杆件的内力截面法

杆件的内力截面法

一、基本要求

1．了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念；

2．掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力；

3．熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。

表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。该图一般以平行于杆件轴线的横坐标x轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。正的轴力画在x轴上方，负的轴力画在x轴下方。

e n

当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为

根据内力与外力的平衡关系，若外力对截面形心取矩为顺时针力矩，则该力在截面上产生正的剪力，反之为负的剪力（顺为正，逆为负）；固定截面，若外力或外力偶使梁产生上挑的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负）。4）剪力方程和弯矩方程

一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标x 表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x 的函数，即

)

()

(S S x M M x F F ==

上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。

5）剪力图和弯矩图

为了直观地表达剪力F S 和弯矩M 沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的横坐标x 表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。

剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：

（1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为： 第一，求支座反力。

第二，根据截荷情况分段列出F S (x )和M (x )。

在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。

第三，求控制截面内力，作F S 、M 图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，F S =0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面的内力值标在的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。并注明max

max

M

F S

、的数值。

（2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和弯矩图。

载荷集度q （x ）、剪力F S （x ）与弯矩M （x ）之间的关系为:

)()

(S x q dx

x dF = )()

(S x F dx

x dM = )()

()(S 2

2x q dx x dF dx

x M d == 根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。

(a)若某段梁上无分布载荷，即0)(=x q ，则该段梁的剪力F S （x ）为常量，剪力图为平行于x 轴的直线；而弯矩)(x M 为x 的一次函数，弯矩图为斜直线。

(b)若某段梁上的分布载荷q x q =)(（常量），则该段梁的剪力F S （x ）为x 的一次函数，剪力图为斜直线；而)(x M 为x 的二次函数，弯矩图为抛物线。当0>q （q 向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当0

(c)若某截面的剪力F S （x ）=0，根据0)

(=dx

x dM ，该截面的弯矩为极值。

利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：

第一，求支座反力（对悬臂梁，若从自由端画起，可省去求支反力）； 第二，分段确定剪力图和弯矩图的形状；

第三，求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； 第四，确定max

S

F 和max M 。

max

S

F 可能出现的地方：①集中力F 作用处；②支座处。max M 可能出现的

地方：①剪力F S =0的截面；②集中力F 作用处；③集中力偶M 作用处。 6）平面刚架和平面曲杆的弯曲内力

刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。

平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。

各杆连接处称为刚节点。

刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。静定刚架：凡未知反力和内力能由静力学平衡条件确定的刚架。

平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，一般还有轴力。作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），且必须注明正负号；剪力正负号的规定与梁相同，轴力仍以拉伸为正，压缩为负。

平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆。平面曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制方法，与刚架相类似。

例F 2=18kN AC 由∑

611N ==F F kN （拉力）

CD 段：以截面2-2将杆分为两段，取左段部分（图(c)）。 由0=∑x F 得

12212N -=-=F F F kN （压力）

2N F 的方向与图中所示方向相反。

DB 段：以截面3-3将杆分为两段，取右段部分（图(d)）。 由0=∑x F 得

443N -=-=F F kN （压力）

3N F 的方向与图中所示方向相反。

2．绘轴力图

以横坐标x 表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的轴力N F ，选取适当比例，绘出轴力图（图（e ））。在轴力图中正的轴力（拉力）画在x 轴上侧，负的轴力（压力）画在x 轴下侧。

例

B 、

C 、

D 解：M A M D 2BC 程

得

负号说明1T 所假定的方向与实际扭矩相反

同理，在CA 段内，

02=++B C M M T

m N 7002?-=--=B C M M T

在AD 段内，

03=-D M T m N 4463?==D M T

3．以横坐标x 表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取

例2-3 弯矩图。解：1.由,0=∑∑F y F A =

2.在ＡＣ段内，

(l Fb F x F A <==0,)(S 在BC 段内 x F (S x M (力图、弯矩图。

S F 图：在AC 、CB 段内，剪力方程均为常数，因此两段剪力图均为平行于x

轴的直线。在集中力F 作用处，l

Fb

F l Fa F C C =

=右左，－S S ，左、右两侧截面的剪力值发生突变，突变量F l

Fa

l Fb =--=

)(；M 图：在AC 、CB 段内，弯矩方程)(x M 均是x 的一次函数，因此两段弯矩图均为斜直线。求出控制截面弯矩

l

Fab

M M M C B A =

==，0，标在x M -坐标系中，并分别连成直线，即得该梁的弯矩图。显然在集中力F 作用处左、右两侧截面上弯矩值不变，但在该截面处弯矩图斜率发生突变，因此在集中力F 作用处弯矩图上为折角点。

82?

?8

,22

max max S ql M ql F ==

在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且在

F S =0处弯矩M 取得极值。

例2-5 如图2-10所示简支梁，在C 点处受矩为M e 的集中力偶作用，试作梁的剪力图和弯矩图。

2.在x M =)(1在x M =)(2

3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。

()()l

M l F F e

-

==S S 0 ()()l

b

M M l a M M l M M e e ＝，＝－

，右左00== 在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为e e e M l

a

M l b M =--，而剪力图无改变。

例2-6 如图2-11

图和弯矩图。

解：1.求支反力。

由平衡方程∑(M B ∑=0)(F M A

求得

ql F A 83=，F B =2.列剪力、弯矩方程 AC 段： ql qx F x F A -=-=8

3)(S )2

0(l

x ≤< 28321)(qx x F x M A =-= )20(l

x ≤≤

CB 段：

ql F x F B 81)(S -=-= )2(l x l

<≤

)(81)()(x l ql x l F x M B -=-= )2

(l x l

≤≤

3．求控制截面内力，绘Q 、M 图

S F 图：AC 段内，剪力方程)(S x F 是x 的一次函数，剪力图为斜直线，求出两

个端截面的剪力值，ql F A 83S =，ql F C 8

1

S -=，标在x F -S 坐标系中，连接两点

即得该段的剪力图。CB 段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，连一水平线即为该段剪力图。梁AB 的剪力图如图2-11(b)所示。

M 图：AC 段内，弯矩方程)(x M 是x 的二次函数，弯矩图为二次曲线，求出

两个端截面的弯矩，0=A M ，2

16

1ql M C =

，

分别标在x M -坐标系中。在0S =F 处弯矩取得极值。令剪力方程0)(S =x F ，解得l x 83=，求得2128

9

)83(ql l M =，标

在x M -坐标系中。根据上面三点绘出该段的弯矩图。CB 段内，弯矩方程)(x M 是

x 的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，标在x M -坐标系中，并连成直线。

AB 梁的M 图如图2-11(c)所示。

S 2

dx dx 斜直线；DB 段内，常数=q ，且为负值，剪力图为斜直线，M 图为向上凸的抛物线。

3.求控制截面的内力值，绘S F 、M 图

S F 图：kN 3S -=右C F ，kN 7S =右A F ，据此可作出CA 和AD 两段S F 图的水平

线。kN 7S =右D F ，kN 5S -=左B F ，据此作出DB 段S F 图的斜直线。

M 图：0=C M ，m KN 8.1?-=左A M ，据此可以作出CA 段弯矩图的斜直线。A 支座的约束反力A F 只会使截面A 左右两侧剪力发生突变，不改变两侧的弯矩值，故m KN 8.1?-===A A A M M M 右左，m kN 4.2?=左D M ，据此可作出AD 段弯矩图的斜直线。D 处的集中力偶会使D 截面左右两侧的弯矩发生突变，故需求出

m KN 2.1?-=右D M ，0=B M ；由DB 段的剪力图知在E 处0S =F ，该处弯矩

为极值。根据BE 段的平衡条件∑=0y F ，知BE 段的长度为0.5m ，于是求得

m kN 25.1?=E M 。根据上述三个截面的弯矩值可作出DB 段的M 图。

对作出的S F 、M 图要利用微分关系和突变规律、端点规律作进一步的校核。如DB 段M

例

对对BA 段距B 端为x 2的截面

()F x F =2N ，()22S qx x F =，())0(2

1

2222l x qx Fa x M <≤-=

2.作内力图

由内力方程绘出内力图，N F 图和S F 图可以画在杆轴的任一侧，一般正值画在刚架外侧，并标明正负号。弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。

例2-8 曲杆受力如图2-14（a ）示。试绘出曲杆的弯矩图