极坐标与参数方程测试题(有详解答案)

极坐标与参数方程测试题

一、选择题

１.直线12+=x y 的参数方程是（ ）

A 、???+==1

222t y t x (t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数) Ｃ、 ???-=-=121t y t x （ｔ为参数） D 、?

??+==1sin 2sin θθy x (t 为参数） ２.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ) ?A ．0 ?B.1 ?C ．-2 D.8

3.已知??? ?

?-3,5πM ,下列所给出的不能表示点的坐标的是（ ) Ａ、??? ??

-3,5π B 、??? ??

34,5π ??Ｃ、??? ??-32,5π ? D 、??

? ??

--35,5π 4.极坐标系中,下列各点与点P(ρ,θ）（θ≠ｋπ，k ∈Ｚ）关于极轴所在直线

对称的是（ ）

A.（－ρ,θ)B ．(－ρ，-θ)Ｃ．(ρ，2π-θ） D.（ρ，2π＋θ）

5.点()3,1-P ，则它的极坐标是

( ) A 、??? ??3,2π ? Ｂ、??? ??34,2π ??C 、??? ??-3,2π ?Ｄ、??

? ??

-34,2π 6.直角坐标系xo ｙ中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,设点A,B 分别在曲

线13cos :sin x C y θθ

=+??=? （θ为参数)和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( )． A ．1 B ．2 Ｃ.3 D.4

7.参数方程为1()2

x t t t y ?=+???=?为参数表示的曲线是（ )

Ａ．一条直线 Ｂ.两条直线 Ｃ．一条射线 D.两条射线

8.()124123x t t x ky k y t

=-?+==?=+?若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）

A.-6

B.16- Ｃ.６ D.16 ９．极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是( )

A ．22(2)4x y -+= B.22

4x y +=

C.22(2)4x y +-= D ．22(1)(1)4x y -+-= 10．柱坐标(2，3

2π，１)对应的点的直角坐标是（ ). Ａ.（1,3,1-) B.（1,3,1-） C ．(1,,1,3-） D.（1,1,3-）

11．已知二面角l αβ--的平面角为θ，Ｐ为空间一点，作PA α⊥，ＰB β⊥,A ，B 为垂足,且4PA =，5PB =，设点A 、B 到二面角l α

β--的棱l 的距离为别为,x y ．则

当θ变化时，点(,)x y 的轨迹是下列图形中的

1２．曲线24sin()4x πρ=+与曲线1222122

2x t y t ?=-????=+??的位置关系是（ )。 A 、 相交过圆心 B 、相交 C 、相切 D 、相离

二、填空题 13.在极坐标()θρ, ()πθ20<≤中,曲线θρsin 2=与1cos -=θρ的交点的极坐标为_＿_＿＿__＿____．

１4.在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()

6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 . 1５．(坐标系与参数方程选讲选做题) 圆C ：x =1+cos θy =sin θ

???(θ为参数)的圆心到直线 333

3（A ） （B ） （C ） （D ）

ｌ

:x =3t y =13t

?-??-??(t 为参数)的距离为 . １６. A ：（极坐标参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,已知曲线

1C 、2C 的极坐标方程分别为0,3πθθ==,曲线3C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=??=?

(θ为参数,且,22ππθ??∈-????

），则曲线1C 、2C 、3C 所围成的封闭图形的面积是 . 三、解答题（题型注释)

17.(本小题满分１0分）《选修4-4：坐标系与参数方程》

在直角坐标系xO ｙ中，直线l 的方程为x-y+4=0,曲线C 的参数方程为

x y sin ααα?=??=??（为参数）.

(I ）已知在极坐标（与直角坐标系ｘOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴 正 半轴为极轴)中，点P 的极坐标为（４，2

π）,判断点P 与直线l 的位置关系； (ＩI)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．

1８.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 方程为5cos (3sin x y ???=??=?

为参数) (Ⅰ）求过椭圆的右焦点，且与直线42(3x t t y t

=-??=-?为参数)平行的直线l 的普通方程。

（Ⅱ)求椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值。

1９．坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x 轴非负半轴

重合．直线l 的参数方程为:???

????=+-=t y t x 21231（t 为参数）,曲线C 的极坐标方程

为:θρcos 4=．

（1)写出曲线C 的直角坐标方程,并指明C 是什么曲线；

（２）设直线l 与曲线C 相交于Q P ,两点,求PQ 的值.

20.在直角坐标系x ｏｙ中，直线l 的参数方程是()21

x t t y t =??=+?为参数,在极坐标系（与直

角坐标系xoy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=

（Ｉ）求圆C 的直角坐标方程;

（II)求圆心C 到直线l 的距离。

２1．（本小题满分10分）【选修4－４:坐标系与参数方程】

在直角坐标平面内,以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M

的极坐标为4π?? ???,曲线C

的参数方程为1,,

x y αα?=+??=??(α为参数）． (1)求直线OM 的直角坐标方程;

（2）求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值．

2２.以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知点P 的极坐标

为4π???

，直线l 过点P ，且倾斜角为23π,方程2213616x y +=所对应的切线经过伸缩变换1312

x x y y ?'=????'=??后的图形为曲线C （Ⅰ）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标系方程

（Ⅱ）直线l 与曲线C 相交于两点,A B ，求PA PB ?的值。

2３.(本小题满分１０分)《选修4-４:坐标系与参数方程》

在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线θθρcos 2sin :2a C =)0(>a ，已知过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为:???????+-=+-=t y t x 2

24222, 直线l 与曲线C 分别交于N M ,.

(Ⅰ)写出曲线C 和直线l 的普通方程;

（Ⅱ）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值．

２4.（本小题满分10分）《选修4－4:坐标系与参数方程》

在直接坐标系xO ｙ中,直线l 的方程为40x y -+=,曲线C 的参数方程为

sin x y αα

?=??=?? (α为参数） (Ｉ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以

x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4,)2

π

，判断点P 与直线l 的位置关系; （II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值． 2５.（本小题满分10分）选修4－4:坐标系与参数方程

已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ???

????+==,圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=.

（１）求圆心C 的直角坐标; (2)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值.

2６． 已知曲线1C 的参数方程式2cos 3sin x y ??=??=?

（?为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程式2ρ=．正方形ABCD 的顶点都在2

C 上，且,,,A B C

D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为2,2π?? ???

． (I ）求点,,,A B C D 的直角坐标;

(ＩＩ)设p 为1C 上任意一点,求2222

PA PB PC PD +++的取值范围. 试卷答案

1.C

2.Ａ３.A 4.C 5．C 6.Ａ7.D 8.Ａ9.A 10.A 11.Ｄ１2.D

1３.??? ??43,2π 14.1 15.2 １6.23

π 17．解：（Ｉ)把极坐标系下的点(4,)2P π

化为直角坐标,得Ｐ(0，４）。

因为点P 的直角坐标(0,４)满足直线l 的方程40x y -+=，

所以点P 在直线l 上，

（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Ｑ的坐标为(3cos,sin)

αα

,

从而点Ｑ到直线l的距离为

2cos()4

|3cos sin4|6

2cos()22

6

22

d

π

α

ααπ

α

++

-+

===++

,

由此得，当

cos()1

6

π

α+=-

时,d取得最小值，且最小值为 2.

18.(1）由已知得椭圆的右焦点为()

4,0,已知直线的参数方程可化为普通方程:220

x y

-+=，所以

1

2

k=，于是所求直线方程为240

x y

-+=。

(2)460sin cos30sin

S xy??

===2?, 当2

2

π

?=时,面积最大为30 19.

(2)把

?

?

?

??

?

?

=

+

-

=

t

y

t

x

2

1

2

3

1

代入x

y

x4

2

2=

+,整理得0

5

3

3

2=

+

-t

t,---６分设其两根分别为,

,

2

1

t

t则5

,3

3

2

1

2

1

=

=

+t t

t

t，-－-8分

所以7

2

1

=

-

=t

t

PQ．--－-10分

20．（1)圆C的直角坐标方程是22

+-2=0

x y x；

(2）圆心Ｃ到直线

35

l d

的距离。

２1.解：(Ⅰ）由点M的极坐标为π

2,

4

??

?

??

,得点M的直角坐标为(4，4)，所以直线ＯＭ的直角坐标方程为x

y=.

(Ⅱ）由曲线C 的参数方程12

cos ,2sin x y αα

?=+??=??（α为参数),

化成普通方程为：2)1(22=+-y x ， 圆心为A (1,0),半径为2=r ．

由于点M 在曲线C 外，故点Ｍ到曲线Ｃ上的点的距离最小值为

25||-=-r MA ． 22.

２3．(Ⅰ）22,2y ax y x ==-. ………..5分

（Ⅱ）直线l 的参数方程为???

????+-=+-=t y t x 224222（t 为参数)， 代入22y ax

=, 得到22)8(4)0t a t a -+++=， ………………７分

则有121222(4),8(4)t t a t t a +=+?=+.

因为2||||||MN PM PN =?，所以2212121212()()4t t t t t t t t -=+-?=?.

解得 1a =. …………１０分 ２4.(本小题满分１0分）选修4-4:坐标系与参数方程

解：（I)把极坐标系下的点P (4,)2π

化为直角坐标,得P (0,4)

因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程40x y -+=，

所以点Ｐ在直线l 上， …………5分

（II ）因为点Q 在曲线Ｃ上,故可设点Q

的坐标为,sin )αα,

从而点Q 到直线l 的距离为，

d

=2cos()4πα++

=)6π

α=++由此得,当cos()16π

α+=-时,d

……1０分

25.解:（I ）θθρsin 2cos 2-= ,

θρθρρsin 2cos 22-=∴， …………(2分） 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分） 即1)22()22(22=++-y x ,)2

2,22(-∴圆心直角坐标为．…………(５分） (II)方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是

6224)4(4081)242

222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ， …………(8分)

∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 …………（10分) 方法２:024=+-∴y x l 的普通方程为直线， …………(８分)

圆心C 到l 直线距离是52

|242222|

=++， ∴直线l 上的点向圆Ｃ引的切线长的最小值是621522=- …………(10分） ２６.见2012新课标卷23