投资组合公式
对于两种证券形成的投资组合，投资组合的标准差
本题考查相关系数的计算。对于两种证券形成的投资组合，投资组合的标准差
投资组合资产选择策略
Lecture Note 15 投资组合资产选择策略 －修炼型股票选择策略 根据资本市场有效性理论，如果资本市场达到有效，则整个技术分析和基本分析无效，此时宜采用保守的资产选择策略；如果资本市场无效，则应采取积极的资产选择策略，先采用一定的投资分析方法选择成长型资产，再采用组合策略进行组合管理与控制。 问题是：绝大多数资本市场是无效的，或者没有达到弱式有效，或者没有达到半强式有效，因此采用积极的组合管理策略是十分必要的，以获得更高的投资收益率。 在介绍完投资组合理论和资产定价理论后，现在我们来讨论投资组合管理策略。 一、 引言 本章主要是基于无效市场而言的，即在无效市场条件下股票的选择、资产的配置和市场时机的选择以及组合资产的动态管理策略。本节首先讨论积极的和消极的投资策略，其次讨论修炼型股票选择策略（disiplined stock selection strategy ），分析修炼型股票选择策略确立投资目标的方法，最后讨论投资过程设计和战略实施的方式。 二、 积极的和消极的投资策略 1． 积极战略与消极战略的思路差别 收益率导向 风险导向 积极战略－ return oriented 消极战略-risk-oriented
积极战略措施：当预测市场上升时，将现金转化为股票，或提高投资组合的beta系数；当预测市场下降时，将股票转化为现金，或降低投资组合的beta系数，或者两种技术结合。2．消极战略措施：当无法对市场趋势进行预测时，可以考虑采用消极策略。所谓消极策略，即构建或选择这样一个投资组合，这个投资组合相当分散，每一项资产在组合中所占比重与市场指数中所占比重相同。或购买市场指数或买卖指数基金。从而取得与市场相一致的收益率和风险。 3．积极战略措施：当认为市场存在趋势并且可预测时，可以采用某种方法首先预测市场，然后积极地选择股票，以期得到比市场收益率高的收益率。采用这一战略时，首先，根据对类别资产或行业资产发展前景乐观或悲观的估计，使投资组合中某类别或某行业资产的比重高于（买多）或低于（卖空）其在市场指数中的权重。其次，投资者在单支股票的选择上，仍可采用广泛的积极策略。被认为看涨的股票，其权重要大于其在市场指数中所占的权重；被认为看跌的股票，其权重要小于其在市场指数中的比重。当然作为一个无法预测市场的消极的策略，就是实行充分分散化的投资策略，也就是买卖指数基金。 三、股票选择策略 以上介绍了积极和消极的资产选择的两大战略，有时这两个战略是可以转换的，不过不能混淆，也不能同时实施两个战略。因为每种战略的假定前提是不同的。在每种战略下，还可以采用不同的具体策略。这里我们介绍三个具体的策略。 （1）对股票、类别和市场这三个部分的收益率都完全保持被动，即完全的消极策略；（2）对市场和类别成份保持被动，对股票选择保持主动；即部分积极的策略。 （3）对所有三个成份都采用主动策略。 注意下图中的水平线是整个市场收益率，它是一个业绩基准，在市场收益率直线之上的任何部分都是高于平均收益率的，在市场收益率水平线之下的任何部分均低于平均收益率。方框中的横线表明各战略投资组合的预期收益率。长方形的高表示各战略的预期收益率范围或风险水平。 率（正a 预期市场 收益率 率（负a 完全积极型选择策略
最优投资组合的计算
最优投资组合的计算 案例：设风险证券A 和B 分别有期望收益率%201=- r ，%302=- r ，标准差分别为 %301=σ，%402=σ，它们之间的协方差%612=σ，又设无风险证券的收益率f r =6%， 求切点处风险证券A 、B 的投资比例及最优风险资产投资组合的期望收益率和标准差；再求效用函数为()2005.0σA r E U -=，A=4时，计算包含无风险资产的三种资产最优组合的结构。 求解： 第一步，求风险资产的最优组合及该组合的收益率与标准差。 随意指定一个期望收益率%14=- P r ，考虑达到- P r 的最小方差的投资比例（因为无风险证券的方差以及与其他风险证券的协方差也都等于零，所以包括无风险证券在内的投资组合的方差实际上就等于风险证券组合的方差）： min(12212 22 22 12 12σσσx x x x ++), S.T.- - - =--++P f r r x x r x r x )1(212211. 令L=(12212 22221212σσσx x x x ++)+λ- - P r ])1(212211f r x x r x r x ----- -， 由一阶条件： = ??λL - - P r 0)1(212211=----- -f r x x r x r x 0)(2211222 111 =--+=??- f r r x x x L λσσ 0)(22212122 22 =--+=??- f r r x x x L λσσ 代入上述数字解得268 25.8,268 521= = x x 。风险证券A 、B 的组合结构为 62.0, 38.02 122 11=+=+x x x x x x ，这就是风险证券内部的组合结构和比例。 如果投资者比较保守，不追求那么高的收益率，比如选择%8=- P r ，则解得风险证券内部的组合结构和比例，仍然不变（忽略计算）。说明投资者的风险偏好无论怎样，只是改变资金在无风险证券和风险证券之间的分配比例，风险资产投资的内部结构不会改变。 风险资产最优组合的收益率和标准差为：
方差分析公式
方差分析公式 （20PP-06-2611:03:09） 转载▼ 标签： 分类：统计方法 杂谈 方差分析 方差分析（analPsisofvarianee ，简写为ANOV或ANOV A可用于两个或两个以 上样本均数的比较。应用时要求各样本是相互独立的随机样本；各样本来自正态 分布总体且各总体方差相等。方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把全部观察值之间的总变异分为两部分或更多部分，然后再作分析。常用的设计有完 全随机设计和随机区组设计的多个样本均数的比较。 一、完全随机设计的多个样本均数的比较 又称单因素方差分析。把总变异分解为组间（处理间）变异和组内变异（误差）两部分。目的是推断k个样本所分别代表的卩1,卩2,……卩k是否相等，以便比较多个处理的差别有无统计学意义。其计算公式见表19-6. 表19-6完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析公式 GC=（艺G） 2/N=艺ni , k为处理组数 方差分析计算的统计量为F,按表19-7所示关系作判断。 例19.9某湖水不同季节氯化物含量测量值如表19-8，问不同季节氯化物含量有 无差别？ 表19-8某湖水不同季节氯化物含量（mg/L）
SS 加刖=丄 和 ' 10619.265^ 170 HO:湖水四个季节氯化物含量的总体均数相等，即 卩仁卩2=卩3=卩4 H1:四个总体均数不等或不全相等 a =0.05 先作表19-8下半部分的基础计算。 C=（艺 G ） 2/N= （588.4） 2/32=10819.205 SS 总=艺 G2-C=11100.84-10819.205=281.635 V 总=N-仁31 （工吋 “ 1 广_ （】6二口尸斗/」期.匸尸千 K .IT N "一 - ? r . —I b K V 组间=k-1=4-1=3 SS 组内=SS 总-SS 组间=281.635-141.107=140.465 V 组内=N-k=32-4=28 MS 组间二SS 组间 /v 组间=141.107/3=47.057
方差概念及计算公式
方差概念及计算公式 一．方差的概念与计算公式 例1两人的5次测验成绩如下： X：50，100，100，60，50 E(X )=72；Y：73，70，75，72，70 E(Y )=72。 平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是 消除符号影响 方差即偏离平方的均值，记为D(X )： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里是一个数。推导另一种计算公式 得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即 ， 其中
分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。 二．方差的性质 1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）； 2．D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取）； 证： 特别地D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值） 3．若X、Y相互独立，则 证：记 则 前面两项恰为D(X )和D(Y )，第三项展开后为 当X、Y 相互独立时， ， 故第三项为零。 特别地 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 三．常用分布的方差 1．两点分布
2．二项分布 X ~ B( n, p ) 引入随机变量X i（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布） ， 3．泊松分布（推导略） 4．均匀分布 另一计算过程为 5．指数分布（推导略） 6．正态分布（推导略） ~ 正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。 例2求上节例2的方差。 解根据上节例2给出的分布律，计算得到
求均方差。均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。 S = ((x1-x的平均值)^2 + (x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根 大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。 用matlab或c语言编写求导程序 已知电容电压uc,电容值 求电流i 公式为i=c(duc/dt) 怎样用matlab或c语言求解
方差 — 标准差
方差(Variance) [编辑] 什么是方差 方差和标准差是测度数据变异程度的最重要、最常用的指标。 方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数，通常以σ2表示。方差的计量单位和量纲不便于从经济意义上进行解释，所以实际统计工作中多用方差的算术平方根——标准差来测度统计数据的差异程度。 标准差又称均方差，一般用σ表示。方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法，另外，对于总体数据和样本数据，公式略有不同。 [编辑] 方差的计算公式 设总体方差为σ2，对于未经分组整理的原始数据，方差的计算公式为： 对于分组数据，方差的计算公式为： 方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为： 未分组数据： 分组数据： [编辑]
样本方差和标准差 样本方差与总体方差在计算上的区别是：总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和，而样本方差则是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和，其中样本数据个数减1即n－1 称为自由度。设样本方差为，根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为： 未分组数据： 分组数据： 未分组数据： 分组数据： 例:考察一台机器的生产能力，利用抽样程序来检验生产出来的产品质量，假设搜集的数据如下： 根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。问此时的机器是否必须关闭？ 解：根据已知数据，计算
因此，该机器工作正常。 方差和标准差也是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值，因此它能准确地反映出数据的离散程度。方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。 ?函数VAR假设其参数是样本总体中的一个样本。如果数据为整个样本总体，则应使用函数VARP来计算方差。 ?参数可以是数字或者是包含数字的名称、数组或引用。 ?逻辑值和直接键入到参数列表中代表数字的文本被计算在内。 ?如果参数是一个数组或引用，则只计算其中的数字。数组或引用中的空白单元格、逻辑值、文本或错误值将被忽略。 ?如果参数为错误值或为不能转换为数字的文本，将会导致错误。 ?如果要使计算包含引用中的逻辑值和代表数字的文本，请使用VARA 函数。 ?函数VAR 的计算公式如下： 其中x 为样本平均值AVERAGE(number1,number2,…)，n 为样本大小。 示例 假设有10 件工具在制造过程中是由同一台机器制造出来的，并取样为随机样本进行抗断强度检验。 如果将示例复制到一个空白工作表中，可能会更容易理解该示例。 STDEV(number1,number2,...) Number1,number2,...为对应于总体样本的 1 到255 个参数。也可以不使用这种用逗号分隔参数的形式，而用单个数组或对数组的引用。 注解 ?函数STDEV 假设其参数是总体中的样本。如果数据代表全部样本总体，则应该使用函数STDEVP来计算标准偏差。 ?此处标准偏差的计算使用“n-1”方法。
投资组合方案
投资组合方案 一、马科维茨理论和资本资产定价模型 现代资产组合理论（Modern Portfolio Theory ，简称MPT ），也有人将其称为现代证券投资组合理论、证券组合理论或投资分散理论。最初是由美国经济学家哈里·马科维茨（Markowits ）于1952年创立的，他认为最佳投资组合应当是具有风险厌恶特征的投资者的无差异曲线和资产的有效边界线的交点。 现代资产组合理论的提出主要是针对化解投资风险的可能性。该理论认为，有些风险与其他证券无关，分散投资对象可以减少个别风险（unique risk or unsystematic risk ），由此个别公司的信息就显得不太重要。个别风险属于市场风险，而市场风险一般有两种，即个别风险和系统风险（systematic risk ），前者是指围绕着个别公司的风险，是对单个公司投资回报的不确定性；后者指整个经济所生的风险无法由分散投资来减轻。虽然分散投资可以降低个别风险，但是，首先，有些风险是与其他或所有证券的风险具有相关性，在风险以相似方式影响市场上的所有证券时，所有证券都会做出类似的反应，因此投资证券组合并不能规避整个系统的风险。 资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model 简称CAPM ）是由美国学者夏普（William Sharpe ）、林特尔（John Lintner ）、特里诺（Jack Treynor ）和莫辛（Jan Mossin ）等人在资产组合理论的基础上发展起来的，是现代金融市场价格理论的支柱，广泛应用于投资决策和公司理财领域。 资本资产定价模型就是在投资组合理论和资本市场理论基础上形成发展起来的，主要研究证券市场中资产的预期收益率与风险资产之间的关系，以及均衡价格是如何形成的。 资本资产定价模型假设：第一，投资者是理性的，而且严格按照马科威茨模型的规则进行多样化的投资，并将从有效边界的某处选择投资组合；第二，资本市场是完全有效的市场，没有任何磨擦阻碍投资。其表达公式如下： )()() (f m im f i r r E r r E - + = β )(i r E 是资产i 的预期回报率 f r 是无风险利率 im β 是Beta 系数，即资产i 的系统性风险
运用Excel Solver构建最优投资组合(王世臻)
运用Excel Solver构建最优投资组合 王世臻（20121563）黄燕宁（20121941）王爽（20125204）汪雅娴（20121336）杨瑞(20121799)潘晓玉（20123384）本文运用马科维茨投资组合优化程序来说明股票市场的分散化投资，借助Excel Solver构建最优投资组合。我们从Resset金融研究数据库中从电子信息行业选取启明星辰等40只股票2010年至2013年的月收益率以及对应的无风险收益率等数据。 来源于Resset金融研究数据库
二、模型设定 我们可以设第i 只股票的期望风险溢价为i (r )E ，第i 只股票的权重为i w ，整体的期望风险溢价为p (r )E ，标准差为p σ，夏普比率为p S ，因此我们可以得到组合的期望风险溢价为： 11224040()()()()()p i i E r w E r w E r w E r w E r =+++++L L (1) 整体的标准差为： 1 4040[(,)]11 i j i j p w w Cov r r i j σ=∑∑== (2) 夏普比率为： p (r ) p p E S σ= (3) 三、构建组合 我们分卖空和未卖空两种情况分别进行讨论： （一）允许进行卖空 在这种情况下，为了找出最小的方差组合，我们以(2)式为目标函数，以40 11i i w ==∑为 约束条件运用Excel solver 求解可以得到最小的标准差为0.04127，此时的风险溢价为0.03901 ，夏普比率为0.94525，同时可以得到此时的风险组合如表。 为了画出风险组合的有效边界，我们以(2)式为目标函数，通过改变(1)式的值利用Excel solver 画出下图1： 图1 有效边界与资本配置线图 选取边界上夏普比率最高的组合，即有效边界上的最优的风险组合。我们 标准差 风险溢价
均值-方差分析方法和投资组合有效边界模型。
该理论包含两个重要内容：均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。在发达的证券市场中，马科维茨投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。但是，我国的证券理论界和实务界对于该理论是否适合于我国股票市场一直存有较大争议。从狭义的角度来说，投资组合是规定了投资比例的一揽子有价证券，当然，单只证券也可以当作特殊的投资组合。本文讨论的投资组合限于由股票和无风险资产构成的投资组合。人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因素。所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。当然，股票的收益包括分红派息和资本增值两部分。所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。人们在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢？这正是投资组合理论研究的中心问题。投资组合理论研究“理性投资者”如何选择优化投资组合。所谓理性投资者，是指这样的投资者：他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化，或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。因此把上述优化投资组合在以波动率为横坐标，收益率为纵坐标的二维平面中描绘出来，形成一条曲线。这条曲线上有一个点，其波动率最低，称之为最小方差点（英文缩写是MVP）。这条曲线在最小方差点以上的部分就是著名的（马考维茨）投资组合有效边界，对应的投资组合称为有效投资组合。投资组合有
效边界一条单调递增的凹曲线。如果投资范围中不包含无风险资产（无风险资产的波动率为零），曲线AMB是一条典型的有效边界。A点对应于投资范围中收益率最高的证券。如果在投资范围中加入无风险资产，那么投资组合有效边界是曲线AMC。C点表示无风险资产，线段CM是曲线AMB的切线，M是切点。M点对应的投资组合被称为“市场组合”。如果市场允许卖空，那么AMB 是二次曲线；如果限制卖空，那么AMB是分段二次曲线。在实际应用中，限制卖空的投资组合有效边界要比允许卖空的情形复杂得多，计算量也要大得多。在波动率－收益率二维平面上，任意一个投资组合要么落在有效边界上，要么处于有效边界之下。因此，有效边界包含了全部（帕雷托）最优投资组合，理性投资者只需在有效边界上选择投资组合。 [编辑本段]现代投资理论的产生与发展 现代投资组合理论主要由投资组合理论、资本资产定价模型、APT模型、有效市场理论以及行为金融理论等部分组成。它们的发展极大地改变了过去主要依赖基本分析的传统投资管理实践，使现代投资管理日益朝着系统化、科学化、组合化的方向发展。1952年3月，美国经济学哈里·马考威茨发表了《证券组合选择》的论文，作为现代证券组合管理理论的开端。马克威茨对风险和收益进行了量化，建立的是均值方差模型，提出了确定最佳资产组合的基本模型。由于这一方法要求计算所有资产的协方差矩阵，严重制约了其在实践中的应用。1963年，威廉·夏普提出了可以对协方差矩阵加以
最优投资组合模型剖析
最优投资组合模型 陈家跃1 肖习雨2 杨珊珊3 1．韶关学院2004级数学与应用数学广东韶关 512005 2．韶关学院2003级信息技术(1)班广东韶关 512005 3．韶关学院2004级信息技术班广东韶关 512005 摘要 本文通过各种投资回报数据,对各种投资方案的回报效益进行分析,以平均回报期望为回报率,用回报方差来衡量风险,建立了在VaR(风险价值)约束下的经典马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型，并从几何角度具体地阐述了此模型的算法,最后根据此算法和借助数学软件LINGO、MATLAB计算出在VaR=1%,…,10%下的最优投资组合为方案一投资1421万美元,方案二投资2819.5万美元,方案三投资759.5万美元,得到的最大净收益为500.00万美元,结果令人满意. 关键词:马柯维茨均值-方差模型;VaR约束;置信水平
1问题的提出 某基金会有科学基金5000万美元，现有三种不同的投资方式，分别为政府债券、石化产业股票、信息产业股票，为了保证其基金安全增殖，设计收益最大且安全的投资方案，要求(1)获得最大的投资回报期望(2)投资的风险限制在一定的范围。保证该投资方案资金保值概率不低于95%。（假设石化产业的投资回报率变化与信息产业的投资回报率变化彼此独立） 三种投资方式分别为： 投资方式一： 购买政府债券，收益为5.6％/年； 投资方式二： 投资石化产业股票 根据有关的随机抽样调查，得到四十宗投资石化产业股票的案例记录(如附录图表一)； 投资方式三： 投资信息产业股票 根据有关的随机抽样调查，得到四十宗投资信息产业股票的案例记录(如附录图表二)。 2 模型的假设 2．1 该基金投资持有期为一年； 2．2 投资政府债券的风险为零； 2．3 方案二和方案三中选取的八十只股票具有代表性，能反映总体股市情况； 2．4 不考虑交易过程中的手续费，即手续费为零； 2．5 总体投资金额设为单位1. 3 符号的约定 ?：表示证券组合在持有期t?内的损失； P X：表示第i种方案的投资权重（投资比例）； i c：表示置信水平，反映了投资主体对风险的厌恶程度； 2 σ：表示第i种方案的投资回报方差； i
方差计算公式的证明
方差计算公式的证明 （1）用新数据法求平均数 当所给的数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：=+a.其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，=-a,=-a,…,=-a ○1 =(+)是新数据的平均数（通常把,,…,,叫做原数据， ,,…,,叫做新数据）。证明： 把○1左边的数据相加，把○1右边的数据相加，得到一个等式： +=-a+-a+…+-a +=++…+-na =—a 即○2 亦即=+a （2）方差的基本公式 方差的基本公式由方差的概念而来。方差的概念是：在一组数据，，，中，各数据与他们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“” 表示，即: =[+] (3) 方差的简化计算公式 =[++…+)-n] 也可写成=[++…+)]- 此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 证明： =[+] =[++++…++] =[++…+)-2++…++n] =[++…+)-2n =[++…+)-2n =[++…+)-n] =++…+)-………………..(I)
根据○1，有=+a,=+a,…=+a,和=+a(详见（1）的证明) 代入简化公式（I）,则有： =[（）+（）+…（）- =[(++…+)+2a(++…+)+n]-(+2a+) =(++…+)+2a+-2a- =(++…+)+ 2a+ =(++…+)…………………….(II) 此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。 由方差的基本公式，经恒等变形后，产生了简化公式（I）;由简化公式（I）进行等 量代替产生了简化公式（II）.因此，基本公式和简化公式（I）（II）所计算出的方 差都相同。基本公式和简化公式（I）按原数据,,…,计算方差；简化公 式（II）按新数据,,…,计算方差，计算出的方差相同。 (4) 用新数据法计算方差 原数据,,…,的方差与新数据=-a,=-a,…,=-a的方差相等。也就 是说，根据方差的基本公式，求得的,,…,的方差就等于原数据 ,,…,的方差。 证明： 把○1式里的每一个式子的两边，减去○2式的两边（左边-左边，右边-右边）有： -=(-a)-(-a)=- -=(-a)-(-a)=- ………… -=(-a)-(-a)=- 再把以上每一个新生成等式左右两边平方，即有左2=右2： （）=（） （）=（） ………… （）=（） 最后把这些式子的左边加左边，右边加右边，其和分别除以n,即有：[（）+（）+…+（）]=[+] 这就是根据方差的基本公式，求得的,,…,的方差就等于原数据 ,,…,的方差。
方差计算公式的变形及应用
方差计算公式的变形及应用 江苏 庄亿农 我们知道，对于一组数据x 1、x 2、…x n ，若其平均数为x ，则其方差可用公式 S 2=21)[(1 x x n -+22)(x x -+…+2)(x x n -]计算出来．我们可以对其作如下变形： 2s =n 1[( x 21+2x －2 x 1x )+( x 22+2x －2 x 2x )+…+( x 2n +2x －2 x n x )]=n 1[ (x 21+x 22+…+ x 2n )+n 2x －2x ( x 1+ x 2+…+ x n )]= n 1[ (x 21+x 22+…+ x 2n )+ n 2x －2n 2x ]=n 1[ (x 21+x 22+…+ x 2n )－n 2x ]=n 1[ (x 21+x 22+…+ x 2n )－n 1(x 1+x 2+…+ x n )2]，即2s =n 1[ (x 21+x 22+…+ x 2n )－n 1(x 1+x 2+…+ x n )2]．显然当x 1=x 2=…=x n 时，2s =0． 这个变形公式很有用处，在解决有些问题中，巧妙地利用这个变形公式，可化繁为简，具有事半功倍之效． 一、判断三角形形状 例1 若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足b+c=8，bc=a 2－12a+52，试判断△ABC 的形状． 解析：因为b+c=8，所以(b+c)2=64，所以b 2+c 2=64－2bc ．因为bc=a 2－12a+52，所以b 2+c 2=64－2(a 2－12a+52)=－2a 2+24a －40．由方差变形公式知，b 、c 的方差为2s = 21[(b 2+c 2)－21(b+c)2]= 21[(－2a 2+24a －40)－2 1×64]=－a 2+12a －36=－(a －6)2．因为2s ≥0，则－(a －6)2≥0，即 (a －6)2≤0，而(a －6)2≥0，所以(a －6)2=0，所以a －6=0，所以a=6．所以2s =0， 所以b=c ．又b+c=8，所以b=c=4．所以△ABC 是等腰三角形． 二、解方程组 例2 解方程组?? ???+==+22493z xy y x ． 解析：两个方程，三个未知数，一般情况下是求不出具体的未知数的值的．若考虑利用方差变形公式，则能解决问题． 因为x+y=3，所以(x+y)2=9，所以x 2+y 2=9－2xy ．因为xy= 4 9+2z 2，所以x 2+y 2=9－2(49+2z 2)=29－4z 2．由方差变形公式知，x 、y 的方差为2s =21[ (x 2+y 2)－21(x+y)2]=21[2 9－4z 2－21×9]=－2z 2．因为2s ≥0，－2z 2≥0，则2z 2≤0，而z 2≥0，所以z=0．所以2s =0，所以
投资组合设计方案
产品投资组合设计 一．产品投资组合的意义 产品投资通过合理的组合设计，有利于规避非市场性风险，使投资效益最大化，既在承担一定风险的前提下尽可能地提高收益，或者在达到一定收益的前提下尽可能降低风险。另外设计合理的产品投资组合不容易被复制，并且可根据市场变动，灵活调整，达到分散风险，提高收益的目的。俗话说“不要把鸡蛋放在一个篮子里”，如何构建一个适合自己风险偏好和承受能力的大类产品组合，是产品开发过程中面临的一个核心问题。 构建投资组合分为五个步骤：第一步确定投资政策；它包括投资目标、投资规模和投资对象的确认。它往往是一个投资组合成败的关键点。第二步是进行产品投资分析；第三步是正式构建投资组合，在这一步投资者应该注意个别产品的选择、投资时机选择和多元化三个问题。第四步是投资组合的修正，它是在投资环境不断变时对投资组合的不断“更新”，以不断的保证其适应组合的环境，为投资人带来收益。第五步是投资组合业绩评估，业绩的评估不但要看收益，更要看投资组合的承担的市场风险。 二．我们的投资组合 由于投资组合的特性，投资组合理论目前被广泛应用于金融市场，包括股票、期货、基金、衍生产品等，同样的原理，我们可以构建适合自己公司特点的组合—有色金属产品投资组合。 我所要构建的产品投资组合类型是：混合型。 投资目标：利用企业的各种资源，在优化资产配置的基础上，精选价值相对低估的有色金属产品，力求获得资产的长期稳健增值。 投资组合的投资范围：具有良好流动性的有色金属，包括铟、锗、镓、硒、银、钯、铑。 按照公司经营特点和对产品价格的把握上以及相关投资理念，资产配置如下：铟、锗占投资资产的50-60%；镓、硒占投资资产的20-30%；银、钯、铑投资资产的30-40%。其中，权重的配比可根据公司的具体情况（资金分布情况）以及有色金属市场价格变动范围作相应调整，根据目前公司的核心竞争力，有以下几种方案： 方案一：选择铟、锗、镓、硒、银、钯六种投资产品，分为三类，其中铟、锗为A类，镓、硒为B类，银、钯为C类。以铟、锗为主要产品，假定A类投资比重占投资资产的60%；其余40%分配在B、C两类产品上，根据市场的变动在不同的阶段调整B、C中各比例的大小。若按比例平均分配B、C两类产品，则镓、硒、银、钯各占10%，当四种产品投资价值相当时可平均分配；若某个时间段，个别产品极具投资价值，价格相对较低，可剔除最不具投资价值的品种，将其权重分配在最具价值的品种上，即此时B、C组合只选择3种产品，所占权重为10%，10%，20%，依次可类推。
购买十只股票的最优投资组合
作业二:购买十只股票得最优投资组合 1、理论基础 马科维茨讨论了投资者将一笔资金在给定得持有期进行投资得问题,也就就 是选择一个最优得证券组合。由于每种证券(从而证券组合)未来得收益率就是未知得,因此,不可能做出一个保证获得最高收益得决策。尽管可以估计每种证券未来得收益率(期望收益率),仍然不能满足上面得要求,这就是因为,基于期望收益率得决策最多只能获得最高平均收益率(组合得期望收益率)。 正就是因为对收益率得不确定性(风险)在决策中得关注,马柯维茨指出,任何一位投资者在追求“高收益”得同时,还希望“收益尽可能就是确定得”。决策目标应该有两个:第一,“尽可能高得收益率”;第二,“尽可能低得不确定性(风险)”。 1、1 收益与风险得度量 有关风险与收益得度量,本文用期望度量收益,用方差(或标准差)度量风险。具体得用历史数据估计期望收益率与方差——样本均值与样本方差。 假设收益率得概率分布就是恒定得,那么,实际收益率就就是来自同一概率分布得抽样样本。因而,可以用样本均值与样本方差对期望收益率与方差进行估计。 假设从时刻到得实际收益率就是,这就就是由收益率得时间序列所构成得样本,则样本均值与样本方差为: ∑=--=n i i r r n 1 22 )(11σ 1、2 证券之间得关联性协方差与相关系数 用分别表示证券A 与证券B 得收益率,则其联合分布通常表示为: 证券A 与证券B 得协方差由下式计算: 协方差反映两种证券协同变化得数量,数值大小依赖于证券收益率与自身期望收益率得偏离程度。然而,协方差得数值大小并不能完全反映证券间得关联关系。 为了对相关程度做出衡量,应将上面得偏离程度进行标准化,标准化后得协方差就就是相关系数。数学公式如下: ,
方差分析公式
方差分析公式 (2012-06-26 11:03:09) 转载▼ 标签： 分类：统计方法 杂谈 方差分析 方差分析（analysis of variance，简写为ANOV或ANOVA）可用于两个或两个以上样本均数的比较。应用时要求各样本是相互独立的随机样本；各样本来自正态分布总体且各总体方差相等。方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把全部观察值之间的总变异分为两部分或更多部分，然后再作分析。常用的设计有完全随机设计和随机区组设计的多个样本均数的比较。 一、完全随机设计的多个样本均数的比较 又称单因素方差分析。把总变异分解为组间（处理间）变异和组内变异（误差）两部分。目的是推断k个样本所分别代表的μ1，μ2，……μk是否相等，以便比较多个处理的差别有无统计学意义。其计算公式见表19-6. 表19-6 完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析公式变异来源离均差平方和SS 自由度v 均方MS F 总ΣX2-C* N-1 组间（处理组间）k-1 SS组间/v组间MS组间/MS组间 组内（误差）SS总-SS组间N-k SS组内/v组内 *C=（ΣX）2/N=Σni，k为处理组数 表19-7 F值、P值与统计结论 αF值P值统计结论 0.05 ＜F0.05（v1.V2）＞0.05 不拒绝H0，差别无统计学意义 0.05 ≥F0.05（v1.V2）≤0.05 拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义 0.01 ≥F0.01（v1.V2）≤0.01 拒绝H0，接受H1，差别有高度统计学意义 方差分析计算的统计量为F，按表19-7所示关系作判断。
例19.9 某湖水不同季节氯化物含量测量值如表19-8，问不同季节氯化物含量有无差别？ 表19-8 某湖水不同季节氯化物含量（mg/L ） X ij 春 夏 秋 冬 22.6 19.1 18.9 19.0 22.8 22.8 13.6 16.9 21.0 24.5 17.2 17.6 16.9 18.0 15.1 14.8 20.0 15.2 16.6 13.1 21.9 18.4 14.2 16.9 21.5 20.1 16.7 16.2 21.2 21.2 19.6 14.8 ΣX ij j 167.9 159.3 131.9 129.3 588.4（ΣX ） n i 8 8 8 8 32（N ） X i 20.99 19.91 16.49 16.16 ΣX 2 ijj 3548.51 3231.95 2206.27 2114.11 11100.84（ΣX 2 ） H0：湖水四个季节氯化物含量的总体均数相等，即μ1=μ2=μ3=μ4 H1：四个总体均数不等或不全相等 α=0.05 先作表19-8下半部分的基础计算。 C= （Σx ）2/N=（588.4）2/32=10819.205 SS 总=Σx2-C=11100.84-10819.205=281.635 V 总=N-1=31 V 组间=k-1=4-1=3 SS 组内=SS 总-SS 组间=281.635-141.107=140.465 V 组内=N-k=32-4=28
多个投资方案组合的
多个投资方案组合的决策 这类投资决策涉及的多个项目之间不是相互排斥的关系，它们之间可以实现任意组合，分两种情况：一是在资金总量不受限制的情况下，可按每一个项目的净现值排队，确定优先考虑的项目顺序。二是在资金总量受限制的情况下，按净现值率NPVR的大小，结合净现值进行各种组合的排队，从中选择能使净现值最大的方案。 设有A、B、C、D、E五各项目，有关部门资料如下表。 （1）投资总额不受限制; （2）投资总额受限制，分别为200、300、400、450、500、600、700、800和900万元
【解析】根据题目要求按各方案的净现值率NPVR的大小排序，并计算累计投资和累计净现值数据。其结果如下表所示。 根据表中的数据按投资组合决策原则作出决策。 【解析】 （1）投资总额不受限制或限制总额大于或等于900万元时，表5-6列出的投资组合方案最优。 （2）当投资限额是200万元时，只能上C项目,可获100万元净现值,比另一组合E+D的净现值合计52万元多。 （3）当投资限额是300万元时，最优组合为C+E，净现值为130万元，大于其它组合。 （4）当投资限额是400万元时，最优组合为C+E+D，净现值为152万元。 （5）当投资限额是500、600和700万元时，最优组合为C+A、C+A+E、C+A+E+D。 （6）当投资限额是800万元时，最优组合为C+A+E+B，净现值为290万元。 （7）当投资限额是450万元时，最优组合为C+E+D，实现的净现值比其它方案都多。 在互斥方案中选择最佳方案时，有时，使用净现值指标与内部收益率指标会得到相反的结论。例如，净现值大的方案，不一定内部报酬率大。在这种情况下，以净现值指标为评价的基准。这正如净利润多的不一定利润率高；选择最多的净现值方案符合企业的最高利益。
投资组合管理的系统方法
第一篇 ■引论
第1章 ■投资组合管理的系统方法 1.1 引言 投资组合( P o r t f o l i o)管理的目的是：按照投资者的需求，选择各种各样的证券和其他资产组成投资组合，然后管理这些投资组合，以实现投资的目标。投资者的需求往往是根据风险（r i s k）来定义的，而投资组合管理者的任务则是在承担一定风险的条件下，使投资回报率（r e t u r n）实现最大化。 投资组合管理由以下三类主要活动构成：（1）资产配置，（2）在主要资产类型间调整权重，和（3）在各资产类型内选择证券。资产配置的特征是把各种主要资产类型混合在一起，以便在风险最低的条件下，使投资获得最高的长期回报。投资组合管理者以长期投资目标为出发点，为提高回报率时常审时度势改变各主要资产类别的权重。例如，若一个经理判断在未来年份内权益的总体状况要比债券的总体状况对投资者更加有利的话,则极可能要求把投资组合的权重由债券向权益转移，而且，在同一资产类型中选择那些回报率高于平均回报率的证券，经理便能改善投资组合回报的前景。 随着时代的发展，财务、金融数据和经济数据、定量分析工具和基础的财务学理论的可利用性正在不断增长。在本章中，我们首先描述这种增长的可利用性如何使反映投资者需求的发展战略和投资技术的工作变得容易和便捷。然后我们进而讨论投资组合经理和原始投资者及其他过程参与者在执行投资组合管理各项功能的过程中是如何相互作用的。最后，作为本章的结束，我们说明金融市场两个关键的基本特征—风险与回报率的相互替换和市场有效性概念—与主要的投资组合管理活动是如何相关联的。 1.2 投资经理 现在有大量的投资管理机构给客户提供投资组合管理服务，这些客户包括个人投资者、共同基金（mutual fund）、捐赠基金、大型退休金计划、人寿保险、财产保险和银行。据估计在美国至少有1 000家这种投资管理机构,其规模大小不等：从只对少量的特殊顾客提供特定的投资组合管理服务的、由1～3个管理者组成的“小店铺”，到对广泛的顾客类型提供全方位投资组合管理服务的大型的全功能机构。这些机构在其投资分析的方法和投资组合管理的方式上存在很大的区别，表现了不同的投资风格。投资管理机构可能运用清晰的或隐含的程序，而且可能是相对加以控制的或不加控制的。其中许多机构可能只是模模糊糊的处理不确定性问题,又
相对标准方差的计算公式
标准偏差 标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) -统计学名词。一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。 目录 编辑本段公式 标准偏差公式：S = Sqrt[(∑(xi-x拨)^2) /（N-1）]公式中∑代表总和，x拨代表x的均值，^2代表二次方，Sqrt代表平方根。 例：有一组数字分别是200、50、100、200，求它们的标准偏差。 x拨= (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5 S^2 = [(200-137.5)^2+(50-137.5)^2+(100-137.5)^2+(200-137.5)^2]/(4-1) 标准偏差 S = Sqrt(S^2) STDEV基于样本估算标准偏差。标准偏差反映数值相对于平均值(mean) 的离散程度。 编辑本段语法 STDEV(number1,number2,...)
编辑本段标准差 标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，标准差(Standard Deviation)各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数，它是离差平方和平均后的方根。用σ表示。因此，标准差也是一种平均数。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A 组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.08分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。 编辑本段标准偏差与标准差的区别 标准差(Standard Deviation)各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数，它是离差平方和平均后的方根。用σ表示。因此，标准差也是一种平均数。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。
投资组合原理
投资组合原理 (2018-02-04 19:36:46) 投资者买卖股票，须要对其预期收益水平以及相应的风险程度进行考量，从而决定买卖。这个“预期收益与风险”是推动股市的根本力量。 做股票是一项风险投资，其价值与预期收益正相关，而与风险负相关，降低风险也就相对提高了价值。那么怎样降低市场上投资风险呢？“投资组合”不失为一个好方法。 由于投资股票也属于概率事件，股票有涨有跌，可看作是离散型随机变量，我们不妨借用概率统计方法，建立简单的数学模型进行分析说明。 某个投资者尽自己所能，对A股票所有的相关因素进行了分析与研究，最后估计预期收益率有三种可能： A股票 这里的预期收益率就相当于数学期望，这个数值越高，意味着预期收益越高。A股票的预期收益率（数学期望）： E(A)=0.5×35＋0.3×15＋0.2×(﹣20)=18% 对于离散型随机变量，方差或标准差表示的是数学期望的偏差。把这个离散性偏差概念引用到A股票上，方差或标准差就表示预期收益率的偏离程度，即风险程度，这个数值越大，意味着风险越大，反之则越小。A股票的方差： D(A)=0.5×(35﹣15.5)2＋0.3×(15﹣15.5)2＋0.2×(-20﹣15.5)2=436 将方差开算术平方根化成标准差（风险度）： σA=√436=20.88% 这样，如果这个投资者单单买A股票，预期收益率和风险度就分别是18%和20.88%。 与对A股票一样，这个投资者对B股票的估计如下： B股票
于是，B股票的预期收益率（数学期望）： E(B)=0.5×5＋0.3×(﹣10)＋0.2×30=5.5% B股票的方差： D(B)=0.5×(5﹣5.5)2＋0.3×(﹣10﹣5.5)2＋0.2×(30﹣5.5)2=192.25 化成标准差（风险度）： σB=√192.25=13.87% 如果他只买一只B股票，预期收益率及风险度就分别为5.5%和13.87%。 现在，如果这个投资者把资金平均分配，A股票和B股票各买一半，形成一个投资组合，这时情况会怎样呢？ 对于组合预期收益率，很容易理解，它是呈线性关系的。由于是平均投入，组合预期收益率就是两只股票预期收益率的算术平均值，即 [E(A)＋E(B)]/2=(18%＋5.5%)/2=11.75% 然而，A和B两只股票组合之后的风险度就不呈线性关系了。而要知道这个组合风险度，先要知道A和B两只股票的协方差（从直观上来看，协方差表示的是两个随机变量总体偏差的期望）： Cov(A,B)=E(A,B)﹣E(A)·E(B)=[35×0.5×5×0.5＋35×0.5×(﹣10)×0.3＋35×0.5×30×0.2]＋[15×0.3×5×0.5＋15×0.3×(﹣10)×0.3＋15×0.3×30×0.2]＋[(﹣20)×0.2×5×0.5＋(﹣20)×0.2×(﹣10)×0.3＋(﹣20)×0.2×30×0.2]﹣18×5.5=99﹣99=0 协方差为0是两个随机变量不相关的充要条件，据此可知，A与B两只股票是不相关的。其实，按照前面A和B两只股票假设的形式建模，对于任何两只股票，不管预期收益率及概率的数据怎么变动（只要每只股票各个预期收益率的概率之和为1），那么它们的协方差总是为0，也就是说都是两两不相关的。这点从直观上也很好理解的：对于A和B两只股票，随便你买入哪一只，这只的走势都不会因为你买或没买另一只而改变。由此推知，各个股票都是不相关的，不管你买不买，它们该怎样还怎样。 于是，根据两个不相关的随机变量相加后的标准差公式，即可得到A与B两只股票组合风险度： σAB=√[(a·σA)2＋(b·σB)2]