高等数学考研知识点总结

一、考试要求

1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5、理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。

7、掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。1

1、掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。

二、内容提要

1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系、（2）复合函数: y=f(u), u=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域、（3）分段函数: 注意，为分段函数、（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性* 注：

1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。特别：若为偶函数且存在，则

2、若为偶函数，则为奇函数；若为奇函数，则为偶函数；

3、可导周期函数的导函数为周期函数。特别：设以为周期且存在，则。

4、若f(x+T)=f(x), 且，则仍为以T为周期的周期函数、

5、设是以为周期的连续函数，则，

6、若为奇函数，则；若为偶函数，则

7、设在内连续且存在，则在内有界。

2、极限 (1)

数列的极限：

(2)

函数在一点的极限的定义：

(3)

单侧极限:1)

左右极限2)

极限存在的充要条件：

(4)

极限存在的准则1)

夹逼定理：

数列情形，函数情形2)

单调有界数列必有极限(5)极限的基本性质：唯一性，保号性，四则运算*1）极限不等式注：不成立2）局部保号性则在某内3）局部有界性则在某内有界。4） (6)

两类重要极限 (7)

无穷小量与无穷大量1)

无穷小量;2)

无穷大量; （注意与无界变量的差异）3)

无穷小量与无穷大量的关系 (8)

无穷小量阶的比较 (9)

罗比达法则

3、连续1)

连续的定义2)

区间上的连续函数3)

间断点及其分类4)

闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理、零点定理

三、 * 重要公式与结论

1、常见极限不存在的情形：1)

方法：用无穷小量乘有界变量2）方法：分或讨论、2 、特别：若

3、无穷小量的等价代换若，则有特别注意：

（，（），（），设，且～，～(1)

(2)

(3)

(4)

若，则（0712）当时，与等价的无穷小量是（A）（B）（C）（D）4 、若由此有

5、极限的形式与关系（1）（2）（3），

6、若，则 (i)

(ii)

若，则 (i)

(ii)

7、设在处连续，则（1）（2）（3）（4）不存在

四、典型题型与例题题型

一、函数的概念和性质例

1、设，则=（A） 0 （B）1 （C）（D）例

2、对下列函数（1）（2）（3）在（0，1）内有界的有（）个（A） 0 （B）1 （C）2 （D）3例

3、（0434）函数在下列哪个区间内有界（A）（-1，0）（B）（0，1）（C）（1，2）（D）（2，3）例

4、（0534）以下四个命题中正确的是（）（A）若在（0，1）内连续，则在（0，1）内有界（B）若在（0，1）内连续，则在（0，1）内有界（C）若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界（D）若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界例

5、（0

51、2）设是连续函数的一个原函数，则必有（A）是偶函数是奇函数（B）是奇函数是偶函数（C）是周期函数是周期函数（D）是单调函数是单调函数题型

二、极限的概念和性质例

6、当时，是（A）无穷小（B）无穷大（C）有界的但不是无穷小（D）无界的但不是无穷大例

7、设对，总有，且，则（A）存在且等于0 （B）存在但一定不为0 （C）一定不存在（D）不一定存在例

8、已知在处连续，且，求题型

三、求函数的极限基本思路：

1、先化简（1）约掉零因子（无穷因子）（2）提出极限不为零的因子（3）根式有理化（4）无穷小替换（5）变量替换（尤其是倒代换）

2、再用洛必达法则或其它求极限的方法

3、上述步骤可重复进行

1、常规方法：1)

运算法则，2)无穷小量等价代换，3）洛必塔法则1）用运算法则应注意的问题例

9、求极限例

10、求极限罗毕达法则

1、或型

1、先化简

2、用洛必达法则、四则运算法则、泰勒公式

3、综合题（结合导数的定义等）例

11、求例

12、求极限例

13、（042）求极限例

14、（0734）= 罗毕达法则

2、型型未定式有两种处理方法或例

15、求例

16、例

17、（101）极限(A)1 、 (B)、 (C)、 (D)、

【】

罗毕达法则

3、其他类型

1、型转化为型，用洛必达法则等

2、3、型 (i)

通分 (ii)

变量替换（重点倒代换）转化为型。

4、不是未定式例

18、求极限例

19、（0434）求

2、变形方法：1)

变量代换；2)

导数定义；3)

泰勒公式; 特别若f(x)二阶连续可导，则有例20、设f(x)连续， f(0)=0, f(0)0, 求例2 1、求下列极限(泰勒公式)

[,]例

22、求法

一、有理化，无穷小替换、洛必达法则法

二、泰勒公式

3、抽象函数例

23、若，求。题型

四、求数列的极限思路：

1、转化为函数的极限。

2、数列用递推公式给出，可考虑单调有界原理。

3、对通项适当放大（缩小），用夹逼准则。

4、和（积）的极限，可考虑用定积分的定义。

1、利用函数极限求数列的极限方法：

1、

2、若例

24、求

2、利用数列的收敛准则（1）、两个准则（2）、已知可导1）若，则单调，且2）若，则不单调（3）、若存在使得，则例

25、设证明，并求其解。例

26、设证明，并求其解。

3、利用定积分定义(适合n项求和的情形)

思路：

1、求出项和或积（积可转化为和），再求极限。

2、利用夹逼准则。

3、利用定积分的定义

4、利用已知级数的和。公式：1）2）例

27、等于（A）（B）（C）（D）例

28、求

3、其他方法例

29、（用级数收敛性）解：考虑级数由于级数收敛，所以=0例

30、（用中值定理）解：用拉格朗日中值定理（介与之间）=）因而=题型

五、反问题求已知极限中的待定参数，函数值，导数及函数等命题方式：

1、已知极限存在

2、已知无穷小阶的比较

3、已知函数的连续性或间断点类型思路：

1、将极限转化为

2、洛必达法则

3、泰勒公式例

31、已知求的值例

31、已知当时，是的高阶无穷小，求值例

33、（022）已知在可导，，且满足，求题型六、无穷小量的比较

1、掌握低阶无穷小、高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小等概念

2、当时，，若，则例

34、设函数则当时，是的（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小例

35、（0412）把时的无穷小，从高阶到低阶排列例

36、设f(x)连续，且当x→0时，F(x)=是与x3等价的无穷小量，则f(0)= 、例

37、（103）设f (x)=ln10 x , g (x)= x , h (x)= , 则当x充分大时有 (A)

g (x)< h (x)< f (x)、 (B)

h (x)< g (x)< f (x)、 (C)

f (x)<

g (x)<

h (x)、 (D)

g (x)< f (x)< h (x)、

【】

题型七、判断函数的连续性与间断点的类型

1、初等函数在其有定义的区间内是连续的。

2、连续隐含的条件。

3、会判断函数的连续性（特别是分段函数在分界点处的连续性，要考虑左右极限）。

4、会求函数的间断点，并能判断其类型。

5、闭区间上连续函数的性质。例

38、设在处连续，求的值例

39、设f(x)=，则f(x)有( )、(A)

两个第一类间断点(B)

三个第一类间断点(C)

两个第一类间断点和一个第二类间断点(D)

一个第一类间断点和一个第二类间断点例

40、（103）函数的无穷间断点数为(A)

0、 (B)

1、(C)

2、 (D)

3、

【】