第十一章 轮系

第十一章 轮系

一、学习指导与提示

工程中实际应用的齿轮机构经常以齿轮系(简称轮系)的形式出现，它用来获得大传动比、变速和换向、合成或分解运动以及距离较远的传动。轮系可分为定轴轮系和周转轮系两大类，所谓复合轮系只不过是既包含定轴轮系又包含周转轮系，或几部分周转轮系组成的复杂轮系。因此，首要的是弄清定轴轮系和周转轮系的本质属性，并掌握它们各自的传动比计算方法，在此基础上，只要注意正确区分轮系，就可以将一个复杂的复合轮系分解为若干个单一周转轮系和定轴轮系，这是学习轮系传动比计算的一个总体原则，应当牢牢把握。 本章的主要内容是：（1）轮系的应用和分类；（2）定轴轮系及其传动比；（3）周转轮系及其传动比；（4）复合轮系及其传动比；（5）特殊行星传动简介。

1．定轴轮系

一个轮系，若运动过程中，所有齿轮的几何轴线的位置都是固定不变的，则可判定该轮系为定轴轮系(亦称普通轮系)。注意：这里指的是几何轴线位置固定，并不是该轴不能转动，无论该轴是转动的，或不转动的（与机架相联），只要几何轴线位置不变，就是定轴的。

定轴轮系传动比计算公式：

()各主动轮齿数连乘积

各从动轮齿数连乘积J G J G n n i m

J G GJ →→-==1 （11.1） 上述公式包含两方面的问题：传动比GJ i 的大小，以及主从动转速 n G 、n J 之间的转向关系（即传动比的正负号），m 为外啮合齿轮对数。但需注意：

① 只有在J G →传动路线中无空间齿轮，各轮几何轴线均互相平行的情况下，公式中()m 1-才有其特定意义，可以用其来表示n G 、n J 之间的转向关系。若计算结果GJ i 为正，说明G 、J 两轮转向相同；若为负，则说明G 、J 两轮转向相反。

② J G →传动路线中有空间齿轮（如锥齿轮、蜗轮蜗杆），如图11.1所示，各轮转向只能用标注箭头法确定，()m 1-没有意义。

图11.1

2．周转轮系

轮系中至少有一齿轮的几何轴线不固定，而是绕另一轴线位置固定的齿轮回转，这样的轮系，就是周转轮系。其中几何轴线固定的齿轮称为中心轮，几何轴线不固定的齿轮称为行星轮，支持行星轮自转的构件称为转臂（又称系杆、行星架）。

最基本的周转轮系具有一个转臂，中心轮的数目不超过二个，且转臂与中心轮的几何轴线相重合，称为单一周转轮系。行星轮的数目可以多于一个。

单一周转轮系传动比计算不能直接应用定轴轮系的传动比计算公式。但若给整个周转轮系附加一个“—n H ”的公共转速，轮系中的转臂便可看作静止不动，进而转化成为一个新的定轴轮系，就可以套用定轴轮系传动比的计算公式。由此转化而成的定轴轮系便是原周转轮

系的“转化轮系”(假想轮系)，其传动比计算公式为：

()各主动轮齿数连乘积

各从动轮齿数连乘积J G J G n n n n n n i m H J H G H J H

G H GJ →→-=--==1 （11.2） 由于周转轮系的转化轮系是一个定轴轮系，故上式的齿数关系和正负号应完全按定轴轮系来处理。

应用上述公式时，务必注意概念：给整个周转轮系附加一个“—n H ”的公共转速，相当于观察者站在转臂上来观察周转轮系各构件的运动，因此H

GJ i 与GJ i 在性质上是完全不同的两类传动比，不可混淆。GJ i 是实际周转轮系中G 、J 两轮的转速之比（即绝对转速G n 、J n 之比），而H GJ i 是该周转轮系的“转化轮系”中G 、J 两轮的转速之比（即相对于转臂的相对转速H G n 、H J n 之比）。为此，绝对不可以根据H GJ i 的正负号来判定实际周转轮系中G 、J 两轮的转向关系，H GJ i 为负只表明G 、J 两轮在转化轮系中的转向相反，并不表明G 、J 两轮在周转轮系中的实际转向也一定相反(参见下面例题11.2)。

3．复合轮系

复合轮系由单一周转轮系与定轴轮系组成，也可由几个单一周转轮系组成。解复合轮系问题的首要任务是正确区分轮系，找出其中的各个单一周转轮系和定轴轮系，并分别列出它们的传动比计算公式，找出其相互联系，然后联解方程，求出待求参数。需要注意的是一个复合轮系所包含的单一周转轮系可能不止一个，定轴轮系也可能不止一个。确定一个单一周转轮系，寻找转臂、确定行星轮是解题的关键。当行星轮找到后，则支持行星轮的构件便是转臂，然后循行星轮与其他齿轮啮合的线索找到两个中心轮(有时仅有一个中心轮)，这个转臂、一个或几个行星轮、两个（或一个）中心轮以及机架所组成的便是一个单一周转轮系。但必须指出：转臂作为一个构件，在不同的轮系中，可能具有不同的几何形状，应该从功能而不是从几何形状上去判定一个构件是不是转臂。图11.2给出了几种不同几何形状转臂的例子。

（a ）

(b)

(c) (d)

图11.2

图11.2（a ）中，右边H ---'541组成的单一周转轮系，其中转臂H 具有最简单的几何形状；但左边5321---组成的另一单一周转轮系，支承行星轮2几何轴线的转臂固联于齿轮5，因此齿轮5事实上就是它的转臂。

图11.2（b ）中，H --'--'--433221组成的单一周转轮系，其转臂H 呈多折的形状。

图11.2（c ）中，H --'--3221组成的周转轮系，转臂H 呈大框架形状，且与齿轮5固联在一起。

图11.2（d ）中，H ---'--43221和H --'--5221两个单一周转轮系公用了一根转臂。

二、复习思考题

11-1 试述定轴轮系、周转轮系、行星轮系、差动轮系和混合轮系的涵义。

11-2 定轴轮系传动比的计算公式是什么？应用这个公式要注意些什么问题？轮系中从动论的转向如何确定？

11-3 何谓周转轮系的转化机构？为什么可以通过转化机构来计算周转轮系中各构件之

间的传动比？1ω、K ω、H ω、和H 1ω、H K ω、

H H ω有何不同？GJ i 和H GJ i 有什么不同？单一周转轮系传动比的计算公式是什么？应用这个公式要注意些什么问题？

11-4 为什么周转轮系从动轮的转向除与外啮合齿轮对数、布局等有关外还与各轮的齿数有关？

11-5 如何求解混合轮系的传动比？

11-6 什么是惰轮？它在轮系中起什么作用?

11-7 在空间齿轮所组成的周转轮系中，能否用转化机构法求传动比？它需要什么条件? 11-8 在差动轮系中，若已知两个基本构件的转向，如何确定第三个基本构件的转向? 11-9计算混合轮系传动比的基本思路是什么？能否通过给整个轮系加上一个公共角速度(－H ω)的方法来计算整个轮系的传动比？为什么?

11-10轮系中，什么是同心条件?

三、例题精选与解答

例11.1图示轮系，已知：z l ＝60，z 2＝48，2'z ＝80，z 3＝120，3'z ＝60，z 4=40； 蜗杆4'z ＝2 (右旋)，蜗轮z 5＝80，齿轮5'z ＝65，模数m ＝5 mm 。主动轮1的转速n 1=240r ／min ，转向如图所示。试求齿条6的移动速度v 6的大小和方向？

例11.1图 例11.2图

解：这是一个由圆柱齿轮、锥齿轮、蜗杆蜗轮、齿轮齿条所组成的轮系。由图中可以看出，在该轮系的运动过程中，所有齿轮几何轴线的位置都是固定不变的，因此，这是一个定轴轮系。

为了求出齿条6的移动速度v 6的大小，首先需要求出齿轮5'的转速5'n 。为此，应先计算传动比15i 的大小。由公式（11.1）可得

322

608060804012048432154325115=??????==='''z z z z z z z z n n i 本例中，齿轮1和齿轮5的几何轴线不平行，故计算结果不应加“十”、“一”号。求出15i 后，即可求出5'n ：

min r/5.732

24015155===='i n n n 齿条6的移动速度v 6等于齿轮5'分度圆线速度，所以：

mm/s 6.127605

.7655606055556=???==='

''

'πππn mz n d v

由于该轮系中含有锥齿轮、蜗杆蜗轮等空间齿轮，各轮轴线不都互相平行，所以各轮转向必须用画箭头的方法来判断。判断结果如图中所示，由此可知，齿条6的运动方向向上。

例11.2 图示的轮系，设已知z l ＝20，z 2＝24，2'z ＝40，z 3＝50；n 1=200r/nin ，n 3=100r/nin ，且转向相同。试求n H 的大小和方向？

解：齿轮2、2'绕H 杆自转，又随H 杆作公转，因此是行星轮；H 杆支承行星轮的几何轴线，应是转臂；与行星轮啮合的齿轮1、3的几何轴线是固定的，应是中心轮；转臂与中心轮的几何轴线重合。所以本例为单一周转轮系，根据转化轮系求单一周转轮系传动比公式（7 .2）可得：

2

34020502421323113-=??-=-=--='z z z z n n n n i H H H 注意：因为31→传动路线中有空间齿轮，所以H i 13的正负号不能依靠()m 1-来判定，只

能画箭头来决定。如图中箭头所示，可知转化轮系中1、3轮的转向是相反的，由于1、3轮的几何轴线是平行的，所以上式仍可添“－”号。需要注意的是实际轮系中1、3轮的转向是相同的（由已知条件决定），所以不能把转化轮系中1、3轮的正负号误认为是实际轮系中1、3轮的转向关系。

将n 1、n 3已知数代入，可得：

2

3100200-=--H H n n r/min 140=H n ，方向与n 1（或n 3）相同

本例给定的已知条件n 1、n 3 是同向的，所以上式的n 1、n 3可均以正值代入，如n 1、n 3不同向，则应以一正一负代入。

还需指出，公式(11.2)绝对不能用于轴线不平行的两个齿轮之间。例如对于本题，由于行星轮2的角速度矢量与系杆H 的角速度矢量不平行，所以不能用代数和的办法得到

H n n -2，因此也就不能应用公式（11.2）

。若需求行星轮2的绝对转速n 2，只能依靠理论力学点的速度合成原理求得。

例11.3 例11.3(a)图所示为一电动卷扬机的减速器运动简图，设已知各轮齿数，试求其传动比 15i 。

例11.3图

解： 1）区分轮系

由双联行星轮2-2'、转臂5(它同时又是鼓轮和内齿轮5)及两个中心轮1、3组成单一周转轮系(图b)；由齿轮543--'组成定轴轮系(图c)；所以本例属于复合轮系。

2）列出各基本轮系的传动比计算式

21325

3515351513'-=--==z z z z n n n n i i i （1） 3543545353'

'''-=-==z z z z z z n n i ，（其中z 4为惰轮） （2） 3）联解方程

由（2）式得：3553'

'-=z z n n ，则35533''-==z z n n n 代入（1）式，得

24.281)18

781(212478331)1(3521325115=++??=++==

''z z z z z z n n i 例11.4 在图示的轮系中，已知各轮的齿数z 1=2(右旋)，z 2=60，z 4＝40，z 5=20，z 6＝40；齿轮3、4、5、6均为标准安装的标准齿轮，且各齿轮的模数相同。当轮1以n 1＝900 r ／min 按图示方向转动时，求轮6转速n 6的大小和方向。

例11.4图

解： 1） 区分轮系

定轴轮系：1-2；

单一周转轮系：6-5-4-3-2，蜗轮2兼作转臂。

2）列出各基本轮系的传动比计算式

30260122112====

z z n n i （1） 4

6353663z z z z n n n n i H H H -=--= （2） 3）联解方程 本例的已知条件中，未给出齿数z 3，但因为各轮均

为标准安装，且模数相同，所以中心距应3456a a =，称之

为同心条件。所以

()()43652

121z z z z -=+ 1004040204653=++=++=z z z z

由（1）式得 r/min 3030

9003012===n n ，方向如图。又轮3固定，所以03=n ， 代入（2）式得：

r/min 5.673040401002011246356=???? ????+=???? ?

?+=n z z z z n ，转向与蜗轮2相同。

例11.5 图11.2（d ）所示的轮系中，已知各轮齿数601=z ，204322===='z z z z ，1005=z 。试求传动比41i 。

解： 1）区分轮系

单一周转轮系：1-2-2′-3-4-H

单一周转轮系：1-2-2′-5-H

所以本例可看成是两个单一周转轮系组成的复合轮系。

2）列出各单一周转轮系传动比计算式

31206020203214324114-=??-=-=--=

'z z z z z z n n n n i H H H （z 3在转化轮系中为惰轮）（1） 3

520601002021525115-=??-=-=--='z z z z n n n n i H H H （2） 3）联解方程 因 05=n ，由（2）式得183n n H =

，代入（1）式，得： 318

3831411-=--n n n n 所以 413

121n n -=，5.11441-==n n i （齿轮4、1两者转向相反）

四、思考题答案

11-1定轴轮系是指：运动过程中，所有齿轮的几何轴线的位置都是固定不变的轮系。 周转轮系是指：轮系中至少有一齿轮的几何轴线不固定，而是绕另一轴线位置固定的齿轮回转的轮系。其中几何轴线固定的齿轮称为中心轮，几何轴线不固定的齿轮称为行星轮，支持行星轮自转的构件称为转臂（又称系杆、行星架）。

行星轮系是自由度F=1的一种周转轮系，差动轮系是自由度F=2的另一种周转轮系。混合轮系是指：由单一周转轮系与定轴轮系组成，也可由几个单一周转轮系组成的轮系。

11-2 定轴轮系传动比的计算公式是：

()各主动轮齿数连乘积

各从动轮齿数连乘积J G J G n n i m

J G GJ →→-==1 应用这个公式时，要注意：

① 只有在J G →传动路线中无空间齿轮，各轮几何轴线均互相平行的情况下，公式中()m 1-才有其特定意义，可以用其来表示n G 、n J 之间的转向关系。若计算结果GJ i 为正，说明G 、J 两轮转向相同；若为负，则说明G 、J 两轮转向相反。

② J G →传动路线中有空间齿轮（如锥齿轮、蜗轮蜗杆），如图11.1所示，各轮转向只能用标注箭头法确定，()m 1-没有意义。

11-3转化机构又称转化轮系，它是一种假想的轮系，是一种处理周转轮系的辅助手段。因为利用转化轮系的概念，给整个机构加上一个公共角速度(－H ω)后，周转轮系就相当于一个定轴轮系了，因此可以套用定轴轮系传动比计算公式。

1ω、K ω、H ω、和H 1ω、H K ω、H H ω，

GJ i 和H GJ i 是截然不同的两种概念。1ω、K ω、H ω是相对于机架的角速度，是绝对角速度；H 1ω、H K ω、H H ω是相对于转臂的角速度，是相对

角速度，因为转臂是在运动的。同理，GJ i 和H GJ i 也是性质不同的两种传动比。

单一周转轮系传动比的计算公式是：

()各主动轮齿数连乘积

各从动轮齿数连乘积J G J G n n n n n n i m H J H G H J H

G H GJ →→-=--==1 GJ i 是实际周转轮系中G 、J 两轮的转速之比（即绝对转速G n 、J n 之比）

，而H GJ i 是该周转轮系的“转化轮系”中G 、J 两轮的转速之比（即相对于转臂的相对转速H G n 、H

J n 之比）。为此，绝对不可以根据H GJ i 的正负号来判定实际周转轮系中G 、J 两轮的转向关系，H GJ i 为负只表明G 、J 两轮在转化轮系中的转向相反，并不表明G 、J 两轮在周转轮系中的实际转向也一定相反。

11-4 周转轮系从动轮的转向与外啮合齿轮对数、布局、各轮的齿数均有关。与外啮合齿轮对数有关的原因可以从周转轮系传动比的计算公式直接看出，是()m 1-在影响；与布局有关的原因是由于啮合位置不同，影响转向关系，请对比以下两图：

与各轮的齿数均有关的原因是由于GJ i 和H GJ i 是两类不同传动比的原因，例如：

H J H G H

GJ n n n n i --=

，当某一轮固定时（假设J 轮固定），其0=J n ，该式可改写为： G J H GJ GH z z i i -=-=11，当G J z z -1＞0，GH i 为“+”，当G J z z -1＜0，GH i 为“－”。 1-5 解复合轮系问题的首要任务是正确区分轮系，找出其中的各个单一周转轮系和定轴轮系，并分别列出它们的传动比计算公式，找出其相互联系，然后联解方程，求出待求参数。

11-6 在轮系中，只改变运动转向，而不改变传动比大小的齿轮称为惰轮，它在轮系中起换向作用。

11-7 在空间齿轮所组成的周转轮系中，不一定能用转化机构法求传动比，它只能用于轴线平行的两个齿轮之间，在轴线不平行的两个齿轮之间，不能应用转化机构法求传动比。参见例11.2题，该题中由于行星轮2的角速度矢量与系杆H 的角速度矢量不平行，所以不能用代数和的办法得到H n n -2，因此也就不能应用公式（11.2）。若需求行星轮2的绝对转速n 2，只能依靠理论力学点的速度合成原理求得。

11-8 在差动轮系中，若已知两个基本构件的转向，确定第三个基本构件转向的方法为： 先假定两个基本构件中的其中一个的转速1n 为“+”，另一个若同向，亦为“+”，反之为“－”，一起代入公式计算，若得第三个构件的转速3n 为“+”，说明第三个构件与第一个构件的转向相同，若为“－”，说明第三个构件与第一个构件的转向相反。

11-9计算混合轮系传动比的基本思路是区分轮系，寻找转臂、确定行星轮是解题的关键。当行星轮找到后，则支持行星轮的构件便是转臂，然后循行星轮与其他齿轮啮合的线索找到两个中心轮(有时仅有一个中心轮)，这个转臂、一个或几个行星轮、两个（或一个）中心轮以及机架所组成的便是一个单一周转轮系，将它从混合轮系中一个一个地区分出来，剩下的便是定轴轮系。不可以给整个轮系加上一个公共角速度(－H ω)的方法来计算整个轮系的传动比，因为加上一个公共角速度(－H ω)的方法只适用单一的周转轮系（最基本，不可再分割的周转轮系），需要转臂的转动轴线与中心轮（又称太阳轮）的轴线在一条轴线上，使中心轮不可能在转化轮系中成为行星轮。

11-10 轮系中，什么是同心条件? 需要转臂的转动轴线与中心轮（又称太阳轮）的轴线在一条轴线上

在周转轮系中，需要转臂的转动轴线与中心轮（又称太阳轮）的轴线在一条轴线上，此即同心条件，例如下图的轮1、轮2与转臂（系杆）轴线应在一条轴线上。

根据同心条件有：2132r r r '+'='，亦即：2132z z z +=