高中数学解析几何中的基本公式

解析几何中的基本公式

1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=

特别地：x //AB 轴， 则=AB 。 y //AB 轴， 则=AB 。 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++

则：2

221B A C C d +-=

注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++

则P 到l 的距离为：2

2

B

A C

By Ax d +++=

4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：??

?=+=0

)y ,x (F b

kx y

消y ：02

=++c bx ax ，务必注意.0>?

若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x

则：2122))(1(x x k AB -+=

5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比

为λ，

则???

????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且???????

+=+=222

121y y y x x x 变形后：y

y y y x x x x --=

λ--=

λ21

21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα

适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2

11

21tan k k k k +-=

α

若l 1与l 2的夹角为θ，则=

θtan 21211k k k k +-，]2

,0(π

∈θ

注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角=

2

π

。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

7、 （1）倾斜角α，),0(π∈α；

（2）]0[,π∈θθ→

→，，夹角b a ；

（3）直线l 与平面]20[π

∈ββα，，的夹角；

（4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2

0[π

，，其中l 1//l 2时夹角θ=0；

（5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，，

8、 直线的倾斜角α与斜率k 的关系

a) 每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。 b) 若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α。 9、 直线l 1与直线l 2的的平行与垂直

（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2? k 1=k 2

②l 1⊥l 2? k 1k 2=－1 （2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l

若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零

① l 1//l 2?

2

1

2121C C B B A A ≠

=； ② l 1⊥l 2? A 1A 2+B 1B 2=0； ③ l 1与l 2相交?

2

1

21B B A A ≠

④ l 1与l 2重合?

2

1

2121C C B B A A =

=； 注意：若A 2或B 2中含有字母，应注意讨论字母=0与≠0的情况。

10、 直线方程的五种形式

名称 方程 注意点

斜截式： y=kx+b 应分①斜率不存在 ②斜率存在

点斜式： )( x x k y y -=- （1）斜率不存在： x x =

（2）斜率存在时为

)( x x k y y -=-

两点式： 1

21

121x x x x y y y y --=

--

截距式：

1=+b

y

a x 其中l 交x 轴于)0,(a ，交y 轴于),0(

b 当直线l 在坐标轴上，截距

相等时应分：

（1）截距=0 设y=kx （2）截距=0≠a 设1=+a

y

a x 即x+y=a

一般式： 0=++C By Ax （其中A 、B 不同时为零） 10、确定圆需三个独立的条件

圆的方程 （1）标准方程： 2

2

2

)()(r b y a x =-+-， 半径圆心，----r b a ),(。 （2）一般方程：02

2

=++++F Ey Dx y x ，（)042

2

>-+F E D

,)2

,2(圆心----E

D 2

422F

E D r -+=

11、直线0=++C By Ax 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

若2

2

B

A C Bb Aa d +++=

，0相离r d

0=???=相切r d 0>???<相交r d 12、两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21

条公切线外离421??+>r r d 条公切线外切321??+=r r d

条公切线相交22121??+<<-r r d r r 条公切线内切121??-=r r d 无公切线内含??-<<210r r d

外离 外切

相交 内切 内含

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质 （一）椭圆

定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。

定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0

标准方程：122

22=+b

y a x )0(>>b a

定义域：}{a x a x ≤≤-值域：}{b y b x ≤≤- 长轴长=a 2，短轴长=2b

焦距：2c

准线方程：c

a x 2

±=

焦半径

：

)

(2

1c

a x e PF +=，

)

(2

2x c

a e PF -=，212PF a PF -=，

c a PF c a +≤≤-1等（注意涉及焦半径①用点P 坐标表示，②第一定义。

） 注意：（1）图中线段的几何特征：=11F A c a F A -=22，=21F A c a F A +=12 =11F B a F B F B F B ===122221 ，222122b a B A B A +=

=等等。顶

点与准线距离、焦点与准线距离分别与c b a ,,有关。

（2）21F PF ?中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．

将有关线段1PF 、2PF 、

2c ，有关角21PF F ∠结合起来，建立1

PF +2PF 、1

PF ?

2PF 等关系

（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：???θ

=θ

=sin cos b y a x ；

（4）注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，请补充当焦点在y 轴上时，其

相应的性质。

二、双曲线

（一）定义：Ⅰ若F 1，F 2是两定点，21212F F a PF PF <=-（a 为常数），则动点P 的轨迹是双曲线。

Ⅱ若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e （e>1），则动点P 的轨迹是双曲线。

（二）图形：

（三）性质

方程：12222=-b y a x )0,0(>>b a 122

22=-b

x a y )0,0(>>b a

定义域：}{a x a x x ≤≥或； 值域为R ； 实轴长=a 2，虚轴长=2b

焦距：2c

准线方程：c

a x 2

±=

焦半径：

)(21c a x e PF +=，)(2

2x c

a e PF -=，a PF PF 221=-；

注意：（1）图中线段的几何特征：=1AF a c BF -=2，=2AF c a BF +=1

顶点到准线的距离：c a a c a a 22+-或；焦点到准线的距离：c

a c c a c 2

2+-或 两准线间的距离=c

a 2

2

（2）若双曲线方程为12222=-b

y a x ?渐近线方程：?=-02222b y a x x a b

y ±=

若渐近线方程为x a b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22

22b

y a x

若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x

（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）

（3）特别地当?=时b a 离心率2=

e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，

此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-2

2

y x ；

（4）注意21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有

关线段1

PF 、2PF 、2

1F F 和角结合起来。

（5）完成当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质。 二、抛物线

（一）定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e （e=1）。

（二）图形：

（三）性质：方程：焦参数-->=p p px y ),0(,22；

焦点： )0,2

(

p

，通径p AB 2=； 准线： 2

p

x -=；

焦半径：,2p x CF += 过焦点弦长p x x p

x p x CD ++=+++=21212

2

注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=2

p

；焦点到准线的距离=p ；通径长=p 2

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

（2）抛物线px y 22

=上的动点可设为P ),2(2

y p

y

或

或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2=其中