数学建模-赛题-微分方程竞赛试题

高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）

A题 SARS的传播

SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：

（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。

（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。

（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

附件1：

SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测

2003年5月8日

在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。

1 模型与参数

假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：

N（t）= N0 (1+K)t

如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。

参数K和L具有比较明显的实际意义。L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后他失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染或死去等等。从原理上讲，这个参数主要与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关，只有医疗机构能有效缩短这个参数。但我们分析广东、香港、北京现有的数据后发现，不论对于疫情的爆发阶段，还是疫情的控制阶段，这个参数都不能用得太小，否则无法描写好各阶段的数据。该参数放在15-25之间比较好，为了简单我们把它固定在20（天）上这个值有一定统计上的意义，至于有没有医学上的解释，需要其他专家分析。

参数K显然代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关。在疾病初发期，社会来不及防备，此时K值比较大。为了简单起见，我们从开始至到高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据定出），即假定这阶段社会的防范程度都比较低，感染率比较高。到达高峰期后，我们在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据，即认为社会在经过短期的剧烈调整之后，进入一个对疫情控制较好的常态。显然，如果疫情出现失控或反复的状态，则K值需要做更多的调整。

2 计算结果

2.1 对香港疫情的计算和分析。香港的数据相对比较完整准确。但在初期，由于诊断标准等不确切，在3月17日之前，没有找到严格公布的数据。我们以报道的2月15日作为发现第一例病人的起点，2月27日从报道推断为7例。3月17日后则都是正式公布的数据。累积病例数在图1中用三角形表示。我们然后用上述方法计算。4月1日前后（从起点起45天左右）是疫情高峰时期，在此之前我们取K=0.16204。此后的10天，根据数据的变化将K逐步调到0.0273，然后保持0.0273算出后面控制期的结果。短期内K调整的幅度很大，反映社会的变化比较大。图中实心方黑点是计算的累积病例数。从计算累积病例数，很容易算出每天新增病例数（当然只反映走向，实际状况有很大涨落）。可以看出，香港疫情从起始到高峰大约45天，从高峰回落到1/10以下（每天几个病例）大约40天（5月上中旬），到基本没有病例还要再经过近一个月（到6月上中旬）。

2.2 对广东疫情的计算和分析。广东的起点是02年11月16日，到今年2月下旬达到高峰，经过了约100天。在今年2月10日以前的数据查不到，分析比较困难。总体上看，广东持续的时间比香港长得多，但累积的总病例数却少一些，这反映出广东的爆发和高峰都不强烈。但广东的回落也比较慢。从2月下旬高峰期到现在经过了约70天，还维持着每天10来个新增病例，而同样过程香港只用了约40天。这种缓慢上升和下降的过程也反映到K值上。比较好的拟合结果是，在高峰期之前（t < 101天），K=0.0892；在随后的10天逐步调整到0.031。用这组参数算出的后期日增病例数比实际公布的偏小，说明实际上降低得更慢。这种情况与疫情的社会控制状况有没有什么关系，需要更仔细的分析。

2.3 对北京疫情的分析与预测。北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰。我们通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K=0.13913。这个值比香港的0.16204来得低，说明北京初期的爆发程度不如香港，但遗憾的是上升时间持续了近60天，而香港是45天，这就造成了累积病例数大大超过香港。从图2中还看出4月20日以前公布的数据大大低于计算值。而我们从对香港、广东情况的计算中，知道疫情前期我们的计算还是比较可行的。从而可以大致判断出北京前期实际的病例数。图中的公布数据截止到5月7日（从起点起67天），其后的计算采用的是香港情况下获得的参数。按这种估算，北京最终累积病例数将达到3100多。

图1 对香港疫情的拟合

图2 对北京疫情的分析

图3是计算的日增病例数。后期下降得较快的实心方黑点是采用香港参数获得的。这就是说，如果北京的疫情控制与香港相当或更好的话，就可以在高峰期后的40天（从起点起100天）左右，即6月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。至于什么原因造成香港下降速度快而广东下降速度慢，需要有关方面作具体分析。

图3 北京日增病例走势分析

3 结论

每个病人可以造成直接感染他人的期限平均在20天左右，这个值在不同地区和不同疫情阶段似乎变化不大。病人的平均每天感染率与社会状况有关，在疫情爆发期较大，在疫情控制期要小很多。香港的初期爆发情况比广东和北京都剧烈，但控制效果明显比较好。北京后期如果控制在香港后期的感染率水平上，则有望在6月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。而累积总病例数将达到3100多。但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。

2003高教社杯全国高教社杯全国大学生数学建模竞赛大学生数学建模竞赛大学生数学建模竞赛

A, C 题（SARS 的传播的传播））评阅参考要点

说明说明：：鉴于题目的特点鉴于题目的特点，，本题不给参考解答本题不给参考解答，，只给参考要点只给参考要点，，仅供参考仅供参考。。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，，自主地进行评阅自主地进行评阅。。

1． 包含对传播机理和传播状况的叙述（如：传播途径，潜伏期等），并且给出建模原理、方法或框图。

2． 模型中至少有3类人：易感者、患者和恢复（与死亡）者， 可以再增加如：潜伏者、隔离者、疑似病人、确诊病人，治愈者、留观者等及其关系。

3． 包含对于传染率、治愈率等重要概念的表述，分析和计算中给出上述参数的估计方法和估计值，还可包括如：平均治愈天数（可利用治疗恢复的数据估计）、隔离率和潜伏期等。

4． 所建立的模型类型不限。可能的模型如：回归模型、差分递推模型、微分方程模型、迟滞模型、混合模型、随机模型、扩散模型和计算机仿真模型等，优秀的模型应体现创新精神。

5． 模型的结果应该提供预测值（用数值或曲线来表示高峰期和持续时间）和隔离措施的效果（包括提前和推迟控制时间的影响等）。结果分析包括误差分析，及模型与方法的通用性分析（模型除北京外，是否还适用于其他地区等）。

6． 关于对经济的影响（仅针对A 题）：收集某方面的数据（除旅游业外，还有如餐饮业、航运等）；预测没有SARS 时的变化趋势；与实际统计数据比较，用差距说明影响的大小；预测恢复到正常发展水平的时间。

2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

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C题 饮酒驾车

据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？

请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：

1. 对大李碰到的情况做出解释；

2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：

1）酒是在很短时间内喝的；

2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？

5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据

1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：

时间(小时) 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

酒精含量30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41

时间(小时) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

酒精含量38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4

2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛C 题评阅要点

[说明] 根据各赛区的建议，从2004年起全国组委会不再提供赛题参考解答，只给评阅要点。本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

数学建模方法之一可以由机理分析和数据拟合两部分组成。机理分析遵照药物动力学的研究方法建立房室模型，可用最简单的一室模型，将整个人体看作一个房室（中心室），血药浓度（酒精在血液中的浓度也是血药浓度），即药物在血液中的含量在这个房室内是均匀的。不过，由于给药方式是口服，酒精从胃到体液有一个吸收过程，相当于从一个吸收室向中心室给药（见下图）。这仍然是一室模型，因为吸收室与中心室的药物交换是单向的。 假定酒精（药物）从吸收室向中心室的转移（传输）速率及从中心室化解酒精的排除速率都与该室的血液浓度（图中的x 0(t )和x (t )）成正比，比例系数为转移系数（k 0）及排除系数（k ），可以建立x 0(t )和x (t )的微分方程，或将时间离散化，建立差分方程。注意：酒精到吸收室的输入速率（f ）取决于饮酒的方式：若是很短时间内喝的，则相当于给出x 0(t )的初始条件；若是在较长一段时间内喝的，则应体现在x 0(t )的方程中。

血液中酒精含量为方程的解x (t )，其中含k 0和k 两个参数，可用参考数据（它是按在很短时间内喝的情况得到的）作拟合（非线性拟合），得到k 0和k 后，即可用于回答题目中的问题。

1. 大李碰到的情况是，第1瓶酒后6小时，血液中酒精含量已降到20毫克／百毫升以下，但是第2瓶酒使酒精含量在此基础上上升，即使又过了8小时，仍在20毫克／百毫升以上。

2. 可以按照啤酒中酒精含量约

3.5%~4%，每瓶啤酒约600~650毫升，人的体液约45~55升，在很短时间内喝的情况下确定x 0(t )的初始条件；是在较长一段时间内喝的情况下确定x 0(t )的方程中的输入速率f 。由方程的解及上面的k 0和k 给出解答。

3，4. 由方程及其解回答。

5. 与原标准相比，注意到新国家标准人性化的一面：允许血液中酒精含量在20毫克／百毫升以下。可以喝一点，多呆会再开车！

简化模型：如果不考虑药物从吸收室向中心室的转移，直接考虑药物从中心室的排除，得到简单的负指数模型，甚至线性模型，只含1个参数（k ），拟合时只能用参考数据中（1小时后）下降的部分，这时是线性拟合。负指数模型（在下降部分）的数字结果可能与上面得到的差别不大，但是有缺点：由于未考虑吸收室，得不到酒精含量的上升部分，无法给出完全的数值结果，也无法估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

本题要特别注意的是物理量的单位，实际上，在数学建模中这是非常重要的。

2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）

A题：中国人口增长预测

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。

附录1 《国家人口发展战略研究报告》

附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明

2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛A 题评阅要点

[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

模型的建立必须考虑我国近年来人口发展的总趋势。例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化等因素。以下几点供阅卷参考。

1．分析数据分析数据分析数据（（据此做出合理的假设据此做出合理的假设））

： 对于一个地区或一类人群而言：

人口的自然增长率 ＝ 出生率－死亡率；而

出生率 ＝ 育龄妇女的生育率 × 育龄妇女在总人口中

所占的比例。

利用附录2中数据对上述相关参数进行分析，可以看到：

(1) 生育率：城镇和农村育龄妇女的生育率有下降趋势，但农村总体数据偏高，因此有必要将城镇人口和农村人口（或比例）分离开来考虑；

(2) 出生人口的男女性别比：通常应当是105 : 100左右，但数据分析表明远超过了这个比例，且农村出生人口的性别比例又超过城市。这影响到未来育龄妇女在总人口中的比例以及出生率。因此有必要将男女性别比的因素考虑进去。

(3) 死亡率：不同年龄段的死亡率都是不同的：0——3岁孩子死亡率较高，3——50岁死亡率较低的幼青壮年期，50岁以上的人死亡率不断升高。可以把3——50岁年龄段人口的死亡率看成是接近于零。

(4) 人口的年龄分布：从某一年(比如2005年)分年龄段的人口数量分析，并结合死亡率的观察，可以看出在过去50年的人口出生的变化情况，也可以看出中国人口未来的老龄化趋向。

(5) 在《中国人口统计年鉴》（附录2）中的人口数据都是按市、镇和乡（或县）给出的。但按“报告”（附录1），市和镇放在一起，称为“城镇”，而乡单列，称为“乡村”或“农村”。本题“城镇化”也可以这样理解。这时就需要对“城镇”的每个要用到数据进行加工，即按附录2最右边给出的每年人口的抽样调查数据进行换算。

(6) 附录2中给出的数据都是抽样数据，因此都是相对的。如需要用到每年各类人口的总数据，可在政府网站上查到。比如，在政府公布的《中国人口现状》

https://www.360docs.net/doc/0111432255.html,/test/2005-07/26/content_17363.htm

中就有2005年的详细数据。从中也可以看出，附录2中给出的2005年人口数据就是大约1％的抽样调查数据。从网上及文献中还可以查到更多数据，这里不一一列出。

(7) 在本题的数据说明中曾指出“个别数据有异常，原文如此，可酌情处理。”

实际上，这些异常数据在个别年份才会出现，如果把他们从总体上进行

拟合，对整个模型的建立应该是没有很大影响的。而且一些异常通过查

阅其他资料也可得到纠正。附录2中最大的异常是关于2003年育龄妇女

的生育率数据，这里按原《年鉴》中说法以千分比计，实际应该是百分

比，相差十倍（在该附录最后几行给出的总生育率中已把它们恢复正常）。

正如一开始及下面所强调的，本题的重点是要根据我国近年来人口发展

的总趋势和特点来建立模型，因此，必须从总体上来把握数据。

(8) 如果有学生考虑人口分布的地区和产业等差别，也是可以的，但需要自己补充相关数据。

2．建立模型

(1) 基本假设：从中国人口增长的特点出发，可以提出如下假设作为建立模型

的依据：老龄化进程加速；农村育龄妇女的生育率明显高于城镇；出生人口的男女性别比持续升高；农村人口不断城镇化。根据这些假设，区分模型中的状态变量和参数。

(2) 状态变量的设置：根据上述假设和数据分析，可以把城镇人口与农村人口，

及男女性别区分开来。另一方面，注意到育龄妇女的生育率是决定人口增长的主要因素，可以对人口的年龄分布按不同年龄段进行简化，以减少状态变量。

(3) 老龄化的影响：数据分析表明，在每一类人(比如城镇妇女)中，老年人口

在该类总人口中的比例逐年上升，而青壮年和幼年人口比例逐年下降。可以通过对人口矩阵的迭代，或用其他模型方法，找出他们上升或下降的一般规律。

(4) 农村人口以一定规律转化为城镇人口。

(5) 人口增长有迟滞效应。在附录1中提到“由于20世纪80年代至90年代

第三次出生人口高峰的影响”，导致在2005-2020年出生人口数量会“出现一个小高峰”，这就是迟滞效应。如果在模型中适当引进迟滞项，就可预测到这种“小高峰”现象。当然，此时的初值应当是一个近几十年来的人口变化函数。这个函数可以从网上搜索到，也可以用1(4)提示的方法找出。当然，这可能有一定难度，不一定作为必须要考虑的要求。如果有同学考虑到这种迟滞效应，应该说是有创意的。

(6) 由上述(1) 至(4)，即可建立起关于中国人口增长的数学模型。它可以是

微分方程组或差分方程组的初值问题。如果还考虑到（5），则会是迟滞微分方程组。方程组中出现的各个参数和用到的初值可以通过附录2中给出的数据，并参考上面1（6）的说明，来确定。

3．模型的求解和预测

用适当的数值方法求解所得的数学模型，即可得到今后几十年的预测结果。可以把这些结果与附录1 (《国家人口发展战略研究报告》)或其他文献中的结果进行对照分析。如出现较大差异，则应找出原因，予以改进，或提出自己的看法。

4．关于文献与关于文献与模型的模型的模型的““自我评价自我评价””

(1) 本问题提供的文献(附录1)是要求重点阅读的。此外，还应列出自己查阅

过并引用的比较可靠和权威的文献，包括论文、著作和数据，都要注明出处。如果是网上的，则应列出网址。

(2) 在评阅学生对自己模型的优点与不足的评价时，一定要注意是否实事求是。