向量与解析几何相结合专题复习
向量与解析几何相结合专题复习
平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。
一：将向量及其运算的几何意义转化为平面图形的位置关系或数量关系
【例1．】已知△ABC 中，A 、B 两点的坐标分别为（－4，2）、（3，1），O 为坐标原点。已知||＝λ·||，||＝λ·||，∥
＝
（1，2）求顶点C 的坐标。
【解】如图：∵||＝λ·||，∴λ＝0
|
|>CB ∵||＝λ·||，∴A 、D 、B 三点共线，D 且λ＝0
|
|>DB ∴||CB =||DB
∴CD 是△ABC 中∠C 的角平分线。
∴A 、D 、B 三点共线∥∴O 、C 、D 三点共线,即直线CD 过原点。 ~
又∵直线CD 的方向向量为＝（1，2），∴直线CD 的斜率为2 ∴直线CD 的方程为：y ＝2x
（注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件，下面用解析几何的方法解决该题）
易得：点A （－4，2）关于直线y ＝2x 的对称点是A ’
（4,－2）， （怎样求对称点）
∵A ’
（4,－2）在直线BC 上 ∴直线BC 的方程为：3x ＋y －10＝0
由??
?=-+=01032y x x y 得C （2，4）
【解题回顾】本题根据向量共线的条件将题设中的||＝λ·||和∥转化
为三点共线，实现了向量条件向平面位置关系的转化；而由λ＝||CB =||DB ，实现了向量条件向平面图形的数量关系的转化，从而从整体上实现了由向量条件向平几及解条件的转化。 \
【例2】．已知1OF ＝（－3，0），2OF ＝（3，0），（O 为坐标原点），动点M 满足：||1MF
＋||2MF ＝10。
（1）求动点M 的轨迹C ；
（2）若点P 、O 是曲线C 上任意两点，且OP ·=0，求2
2
2
OQ OP ?的值
【解】（1）由||1MF
＋||2MF ＝10知： 动点M 到两定点F 1和F 2的距离之和为10
根据椭圆的第一定义：动点M 的轨迹为椭圆：116252
2=+y x
\
（2）∵点P 、O 是1
16252
2=+y x 上任意两点
设P(ααsin 4,cos 5)，Q(ββsin 4,cos 5)
（注意 ∵OP ·=0 得：βαβαsin sin 16cos cos 25+＝0 ①
而2
、2
2
?都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得：
2
2
2
PQ
?＝40041
【例3．】在△ABC 中，A(2，3)，B(4，6)，C(3，－1)，点D 满足：CA ·CD ＝CD ·CB （1）求点D 的轨迹方程； ~
（2）求||＋||的最小值。
解：（1）设D （x ，y ），则CA ＝（－1，4），CD ＝（x －3，y ＋1）
＝（1，7）
∵·＝·
∴（－1）·（x －3）＋4·（y ＋1）＝（x －3）·1＋（y ＋1）·7 整理得：2x ＋3y ＝0
(2)易得点A 关于直线2x ＋3y ＝0的对称点的坐标为M （－2，－3），
∴||＋||的最小值为：||＝133 ：
【注意】这里利用向量的几何意义，将问题综合为在直线2x ＋3y ＝0上找一点，使它到点A 、B 的距离之和最小，利用对称点法解决。
二：将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程。
【例4．】已知：过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）的直线l 与⊙C ：
1)3()2(22=-+-y x 相交与M 、N 两点。
（1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM ·AN 为定值；
（3）若O 为坐标原点，且OM ·ON ＝12，求k 的值。 【解】∵直线l 过点A （0，1）且方向向量为a ＝（1，k ）
∴直线l 的方程为：y ＝kx ＋1 （注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率） ！
将其代入⊙C ：1)3()2(2
2
=-+-y x ，得：07)1(4)1(2
2
=++-+x k x k ①
由题意：△＝07)1(4)]1(4[2
>?+?-+-k k 得：
37
4374+<<-k （注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点，d （2）利用切割线定理可以证明||·||＝|AT |2 =7,AT 为切线，T 为切点。 根据向量的运算：AM ·＝|AM |·|AN |·cos00 ＝7为定值。 （注意：本题也可以设出M （11,y x ）、N （22,y x ）的坐标，把、用坐标表示，由①利用韦达定理来证明） （3）设M （11,y x ），N （22,y x ），则由①得： ?????? ?+=++=+22122117144k x x k k x x 、 ∴OM ·ON ＝21x x ＋21y y ＝ 1)()1(21212 ++++x x k x x k ＝81)1(42 +++k k k ＝12?k ＝1（代入①检验符合题意） 【例5．】已知：O 为坐标原点，点F 、T 、M 、P 1满足OF =(1,0), OT =(－1，t)，FM =MT ,P 1⊥FT ,P 1∥OF 。 （1）当t 变化时，求点P 1的轨迹方程； （2）若P 2是轨迹上不同与P 1的另一点，且垂直非零实数λ，使得1=λ·2FP 求证：||1FP +||2FP =1 【解】设P 1（x ，y ），则由：FM =得M 是线段FT 的中点，得M )21 ,0( ） ∴P 1＝（－x ，21 －y ）， 又∵FT ＝OT －OF ＝（－2，t ），P 1＝（－1－x ，t －y ） ∵P 1⊥FT ∴2x ＋t(2t －y)＝0 ① ∵P 1∥OF ∴（－1－x ）·0＋（t －y ）·1＝0化简得：t ＝y ② 由①、②得：x y 42 = （注意：①这里用了参数方程的思想求轨迹方程；②也可以利用向量的几何意义，利用抛物线的定义判断轨迹为抛物线，从而求解。） （2）易知F （1，0）是抛物线x y 42 =的焦点，由1FP =λ·2FP ， 得F 、P 1、P 2三点共线，即直线P 1P 2为过焦点F 的弦 设P 1（11,y x ）、P 2（22,y x ）,直线P 1P 2的方程为：y ＝k(x －1)代入 x y 42 =得： ; 0)2(22222=++-k x k x k 则1x ·2x ＝1，1x ＋2x ＝224 2k k + ∴||1FP +||2FP ＝111+x ＋11 2+x ＝1)(2212121+++++x x x x x x ＝1 （注意：①这里利用抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离；②利用了韦达定理进行证明。） 经检验：当斜率k 不存在时，结论也成立。 【例6．】设平面内向量a 、b 满足：a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝1，点M （x ，y ）满足：x a ＋)4(2 -y 与－x a ＋互相垂直。求证平面内存在两个定点A 、B ，使得对满足条件的任意一点M 均有||||-等于定值。 【证明】：由条件得[x ＋)4(2 -y ]·（－x ＋），且·＝0 从而有： 0)4(2 2 22=-+-b y a x ，∵||＝2，||＝1 ∴0)4(42 2=-+-y x 即：1422 =-x y ， > 故所求点的轨迹为双曲线，其焦点为)5,0(±，不妨设A 、B 为两个焦点，根据双曲线的定义可得：对于两个定点A 、B ，平面内的任意一点M 均有||||-等于定值 【例7．】已知OA ＝)1,3(，（O 为坐标原点），||=1，且OA 与OB 的夹角为600，A 、 O 、B 顺时针排列，点E 、F 满足=λ，OF ＝λ1，点G 满足＝21 （1）当λ变化时，求点G 的轨迹方程； （2）求||的最小值。 【解】∵EG ＝21 ，∴点G 是EF 的中点， ∴OG ＝21(OE ＋OF )＝21(λOA ＋λ1 OB ) ∵OA 与OB 的夹角为600 ，|OA |＝2， ∴OA ·OB ＝|OA |·||OB ·cos600 ＝1 $ 设＝（00,y x ），则?????=+=+1132020 0y x y x ???==?1000y x 或???????-==212300y x （不合，舍） OG ＝)]1 ,0(),3[(21λλλ+＝))1(21,2 3( λλλ+ 设G （x ，y ），则??? ???? +==)1(2123 λλλy x 消去λ得：033442=+-xy x （2）2 ||OG ＝ )214(412222++= +λλy x ≥41×（4＋2）＝23 ∴||的最小值为26（当λ＝21 ± 时等号成立） 【例8．】如图，点F （a ，0）（a>0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为动点，且PM ·＝0，PM ＋0=PN （1）求点N 的轨迹C ； （2）过点F （a ，0）的直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于A 、B 两点，设点K （－a ， 0），与的夹角为θ，求证0<θ<2π ) 【解】（1）设点P （0，p ），M （m,0），则PM ＝（m ，－p ），＝（a ，－p ） ∵·＝0 ∴02 =+p am ∴ a p m 2 -= 设N （x ，y ），由＋=得0),(),0(=-+--p m p y x ∴???=-=+020p y m x 即? ????== p y a p x 22消去p 得：ax y 42= （2）设AB 的方程为：y ＝k(x －a)，代入 ax y 42= 0)2(222222=++-a k x k a x k ， 设A （11,y x ）、B （22,y x ），则： ???? ?=+=+22122 21)2(2a x x k k a x x ＝（1x ＋a ，1y ）＝（2x ＋a ，2y ） ·＝2121))((y y a x a x +++ ＝ )4()(12 2121ax a x x a x x -++++·（24ax ） 。 ＝ 2 222222 44)2(2k a a a k k a a a =-+++>0 KA 与的夹角为θ，KA 与不共线，则θ≠0 ∵cos θ＝>0 ∴0<θ<2π 【例9．】设平面内向量a ＝（x ，0）、b ＝（1，y ），满足： (＋3)⊥(－3) （1）求点P （x ，y ）的轨迹方程； （2）若直线l ：y ＝kx ＋m （km ≠0）与所求曲线C 交于A 、B 两点， D （0，－1）且||＝||,求m 的取值范围。 》 【解】（1）∵(＋3)⊥(－3) ∴(＋3)·(－3)＝0 ∴2－32 ＝0 ∴ 0)1(32 2=+-y x 即1322 =-y x 为所求曲线的轨迹方程。 （2）设A （11,y x ）、B （22,y x ）， 由?????=-+=132 2y x m kx y 得： 0)1(36)31(222=+---m kmx x k ① 则??? ???? -+-=-=+22 2122131)1(3316k m x x k km x x ② ∵)1,(11y x ---=，)1,(22y x ---= ∵||＝|| ∴2121)1(y x ++＝2 222)1(y x ++ 即：0))(2())((21212121=-+++-+y y y y x x x x } ∴0)2(2121=++++++m kx m kx k x x 把②代入，解得m ＝ 4132-k ③ 由①得：△＝ )1)(31(12362 222+-+m k m k ＝12(2231k m -+)>0 把③代入化简得：m m 42 ->0 m>4或m<0 又∵m ＝ 4132-k 41 -> （k ≠0） ∴0>m 41 - >或m>4为所求的m 的取值范围。 【例10．】已知点H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，点M 在直线PQ 上， 且·＝0，PM ＝－23 MQ （1）当P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹方程； （2）过点T （－1，0）作直线l 交轨迹C 与A 、B 两点，若在x 轴上垂直一点E )0,(0x ， 使||AE ＝||AB ,且与的夹角为600 ，求0x 的值 ; 【解】设M （x ，y ），由PM ＝－23得P （2,0y -）、Q （0 ,3x ） 由·＝0得： x y 42 = ∵点Q 在x 轴正半轴上，∴x>0 即所求的轨迹方程为：x y 42=（x>0）（抛物线去掉顶点） （2）设直线l ：y ＝k(x ＋1)（k ≠0），代入x y 42 =得： 0)2(22222=+-+k x k x k 设A （11,y x ）、B （22,y x ），则 ?????=-- =+14 2212221x x k k x x ① ∴线段AB 的中点坐标为（ k k k 2 ,22 2-） 线段AB 的垂直平分线方程为： k k y 1 2- =-(x －222k k -) ② | 在②中，令y ＝0，得 1220+= k x ③ (与x 轴的交点) ∵||AE ＝||AB ,且与的夹角为600 ，∴△ABE 为等边三角形 ∴点E 到直线AB 的距离为23 |AB| 而|AB|=2 2 2114k k k +?- ∴ ||12)1(32224k k k k +=- 解得： 432= k 代入③ 从而311 0= x 【例11．】在坐标平面内，设O 是坐标原点，1OF ＝)0,3(-，2OF ＝)0,3(，点A 满 足1AF ＋2AF ＝（－4，－2），点集S ＝{P|P 为平面内的点且满足条件：|PF 1|－|PF 2|=2} （1）求点A 的坐标； （2）若P 1、P 2∈S ，且1AP ∥21P P ，又点Q 满足Q P 1＝－21 ·12P P ,求点Q 的轨迹方程。 ; 【解】设A ),(00y x ，则1AF ＝),3(00y x ---，2AF ＝),3(00y x -- ∴1AF ＋2AF ＝)2,2(00y x --＝（－4，－2） ∴1,200==y x ，即A （2，1） （2）由|PF 1|－|PF 2|=2得点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线的一支 （即集合S 所表示的图形）其方程为：1 22 2 =-y x ∵P 1、P 2∈S ，∴P 1、P 2都在双曲线上。 ∵1∥21P P ，即点A 、P 1、P 2三点共线 又∵P 1＝－21 ·12P 知：Q 是线段P 1P 2的中点。 … 问题转化为：过点A 作直线交双曲线与P 1、P 2两点，求P 1P 2的中点Q 的轨迹方程。按求弦 的中点的轨迹方法可得； 04222=+--y x y x 【例12．】如图，O 为坐标原点，A 、A 1为x 轴上的定点，且＝（0,2a -），1＝（0 ,2a ）， 点B 在过A 且方向向量是（1，k ）的直线l 上，且A 1·A 1＝0，点M 在线段AB 上， 且＝2 1A MB ，当k 变化时，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线。 【解】由题意知：A （0,2a -），A 1（0,2a ），∵B A 1·A A 1＝0 ∴B A 1⊥A A 1 下面求点M 的轨迹方程： 解法一：设M （x ，y ），B （t a ,2）， ∵直线l 的方向向量为（1，k ）， ∴直线l 的斜率为k 由AM ＝21A ，得||＝2 1|A MB ，即2221|2|1|2|1t a x k a x k =-?++ ?+ 即：2 1 |2||2|t a x a x =-+ ① ∵点M 在线段AB 上， ∴22 a x a < <-，又A 、M 、B 共线， ∴ay a x t =+)2( 即： a x ay t += 22 ② 由①、②消去t 并化简得：1442 2 2=+y a x （y ≠0）即为所求轨迹方程。 当a ＝1时，表示圆（不含A 、A 1） ！ 当a>0且a ≠1时，表示椭圆（不含A 、A 1） 解法二：依题意；点M 是有向线段AB 的内分点，令λ＝2 1t ，则λ=MB AM ∴?????? ? +?=+?+-= λλλλ1122t y a a x （λ>0）消去λ得：14422 2=+y a x （y ≠0） 下同解法一。 【解题回顾】这里是典型的用参数法求轨迹方程的思想，把动点的坐标x 、y 与参数的关系分别解出，消去参数并化简得到。 【例13．】如图，抛物线2 21x y -=上有两点A （ ·＝0， 又OM ＝（0，－2）， （1）求证：∥ （2）若MA ＝－2·MB ,求AB 所在直线方程。 【解】由题意得：A （21121,x x -）、B （ 2 2 221,x x -）∵·＝0， ∴0 )(41 22121=+x x x x （021≠x x ） ∴421-=x x ＝（221,211+-x x ），＝（2 21,222+-x x ） ∵1x ·（22122+-x ）－2x ·（2 2121+-x ） ） ＝（1x －2x ）·（211x ·2x ＋2）＝0 ∴∥即：AM ∥ 【解题回顾】①本题体现了向量方法证明三点共线问题的一般方法。 ②本题的实质是课本上一道题的改编，原题为：过抛物线px y 22 =的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，与抛物线交于A 、B 两点，求证AB 必过定点（定点为AB 与x 轴的交点） （2）∵MA ＝－2·MB ∴??? ??+--=+--=)221(2221222212 1x x x x ∴ 4222222-=+-x x ∴22±=x ∴B 为)1,2(-或)1,2(--，得 22= AB k 或－22 ∴AB 的方程为：y ＝±22 x －2 \ 思考题： 1．已知直线l 过原点，其方向向量为（1,k ），抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，点A 、B 是两个定点，=(－1,0)，＝（0，8），A 1、B 1是抛物线C 上的点，直线AA 1、 BB 1与直线l 分别相交与M 、N 两点，点D 是l 上异于M 、N 的一点，且·1AA ＝0，＋1＝，＋1NA ＝，求直线l 和抛物线C 的方程。 【答案】直线方程为：x y 251+= ，抛物线方程为：x y 55 42= $ \ 2．已知F 1（－1，0），F 2（1，0），A （21 ，0），动点P 满足31PF ·＋2PF ·＝ 0（1）求动点P 的轨迹方程；（2）是否存在点P ，使PA 成为∠F 1PF 2的平分线若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由。 【答案】（1）41 22= +y x （2）不存在 : 3．直线l过点（1，0），且方向向量＝（2，－2），直线m过原点O，其方向向量为＝（1，k），且a·b＝1，中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E与直线l相交于A、B两点，点M满足MA＋MB＝，直线m过点M，椭圆E上存在一点N，与椭圆的右焦点关于直线l对称，求椭圆E的方程。 【答案】 1 9 16 9 8 2 2= +y x $ · 4．已知椭圆 1 2 2 2 2 = + b y a x （a>b>0）的右焦点为F，直线l经过点E( 0, 2 c a )，直线l的 方向向量为＝（0,1），其中c＝ 2 2b a-，A、B为椭圆上的两点，且FA＝λ·FB（λ <0），点C在l上，且∥OF。线段EF的中点为N，求证：∥ 【 ) 注意：本题是一道高考题的改编，原题为： 如图，A 、B 是过抛物线px y 22 =焦点的弦，l 为准线，E 为准线l 与x 轴的交点，BC ⊥ l 于C ，求证A 、O 、C 三点共线。 5．设向量a ＝j y i x )2(++，b ＝j y i x )2(-+，其中i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正半轴上的单位向量，若|a |＋|b |＝8 (1)求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程； (2)过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设＝＋,是否存在直线 l ，使得四边形OAPB 为矩形 【答案】1161222=+y x x y 45±= 6．已知椭圆122 2 2=+b y a x （a>b>0），与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使 得·=0(O 为原点)求椭圆的离心率e 的取值范围。 【答案】22 空间解析几何与向量代数 呼伦贝尔学院 计算机科学与技术学院 服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员： 宋宝文 柏杨白鸽 李强白坤龙 空间解析几何与向量代数 摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。 关键词：向量；向量代数；空间几何 第一部分：向量代数 第一节：向量 一.向量的概念： 向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。 表示法：有向线段a 或a 。 向量的模:向量的打小，记作|a |。 向径（矢径）：起点为原点的向量。 自由向量：与起点无关的向量。 单位向量：模为1的向量。 零向量：模为0的向量，记作.0或0 若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b ； 若向量a 与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b 规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a 的负向量， 记作-a ；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。 二.向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则： b a +b a 三角形法则： a + b b a 运算规律：交换律a + b =b +a a 与b 结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ） 三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +（a ） a b -a b b -a a 特别当b =a 时，有a -a =a （a ）=0 ； 三角不等式：|b +a |； |a -b |； 3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a 。 规定： a 与a 同向时，|a |=|a |； 总之：|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式 设r （x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得： |r | |OM| B A 对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积 向量积 第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及；及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量. 3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 __ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2 x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、 用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量， 其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||A O ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥ ，n b ⊥ ），则 异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植 于点面距离的求法）． 第七章空间解析几何与向量代数 第一节空间直角坐标系 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空 间解析几何的意义和目的。 教学重点： 1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 教学难点：空间思想的建立 教学内容： 一、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系 （三维）如图7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指 从正向x 轴以角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：轴、y 轴、轴，坐标面分别为xoy 面、yoz面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。图7－1 右手规则演示图 7－2 空间直角坐标系图图 7－3空间两点M1M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z) 的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组 一一对应起来。 注意：特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点； b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。若M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，则 M 1M 2的距离（见图7－ 3），利用直角三角形勾股定理为： d 2 222 M1M 2M1NNM 2 222 M 1 p pNNM 2 而 M 1 P x 2 x 1 PN y 2 y 1 NM 2 z 2 z 1 所以 d M 1M 2 (x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 )2 (z 2 z 1 )2 特殊地：若两点分别为 M ( x, y, z) ， o(0,0,0) d oM x 2 y 2 z 2 例 1：求证以 M 1(4,3,1) 、 M 2 (7,1,2) 、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个 等腰三角形。 2 ( 4 7) 2 (3 1) 2 (1 2) 2 14 证明 : M 1M 2 M 2M 3 2 7) 2 (2 1)2 (3 2)2 6 (5 2 4) 2 (2 3) 2 (3 1) 2 6 M 3M 1(5 由于 M 2M 3 M 3 M 1 ，原结论成立。 例 2：设 P 在 x 轴上，它到 P (0, 2 ,3) 的距离为到点 P 2 (0,1, 1) 的距离的两倍， 1 求点 P 的坐标。 解：因为 P 在 x 轴上，设 P 点坐标为 ( x,0,0) PP 1 x 2 2 PP 2 x 2 1 2 x 2 11 32 2 x 2 2 12 PP 1 2 PP 2 x 2 11 2 x 2 2 x 1 向量与解析几何相结合专题复习 平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。 一：将向量及其运算的几何意义转化为平面图形的位置关系或数量关系 【例1．】已知△ABC 中，A 、B 两点的坐标分别为（－4，2）、（3，1），O 为坐标原点。已知||＝λ·||，||＝λ·||，∥ ＝ （1，2）求顶点C 的坐标。 【解】如图：∵||＝λ·||，∴λ＝0 | |>CB ∵||＝λ·||，∴A 、D 、B 三点共线，D 且λ＝0 | |>DB ∴||CB =||DB ∴CD 是△ABC 中∠C 的角平分线。 ∴A 、D 、B 三点共线∥∴O 、C 、D 三点共线,即直线CD 过原点。 ~ 又∵直线CD 的方向向量为＝（1，2），∴直线CD 的斜率为2 ∴直线CD 的方程为：y ＝2x （注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件，下面用解析几何的方法解决该题） 易得：点A （－4，2）关于直线y ＝2x 的对称点是A ’ （4,－2）， （怎样求对称点） ∵A ’ （4,－2）在直线BC 上 ∴直线BC 的方程为：3x ＋y －10＝0 由?? ?=-+=01032y x x y 得C （2，4） 【解题回顾】本题根据向量共线的条件将题设中的||＝λ·||和∥转化 为三点共线，实现了向量条件向平面位置关系的转化；而由λ＝||CB =||DB ，实现了向量条件向平面图形的数量关系的转化，从而从整体上实现了由向量条件向平几及解条件的转化。 \ 【例2】．已知1OF ＝（－3，0），2OF ＝（3，0），（O 为坐标原点），动点M 满足：||1MF ＋||2MF ＝10。 （1）求动点M 的轨迹C ； （2）若点P 、O 是曲线C 上任意两点，且OP ·=0，求2 2 2 OQ OP ?的值 【解】（1）由||1MF ＋||2MF ＝10知： 动点M 到两定点F 1和F 2的距离之和为10 根据椭圆的第一定义：动点M 的轨迹为椭圆：116252 2=+y x \ （2）∵点P 、O 是1 16252 2=+y x 上任意两点 设P(ααsin 4,cos 5)，Q(ββsin 4,cos 5) （注意 ∵OP ·=0 得：βαβαsin sin 16cos cos 25+＝0 ① 而2 、2 2 ?都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得： 2 2 2 PQ ?＝40041 【例3．】在△ABC 中，A(2，3)，B(4，6)，C(3，－1)，点D 满足：CA ·CD ＝CD ·CB （1）求点D 的轨迹方程； ~ 第四节 空间直线及其方程 习题 7-4 1. 求过点(1,1,2)?且与平面20x y z +?=垂直的直线方程. 解 取已知平面的法向量(1,2,1)=?n 为所求直线的方向向量, 则直线的对称式方程为 112 .121 x y z ?+?==? 2. 求过点(1,3,2)??且平行两平面35202340x y z x y z ?++=+?+=及的直 线的方程. 解 因为两平面的法向量12(3,1,5)(1,2,3)=?=?n n 与不平行, 所以两平面相交 于一直线, 此直线的方向向量为 1231 5(7,14,7)7(1,2,1),1 2 3 =×=?=?=??i j k s n n 故可取所求直线的方向向量为(1,2,1)?, 由题设, 所求的直线方程为 132 .121 x y z ++?==? 3. 用点向式方程及参数方程表示直线 10 2340 x y z x y z +++=?? ?++=?. 解 先在直线上找一点. 令1x =, 解方程组2, 36,y z y z +=????=? 得0,2y z ==?, 故(1,0,2)?是直线上一点. 再求直线的方向向量s . 交于已知直线的两平面的法向量为: 12(1,1,1),(2,1,3)==?n n , 12,,⊥⊥s n s n ∵ 121 11(4,1,3),213 ∴=×==???i j k s n n 故所给直线的点向式方程为 12 ,413x y z ?+==?? 参数方程为 14,,23.x t y t z t =+?? =???=??? 4. 求过点(2,0,3)?且与直线2470, 35210x y z x y z ?+?=?? +?+=? 垂直的平面方程. 解 要求所求平面垂直于直线, 所以直线的方向向量为所求平面的法向量, 取 1212 4(16,14,11),3 5 2 ==×=?=??i j k n s n n 由点法式可得 16(2)14(0)11(3)0,x y z ??+?++= 即161411650x y z ???=为所求的平面方程. 5. 求过点(3,1,2)?且通过直线 43521 x y z ?+==的平面的方程. 解 法1 所求平面过点0(3,1,2)M ?及1(4,3,0)M ?, 设其法向量为n , 则01,M M ⊥⊥ n n s , 其中(5,2,1)=s . 取01(1,4,2)(5,2,1)(8,9,22)M M =×=?×=?n s , 则平面方程为 8(3)9(1)22(2)0,x y z ??+?++= 即8922590x y z ???=. 法2 直线L 的交面式方程为25230, 230,x y y z ??=???+=? 过L 的平面束方程为 (23)(2523)0.y z x y λ?++??= 点(3,1,2)?在平面上, 因此(143)(6523)0λ+++??=, 解得4 11 λ=, 因此平面的方程为 第七章 空间解析几何与向量代数习题 (一)选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ; A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ ） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ） A ）5焦耳 B ）10焦耳 C ）3焦耳 D ）9焦耳 6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 21 3+=-=z y x 的距离是：（ ） A ）138 B 118 C ）158 D ）1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ? 是：（ ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k 9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ） A ） 3 62 B ） 3 64 C ）3 2 D ）3 10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4 2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么 a a a 0= 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ， 使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用 a 和 b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行 四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141: 1+= +=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±= C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22 222x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. 222()a b a b =? B. 222()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?= 11．直线1l 的方程为0 3130290 x y z x y z ++=?? --=?，直线2l 的方程为 空间解析几何与向量代 数 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //，则 B （A ）、x= y=6 (B)、x= y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2．平面x -2z = 0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{04404=--=--y x z x （D ）?? ???==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 （A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3 0 1)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解 所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x 7y 5z 40 2. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为 第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ） A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r 求a b ?r r 是：（ D ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ） A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x ． 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）； A -+a b =a b ； B =a b ； C 0?a b =； D ?a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b 12、已知()()2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a =（ D ）； A 5 3； B 5； C 3； 56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一 实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0 用向量方法求空间角和距离 前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角 a l ⊥，在β内 b l ⊥，其方向如图，则二 方法一：在α内 平面角α=arccos |||| a b a b 面角l αβ--的 方法二：设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角 α=12 12arccos |||| n n n n 2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 方法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别为异面直 线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥， n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离 || |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植于点面距离的求法）． 例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是 棱1111,A D A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离 记异面直线1DE FC 与所成的角为α， 解：（Ⅰ） 则α 等于向量 1 DE FC 与的夹角或其补角， 1 1 ||||111111cos || ()() ||||||DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC α∴=++= 解析几何与向量的结合问题专题 1.教学目标 1.1熟练掌握平面向量的三角形与平行四边形法则、数量积的相关概念以及它与解析几何的结合应用 2.2通过对解析几何中，与向量的结合问题，渗透从特殊到一般的思想、数形结合思想、空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力以及运算求解能力； 3.3提高学生分析问题、自主探究和解决问题的能力，提升学生数学的核心素养。 2.教学重点、难点 2.1重点：利用数学基础知识与基本技能探究解析几何问题，并培养学生分析问题以及解决问题的能力； 2.2难点：如何找到解决解析几何问题的知识与能力的平衡点，并探寻合理的解决方法，进而培养学生的逻辑思维能力。 3.教学过程 喜欢学习解析几何问题的学生很多，喜欢动脑，非常好的事。但遇到解析几何问题，得分率又不高，细化汇总来看，在一些问题上还有待提高，其中错误率较高的问题都反映在什么地方呢？今天我们就一起来探讨一下。 试卷上刚做过得一题： 例1：已知双曲线C ：),0,0(12 2 >>=-n m n y m x 21,F F 是双曲线C 的左、右焦点，直线l 与 双曲线C 交于A,B 两点，E 是A 关于y 轴的对称点。若1,1m n ==，(1,0)A -，直线l 与坐 标轴不垂直，点M 为直线BE 与y 轴的交点，且满足3ME EB =u u u r u u u r ，求直线l 的斜率； 3.1学生分析题目 站在学生角度分析： （1）学生看到32 ME EB =u u u r u u u r ，两个动M B 和， 无法下手。 （2）学生看到32 ME EB =u u u r u u u r ，第一步表示出E 标，由(1,0)A -关于y 轴对称写出(1,0)E ， B 第二步：再求出点坐标，如何求B 点坐标呢? 设AB: (1)y k x =+，(,)B B B x y 然后我把直线AB: (1)y k x =+和双曲线方程2 2 1x y -=联立，用韦达定理 空间解析几何与向量代数 向量及其运算 目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算； 重点与难点 重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握 过程： 一、向量 既有大小又有方向的量称作向量 通常用一条有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 向量的表示方法有两种:→a、 →AB 向量的模：向量的大小叫做向量的模.向量→a、→AB的模分别记为| |→a、| |→AB. 单位向量：模等于1的向量叫做单位向量. 零向量：模等于0的向量叫做零向量,记作→0.规定：→0方向可以看作是任意的. 相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量 平行向量（亦称共线向量）：两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.记作a // b.规定：零向量与任何向量都平行. 二、向量运算 向量的加法 向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b . 当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b. 向量的减法: 设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的起点重合,此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。 →→→→→ A O OB OB O A AB- = + =, 2、向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义: 向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的模|λa|=|λ||a|,它的方向当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反. (1)结合律λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a； (2)分配律(λ+μ)a=λa+μa； λ(a+b)=λa+λb. 例1在平行四边形ABCD中,设 ?→ ? AB=a, ?→ ? AD=b. 第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//，则B （A ）、x=0.5y=6(B)、x=-0.5y=6 (C)、x=1y=-7(D)、x=-1y=-3 2．平面x-2z=0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1(Ｂ)、x+2z+3y+4=0(C)、3(x-1)-y+(y+3)=0(D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x+y-11=0,π2:3x+8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{ 4404=--=--y x z x （D ）?????==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是B 。 （A ）、L 1⊥L 2（B ）、L 1//L 2（C ）、L 1与L 2相交但不垂直。（D ）、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题 1.点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l =-4,及m=3时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1·求过点(301)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解所求平面的法线向量为n (375)所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0即3x 7y 5z 40 2.求过点(230)且以n (123)为法线向量的平面的方程 解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 (x 2)2(y 3)3z 0 即x 2y 3z 80 3·求过三点M 1(214)、M 2(132)和M 3(023)的平面的方程 解我们可以用→→3121M M M M ?作为平面的法线向量n 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M →)1 ,3 ,2(31--=M M 所以 根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 14(x 2)9(y 1)(z 4)0 即14x 9yz 150 4·求过点(413)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程 解所求直线的方向向量为s (215)所求的直线方程为 5·求过两点M 1(321)和M 2(102)的直线方程 解所求直线的方向向量为s (102)(321)(421)所求的直线方程为 六、平面向量 考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法。3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。 1、已知向量与不共线，且0||||≠=，则下列结论中正确的是 A ．向量-+与垂直 B ．向量-与垂直 C ．向量b a +与a 垂直 D ．向量b a b a -+与共线 2．已知在△ABC 中，?=?=?，则O 为△ABC 的 A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 3．在△ABC 中设a AB =，b AC =，点D 在线段BC 上，且3BD DC = ，则AD 用b a ,表 示为 。 4、已知21,e e 是两个不共线的向量，而→→→ →→ → +=-+=2121232)2 51(e e b e k e k a 与是两个共线 向量，则实数k = . 5、设→ i 、→ j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且 →→+=j i 24，→ →+=j i 43，则△OAB 的面积等于 ： A ．15 B ．10 C ．7.5 D ．5 6、已知向量OB OA OC OB OA +==--=),3,2(),1,3(，则向量OC 的坐标是 ， 将向量按逆时针方向旋转90°得到向量，则向量的坐标是 . 7、已知)3,2(),1,(==k ，则下列k 值中能使△ABC 是直角三角形的值是 A ． 2 3 B ．21- C ．－5 D ．31- 8、在锐角三角形ABC 中，已知ABC ?==,1||,4||的面积为3，则=∠BAC ，?的值为 . 9、已知四点A ( – 2，1)、B (1，2)、C ( – 1，0)、D (2，1)，则向量与的位置关系是 A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法判断 10、已知向量OB OA CA OC OB 与则),sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(αα===夹角的范围 巧用平面向量解析几何问题 一：课堂教学设计： 在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。所以本节课就这一方面做一归纳。 二：教学目标：利用平面向量的加法，减法，数量积的几何意义解决解析几何问题。 三：教学方法：启发式教学 四：重点难点:把解析几何问题转化为向量问题。 五:例题解析 例1、椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 。 解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ） 21PF F ∠Θ为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?= -?-u u u r u u u u r （ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（5 53,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。 例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，M 是圆1)1(2 2=-+y x 上的一动点， +的最大值和最小值； ②求22MB MA +的最大值和最小值 分析：因为O 为AB 的中点，所以MO MB MA 2=+的最值。空间解析几何与向量代数论文
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