倒立摆系统状态反馈控制器的设计全套设计论文
开题报告
电气工程及自动化
倒立摆系统状态反馈控制器的设计
一、综述本课题国内外研究动态，说明选题的依据和意义
倒立摆作为一个研究控制理论的实验装置，其系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性，现代控制理论的研究人员将它视为典型的研究对象，这是因为倒立摆的控制过程能有效地反映控制中的许多关键问题，问题、随动问题以及跟踪问题。并且可以不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。二十世纪九十年代以来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点。随着摆杆上端继续再铰链另外的摆杆，控制难度将不断增大。因此，多级倒立摆的高度非线性和不确定性，使其控制稳定成为控制界公认的难题。
许多新的控制理论，都通过倒立摆实验加以验证，如模糊控制、神经网络控制、拟人控制都受到倒立摆的检验。通过对倒立摆的控制，我们能用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。因此倒立摆具有重要的理论价值。该课题的研究一直受到国内外者的广泛关注，成为控制热门研究课题之一。
在国外，对倒立摆系统稳定控制的研究始于60年代，我国则从70年代中期开始研究。对倒立摆系统的研究，主要是对两个问题进行考虑。一个是如何使倒立摆起摆；另一个是如何使倒立摆稳定摆动。目前，对这两个问题的研究非常热门。很多学者已对这两个问题提出了不同的控制方法。
倒立摆起摆就是倒立摆系统从一个平衡状态转移到另一个平衡状态。在这个过程中既要起摆快速，又不能有过大的超调。倒立摆起始摆动有许多控制方法，其中最主要的是能量控制、最优控制、智能控制。目前有已有几种方法成功实现倒立摆的起摆控制，这些方法都是基于非线性理论的控制方法。
倒立摆稳定控制的研究也一样热门，且也有一定的成果。国内外专家学者根据经典控制理论与现代控制理论应用极点配置法，设计模拟控制器，先后解决了单级倒立摆与二级倒立摆的稳定控制问题。随着计算机的广泛应用，又陆续实现了数控二级倒立摆的稳定控制。目前对四级倒立摆的控制的研究也已经开始研究并取得了一定的成就。
用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，已经成为了最具有挑战性的课题
之一。国内外对倒立摆系统提出并实现多种控制方法，状态反馈控制是其中的一种。状态反馈控制实际上指系统的状态变量通过比例环节送到输入端去的反馈方式。状态反馈控制方式体现了现代控制理论的特色。状态反馈中的状态变量能较好地反映系统的内部特性，所以状态反馈控制比输出反馈控制能更好地改善系统的性能。因为状态反馈的状态变量反映的是系统内部特性，故状态变量一般很难从外部直接测量出。
对倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，成为控制理论中经久不衰的研究课题。倒立摆系统不仅具有结构简单、原理清晰、易于实现等特点，而且可以用与它有关的实验来研究控制理论中许多典型问题，这主要是因为它是一个典型的多变量系统。许多理论都可以用在这样的非线性系统，这些理论有观测器理论、状态反馈理论和滤波理论等。航天、机器人领域、军工还有一般工业过程基本上都用到了控制倒立摆系统所用到的方法，如控制火箭发射垂直度、控制机器人平衡行走和控制卫星飞行姿态等。
另一方面对系统的研究也比较有实用价值。日常生活中的一些控制问题和倒立摆控制都很相像，如我们所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题，控制空间飞行器和各类伺服云台使之稳定的问题。因此对倒立摆的稳定控制在航天、机器人领域、军工还有一般工业过程领域中都有着广泛的应用，如稳定控制卫星发射架、稳定控制海上钻井平台、控制火箭卫星姿态、控制机器人双足行走、控制飞机安全着陆和控制化工过程等都是很好的例子。
除此之外，我们可以利用倒立摆系统的非线性、多变量、不稳定等特性来描述线性控制领域中不稳定系统的稳定性和非线性控制领域中的非线性观测器、无源性控制、变结构控制、摩擦补偿、自由行走等控制思想，而且新的控制理论和控制方法也可以被我们发掘出来。相关的成果在机器人和航空航天等方面获得了广阔的应用。
二、研究的基本内容，拟解决的主要问题：
由于倒立摆系统本身的不稳定和非线性，虽然可根据工作机理或运行经验给出某种数学模型，但在控制中难免会有不精确的地方，这样就给我们在设计和调试时带来许多困难。使倒立摆能正常摆动，是我们控制的目标。
因此，本次研究的基本内容就是要解决倒立摆正常稳定摆动的问题。所用的方法就是用极点配置法和线性最优控制理论LQR算法来设计状态反馈控制器，从而对倒立摆进行有效控制。
要解决的主要问题有以下几点
（1）要知道控制对象。
（2）如何来设状态反馈控制器。
（3）要达到何种程度的控制精度。
（4）通过何种途径来验证控制是否满足设计要求。
三、研究步骤、方法及措施：
（1）以固高小车直线一级倒立摆系统为研究对象，对其进行数学建模。
（2）了解状态反馈控制的基本理论，掌握用状态反馈控制控制器的设计方法，并对具体对象用极点配置法和线性最优控制理论LQR算法来设计状态反馈控制控制器。
（3）通过应用状态反馈控制理论对对象进行状态反馈控制控制器设计之后，对其进行MATLAB仿真，并实现实时控制。
（4）通过观察仿真图形及实时控制情况，看是否满足控制要求，如果不满足则通过更该控制器中的参数再对其进行仿真，直到使得仿真结果满足设计要求为止。
四、参考文献
[1]张彬.小车倒立摆系统摆起与稳定控制研究[D].青岛大学,2009.
[2]焦灵侠.模糊控制在倒立摆系统中的应用研究[D].西安工业大学,2010.
[3]郭钊侠,方建安,苗清影.倒立摆系统及其智能控制研究[J].东华大学学
报,2003，29(2):122~125.
[4]薛安克,王俊宏,柴利等.倒立摆控制仿真与试验研究现状[D].杭州电子工业学
院智能信息与控制技术研究所,2003.
[5]赵世敏.倒立摆控制系统试验指导书[M].清华大学自动化系,2007.
[6]刘微微,张静.单级倒立摆LQR控制方法的鲁棒稳定性分析[J].黑龙江水专学报,
2010,37(2):105-108.
[7]焦灵侠,张荷芳.二级倒立摆的模糊控制研究[D].电子设计工程,2009.
[8]邢景虎,陈其工,江明.基于LQR的直线一级倒立摆最优控制系统研究[J].工业
仪表与自动化装置,2007(6):3-5.
毕业设计文献综述
电气工程及其自动化
倒立摆系统状态反馈控制器的设计
前言
倒立摆系统的控制是控制理论应用的一个典型范例。其结构简单、成本较低，便于用模拟或数字的方法进行控制。虽然其结构形式多种多样,但无论何种结构,就其本身而言,都是一个非最小相位、多变量、绝对不稳定的非线性系统。由于倒立摆系统的绝对不稳定,必须采取有效的措施稳定它。其控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途，如控制火箭发射垂直度、控制机器人平衡行走和控制卫星飞行姿态等。现代控制理论的研究人员将它视为典型的研究对象，这是因为倒立摆的控制过程能有效地反映控制中的许多关键问题，如镇定问题、随动问题以及跟踪问题。二十世纪九十年代以来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点[3]。对倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，成为控制理论中经久不衰的研究课题。倒立摆系统不仅具有结构简单、原理清晰、易于实现等特点，而且可以用与它有关的实验来研究控制理论中许多典型问题，这主要是因为它是一个典型的多变量系统。许多理论都可以用在这样的非线性系统，这些理论有观测器理论、状态反馈理论和滤波理论等。倒立摆实验模型对现代控制理论的教学来说，自然成为一个相当理想的实验模型，而且也可以作为数控技术应用的典型的对象。另一方面对系统的研究也比较有实用价值。日常生活中的一些控制问题和倒立摆控制都很相像，如我们所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题，控制空间飞行器和各类伺服云台使之稳定的问题。除此之外，我们可以利用倒立摆系统的不稳定、多变量、非线性等特性来描述线性控制领域中不稳定系统的稳定性和非线性控制领域中的变结构控制、无源性控制、自由行走、非线性观测器、摩擦补偿、非线性模型降阶等控制思想，并且不断从中发掘出新的控制理论和控制方法，相关的成果在航空航天和机器入学方面获得了广阔的应用[1]。
主题
一、对倒立摆的控制，当前有几种控制方法来实现控制。它们有线性理论控制、预测控制、变结构控制和智能控制等。
（1）线性控制理论方法
线性理论控制就是近线性化处理倒立摆系统的非线性模型，处理完后，能在系统的平衡点附近获得线性化模型，接着利用各种线性系统控制器的设计方法，获得期望的控制器。像这样的控制方法有常规PID控制、状态反馈控制、线性二次型LQR控制算法。对于模型简单、非线性较小的直线一、二级倒立摆控制时，这个方法能解决这类倒立摆的稳定性问题。而对
于模型复杂、非线性较强的三、四级以及多级倒立摆控制时，线性系统的设计方法就有很大的局限性，因此这需要用更合理、更有效的方法来设计[2]。
（2）预测控制和变结构控制方法
因为倒立摆系统是个非线性、多变量系统，这就使得它与线性控制理论之间有很大的矛盾。针对这样的非线性、多变量被控对象，人们意识到了要用有非线性特性的多变量控制去解决非线性、多变量系统，于是人们逐渐研究了变结构控制、预测控制和自适应控制。变结构控制是一种非连续控制，当控制对象由任意位置到滑动曲面上时，系统仍可保持稳定性和鲁棒性，不过系统还存在着颤抖。预测控制是一种优化控制方法，它不强调结构，强调的是实模型的功能。变结构控制、预测控制和自适应控制这三种控制在理论上可以取得比较好的控制效果，不过因为成本较高，控制方法复杂，在快速变化的系统上不容易实时实现[2]。
（3）智能控制
倒立摆系统中的智能控制方法主要有模糊控制、神经网络控制、云模型控制、遗传算法、拟人智能控制和仿人智能控制等。
由于倒立摆系统是一个多变量的不稳定系统将多变量进行简化引起了一些学者的兴趣。程逼雁等利用传统的控制理论得出各状态向量间的综合关系，利用系统的状态变量构造综合误差和综合误差变化率，从而将多个状态变量简化为和然后在此基础上，通过仿真寻优与重复试验相结合的方法，得到控制二级倒立摆所谓的“最优参数”且为了使输出量等级更为腻,采取了高精度的清晰化方法来得到多级的清晰化输出。但是该算法仅仅引入了模糊的思路，并没有将模糊理论中的模糊化与解模糊等过程真正运用于控制算法中。而刘春生等的研究正好弥补了这一缺憾，他在程逼雁等的研究基础上将和作为输人、倒立摆系统输人作为输出，设计模糊控制器，取得了良好的效果，控制结果显示，系统的、响应速度和稳态精度都明显好于前一算法。姚宏伟等使用模糊动态聚类等算法得到倒立摆系统的离散模糊动态模型进而得到该离散动态模糊模型的状态空间描述。并在此基础上，结合鲁棒稳定性原理、线性控制器的设计方法等设计模糊控制器，同时，作者还提出了一个衡量聚类有效性的函数用以确定模糊规则的数目。由于该方法的控制输出连续，从而使得系统输出相当平滑，能很好地控制倒立摆系统的行为。这些论文将模糊技术的基础理论运用于倒立摆系统的控制中，取得了较好的效果，但由于模糊控制理论先天的缺陷以及倒立摆系统控制的复杂性，这些控制算法仍可能产生多变量系统易产生的维数灾问题，难以获取有效的专家知识、难以自动生成和调整隶属函数和模糊规则、缺乏系统化的设计方法等问题。范醒哲等在这些方面进行了有益的探索，前者在研究三级倒立摆的稳定机理的基础[3]。
二级倒立摆是典型的多输入、非线性、强耦合系统。通过设计融合函数降低控制器的输入维数，用模糊控制解决多输入系统时遇到的模糊规则爆炸问题，使设计的实用模糊控制器
成为可能。融合函数的设计方法还可推广应用到一级、三级倒立摆系统中。该模糊控制器设计切实可行，能较好地控制系统，达到较好的控制效果。模糊控制具有鲁棒性和稳定性好、算法简单等特点，应用在实时性要求较高的场合，该控制方法也可应用到其他多变量、非线性系统的控制问题[4]。
对一、二级倒立摆系统的控制。
由上可知对于一、二级倒立摆系统可以使用状态反馈控制。这种方法可使倒立摆稳定摆动。根据经典控制理论与现代控制理论应用极点配置法，设计模拟控制器，国内外专家学者先后解决了单级倒立摆与二级倒立摆的稳定控制问题。随着计算机的广泛应用，又陆续实现了数控二级倒立摆的稳定控制。
控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定，并且可以承受一定的干扰，采用极点配置法设计用于直线型一级倒立摆系统的控制器。采用极点配置法设计的用于直线型一级倒立摆系统的控制器，可使统在很小的振动范围内保持平衡[7]。
利用固高倒立摆系统和计算机实现了直线一级倒立摆的实物系统的控制，给出了直线一级倒立摆稳定时和受干扰时各状态变量的响应曲线和控制量曲线，在系统受到干扰时，小车能迅速调整，使整个系统在很短的时间内恢复平衡，表明设计的LQR控制器能够对直线一级倒立摆系统进行有效的实时控制[5]。
结论
在稳定控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆系统作为一个控制装置，结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经网络等多种理论和方法，都能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性[6]。
迄今为止，人们已经利用古典控制理论、现代控制理论、智能控制理论实现了多级倒立摆系统的稳定控制。随着研究的深入，倒立摆系统在高科技领域获得了广阔的应用，倒立摆的种类也由单级发展为多种形式多级的倒立摆系统，一些新的控制方法不断出现，通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有处理非线性、多变量和绝对不稳定系统的能力[7]。
对于单级倒立摆系统，目前已有多种控制方法，可对其实现稳摆控制。典型的有线性PID 控制、常规PID控制、LQR控制、智能控制等。其中，LQR控制方法的优势在于其控制方案简
单，超调量小，且响应速度快，该方法不仅对单级倒立摆系统进行有效控制，且已经成功运用于直线双级倒立摆和双足机器人的控制[8]。
参考文献
[1]张彬.小车倒立摆系统摆起与稳定控制研究[D].青岛大学,2009.
[2]薛安克,王俊宏,柴利等.倒立摆控制仿真与试验研究现状[D].杭州电子工业学院智能信息
与控制技术研究所,2003.
[3]方建安,苗清影,郭钊侠.倒立摆系统及其智能控制研究[J].东华大学学报,2003,29(2)：
122-125.
[4]焦灵侠,张荷芳.二级倒立摆的模糊控制研究[D].电子设计工程,2009.
[5]邢景虎,陈其工,江明.基于LQR的直线一级倒立摆最优控制系统研究[J].工业仪表与自动
化装置,2007(6):3-5.
[6]赵世敏.倒立摆控制系统试验指示书[M].清华大学自动化系,2007.
[7]焦灵侠.模糊控制在倒立摆系统中的应用研究[D].西安工业大学,2010.
[8]刘微微,张静.单级倒立摆LQR控制方法的鲁棒稳定性分析[J].黑龙江水专学报,
2010,37(2):105-108.
本科毕业设计
倒立摆系统状态反馈控制器的设计
摘要
倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合的系统，经常被现代控制理论的研究人员视为典型的研究对象，这是因为倒立摆的控制过程不仅能有效地反映控制中
的许多关键问题，如镇定问题、随动问题以及跟踪问题，并且还可以不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。通过对倒立摆的控制，我们能检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。对倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，对系统的研究也比较有实用价值。
本文论述了倒立摆系统的国内外研究动态及意义。接着用牛顿力学分析法建立了一级倒立摆数学模型，用Lagrange方程建立了二级倒立摆数学模型。其次介绍了状态能控性与能观性及线性二次型最优控制的概念，分析了一级倒立摆和二级倒立摆的稳定性，分别基于现代控制理论中的极点配置理论和线性二次型最优控制理论，对一级倒立摆和二级倒立摆分别设计了状态反馈控制器。然后利用Matlab对倒立摆进行计算机辅助设计和仿真，并对固高小车一级倒立摆进行了实时控制。在倒立摆系统的仿真实验中，摆角曲线最后收敛于零位置，小车位移曲线最后恒定不变。在实时控制实验中，一级倒立摆系统运行稳定，达到了理想的控制效果。
关键词：倒立摆；极点配置；最优控制；仿真
Abstract
The inverted pendulum is a typical order instable system, with multivariable,
nonlinear, strong-coupling. It is often regarded as a typical research object by the people who research Modern control theory. This is not only because many key problems, such as calmness, robustness, follow-up sex and tracking in control can be reflected effectively in the controlling process, but also because some new control strategies and control methods can be explored continuously. The inverted pendulum can be used to test whether the new control methods have strong ability of dealing with nonlinear and instability problems. Researching the mechanism of inverted pendulum is very important in theory and practice. Researching the system also has great value in practice.
The developing trend and significance of studying the inverted pendulum system are expounded in the paper. Then the first level mathematic model of the inverted pendulum is established by the analytical method of Newton mechanics, and a double level mathematic model of the inverted pendulum is established with the Lagrange equation. Not only the conception of state controllability and state observability, but also the conception of linear quadric optimal control is introduced. And then the stabilities of the first level and double level inverted pendulum systems are analyzed. Respectively based on the theory of pole placement and the theory of linear quadric optimal control in modern control theory, the controllers for the first level and double level inverted pendulum systems are designed respectively. Then computer-aided design and simulation for inverted pendulum system are done with matlab. In the simulation experiment of controlling over the inverted pendulum system, the curve of pivot angle finally converges to zero position and the displacement curve of cart finally converges to constant. In the real object experiment, the first level inverted pendulum system ran stably and has satisfactory control effect.
Key words:inverted pendulum; pole placement; optimal control; simulation
目录
第1章绪论 (1)
1.1 本课题国内外研究动态及意义 (1)
1.2 倒立摆的控制方法 (1)
1.3 本文的主要工作 (2)
第2章倒立摆系统的数学建模 (3)
2.1 直线一级倒立摆系统的数学建模 (3)
2.1.1 摆杆的受力分析 (3)
2.1.2 小车的受力分析 (4)
2.1.3 线性化后的微分方程 (5)
2.1.4 直线一级倒立摆系统的状态空间表达式 (5)
2.2 二级倒立摆系统的数学建模 (7)
第3章倒立摆系统的极点配置的状态反馈控制器的设计 (13)
3.1 系统的状态能控性和状态能观性 (13)
3.1.1 系统的能控性判据和能观性判据 (13)
3.1.2 状态反馈和输出反馈 (14)
3.2 极点配置问题 (14)
3.2.1 单输入系统的极点配置 (14)
3.2.2 极点配置算法 (15)
3.2.3 多输入系统的极点配置 (15)
3.3 状态反馈控制器的设计 (15)
3.3.1 直线一级倒立摆系统的极点配置的状态反馈控制器的设计 (16)
3.3.2 直线二级倒立摆系统的极点配置的状态反馈控制器的设计 (17)
第4章基于线性二次型LQR算法的状态反馈控制器的设计 (20)
4.1 二次型最优控制问题 (20)
4.2 Q、R阵的选择 (21)
4.3.1 直线一级倒立摆LQR控制器的设计 (22)
4.3.2 直线二级倒立摆LQR控制器的设计 (22)
第5章倒立摆系统的仿真 (24)
5.1 直线一级倒立摆极点配置控制的仿真 (24)
5.2 直线一级倒立摆LQR控制的仿真 (25)
5.3 直线二级倒立摆极点配置控制的仿真 (26)
5.4 直线二级倒立摆LQR控制的仿真 (27)
第6章小车倒立摆系统的实时控制 (28)
6.1 系统概述 (28)
6.1.1 倒立摆本体 (28)
6.1.2 电控箱 (28)
6.1.3 控制平台 (29)
6.1.4 系统框图 (29)
6.2 一级倒立摆的实时控制 (29)
6.2.1 一级倒立摆实时控制结构 (30)
6.2.2 系统子模块介绍 (30)
6.2.3 实时控制结果 (31)
结论 (33)
致谢 ................................................................................................... 错误!未定义书签。参考文献 . (33)
第1章绪论
1.1 本课题国内外研究动态及意义
倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合的系统，经常被现代控制理论的研究人员视为典型的研究对象，而被作为研究控制理论的实验装置。这是因为倒立摆的控制过程不仅能有效地反映控制中的许多关键问题，如镇定问题、随动问题以及跟踪问题，并且还可以不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。许多新的控制理论，都通过倒立摆实验加以验证，如模糊控制、神经网络控制、拟人控制都受到倒立摆的检验。通过对倒立摆的控制，我们能用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力，因此倒立摆具有重要的理论价值。该课题的研究一直受到国内外广大学者的广泛关注，成为控制热门研究课题之一。
对倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，成为控制理论中经久不衰的研究课题。倒立摆系统不仅具有结构简单、原理清晰、易于实现等特点，而且可以用与它有关的实验来研究控制理论中许多典型问题，这主要是因为它是一个典型的多变量系统。许多理论都可以用在这样的非线性系统，这些理论有观测器理论、状态反馈理论和滤波理论等。航天、机器人领域、军工还有一般工业过程基本上都用到了控制倒立摆系统所用到的方法，如控制火箭发射垂直度、控制机器人平衡行走和控制卫星飞行姿态等。
另一方面对系统的研究也比较有实用价值。日常生活中的一些控制问题和倒立摆控制都很相像，如我们所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题，控制空间飞行器和各类伺服云台使之稳定的问题。因此对倒立摆的稳定控制在航天、机器人领域、军工还有一般工业过程领域中都有着广泛的应用，如稳定控制卫星发射架、稳定控制海上钻井平台、控制火箭卫星姿态、控制机器人双足行走、控制飞机安全着陆和控制化工过程等都是很好的例子。
除此之外，我们可以利用倒立摆系统的非线性、多变量、不稳定等特性来描述线性控制领域中不稳定系统的稳定性和非线性控制领域中的非线性观测器、无源性控制、变结构控制、摩擦补偿、自由行走等控制思想，而且新的控制理论和控制方法也可以被我们发掘出来。相关的成果在机器人和航空航天等方面获得了广阔的应用[1]。
1.2 倒立摆的控制方法
对倒立摆的控制，当前有几种控制方法来实现控制。它们有线性理论控制、预测控制、变结构控制和智能控制等。
1.线性理论控制
线性理论控制就是近线性化处理倒立摆系统的非线性模型，处理完后，能在系统的平衡点附近获得线性化模型，接着利用各种线性系统控制器的设计方法，获得期望的控制器。像这样的控制方法有常规PID控制、状态反馈控制、线性二次型LQR控制算法。对于模型简单、非线性较小的直线一、二级倒立摆控制时，这个方法能解决这类倒立摆的稳定性问题。而对于模型复杂、非线性较强的三、四级以及多级倒立摆控制时，线性系统的设计方法就有很大的局限性，因此这需要用更合理、更有效的方法来设计[2]。
2.变结构控制和预测控制
因为倒立摆系统是个非线性、多变量系统，这就使得它与线性控制理论之间有很大的矛
盾。针对这样的非线性、多变量被控对象，人们意识到了要用有非线性特性的多变量控制去解决非线性、多变量系统，于是人们逐渐研究了变结构控制、预测控制和自适应控制。变结构控制是一种非连续控制，当控制对象由任意位置到滑动曲面上时，系统仍可保持稳定性和鲁棒性，不过系统还存在着颤抖。预测控制是一种优化控制方法，它不强调结构，强调的是实模型的功能。变结构控制、预测控制和自适应控制这三种控制在理论上可以取得比较好的控制效果，不过因为成本较高，控制方法复杂，在快速变化的系统上不容易实时实现[2]。
3.智能控制
倒立摆系统中的智能控制方法主要有模糊控制、神经网络控制、云模型控制、遗传算法、拟人智能控制和仿人智能控制等。
1.3 本文的主要工作
本次设计主要是要完成对直线一级和二级倒立摆的稳定控制。
第1章是对倒立摆系统作个简单的描述，主要是论述了倒立摆系统的国内外研究动态及意义。另外也介绍了倒立摆系统的几种控制方法。
第2章是以倒立摆为控制对象，用牛顿力学分析法建立直线一级倒立摆的数学模型和用Lagrange方程建立直线二级倒立摆的数学模型，同时也简单阐述了Lagrange方程建模的一些特点。
第3章是介绍了线性系统的能控性和能观性的概念及其判据。接着分析和研究了直线一、二级倒立摆的稳定性，同时也判别了倒立摆系统的能控性和能观性。然后是基于现代控制理论中的极点配置理论分别设计了直线一级和二级倒立摆的控制器。
第4章首先介绍了线性二次型最优控制的概念，接着阐述了Q、R矩阵选择的原则，然后基于线性二次型最优控制理论，分别对一级倒立摆和二级倒立摆设计了状态反馈控制器。
第5章是对倒立摆系统的仿真。根据第三章和第四章所设计的状态反馈控制器，再代入系统进行仿真，并对仿真结果进行了分析与总结。
第6章是首先对倒立摆系统作简单的介绍，再根据第五章的仿真结果进行一级倒立摆的实物控制实验。
第2章 倒立摆系统的数学建模
在分析和设计控制系统时，首先需要做的是建立其数学模型，即描述这一系统运动规律的数学表达式，因为建模是研究系统的重要手段和前提。凡是用模型描述系统的因果关系或相互关系的过程都属于建模。
建立数学模型有两种基本方法：机理分析法和实验辨识法。机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。实验辨识法是根据系统运行和实验数据建立其数学模型。
而控制系统模型的建立也是有两种方法。一种是分析系统各个部分的机理运动规律，根据这些规律再列写出运动方程，这种方法就是分析法。一种是人为地给定某种测试信号，记录其输出响应，再用恰当的数学模型去逼近，这种方法就是实验法。
倒立摆系统适合用分析法。目前，人们对倒立摆系统的建模有牛顿力学法和Lagrange 方程法。牛顿力学分析法是把注意力集中在与系统的各个部分相互联系的力和运动以及各部分之间的相互作用，这种方法适用于一级倒立摆的建模。Lagrange 方程法是把系统看成一个整体，并用像动能、势能之类的量来描述函数，这种方法适用于二级倒立摆的建模。本章就讨论用这两种方法分别对一、二级倒立摆进行建模。
2.1 直线一级倒立摆系统的数学建模
对于小车倒立摆系统，在实际中，系统总存在着一些摩擦，如摆杆与支点之间的摩擦以及小车与导轨之间的摩擦，而这些摩擦都非常小。为了简化系统的模型，我们可以忽略这些摩擦。并假设摆杆为刚体。对小车倒立摆系统进行受力分析，其系统如图2.1所示。
图2.1 直线一级倒立摆系统
小车和摆杆是小车倒立摆系统的两个部分。这里，我们可以采用隔离的方法，对小车倒立摆系统进行受力分析。
2.1.1 摆杆的受力分析
首先把摆杆从系统中隔离出来，然后对其进行受力分析。其受力分析图如图2.2所示。在摆杆的水平方向上，由受力分析可以得到下面等式：
22
(sin )d x l m N dt θ+= （2-1）
图2.2 摆杆隔离受力分析图
再转化一下，即：
2cos sin mx ml ml N θθθθ+-=&&&&& （2-2）
在摆杆的垂直方向上，由受力分析可以得到下面等式：
22
(cos )
d l m P mg dt
θ=- （2-3） 再转化一下，即：
2sin cos ml ml P mg θθθθ--=-&&& （2-4）
在摆杆的转动方向上，设?是摆杆与垂直向上方向之间的夹角。则有θπ?=+，
cos cos θ?=-，sin sin θ?=-，故可得力矩平衡方程如下：
sin cos J Pl Nl θθθ=--&& （2-5）
2.1.2 小车的受力分析
再把小车从系统中隔离出来，对其进行受力分析。其受力分析图如图2.3所示。在小车
图2.3 小车隔离受力分析图
的水平方向上，有：
Mx bx F N +=-&&& （2-6）
这里我们不考虑小车的垂直方向的受力情况，故不作受力分析。由上述几个方程联立，可得一组非线性方程组，如下：
22cos sin sin cos sin cos mx ml ml N
ml ml P mg J Pl Nl Mx bx F N θθθθθ
θθθθθθ?+-=?--=-??
=--??+=-?&&&&&&&&&&&
&& （2-7） 式中，m ：摆杆的质量； M ：小车的质量； b ：小车的滑动摩擦系数； l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度； J ：摆杆的惯量；
θ：摆杆与垂直向下方向的夹角；
N ：小车与摆杆相互作用力的水平方向的分量； P ：小车与摆杆相互作用力的垂直方向的分量； F ：加在小车上的力； x ：小车的相对基准位移。
2.1.3 线性化后的微分方程
消去式（2-7）中的N 与P ，可得下列两个方程：
()()22cos sin sin cos bx ml ml m M x F J ml mgl mlx θθθθθθθ
?+-++=?
?++=-??&&&&&&&&&& （2-8） 式（2-8）是关于θ的非线性方程组，为了分析方便并得到解析解，我们有必要对方程组进行线性化处理。由于控制的目的是保持摆稳定于竖直位置附近，小车稳定于轨道中心位置附近，故当摆杆与垂直向上方向之间的夹角?与1(弧度)相比很小，即 1?<<，则此时我们可以对系统进行线性化处理。由于θπ?=+，可令：
sin θ?≈-，cos 1θ≈-，(
)
2
0d dt
θ
≈
我们在表达控制理论时，通常有这个习惯，就是用u 表示控制量。因此在这里，被控对象的输入力F 就用u 表示。则线性化后，得到两个线性微分方程如下：
()()2M m x bx ml u J ml mgl mlx
θθ??++-=??+-=??&&&
&&&&&& （2-9） 2.1.4 直线一级倒立摆系统的状态空间表达式
选取摆杆与垂直向上方向之间的夹角?，角速度?&，小车位移x ，小车速度x &为状态变量，
并令：
12
34X x X x X X X ??
????????????==????????
????&&
由θπ?=+得，θ?=&&，θ?=&&&&，则可将上述线性微分方程改写成如下代数方程组：
()()()()()()()()()12222223222
34423222
X X J ml b J ml m gl
X X X u J M m Mml J M m Mml J m M Mml X X mgl m M mlb ml X X X u J M m Mml J M m Mml J M m mMl ?=?
-++?=++?++++++??=??
+-?=++?++++++?
&&&& （2-10） 令系统状态空间方程：
X
AX Bu =+& （2-11） Y CX Du =+ （2-12）
则由式（2-10）代入式（2-11）和式（2-12）可得：
()()()()()()222
2
2
2
2
10
00000
100J ml b m gl J M m Mml J M m Mml A mgl m M mlb
J m M Mml J M m mMl ??
??
-+????++++?
?=????+-????++++?
?
，()()22
200J ml J M m Mml B ml J M m Mml ????+??
??++=??
??????++????
1123341000000100X X X x Y u X X X ?????
??????????===+??????
??????????
??????
故在这里直接从上式（2-13）得出矩阵C 与D ，其中
10000010C ??=????，00D ??
=????
在这里，我们以固高小车倒立摆为研究对象，假设其实际模型参数如下： 小车质量 1.096M Kg = 摆杆质量0.109m Kg =
小车的滑动摩擦系数0.1//sec b N m = 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25l m = 摆杆的惯量2
0.0034J Kgm = 采样频率0.005T s = 重力加速度2
10/g m s =
将上述数据代入系统状态空间方程，可得系统矩阵，如下：
10000.08830.64220000100.235728.39650A ????-?
?=??
?
?
-??，00.883202.3566B ??
???
?=??????
2.2 二级倒立摆系统的数学建模
由于二级倒立摆与直线一级倒立摆的结构是不同的，对二级倒立摆系统可用力学分析方法中的Lagrange 方程进行建模。这是因为Lagrange 方程有它的特点。首先它是用广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程式的数目和系统的自由度是一样的。其次，在建立运动方程式时，仅仅分析已知的主动力就行，而不用去分析未知的约束反力，这是因为理想约束反力不出现在方程组中。最后它是以能量观点建立起来的运动方程式，所以我们只需从两个方面分析就可列出系统的运动方程式。其中一个方面是系统的动能，它是表征系统的动力学量；另一个方面是广义力，它是表征主动力作用的动力学量。故用Lagrange 方程对系统进行建模不仅使概念清晰，具有一般性，还可以简化建模过程。
在这里，我们假设此二级倒立摆体为刚体，并假设无空气流动和各种摩擦，则我们可把倒立摆系统看成小车、匀质杆和质量块组成的系统。二级倒立摆的运动分析示意图如图2.4所示。
图2.4 二级倒立摆的运动分析示意图
我们令x 为小车的位移，12,θθ分别为各级摆杆偏移垂直方向的角度，0M 、1m 、2m 为小车、下摆和上摆的质量，12,l l 分别为下、上摆链接点到质心的距离，1I 、2I 为上、下摆的转动惯量，g 为重力加速度。
设Lagrange 方程：
()()(),,,L q q T q q V q q =-&&& （2-13）
则得到受到保守力作用的二级倒立摆系统的Lagrange 方程为：
i q i i
d L L
F dt q q ????-
= ?????& （2-14） 式中i q 为广义坐标，在这里为小车的位移x 和各级摆杆偏移垂直方向的角度12,θθ，i q F 为
自动控制原理课程设计——倒立摆系统控制器设计
一、引言 支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。 问题的提出 倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。 倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。 倒立摆的控制方法 倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。 本次设计中我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理论和Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及PID（比例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。
单级倒立摆系统的分析与设计
单级倒立摆系统的分析与设计 小组成员：武锦张东瀛杨姣 李邦志胡友辉 一．倒立摆系统简介 倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。 单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。 倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。 二．系统建模 1．单级倒立摆系统的物理模型 图1：单级倒立摆系统的物理模型
单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，单级倒立摆系统是一个非线性系统。 各个参数的物理意义为： M — 小车的质量 m — 倒立摆的质量 F — 作用到小车上的水平驱动力 L — 倒立摆的长度 x — 小车的位置 θ— 某一时刻摆角 整个倒立摆系统就受到重力、驱动力和摩擦阻力的三个外力的共同作用。这里，驱动力F 是由连接小车的传动装置提供，控制倒立摆的稳定实际上就是依靠控制驱动力F 使小车在水平面上做与倒立摆运动相关的特定运动。为了简化模型以利于仿真，假设小车与导轨以及摆杆与小车铰链之间的摩擦均为0。 2．单级倒立摆系统的数学模型 令小车的水平位移为x ，运动速度为v ，加速度a 。 小车的动能为212kc E Mx =，选择特定的参考平面使得小车的势能为0。 摆杆的长度为L ，某时刻摆角为θ，在摆杆上与固定连接点距离为q （0 开题报告 电气工程及自动化 倒立摆系统状态反馈控制器的设计 一、综述本课题国内外研究动态，说明选题的依据和意义 倒立摆作为一个研究控制理论的实验装置，其系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性，现代控制理论的研究人员将它视为典型的研究对象，这是因为倒立摆的控制过程能有效地反映控制中的许多关键问题，问题、随动问题以及跟踪问题。并且可以不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。二十世纪九十年代以来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点。随着摆杆上端继续再铰链另外的摆杆，控制难度将不断增大。因此，多级倒立摆的高度非线性和不确定性，使其控制稳定成为控制界公认的难题。 许多新的控制理论，都通过倒立摆实验加以验证，如模糊控制、神经网络控制、拟人控制都受到倒立摆的检验。通过对倒立摆的控制，我们能用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。因此倒立摆具有重要的理论价值。该课题的研究一直受到国内外者的广泛关注，成为控制热门研究课题之一。 在国外，对倒立摆系统稳定控制的研究始于60年代，我国则从70年代中期开始研究。对倒立摆系统的研究，主要是对两个问题进行考虑。一个是如何使倒立摆起摆；另一个是如何使倒立摆稳定摆动。目前，对这两个问题的研究非常热门。很多学者已对这两个问题提出了不同的控制方法。 倒立摆起摆就是倒立摆系统从一个平衡状态转移到另一个平衡状态。在这个过程中既要起摆快速，又不能有过大的超调。倒立摆起始摆动有许多控制方法，其中最主要的是能量控制、最优控制、智能控制。目前有已有几种方法成功实现倒立摆的起摆控制，这些方法都是基于非线性理论的控制方法。 倒立摆稳定控制的研究也一样热门，且也有一定的成果。国内外专家学者根据经典控制理论与现代控制理论应用极点配置法，设计模拟控制器，先后解决了单级倒立摆与二级倒立摆的稳定控制问题。随着计算机的广泛应用，又陆续实现了数控二级倒立摆的稳定控制。目前对四级倒立摆的控制的研究也已经开始研究并取得了一定的成就。 用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，已经成为了最具有挑战性的课题 1 引言 支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。 1.1 问题的提出 倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。 倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。 1.2 倒立摆的控制方法 倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定， 需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。 本次设计中我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理论和Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及PID（比例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。 2 直线倒立摆数学模型的建立 直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。 系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。 鉴于小车倒立摆系统是不稳定系统，实验建模存在一定的困难。因此，本文通过机理建模方法建立小车倒立摆的实际数学模型，可根据微分方程求解传递函数。 2.1 微分方程的推导（牛顿力学方法） 微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。做以下假设： M小车质量m摆杆质量 b小车摩擦系数I 摆杆惯量 河南工业大学《现代控制理论》实验报告 专业: 自动化 班级: F1203 姓名: 蔡申申 学号:201223910625完成日期：2015年1月9日 成绩评定: 一、实验题目： 状态反馈控制器设计 二、实验目的 1. 掌握状态反馈和输出反馈的概念及性质。 2. 掌握利用状态反馈进行极点配置的方法。学会用MATLAB 求解状态反馈矩阵。 3. 掌握状态观测器的设计方法。学会用MATLAB 设计状态观测器。 三、实验过程及结果 1. 已知系统 u x x ??????????+??????????--=111100020003. []x y 3333 .02667.04.0= （1）求解系统的零点、极点和传递函数，并判断系统的能控性和能观测性。 A=[-3 0 0;0 2 0;0 0 -1];B=[1;1;1];C=[0.4 0.266 0.3333]; [z p k]=ss2zp(A,B,C,0) 系统的零极点： z = 1.0017 -1.9997 p = -3 -1 2 k = 0.9993 [num den]=ss2tf(A,B,C,0) num = 0 0.9993 0.9973 -2.0018 den = 1 2 -5 -6 系统的传递函数： G1=tf(num,den) G1 = 0.9993 s^2 + 0.9973 s - 2.002 ----------------------------- s^3 + 2 s^2 - 5 s - 6 Continuous-time transfer function. Uc=ctrb(A,B); rank(Uc) ans = 3 满秩，系统是能控的。 Vo=obsv(A,C); rank(Vo) ans = 3 满秩，系统是能观的。 （2）分别选取K=[0 3 0]，K=[1 3 2]，K=[0 16 /3 –1/3]（实验中只选取其中一个K为例）为状态反馈矩阵，求解闭环系统的零点、极点和传递函数，判断闭环系统的能控性和能观测性。它们是否发生改变?为什么？ A=[-3 0 0;0 2 0;0 0 -1];B=[1;1;1];C=[0.4 0.266 0.3333];K=[0 3 0]; [z p k]=ss2zp(A-B*K,B,C,0) z = 1.0017 -1.9997 p = -3 -1 -1 k = 0.9993 [num den]=ss2tf(A-B*K,B,C,0);G2=tf(num,den) G2 = 控制系统综合设计 倒立摆控制系统 院（系、部）： 组长： 组员 班级： 指导教师： 2014年1月2日星期四 目录 摘要----------------------------------------------------------------------------------3 引言----------------------------------------------------------------------------------3 一、整体方案设计--------------------------------------------------------------3 1、需求-----------------------------------------------------------------------------3 2、目标-----------------------------------------------------------------------------3 3、概念设计----------------------------------------------------------------------3 4、整体开发方案设计---------------------------------------------------------3 5、评估----------------------------------------------------------------------------4 二、系统设计--------------------------------------------------------------------4 （一）系统设计-----------------------------------------------------------------4 1、功能分析----------------------------------------------------------------------4 2、设计规范和约束------------------------------------------------------------6 3、详细设计----------------------------------------------------------------------7 （二）机械系统设计-----------------------------------------------------------8 三、理论分析---------------------------------------------------------------------9 1、控制系统建模----------------------------------------------------------------9 2、时域和频域分析------------------------------------------------------------13 3、设计PID或其他控制器---------------------------------------------------21 四、元器件、设备选型--------------------------------------------------------30 倒立摆系统的控制器设计 摘 要 倒立摆是一种典型的非线性，多变量，强耦合，不稳定系统，许多抽象的控制概念如系统的稳定性、可控性、系统的抗干扰能力等都可以通过倒立摆直观的反应出来；倒立摆的控制思想在实际中如实验、教学、科研中也得到广泛的应用；在火箭飞行姿态的控制、人工智能、机器人站立与行走等领域有广阔的开发和利用前景。因此，对倒立摆系统的研究具有十分重要的理论和实践意义。 本文首先将直线倒立摆抽象为简单的模型以便于受力分析进行机理建模，然后通过牛顿力学原理进行分析，得出相应的模型，进行拉氏变化带入相应参数得出摆杆角度和小车位移、摆杆角度和小车加速度、摆杆角度和小车所受外界作用力、小车位移与小车所受外界作用力的传递函数，其中摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： 02()0.02725()()0.01021250.26705s G s V s s Φ==- ………… (1) 即我们在本次设计中主要分析的系统的传递函数。 然后从时域角度着手，分析直线一级倒立摆的开环单位阶跃响应和单位脉冲响应，利用Matlab 中的Simulink 仿真工具进行仿真，得出结论该系统的开环响应是发 散的。 最后分别利用根轨迹分析法，频域分析法和PID 控制法对倒立摆系统进行校正。 针对目标一：调整时间0.5(2%)s t s =误差带，最大超调量%10%≤p σ，选取参数利用根轨迹法进行校正，得出利用超前校正环节的传递函数为： 135.1547( 5.0887) ()135.1547c s G s s +=+ ………………………… (2) 针对目标二：系统的静态位置误差常数为10；相位裕量为 50 ；增益裕量等于或大于10 分贝。通过频域法得出利用超前校正环节的传递函数为： 1189.6(8.15) ()99.01c s G s s +=+ …………………………… ……………………(3) 针对目标三： 调整时间误差带）%2(2s t s =，最大超调量，%15%≤p σ，设计或调整PID 控制器参数，得出调整后的传递函数为： 150()21020c G s s s =++ ………………………………………. .(4) 一阶直线倒立摆系统 姓名： 班级： 学号： 目录 摘要 (3) 第一部分单阶倒立摆系统建模 (4) （一）对象模型 (4) （二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6) 第二部分单阶倒立摆系统分析 (7) 第三部分单阶倒立摆系统控制 (11) （一）内环控制器的设计 (11) （二）外环控制器的设计 (14) 第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16) 系统的simulink仿真 (16) 摘要： 该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”的控制，实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究，有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制。 控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。 实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤，最终得出实验结果。仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性。 第一部分单阶倒立摆系统建模 （一） 对象模型 由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。 如图1.1所示，设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ，摆长为2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ，1O 为摆杆的质心。 图1.1 一阶倒立摆的物理模型 根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则 1）摆杆绕其重心的转动方程为 sin cos y x l F J F l θθθ=-&& （1-1） 2）摆杆重心的水平运动可描述为 2 2(sin )x d F m x l dt θ=+ （1-2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为 2 2(cos )y d F mg m l dt θ-= （1-3） 4）小车水平方向运动可描述为 202x d x F F m dt -= （1-4） 自动控制原理课程设计报告 倒立摆系统的控制器设计 指导教师：谢昭莉 学生：冯莉 学号： 20095099 专业：自动化 班级： 2009 级 3 班 设计日期： 2011.12.12—2011.12.23 重庆大学自动化学院 2011年12月 重庆大学本科学生课程设计任务书 目录 1倒立摆系统的研究背景和意义 (1) 2小车倒立摆系统模型的假设 (1) 3符号说明 (2) 4模型的建立 (2) 4.1牛顿力学法系统分析 (2) 4.2拉氏变换后实际系统的模型 (6) 5开环响应分析 (7) 6根轨迹法设计超前校正装置函数 (9) 6.1校正前倒立摆系统的闭环传递函数的析 (9) 6.2系统稳定性分析 (9) 6.3期望闭环极点的确定 (10) 6.4 超前校正装置传递函数的设计 (11) 6.4.1校正参数计算 (11) 6.4.2控制器的确定 (13) 6.4.3校正装置的改进 (13) 6.4.4Simulink仿真 (15) 7直线一级倒立摆频域法设计 (17) 7.1系统频域响应分析 (17) 7.2频域法控制器设计 (19) 7.2.1控制器的选择 (19) 7.2.2系统开环增益的计算 (19) 7.2.3校正装置的频率分析 (20) 7.2.4控制器转折频域和截止频域的求解 (22) 7.2.5校正装置的确定 (22) 7.2.6Simulink仿真 (24) 8直线一级倒立摆的PID控制设计 (25) 8.1PID简介 (25) 8.2PID控制设计分析 (25) 8.3PID控制器的参数测定 (26) 9总结与体会 (29) 9.1总结 (29) 9.2体会 (29) 10参考文献 (30) 控制系统课程设计---直线一级倒立摆控制器设计 H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计说明书（论文） 课程名称：控制系统设计课程设计 设计题目：直线一级倒立摆控制器设计 院系： 班级： 设计者： 学号： 指导教师：罗晶周乃馨 设计时间：2013.9.2——2013.9.13 哈尔滨工业大学课程设计任务书 姓名：院（系）：英才学院 专业：班号： 任务起至日期：2013 年9 月 2 日至2013 年9 月13 日 课程设计题目：直线一级倒立摆控制器设计 已知技术参数和设计要求： 本课程设计的被控对象采用固高公司的直线一级倒立摆系统GIP-100-L。 系统内部各相关参数为： M小车质量0.5 Kg ；m摆杆质量0.2 Kg ；b小车摩擦系数0.1 N/m/sec ；l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；I摆杆惯量0.006 kg*m*m ；T采样时间0.005 秒。 设计要求： 1．推导出系统的传递函数和状态空间方程。用Matlab 进行阶跃输入仿真，验证系统的稳定性。 2．设计PID控制器，使得当在小车上施加0.1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为： （1）稳定时间小于5秒； （2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度。 3．设计状态空间极点配置控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：（1）摆杆角度θ和小车位移x的稳定时间小于3秒 （2）x的上升时间小于1秒 （3）θ的超调量小于20度（0.35弧度） （4）稳态误差小于2%。 工作量： 1. 建立直线一级倒立摆的线性化数学模型； 2. 倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真及 实物调试； 3. 倒立摆系统的极点配置控制器设计、MATLAB仿 真及实物调试。 目录 摘要.......................................................................................................................................... - 5 - 1 倒立摆系统概述................................................................................................................................ - 6 - 1.1倒立摆的种类......................................................................................................................... - 6 - 1.2系统的组成............................................................................................................................. - 6 - 1.3工程背景................................................................................................................................. - 6 - 2 数学模型的建立................................................................................................................................ - 7 - 2.1牛顿力学法系统分析............................................................................................................. - 7 - 2.2拉氏变换后实际系统的模型............................................................................................... - 10 - 3 开环响应分析.................................................................................................................................. - 11 - 4 根轨迹法设计.................................................................................................................................. - 13 - 4.1校正前倒立摆系统的闭环传递函数的分析....................................................................... - 13 - 4.2系统稳定性分析................................................................................................................... - 13 - 4.3 根轨迹设计.......................................................................................................................... - 14 - 4.4 SIMULINK仿真..................................................................................................................... - 17 - 5 直线一级倒立摆频域法设计........................................................................................................ - 18 - 5.1 系统频域响应分析.............................................................................................................. - 18 - 5.2频域法控制器设计............................................................................................................... - 19 - 5.2.1控制器的选择........................................................................................................... - 19 - 5.2.2系统开环增益的计算............................................................................................... - 20 - 5.2.3校正装置的频率分析............................................................................................... - 20 - 5.3 Simulink仿真..................................................................................................................... - 24 - 6 直线一级倒立摆的PID控制设计................................................................................................ - 25 - 6.1 PID简介............................................................................................................................... - 25 - 单级倒立摆经典控制系统 摘要：倒立摆控制系统虽然作为热门研究课题之一，但见于资料上的大多采用现代控制方法，本课题的目的就是要用经典的方法对单级倒立摆设计控制器进行探索。本文以经典控制理论为基础，建立小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数(摆长和摆杆质量)下的控制器使系统稳定，并利用MATLAB软件进行仿真。 关键词：单级倒立摆；经典控制；数学模型；PID控制器；MATLAB 1绪论 自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。 控制理论在几十年中，迅速经历了从经典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。 1.1经典控制理论 控制理论的发展，起于“经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20世纪起，应用范围扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。 至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析问题。经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。这些方法现在仍是人们学习控制理论的入门之道。 1.2倒立摆 1.2.1倒立摆的概念 图1 一级倒立摆装置 倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定系统。 Chapter5 状态反馈控制器设计 控制方式有“开环控制”、“闭环控制”。“开环控制”就是把一个确定的信号（时间的函数）加到系统输入端，使系统具有某种期望的性能。然而，由于建模中的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素使系统产生一些意想不到的情况，这就要求对这些偏差进行及时修正，这就是“反馈控制”。在经典控制理论中，我们依据描述控制对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统输出作为反馈信号，而在现代控制理论中，则主要通过更为广泛的状态反馈对系统进行综合。 通过状态反馈来改变和控制系统的极点位置可使闭环系统具有所期望的动态特性。利用状态反馈构成的调节器，可以实现各种目的，使闭环系统满足设计要求。参见138P 例5.3.3，通过状态反馈的极点配置，使闭环系统的超调量%5≤p σ，峰值时间（超调时间）s t p 5.0≤，阻尼振荡频率10≤d ω。 5.1 线性反馈控制系统的结构与性质 设系统),,(C B A S =为 Bu Ax x += Cx y = （5-1） 图5-1 经典控制-输出反馈闭环系统 经典控制中采用输出(和输出导数)反馈（图5-1）： v Fy u +-= F 为标量，v 为参考输入 （5-2） Bv x BFC A v Fy B Ax Bu Ax x +-=+-+=+=）（）（ 可见，在经典控制中，通过适当选择F ，可以利用输出反馈改善系统的动态性能。 现代控制中采用状态反馈（图5-1）： v Kx u +-=，n m K ?~ （K 的行=u 的行，K 的列=x 的行）称为状态反馈增益矩阵。 状态反馈后的闭环系统),,(C B A S K K =的状态空间表达式为 Bv x A Bv x BK A x K +=+-=)( Cx y = （5-3） 式中： BK A A K -≡ （5-4） 开题报告填表说明 1.开题报告是毕业设计（论文）过程规范管理的重要环节，是培养学生严谨务实工作作风的重要手段，是学生进行毕业设计（论文）的工作方案，是学生进行毕业设计（论文）工作的依据。 2.学生选定毕业设计（论文）题目后，与指导教师进行充分讨论协商，对题意进行较为深入的了解，基本确定工作过程思路，并根据课题要求查阅、收集文献资料，进行毕业实习（社会调查、现场考察、实验室试验等），在此基础上进行开题报告。 3.课题的目的意义，应说明对某一学科发展的意义以及某些理论研究所带来的经济、社会效益等。 4.文献综述是开题报告的重要组成部分，是在广泛查阅国内外有关文献资料后，对与本人所承担课题研究有关方面已取得的成就及尚存的问题进行简要综述，并提出自己对一些问题的看法。 5.研究的内容，要具体写出在哪些方面开展研究，要突出重点，实事求是，所规定的内容经过努力在规定的时间内可以完成。 6.在开始工作前，学生应在指导教师帮助下确定并熟悉研究方法。 7.在研究过程中如要做社会调查、实验或在计算机上进行工作，应详细说明使用的仪器设备、耗材及使用的时间及数量。 8.课题分阶段进度计划，应按研究内容分阶段落实具体时间、地点、工作内容和阶段成果等，以便于有计划地开展工作。 9.开题报告应在指导教师指导下进行填写，指导教师不能包办代替。 10.开题报告要按学生所在系规定的方式进行报告，经系主任批准后方可进行下一步的研究（或设计）工作。 一、课题的目的意义： 倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉；作为一个被控对象，它又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。 理论是工程的先导，倒立摆的研究具有重要的工程背景。机器人行走类似倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世以来已有几十年的历史，但机器人的关键技术至今仍未很好解决。由于倒立摆系统的稳定与空间飞行器控制和各类伺服云台的稳定有很大相似性，也是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象。因此，倒立摆机理的研究又具有重要的应用价值，成为控制理论中经久不衰的研究课题。 文献综述（分析国内外研究现状、提出问题，找到研究课题的切入点，附主要参考文献，约2000字）： 倒立摆系统的最初分析开始于二十世纪五十年代，是一个比较复杂的不稳定，多变量，带有强耦合特性的高阶机械系统。倒立摆系统存在严重的不确定性，一方面是系统的参数的不确定性，一方面是系统受到不确定因素的干扰。其控制方法和思路在处理一般工业过程中有很广泛的用途，此外，其相关的研究成果也在航天科技和机器人学习方面得到了大量的应用，如机器人行走过程中平衡控制，火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等，因此，倒立摆系统是进行控制理论研究的理想平台。 倒立摆是机器人技术﹑控制理论﹑计算机控制等多个领域﹑多种技术的有机结合，其被控 哈尔滨工业大学 控制科学与工程系 控制系统设计课程设计报告 姓名：院（系）：英才学院专业：自动化班号： 任务起至日期： 2011 年8 月22 日至 2011 年9 月9 日 课程设计题目：直线一级倒立摆控制器设计 已知技术参数和设计要求： 本课程设计的被控对象采用固高公司的直线一级倒立摆系统GIP-100-L。 系统内部各相关参数为: M小车质量0.5kg; m摆杆质量0.2kg; b小车摩擦系数0.1N/m/sec; l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3m; I摆杆惯量0.006kg*m*m; T采样时间0.005秒。 设计要求： 1.推导出系统的传递函数和状态空间方程。用Matlab进行阶跃输入仿真，验证系统的稳定性。 2.设计PID控制器，使得当在小车上施加0.1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为： （1）稳定时间小于5秒； （2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度。 3.设计状态空间极点配置控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为： （1）摆杆角度和小车位移x的稳定时间小于3秒 （2）x的上升时间小于1秒 （3）的超调量小于20度（0.35弧度） （4）稳态误差小于2%。 工作量： 1.建立直线一级倒立摆的线性化数学模型； 2.倒立摆系统的PID控制器设计、Matlab仿真及实物调试； 3.倒立摆系统的极点配置控制器设计、Matlab仿真及实物调试。 工作计划安排： 第3周：（1）建立直线一级倒立摆的线性化数学模型； （2）倒立摆系统的PID控制器设计、Matlab仿真； （3）倒立摆系统的极点配置控制器设计、Matlab仿真。 第4周：实物调试； 撰写课程设计论文。 同组设计者及分工： 各项工作独立完成 指导教师签字 年月日教研室主任意见： 控制工程学院课程实验报告： 现代控制理论课程实验报告 实验题目：状态反馈控制系统的设计与实现 班级自动化（工控）姓名曾晓波学号2009021178 日期2013-1-6 一、实验目的及内容 实验目的： （1 ）掌握极点配置定理及状态反馈控制系统的设计方法； （2 ）比较输出反馈与状态反馈的优缺点； （3 ）训练程序设计能力。 实验内容： （1 ）针对一个二阶系统，分别设计输出反馈和状态反馈控制器；（2 ）分别测出两种情况下系统的阶跃响应； （3 ）对实验结果进行对比分析。 二、实验设备 装有的机一台 三、实验原理 一个控制系统的性能是否满足要求，要通过解的特征来评价，也就是说当传递函数是有理函数时，它的全部信息几乎都集中表现为它的极点、零点及传递函数。因此若被控系统完全能控，则可以通过状态反馈任意配置极点，使被控系统达到期望的时域性能指标。 闭环系统性能与闭环极点（特征值）密切相关，在状态空间的分析和综合中，除了利用输出反馈以外，主要利用状态反馈来配置极点，它能提供更多的校正信息。 (一) 利用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是：受控系统可控。 设（ ）受控系统的动态方程为 状态向量x 通过状态反馈矩阵k ，负反馈至系统参考输入v ，于是有 这样便构成了状态反馈系统，其结构图如图1-1所示 图1-1 状态反馈系统结构图 状态反馈系统动态方程为 闭环系统特征多项式为 ()()f I A bk λλ=-+ （1-2） 设闭环系统的期望极点为1λ，2λ，…，n λ，则系统的期望特征多项式 x b v u 1 s C A k - y x & 为 )())(()(21*n f λλλλλλλ---=Λ （1-3） 欲使闭环系统的极点取期望值，只需令式（1-2）和式（1-3）相等，即 )()(* λλf f = （1-4） 利用式（1-4）左右两边对应λ的同次项系数相等，可以求出状态反馈矩阵 []n k k k Λ 2 1 =k (二) 对线性定常连续系统∑(),若取系统的输出变量来构成反馈,则所得到的闭环控制系统称为输出反馈控制系统。输出反馈控制系统的结构图如图所示。 开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为 H 为r ＊m 维的实矩阵,称为输出反馈矩阵。 则可得如下输出反馈闭环控制系统的状态空间模型: 输出反馈闭环系统可简记为H(),其传递函数阵为: (s)()-1B B ? A C H y - x u v + + + x ' 开环系统 A B C H '=+?? =?=-+x x u y x u y v ()A BHC B C '=-+??=? x x v y x倒立摆系统状态反馈控制器的设计全套设计论文
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