x 到3的距离与点x 到1-的距离的差，故

44y -≤≤，即原函数的值域为[4,4]-．

⑶ y =

解：y =表示动点(,0)x 到两定点

(0,2)(1,3)A B --、的距离之和，由图象分析知：min ||y AB ==，当x →∞时，

y →+∞，故原函数的值域为)+∞．

★ 点评：利用函数的几何意义，是解决这类特殊函数的较为简便的方法．

〖例4〗实数,x y 满足22(2)3x y -+=，求以下各式的最值： ⑴

y x ； ⑵ x y +； ⑶ 1

y x + 解：因实数,x y 满足22(2)3x y -+=，故圆22(2)3x y -+=可看作点(,)x y 的可行域．

⑴令y

k x

，即y kx =，k 表示目标函数中的斜率，由图可知k ≤，即

max ()y x min ()y

= ⑵ 令m x y =+，即y x m =-+，m 表示目标函数中的纵截距．

由

d =

=2m =±min max ()2()2x y x y +=+=+

⑶ 令1

k x =+，即(1)y k x =+，目标函数过定点(1,0)-，k 表示目标函数中的斜率，

由

d =

=k =，故max min (),()11y y x x ==++ ★点评：用线性归划的观点解决该类函数的关键在于抓住可行域，并弄清所求的东西在目标函数中表示什么．

变式：求函数

1sin

2cos

的值域．

解：

sin(1)

cos(2)

，表示动点(cos,sin)

P x x与定点(2,1)

A--连线的斜率，而动点P

的轨迹为单位圆，由图象分析知：

≤≤，即原函数的值域为

[0,]

．

【课堂小结】

在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法、函数单调法和均值不等式，然后才考虑用其它各种特殊方法．

【教后反思】