第三章 一微分方程的解的存在定理

第三章 一阶微分方程的解的存在定理

教学目的

讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理

教学要求

掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可

微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。

教学重点

几个主要定理的条件及其证明 教学难点

逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解；奇解及其求法

教学方法

讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段

传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 课题导入

在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。解决了几个特殊的方程。但是，对许多微分方程，为22'y x y +=，不可能通过初等积分法求解，这就产生了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？当有解时，农的解是否是唯一的呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定理，

§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法

教学目的

讨论Picard 逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理。 教学要求

熟练掌握Picard 逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明，会用Picard 逼近法求近似解， 教学重点

Picard 存在唯一性定理及其证明

教学难点

逐次逼近分析法的应用及其思想.

教学方法

讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段

传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

一． 存在唯一性定理

1．定理1，考虑初值问题

),(y x f dx

dy

= （3.1）

00)(y x y =

其中f(x,y)在矩形区域

R ： b y y a x x ≤-≤-||,||00 （3.2）

上连续，并且对y 满足Lipsthits 条件：即存在常数L>0，使对所有

R y x y x ∈),(),,(21常存成立，

|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-

则初值问题（cauchy 问题）（3.1）在区间h x x ≤-||0上解存在唯一，这里

|),(|max ),,

min(),(y x f M M

b

a h R y x ∈==

证明思路：1.初值问题（3.1）的解存在等价一动积分方程?+=x x dy y x f y y 0

),(0（3.5）的连续解。

2.构造（

3.5）所得解函数序列{)(x n ?}

任取一连续函数)(0x ?，b y x ≤-|)(|00?代入（3.5）左端的y ，得

?+=x

x dx x x f y x 0

))(,()(01??)(x n ?)(x n ?

Λ2,1,))(,()(0

01=+=?+n dx x x f y x x

x n n ??

3.函数序列{)(x n ?}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ?。这里为3

?∞→∞

→+x

x n n n dx x x f y x 0

))(,(lim )(lim 0?

=dx x x f y n x

x n ))(,(lim 00??∞

→+

即

))

(,(lim )(00x x f y x n x

x n n ???∞

→+=则需))

(,())(,(x x f x x f n ???由|

)(||))(,())(,(|x x x f x x f n n ????-≤-则

需

)

()(0x x b ???由

于

)())()(()(1

10x x x x n n

k k k ????=-+∑=-从而{)(x k ?}在],[00h x h x +-上的一收敛性等

价于函数项级数

∑∞

=--+110))()(()(n n n x x x ???在],[00h x h x +-一收敛性。

4．)(x ?为（3.5）的连续解且唯一。首先在区间],[00h x x +是讨论，在00,[x h x -上类似。

命题3.1 初值问题（3.1）等价于积分方程

?+=x

x dx y x f y y 0

),(0 （3，5）

Proof:若)(x y ?=为（3.1）的解，则：

??

???==00)())(,()(y x x x f dx x d ??? 对第一式从0x 到x 取定积分可得

?≡-x

x dx x x f x x 0

))(,()()(0???

即dx x x f y x x

x ?+=0

))(,()(0??

反之，若)(x y ?=为（3.5）的连续解。，则有

dx x x f y x x

x ?+=0

))(,()(0??

由于对f(x,y)在R 上连续，从而))(,(x x f ?连续故对上两式两边求导得

))(,()

(x x f dx

x d ??= 且000))(,()(0y dx x x f y x x

x =+=???即y x =)(?为（3.1）的连续解。

下面取00)(y x =?，构造picard 逐步逼近函数如下：

Λ

2,1,,))(,()()(00100

00=+≤≤+==?-n h x x x d f y x y x x

x n n ξξ?ξ?? （3.7）

命题2，对于所有)(,,00x h x x x n ?η+∈和；连续且满足 b y x n ≤-)(|0? Proof(用数学归纳法证明)

N=1时，?+=x

x d y f y x 0,),()(001ξξ?虽然在)](,[0x h x n ?+上连续且

b Mh x x M d y f d y f y x z

z z z ≤≤-≤≤=-??)(),(|),(||)(|000010

ξξξξ?

设命题2为k n =时成立即)(x k ?在)](,[0x h x n ?+上连续，且b y x h ≤-|)(|0? 当1+=k n 时

?+=+x

x k d y f y x 0

,),()(001ξξ?由),(y x f 在R 上连续可知，))(,(x x f k ?在

)](,[0x h x n ?+上连续从而)(1x k +?在)](,[0x h x n ?+上连续且

b Mh x x M d y f d x f y x z

z z z k k ≤≤-≤≤=-??+)(),(|))(,(||)(|00010

ξξξ?ξ?

而命题2，在1==k n 时成立，故由数学归纳法得知，命题跋对所有n 成立

命题3。函数序列)(x k ?在)](,[0x h x n ?+上一致收敛

Proof:考虑函数级数：

],[),())()(()(001

10h x x x x x x x n n k k +∈=-+∑∞

=-???? （3.9）

它前几项和为

)())()(()()(110x x x x x s n m

k k k n ????=-+=∑=-

于是{)(x n ?}一致收敛性等于（级数3.9）的一致收敛性等价，我们对级数（3.9）的通项进行诂计

2012010112001)(2

|)()(||)()(|)

)(,())(,(|)()(|)())(,(|)()(|0

00

0x x ML

d x x L d x x L d f f x x x d f x x x

x x x x

x n x

x -=

-≤-≤-≤

-=≤-???

?

ξ??ξ??ξξ?ξξ?ξ???ξξ?ξ??

其中第二个方程不等式是由Lipsthits 条件得到的，高对正整数n 有不等式

n n n n x x M

ML x x )(|)()(|01

1-≤---??

则当h x x x +≤≤00时，由Lipsthits 条件有

1

0010111)()!

1()(!|)()(|)(,())(,(|)()(|0

+-++-+=-≤

-≤-≤-???n n n

x

x n x

x n x

x n n n x x n ML d x n ML d x x LL d f f x x ξξξ

??ξ

ξ?ξξ?ξ??

于是，由数学归纳法得知，对所有的正整数n 有

101

1)()!

1(|)()(|+---+≤-n n n n x x n ML x x ?? h x x x +≤≤00 （3.11）

从而当h x x x +≤≤00时

n

n n n h n ML x x )!

1(|)()(|11+≤---??

由于正级数∑∞

=-+1

1)!1(n n

n h n ML 收敛，由weierstrass 判别法知，级数（3.9）在],,[00h x x +一致收敛，因而{)(x n ?}在],,[00h x x +上一致收敛。

现设)()(lim x x n n ??=∞

→，h x x x +≤≤00则由)(x n ?连续性和一致收敛性得)(x ?在

],,[00h x x +上连续且b y x ≤-|)(|0?

命题4.)(x n ?是积分方程(3.5)的定义于],,[00h x x +上的连续解. Proof:由Lipschits 条件

|)()(||))(,()(,(|x x L x x f x x f n n ????-≤-

以及{)(x n ?}在],,[00h x x +上的一致收敛,解出函数列{)(x f n },))(,()((x x f x f n n ?=在],,[00h x x +上的一致收敛于函数)(,(x x f n ?.因而对(3.7)两边取极限.得到

??-∞

→-∞→∞

→+=+=x

x n n x

x n n n n d f y d f y x 00

))(,(lim ))(,(lim )(lim 1010ξ

ξ?ξξ

ξ?ξ?

即?+=x

x n d f y x 0

))(,()(0ξξ?ξ?

这表明.)(x ?是积分方程(3.5)在],,[00h x x +的连续解.命题目四得证.

命题 5. 设, )(x ?是积分方程(3.5)的定义于h x x x +≤≤00上的一个连续解.则

)()(x x ??≡,],[0h x x +∈

Prof: 令|)()(|)(x x x g ??-=则)(x g 是定义在],,[00h x x +的的非负连续函数.由

)(x ?和)(x ?所满足的积分方程式和).(0

y x f 的Lipschits 条件得

ξ

ξξξ?ξ?ξ

ξ?ξξ?ξd g L d L d f f x g x

x x x x

x ???=-≤-≤0

)(|)()(||))(,())(,(|)(

令ξξd g L x u x x ?=0

)()(则)(x u 是定义在],,[00h x x +上的连续中微函且

)()('),()(,0)(x Lg x u x u x g o x u =≤≤=

于是0)')()()('(),()('≤=-≤-Lx e x u x u x u x Lu x u 对最后一个不等式从0x 到x 积分得

0)()(00=≤--Lx Lx e x u e x u

故0)()(≤≤x u x g ,即,0)(≡x g ],,[00h x x x +∈

综合命题1-5得到存在任一性定理的证明, 2存在任一性定理的证明

(1)定理中的Lipschits 条件比较困难,我们经常用R 上连续偏导数这一较但

容易验证的条件来代替,如果),(),,(y x f y x f y 在R 上连续,则),(y x f y 在R 上有界,令|L y x f y ≤),(|在R 上成立,则由微分中值定理可以得出 |||||)(),(||),(),(|212121221y y L y y y y y x f y x f y x f y -≤--+=-θ 但反过来,满足Lipschits 条件的函数f （x,y ）不一定有偏导数存在,例如函数||),(y y x f =在任何区域满足Lipschits 条件,但它在y=0处偏导数不存在. (2)定理中},

min{M

b

x h =的几何意义，在矩形R 中有,|),(|M y x f ≤故初值问题（3.1）的解曲线的斜率λ定于-M 与M 之间，过点),(00y x 分别作斜率为—M 到M 的直线，当a

b

M ≤

时如图（a ）所示，解)(x y ?=在a x x a x +≤≤-00中有定义，而当a

b

M φ时劝图（b ）所示。不能保证解

)(x y ?=在a x x a x +≤≤-00中有定义。它有可能在区间内跑到矩形R 外

去，使得),(y x f 无定义，只有m

b

x x m b x +≤≤-

00时才能保证解)(x y ?=在R 内，故需求解在存在范围为h x x ≤-||0

图（a ） 图（b ）

则当||)(),(βα?，x x p 在上连续时，定理1的条件才能满足且任一初值

],[,)(000βα∈=x y x y 所确定的解在],[βα存在定义，连续

定理2 考虑一阶微分方程

0)',,(=y y x f （3.5）

如果在点)',,(000y y x 的某一个域中满足

10)',,(y y x f 对所以变化（',,y y x ）连续。且存在连续偏导数 20000',,(.y y x f ）=0 30'

)

',,(.

0000≠??y y y x f

则方程（3.5） 存在唯一解,||),(0h x x x y y ≤-= 满足条件

')(',)(0000y x y y x y ==

分析：由10，20，30及验证函数存在定理，)',,(y y x f =0能确定一阶函数

),('y x f y =且),(y x f 在),(00y x 内连续。且满足),('00y x f y =因

,y f y

f y f ????=??从而y

f ??连续，解唯一。

二定似计算和误差估计

存在唯一性定理不公肯定了解的存在唯恐天下不乱一性，并且给出了求方程近似解的一种方法——Picrcl 逐步逼近法，对方程的第n 次近似解

)(x n ?

Λ

2,1,))(,()()(0000

0=+==?n dx x x f y x y x x

x n ???

它和正真解],[)(00h x h x x y +-=在?内的误差估计为

1

)!

1(|)()(|++≤-n n n h n ML x x ?? （3.19）

上式可用数学归纳法证明

11

0011101100)!1()()!1())((!

|)()(||)(,())(,(||)()(|!

)(!|)()(|)(|))(,(||)()(|00

++-+---+≤-+=-≤

-≤-≤-≤-≤-≤-≤≤-????n n n n x

x n

n

x

x n x

x n n n n n

n n x

x h

n ML x x n ML d x n ML d d f f x x h

n ML x x n ML x x Mh

x x M d f x x ξξξ

ξ?ξ?ξξ?ξξ?ξ????ξξ?ξ??设

这样，我们在进行近似计算的时候，可以根根据误差的要求，先取适当的逐步逼近函数)(x n ?。

例1．

讨论初值问题 0)0(,22=+=y y x dx

dy

解存在唯一区间。并求在此区间上与真正解的误工费差不超过0.05 的近似解的表达式，其中R ：.11,11≤≤-≤≤-y x

解：这里 .2

1

}21,1min{,2|),(|max ),(====∈h y x f M R y x 在R 上,由于

L y y

f

=≤=??2|2|||

由

(3.19)

11)()!1(1)!1(|)()(|+++=+≤-n n n n lh n L M h n ML x x ??=)!

1(1

+n <0.05

因而可取 n=3,因此我们可以作出如下的近似表达式

59535

20792633]3969

18929[)]([)(63

3)]([)(3

)]([)(0

)(15117314

1062

22

2

3732

1223

20

2

1000

x x x x dx

x x x x dx x x x x x dx x x x x dx x x x x x

x x

x x x x

x +

++=+++=+=+

=+==

+==???????????

)(3x ?就是所求的近似解,在区间[2

1

,21-]上与真正解的误差不超过

0.05.

例2 讨论初值问题 0)0(,12=+=y y dx

dy

解存在且唯一区间.

解: 对任意给定的正数a,b,函数21),(y y x f +=均在矩形区域R=}6||,|||),{(≤≤y a x y x 内连续且对y 有连续的偏导数,计算

}1,

min{,1|),(|max 2

2),(b

b

a h

b y x f M R

y x +=+==∈ 由于a 和b 都可以任意取,我们先取b,使

2

1b

b

+最大,虽然b=1时2112=

+b b 为2

1b b

+的最大值,故可取a=1,b=1,此时依定理得到初值问题解存在唯一的区间是2

1

21≤≤-x .

例3.

利用picanl 选代法求初值问题,

0)0(),1(2=+=y y x dx

dy

的解. 解;初值问题等价于积分方程

?+=x

x dx x y x x y 0

))(1(2)(其选代序列分别为

!

!3!2)(!

3!2)!21(2)(!

2)1(2)(2)(0

)(642

6424234

2

2

22

100

0n x x x x x y x

x x dx x x x x y x x dx x x x y x xdx x y x y cn

n x x x

x x

x +

+++=+

+=++=+

=+====???ΛΛΛ

Λ 取极限得

1)(lim 2

-=∞

→x n n e x y

即初值问题的解为 12

-=x e y