三视图表面积与体积计算练习--高考理科数学微型专题训练

09 三视图、表面积与体积计算

1.如图所示的几何体,其表面积为(5+)π,下部分圆柱的底面直径与该圆柱的高相等,上

部分圆锥的母线长为,则该几何体的正(主)视图的面积为().

A.4

B.6

C.8

D.10

解析?设圆柱与圆锥底面半径都为a,则圆柱高为2a.因为圆锥的母线长为,所以几何体的表面积为aπ+πa2+4πa2=(a+5a2)π=(5+)π,解得a=1,所以该几何体的正(主)视图的面积为三角形面积与正方形面积之和,为×2×+2×2=6,故选B.

答案? B

2.一个简单几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是边

长为2的等边三角形,则该几何体的体积等于.

解析?由三视图还原可知,原图形是底面边长为2和的矩形,一个侧面是正三角形且

垂直于底面的四棱锥,高为,所以该几何体的体积V=×2××=2.

答案? 2

3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为().

A.8+2π

B.16+4π

C.16+2π

D.8+4π

解析?由三视图可知,该几何体由一个正方体截去两个半圆柱而形成,则该几何体的

表面积为2×2×4-π×12×2+π×1×2×2=16+2π,故选C.

答案? C

4.在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40 cm,母线最长为80 cm,最短为50 cm,则斜截圆柱的侧面积S= cm2.

解析?如图,假设还有一个同样的斜截圆柱,拼在其上面,则构成一个圆柱,于是S=S圆柱侧=×40π×(80+50)=2600π cm2.

答案?2600π

能力1 ?能正确绘制几何体的三视图

【例1】已知三棱柱HIG-EFD的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,将该三棱柱截去三个角(如图(1)所示,A,B,C分别是△HIG三边的中点)后得到的几何体如图(2),则该几何体沿图(2)所示方向的侧(左)视图为().

(1)

(2)

解析?因为平面DEHG⊥平面EFD,所以几何体的侧(左)视图为直角梯形,直角腰在侧(左)视图的左侧,故选A.

答案? A

本题主要考查空间想象力和投影知识,借助直三棱柱,即可画出侧(左)视图.

将长方体ABCD-A1B1C1D1截去一个直三棱柱,两个三棱锥(如图(1)所示)后得到的几何体

如图(2),该几何体沿图(2)所示方向的侧(左)视图为().

(1)

(2)

解析?侧(左)视图轮廓为长方形,故选B.

答案? B

能力2 ?会通过三视图还原几何体

【例2】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积V=().

A.B.C.3 D.

解析?由三视图还原几何体,可知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥后所得的部分,其中直三棱柱的底面是直角边为2的等腰直角三角形,高为2,三棱锥的底面与棱柱的底面相同,高为1,故该几何体的体积V=V柱-V锥=,故选B.

答案? B

本题主要考查空间想象能力和体积公式.先还原出空间几何体,再利用V=V柱-V锥求体积.

如图,网格纸上正方形小格的边长为1,实线画出的是某几何体的三视图,则围成该几何

体的所有面中的最大面的面积为().

A.B.9C.D.25

解析?由三视图可知,该几何体为三棱锥,如图所示.

由题意知,AB=6,BC=3,BD=CD=3,AD=9,AC=3.因为△ABC和△ABD为同高的直角三角形,且BC

cos∠ADC=-==,所以sin∠ADC=,所以S△ACD=×9×3×=,故选C.

答案? C

能力3 ?会计算几何体的表面积

【例3】如图所示的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为().

A.24π

B.36π

C.40π

D.400π

解析?该几何体是底面为等腰三角形的直三棱柱,由图可知,底面是顶角为°的等

=2.设△ABC外接圆的半径为r,则

腰△ABC,侧棱AA1垂直底面,AC=2,AA1=2,AB=

sin °

S△ABC=AB2sin °=,得r=2.由直三棱柱的性质可知,球心到底面外接圆圆心的距离

d==.由球体的性质得R2=d2+r2=10,即外接球的表面积为40π,故选C.

答案? C

涉及球与棱柱、棱锥的切和接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.

某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为().

A.14π+24

B.12π+32

C.12π+24

D.14π+32

解析?由三视图可知该空间几何体为个圆柱和个球和1个长方体的组合体,S表=S球+S圆柱侧面+S圆柱底面+S长方体-S长方体的一个底面-S圆柱底面

=×4π×22+×2π×2×2+×π×22+4×2+2×(2×2+2×4)-×π×22=12π+32,故选B.

答案? B

能力4 ?会计算几何体的体积

【例4】如图所示的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为().

A.2

B.4

C.

D.

解析?由三视图可知几何体为直三棱柱,直观图如图所示.

其中底面为直角三角形,AD=2,AF=,高AB=2.

∴该几何体的体积V=×2××2=2,

故选A.

答案? A

先还原出几何体,并抓住几何体特征,再利用体积公式求解.

已知一个四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的体积为.

解析?该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD,其中PA⊥底面ABCD,底面四边形由直角梯形ABED与直角△DCE组成,AB∥DE,AB⊥BC,AB=1,DE=2,BE=EC=1,PA=2.

∴Ｓ底面ABCD=×1+×2×1=,∴V=××2=.

答案?

一、选择题

1.如图所示的是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为().

A. B.2 C.6 D.

解析?如图,该几何体还原后是一个底面为直角三角形的三棱锥

S-ABD,V S-ABD=×2×2××2=,故选A.

答案? A

2.如图所示的是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为().

A. B.4 C. D.

解析?如图,该几何体还原后是一个底面为矩形的四棱锥A1-ABC1D1.

连接A1D交AD1于点O,因为A1D⊥AD1,A1D⊥AB,所以A1D⊥平面ABC1D1,

所以四棱锥的高H为A1O,AB=2,BC1=2,A1O=,

所以

=2×2××=, 故选C.

-

答案? C

3.如图所示的是一个空间几何体的三视图,则该几何体的最长棱长为().

A. B.3 C.2 D.2

解析?如图,该几何体还原后是一个底面为直角三角形的三棱锥C1-MNC.

由图可知棱C1M最长,且C1M===3,故选B.

答案? B

4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则这个几何体的外接球体积为().

A.4π

B.4π

C.π

D.π

解析?由题得几何体还原后为四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,且PA⊥底面ABCD,PA=2.把几何体放在边长为2的正方体中,P,A,B,C,D恰好是正方体的五个顶点, 所以这个正方体的外接球和四棱锥的外接球是同一个球,

所以四棱锥的外接球半径为正方体的体对角线的一半,即,

所以几何体外接球的体积V=π×()3=4π,故答案为B.

答案? B

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积V=().

A.B.C.3 D.

解析?如图,由三视图还原几何体,可知该几何体为直三棱柱截去两个三棱锥后所得

的部分,其中直三棱柱的底面是直角边为2的等腰直角三角形,高为2,三棱锥的底面与棱柱

的底面相同,高为1,故该几何体的体积V=V柱-2V锥=,故选A.

答案? A

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为().

A.24+(-2)π

B.24

C.24+(2-2)π

D.16-2π

解析?该几何体由一个正方体挖去两个相同的圆锥而形成,由三视图可知正方体的棱

长为2,圆锥的底面圆的半径为1,母线为,所以该几何体的表面积为正方体的表面积减去

两个圆锥的底面的面积再加上两个圆锥的侧面积,因此

S=2×2×6-2π+π×1××2=24+(2-2)π,故选C.

答案? C

7.将一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图所示,则该几何体的俯视图为().

解析?由正(主)视图可以看出去掉的小长方体在正视图的左上角,从侧(左)视图可以看出去掉的小长方体在侧(左)视图的右上角,故选C.

答案? C

8.已知在四面体ABCD中,AB=CD=,AC=BD=,AD=BC=,则四面体ABCD的外接球的表面积为().

A.25π

B.50π

C.100π

D.200π

解析?此四面体可看成一个长方体的一部分,长方体的长、宽、高分别为、4、,四面体ABCD如图所示,所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线长,即

2R==,所以外接球的表面积为50π,故选B.

答案? B

二、填空题

9.如图,一个正四棱台的上底面的边长为3,下底面的边长为5,高为8,则其外接球的表面积为.

解析?如图所示,作出正四棱台的最大轴截面,由正四棱台的特征知O1C为四棱台上底

,R为球的半径.

面的外接圆半径,O2B为四棱台下底面的外接圆半径,OC=OB=R

因为上、下底面都为正方形,所以O1C=3,O2B=5,O1O2=h=8.

又O1O2+O1C2=R2,①

O2O2+O2B2=R2,②

O1O+O2O=O1O2=8,③

联立三式解得O1O=5,O2O=3,R2=34,

所以S球=4π×34=136π.

答案?136π

10.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为.

解析?由三视图知几何体的左边是半圆锥,右边是四棱锥,如图所示.

其中圆锥的底面半径为1,高为,四棱锥的底面是边长为2的正方形,高为.

所以几何体的体积为××π×12×+×22×=π+.

答案?π+

11.如图所示的是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为.

解析?该几何体为一个半球和一个正四棱锥,球的半径为3,四棱锥的底面边长为6,高为4,四棱锥的侧面为等腰三角形,侧面的斜高为5,S表=S半球+S四棱锥侧面+S圆-S正

=2π×(3)2+4×+π×(3)2-36=54π+24.

答案?54π+24

12.

如图,已知球O的面上四点A、B、C、D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=,则球O的体积等于.

解析?由题意知,△DAC,△DBC都是直角三角形,且有公共的斜边,所以DC边的中点到点B和A的距离都等于DC的一半,所以DC边的中点是球心并且半径为线段DC长的一半.因为DC==3,所以球的体积V=π×=π.

答案?π

三、解答题

13.如图所示的是一个几何体的三视图.

(1)求该几何体的表面积和体积.

(2)求该几何体的外接球与内切球的半径之比.

解析?(1)如图所示,由三视图知该几何体为正四面体

B1-ACD1,AD1=AC=CD1=B1A=B1C=B1D1=4,S表=4△=4××(4)2=32.

设等边△ACD1的中心为O,连接B1O,OC,由正四面体的特征知,B1O是正四面体的高,OC是等边三角形ACD1的外接圆的半径,所以△B1OC为直角三角形,OC=.

因为OC2+B1O2=B1C2,所以B1O=,-=××8=.

(2)正四面体的外接球即正方体的外接球,外接球的直径为正方体的体对角线,所以

R1=2.

设正四面体B1-ACD1的内切球的球心为O1,半径为R2,连接O1B1,O1A,O1C,O1D1,则

-=4

-

=4××8×Ｒ2=,解得R2=,所以=3.