北京中考试题(解析版)
2012 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷
1．9 的相反数是
11
A．B．C．9 D．9
99
【解析】D
【点评】本题考核的是相反数，难度较小，属送分题，
本题考点：相反数. 难度系数为0.95.
2．首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012 年6 月1 日闭幕，本届京交
会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000 美元，将60 110 000 000 用科学记数法表示应为
A．6.011 109 B．60.11 109 C．6.011 1010D．0.6011 1011
【解析】C
【点评】本题是以时政为背景的一道题，考核了科学记数法的同时让学生了解我国经贸发展的影响力及相关情况，进行爱国主义教育。此类与时事政治相关的考题是全国各地
的总体命题趋势.
本题考点：科学记数法.
难度系数为：0.9
3．正十边形的每个外角等于
A．18 B．36 C．45 D．60
【解析】B
【点评】本题考核了多边形的外角和及利用外角和列方程解决相关问题.多边形的外角和是初一下的内容，可能时间久了部分学生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学
习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了，推导一下也不会花多少时
间，所以，学习数学，理解比记忆更重要.
本题考点：多边形的外角和（或多边形内角和公式），及利用公式列方程解应用题
难度系数：0.75
4．右图是某个几何体的三视图，该几何体是
A．长方体B．正方体
C．圆柱 D ．三棱柱
解析】D
点评】本题考核了基本几何体的三视图，判断简单物体的三视图，根据三视
图描述实物原型.
本题考点：立体图形的三视图
难度系数：0.8
5．班主任王老师将6 份奖品分别放在6 个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6 位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3 份是学习文具，2 份是科普读物，
1 份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是
11
1C．1 D ．
32
【解析】B
【点评】本题是以班级优秀评比奖励为背景，考核了学生对概率求解的相关知识.，同时也进行了学生关爱集体教育，是一道很不错的题目
本题考点：求概率.
难度系数：0.9
6．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分AOC，若BOD 76 ，则BOM 等于
A．38 B．104
C．142 D．144 【解析】C
【点评】本题对对顶角、角平分线的概念进行考核，用角平分线的性质解决简单问题，并结合图形分析角与角之间的关系本题考点：角与角平分线.
难度系数：0.85
7．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20 户家庭某月的用电量，如下表所示：用电量（度）
120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2
则这20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是
A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
【解析】A
【点评】本题以调查家庭单月用电量为背景，在向学生渗透参与社会活动、关心生活的基础上考核了数理统计的相关知识。
本题考点：众数、中位数.
难度系数：0.85
8．小翔在如图1 所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30 秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y 与t 的函数关
系的图象大致如图2 所示，则这个固定位置可能是图1 中的
A．点M B．点NC．点P D．点Q
解析】D
A．
点评】本题考核的立意相对较新，考核了学生的空间想象能力，结合图形理解两点之间距
离的概念，单。本题考认识两点间距离变化产生的数量关系。采取验证法和排除法求解较为
简
难度系0.4
2
9．分解因式：mn2 6mn 9m ．
解析】m(n 3)2
【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）
难度系数：0.85
2
10．若关于x的方程x2 2x m 0 有两个相等的实数根，则m的值是．
解析】1
点评】本题作为一元二次方程根的判别式的常见题型，利用一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值，依据等实根产生判别式等于零，建立方程求解。本题考点：一
元二次方程跟的判别式.
难度系数：0.8
11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE 40cm，EF 20cm，测得边DF 离地面的高度AC 1.5m ，CD 8m，则树高AB m ．5.5 【点评】本题尽管是填空题的倒数第二道题，但难度较小，很多学生在读完题后就能马上得出是相似三角形的问题，但关键是找准对应边，分析成比例线段，注意统一单位
（不过找对对应边后与单位无关）.
本题考点：相似三角形
难度系数：0.75
12．在平面直角坐标系xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点
叫做整点．已知点A 0，4 ，点B 是x 轴正半轴上的整
点，记△ AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m 3
时，点B 的横坐标的所有可能值是；当点B 的横坐标为
4n（n 为
正整数）时，m （用含n 的代数式表示．）
解析】3 或4； 6n 3
点评】本题是一道图形操作型规律探究性问题，考察观察能力和作图能力，对于此类题目首先应找出那些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。对于本题而言难点就
是，B 点的运动位置及运动特点的分析，然后采用图形操作及验证法判断符合要求
的整点个数。学生很容易发现部分整点个数变化规律，但是如何用一个统一的式子
表示出变化规律是难点.
本题考点：找规律、平面直角坐标系. 难度系数：0.4
13．计算：
1
π 3 18 2sin 45
解析】 7 2 2
【点评】 本 题综合考核了初中数学代数部分的相关计算题， 尽管题目综合的知识点很多， 但
是都不难，只要掌握了每一个知识点，解决本题应该不在话下 .本题是北京市中考
计算题中的常见题型 .本题考点：二次根式的化简、特殊角的三角函数值、零次幂 运
算、负指数幂运算 . 难度系数： 0.8
4x 3 x ，
14．解不等式组：
x 4 2x 1.
【解析】 x 5
【点评】 解 不等式（组）也是北京市中考题中计算题部分的常考题型 .本题易错点是：不等
式基本性质三的应用，不等式组解集的确定本题考点：解不等式（组） .难度系数：
0.75 a b 5a 2b 15．已知 a b ≠ 0 ，求代数式 52a 2b
2 a 2b 的值．
2 3 a 2 4b 2
解析】 1
2
点评】 本 题考核了分式的化简求值。 解决本题的关键是分式的正确化简、 将已知条件的适 当变形代入消元。本题考点：分式的化简求值。难度系数： 0.65
16．已知：如图，点 E ，A ，C 在同一条直线上， AB ∥CD ，
AB CE ，AC CD ．
求证： BC ED .
解析】 证 Δ ABC ≌ Δ CED （SAS ）
∴BC=ED
点评】 本 题是一道很简单的全等证明， 纵观近几年北京市中
考数学试卷， 每一年都有一道比较简单的几何证明题： 辅助线， 且全等的条件都很明显。 本题是解答题中几何的第 1 道题，难度较小是为 了让所有的考生在进入解答题后都有一个顺利
的开端， 避免产生畏惧心理， 这样考
试才有信心做后面较难的题目。本题考点：全等三角形的判定（ SAS ）和性质 .难度 系数： 0.9
4
17．如图， 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y 4 x 0 的图象与一次函数 y kx k 的图象
x
的交点为 A m ，2 . （ 1）求一次函数的解析式；
（ 2）设一次函数 y kx k 的图象与 y 轴交于点 B ，若P 是
x 轴上一点， 且满足 △PAB 的面积是 4，直接写出点 P
的 坐标．
解析】 y 2x 2；P 1( 1,0)， P 2 (3,0)
；，
只需证一次全等， 无需添加
点评】本题是建立在反比例函数基础上的一次函数解析式确定及与一次函数图象有关的图形面积分析和点坐标的确定
本题考点：一次函数解析式的确定、一次函数图像与坐标轴上点的确定
难度系数：0.7
18．列方程或方程组解应用题：据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2 倍少4 毫克，若一年滞尘1000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550 毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
解析】设一片国槐树叶一年的滞尘量为毫克，则一片银杏树叶一年的滞尘量为
由题意可得：解得
检验：将带入中，不等于零，则是方程的根
答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量22 毫克
点评】本题也是一道与环保紧密相关的数学题，在考核学生数学知识的同时让学生了解环境保护的知识，本题着重考核了学生应用适当的数学模型解决实际问题的能力。本
题考点：列分式方程解应用题难度系数：0.55
19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC ，BD交于点E，
BAC 90 ，CED 45 ，DCE 30 ，DE 2 ，
BE 2 2 ．求CD 的长和四边形ABCD 的面积．
【解析】证明：过D 作DF⊥AC与F
如图∵∠ CED =45 °
∴△ ABE、△ DEF 均为等腰直角三角形
∵DE= ∴EF =DF =1 ∴ CD=2DF =2 CF=
点评】直线型几何计算，去年和今年都是以一般四边形为背景，结合特殊角三角函数、等腰直角三角形、勾股定理、图形面积求解（去年求周长）本题考点：等腰直角三
角形的性质、特殊角三角函数、勾股定理难度系数：0.55.
20．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC 于点
D，过点C 作⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE．
1）求证：BE 与⊙O 相切；
2）连结AD并延长交BE于点F ，若OB 9，2
sin ABC ，求BF 的长．
3
【解析】
（1）连接OC,则OC CE,
DCO DCE 90 ,
由于BOC 为等腰三角形，则DCO DBO , 由垂径
定理，得：CD=BD,
CDE BDE 90
DE=DE
CDE BDE
则DCE DBE
DBO DBE 90
即BE 与O 相切；
（2）过D 作DG AB 于G
则ADG ABF
2
OB=9，sin ABC ,
3
OD =OB· sin ABC =6，
OG=OD· sin ODG =4 ，由勾股定理，得：DG=
2 5,
AG=9+4=13 ，ADG ABF
BF AB BF 18 36 5
BF=
【点评】本题是一道与圆相关的综合题，第⑴问是常规的切线证明，第⑵问则是可以综合相似、三角函数、勾股定理等知识解决，是考核学生综合能力的一道好题。本题
考点：圆切线的判定与性质、圆的有关性质（垂径定理）、相似（或三角函数、
勾股定理）难度系数：第⑴问：0.6；第⑵问：0.45
21．近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011 年北京市又调整修
订了 2010 至 2020 年轨道交通线网的发展规划． 以下是根据北京市轨道交通指挥中心发 布的有关数据制作的统计图表的一部分．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；
（2）按照 2011 年规划方案，预计 2020 年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米？ （3）要按时完成截至 2015年的轨道交通规划任务， 从2011 到2015 这 4年中，平均
每 年需新增运营里程多少千米？
【解析】 228； 1000；82.75
【点评】 本 题将北京市轨道交通发展规划与统计结合的一道考题， 考查了学生对图表绘制过
程的理解、阅读图表并提取有用信息的技能， 借助数据处理结果做合理推测的能力。 这是北京市这几年考核统计这部分知识的常见题型 . 本题考点：条形统计图、扇形统计图、平均数以及用样本估算总体的数学思想 . 难度系数： 0.6
22．操作与探究：
1）对数轴上的点 P 进行如下操作：先把点 P 表示的数乘以 1 ，再把所得数对应的点
3
向右平移 1 个单位，得到点 P 的对应点 P .
点 A ，B 在数轴上，对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 AB ，其中点
A ，
B 的对应点分别为 A ，B ．如图 1，若点 A 表示的数是 3，则点 A 表示的数
是；若点 B 表示的数是 2，则点 B 表示的数是；已知线段 AB 上的点 E 经过上述
操
开通时间
开通线路
运营里程
（千米） 1971 1 号线 31 1984 2 号线 23 2003 13 号线
41 八通线
19 2007
5 号线 28 2008 8 号线 5 10 号线
25 机场线
28 2009
4 号线
28 2010
房山线 22 大兴线 22 亦庄线 23 昌平线
21 15 号线
20
北京市轨道交通已开通线路 相关数据统计表（截至 2010 年底）
2
⑵∵因二次函数图象必经过 A 点
作后得到的对应点 E 与点 E 重合，则点 E 表示的数是；
2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中， 对正方形 ABCD 及其内部的每个点
进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数
a ，将得到的
点先向右平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位（ m 0，n 0 ），得到 正方形 ABCD 及其内部的点，其中点 A ，B 的对应点分别为 A ，B 。 已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 F 与 点
F 重合，求点 F 的坐标。
【解析】 0，3， 3
； F （1,4）
2
【点评】 本 题是一个探究性的直角坐标系中点的平移变换问题， 考核了学生对新知识的探究
能力。采用方程思想建立方程组求解。 本题题目较长， 理解题意是解决本题的关键。 本题考点：直角坐标系、点的平移与坐标变化、方程思想应用等。难度系数：
0.5 23
23．已知二次函数 y （t 1）x 2
2（t 2）x
2
在 x 0 和 x 2 时的函数值相等。 （ 1） 求二次函数的解析式；
（2） 若一次函数 y kx 6 的图象与二次函数的
图象都经过点 A （ 3，m ） ，求 m 和 k 的值；
（ 3） 设二次函数的图象与 x 轴交于点 B ，C （点 B
在点 C 的左侧），将二次函数的图象在点
B ，
C 间的部分（含点 B 和点 C ）向左平移
n （n 0）个单位后得到的图象记为 G ，同时将（2）中得到的直线 y kx 6向上
平移 n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象 G 有公共点时， n 的 取值范围。
解析】⑴由题意可知依二次函数图象的对称轴为 x 1 则
2 t
2
1 。
2 t 1
y 1
x 2 x 3
22
∴ m1× 3233 6 又一次函数y kx 6 的图象经过A点
∴ 3k 6 6 ，∴ k 4
⑶由题意可知，点B，C 间的部分图象的解析式
为
1
则向左平移后得到的图象 C 的解析式为y 1 x 3 n x 1 n
n 1≤ x≤ 3 n
此时平移后的直线解析式为y 4x 6 n 由图象可知，平移后的直线与图象 C 有公
共点，则两个临界的交点为n 1，0 与3 n ，0
则0 4 n 1 6 n n
2
∴≤ n≤ 6
3
【点评】本题3 问之间层层递进，前两问都比较简单，第三问重点考察直线与抛物线位置关系的深入理解，难度较大。此题的关键在于二次函数图象平移部分的端点表示及有公共点的图形部分两临界点的讨论，并将点坐标带入直线解析式即可得到n 的取值范围。本题考点：一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、函数图像的平移、图形变换过程中点的坐标分析
难度系数：第⑴问：0.7；第⑵问：0.7；第⑶问：0.45
24．在△ABC 中，BA BC，BAC ，M是AC的中点，P是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2 得到线段PQ 。
若且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，
请补全图形，并写出CDB 的度数；
想CDB 的大小（用含的代数式表示），并加以证明；
3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一
位置（不与点B，M 重合）
时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD
的范围。
2
）
在图2 中，点P 不与点B，M 重合，线
段
D ，猜
y 1 x 3 x 1 ， 1≤x≤3 1）
，请直接写出
解析】⑴，CDB 30
⑵方法四：连接PC ，AD ，易证△APD ≌△ CPD
∴ AP PC ADB CDB PAD PCD 又∵ PQ PA
∴ PQ PC ，ADC 2 CDB ，PQC PCD PAD
∴ PAD PQD PQC PQD 180
APQ ADC 360 PAD PQD 180
∴ ADC 180 APQ 180 2
∴ 2 CDB 180 2
∴ CDB 90
⑶∵ CDB 90 ，且PQ QD
∴ PAD PCQ PQC 2 CDB 180 2 ∵点P 不与点
B，M 重合
∴ BAD PAD M AD
∴ 2 180 2
∴ 45 60
浅析第24 题第 2 问
【点评】本题是一道探究性的几何综合题，把动点、动线问题有机结合在一起的图形变换性题目，重在考查图形位置观察、分析、推理及角度计算。
本题考点：等腰三角形的性质、全等三角形、三角形的外角难度系数：第⑴问：0.7；第⑵问：0.45；第⑶问：0.4
25．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给
出如下定义：
若|x1 x2|≥|y1 y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1 x2 |；若|x1 x2
| | y1 y2 |，则点P1与点P2的“非常距离”为| y1 y2|. 例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1 3| |2 5|，所以点P1 与点P2 的“非常距离”为|2 5| 3，也就是图1 中线段P1Q 与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q 与垂直于x轴的直线P2Q 的交点）。
1
1）已知点A（，0），B为y轴上的一个动点，
2
①若点A与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；
3
2）已知C 是直线y x 3 上的一个动点，
4
①如图2，点 D 的坐标是（0，1），求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的点
C 的
坐标；
②如图 3， E 是以原点 O 为圆心， 1为半径的圆上的一个动点， 求点 C 与点 E 的“非常距
离” 的最小值及相应的点 E 和点 C 的坐标。
1
解析】⑴① 0， 2 或 0 ，2 ② 1 2
最小值 1。
点评】此题是第一次在代数题目中用到了定义新运算， 题目很新颖。 知识点跨度较大。需 要
考生们有较强的阅读理解能力和图形操作与分析能力。 计算并不复杂， 关键在于 对几何图形最值问题的探讨。对“水平距、铅垂高”的对比分析应用。
本题考点：
平面直角坐标系、一次函数图像与坐标轴的交点、相似形
总评
一、试题的基本结构
整个试卷共 25个题目， 120分，分为三个部分。第一部分为选择题，共 8个题目， 32 分。第二部分为填空题，共 4 个题目， 16 分。第三部分为解答题（包括计算题，证明题、 应用题和综合题）共 13 个题目， 72 分。试卷试题难易程度分布是 5:3:2.
1、题型与题量
全卷共有三种题型， 25 个小题，其中选择题 8个，填空题 4 个，解答题 13 个。
选择题 填空题 解答题 题数
分值
题数
分值
题数
分值
8
32 4 16 13 72
2、考查的内容及分布
从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学《课程标准》所列的主要知识点，并且对初中 数学的主要内容：函数、方程与不等式、三角形、四边形、圆、统计、概率都作了重点 考查。
内容分布 数与代数 图形与空间 统计与概率
分数
59 47 13
x
8 距离为 8 此时 C 8 ， 175 7
7 7 7
3
， 4 3 3 4
8
， 5 x 0 x 0 3 ∴ x 0 ∴C
5 5
0 4 5
5
x
此时
②E 3
x 0 2 4
⑵①设 C 坐标 x 0 ，3
x 0 3 ∴当
4 0
8
，
9 ，
55
二、试题的主要特点本试卷强调了应用性，增加了探究性，注重了综合性。试题集四基（基本知识、基本技能及基本数学思想方法和基本情感）、实践、探究”于一身。
1、注重基础，突出对基础知识、基础技能及基本数学思想方法的考查，有较好的教学导向
性
试题编排从最基本的知识开始，由易到难，缓慢提高。试题的起点非常低，使学生动手很容易，这体现了对学困生的人文关怀；同时试题的设置又具较明显的梯度，综合题入口宽而易，出口高。以选择题、填空题、解答题三种题型中的大部分题目都立足于考查初中数学的核心基础知识、基本技能及隐含于其中的基本数学思想方法，在考查三基时，注意结合现实背景（如第2、5、7、8、11、18、21 题），体现对数学本质理解的考查。初中数学中常见的函数与方程（如第17 题、23 题）、数形结合（如第22、
23、25 题）、待定系数法、分类讨论题（第22 题、23 题），等数学思想方法在试卷中
得到了充分的体现。同时大部分基础性试题都源于课本，将教材中的例题、习题，通过类比、加工改造、加强或弱化条件、延伸或扩展在落实三维课程目标的同时而形成的，体现了“人人学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。”这一基本理念。
2、着眼于考查学生的基本的数学能力新课程强调对学生的评价要从知识立意向能力立意转
变，突出了以下几方面：⑴注重学生对研究性学习与探究能力的考查。有效的数学学习不能单纯地依靠模仿与记忆，而是应该通过观察、猜想、验证、推理等数学活动，形成学生自己对数学知识的理解，从而使学生的知识内化，方法获得迁移，能力得以形成（如第24、
25 题）。从特
殊到一般，再到特殊，就是要让学生从运动变化中探究不变的数学本质，再从不变的数学本质出发，寻求变化的规律，题设层层递进，一环扣一环，使学生经历了问题探究的全过程，从而考查了学生分析问题、应用数学模型解决问题的能力。
⑵注重学生对收集、处理信息能力的考查。收集、处理信息，进而解决问题是学生必备的一
种能力，是现代信息社会对公民提出的基本要求，也是今年中考数学试题的一大特点。如第
21、22 题，要求学生根据统计图表中提供的多组数据和字里行间读出有用的信息，并利用
从各种相关材料中获取的信息解决问题，较好地体现了新课程的理念，强调了培养学生在现代社会中获取和处理信息能力的要求。
⑶注重学生的动手实践能力的考查。培养学生的动手实践能力和创新意识是初中数学始终
追求的目标，如第12、25 题，有设定的操作步骤，这里既考学生的动手能力，也考查计算、归纳、猜想，关键是看学生能否对实践操作的要领、程序有较好地把握。
3、几何中《圆》、《相似形》、《四边形》、《全等形》难度变化不大《圆》考核了简单
的切线证明，和简单的计算，《相似形》没有单独考核，但在几道综合题（如第20、25 题）中都有涉及，《全等形》考核力度较大，16 题考核了全等三角形、19、24 题考核了四边形、全等三角形。
彰显新课程理念，突出新课程立意。
如第8、12、22、24、25 题，这些题考查学生自主探索、自主发展的能力和归纳、类比、概括、推理、论证等思维活动的水平。新课程的评价更注重考查学生的观察能力、实际应用能力和探索创新能力。