人教版中考数学压轴题 易错题难题专题强化试卷学能测试

一、中考数学压轴题

1．如图，在等边△ABC 中，AB =BC =AC =6cm ，点P 从点B 出发，沿B →C 方向以1．5cm/s 的速度运动到点C 停止，同时点Q 从点A 出发，沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，连接PQ ，过点P 作BC 的垂线，过点Q 作BC 的平行线，两直线相交于点M ．设点P 的运动时间为x （s ），△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y （cm 2）（规定：线段是面积为0的图形）． （1）当x = （s ）时，PQ ⊥BC ；

（2）当点M 落在AC 边上时，x = （s ）；

（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．

2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）．

（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点

D 作D

E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，

PDE

ABMC 1

S

S 9

=四边形． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且2n -2n -，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标；

（2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、

Q ∠的数量关系并说明理由；

（3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线

于，若设ADO α∠=，F β∠=，试求2αβ+的值．

4．如图1，已知，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC=10，BC=12，连接AO 并延长交BC 于点H ．

（1）求外接圆⊙O 的半径；

（2）如图2，点D 是AH 上（不与点A ，H 重合）的动点，以CD ，CB 为边，作平行四边形CDEB ，DE 分别交⊙O 于点N ，交AB 边于点M ． ①连接BN ，当BN ⊥DE 时，求AM 的值；

②如图3，延长ED 交AC 于点F ，求证：NM ·NF=AM ·MB ； ③设AM=x ，要使2ND -22DM <0成立，求x 的取值范围．

5．如图，在等边ABC ?中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接

BE ，DE ．

（1）如图1，若310DE =，23BC =CE 的长；

（2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且

DF CD =，求证：12

AB EF =；

（3）在（2）的条件下，若45AED ∠=?直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系

6．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，ABC ?的三个顶点坐标分别为

()A O m ,，(),B m O -，(),C n O ，5AC =且OBA OAB ∠=∠，其中m ，n 满足7

25m n m n +=??

-=?

．

（1）求点A ，C 的坐标；

（2）点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向运动，设点P 的运动时间为t 秒.连接BP 、CP ，用含有t 的式子表示BPC ?的面积为S （直接写出t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使得ΔΔ3

2

PAB POC S S =

，若存在，请求出t 的值，并直接写出BP 中点Q 的坐标；若不存，请说明理由．

7．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=?，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，

AF CD ⊥，垂足为F ．

（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；

（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)；

（3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由； ②若1

2,(33)2

ADH

a S

==

+，求sin GAB ∠的值．

8．如图，抛物线2

y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B

与点C 的坐标分别为()3,0B ，()0,3C ，点M 是抛物线的顶点．

（1）求二次函数的关系式．

（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若OD m =，PCD 的面积为S ．

①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围． ②当S 取得最值时，求点P 的坐标．

（3）在MB 上是否存在点P ，使PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线1

22y x =-

+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点,C 抛物线2

y ax bx c =++的对称轴是直线3,2

x =与x 轴的交点为点,A 且经过点B C

、两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M 为抛物线对称轴上一动点，当BM CM -的值最小时，请你求出点M 的坐标；

（3）抛物线上是否存在点N ，过点N 作NH x ⊥轴于点,H 使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 10．问题背景：如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，8BC =，17AD =+，

32AB =，45ABC ∠=?，P 为边AD 上一动点，连接BP 、CP ．

问题探究

（1）如图1，若30PBC ∠=?，则AP 的长为__________． （2）如图2，请求出BPC △周长的最小值；

（3）如图3，过点P 作PE BC ⊥于点E ，过点E 分别作EM PB ⊥于M ，EN PC ⊥于点N ，连接MN

①是否存在点P ，使得PMN 的面积最大？若存在，求出PMN 面积的最大值，若不存在，请说明理由；

②请直接写出PMN 面积的最小值．

11．平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，AO =BO ，△ABO 的面积为8.

（1）求点A 的坐标；

（2）点C 、D 分别在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（D 在B 点上方），AB ⊥CD 于E ，设点D 纵坐标为t ，△BCE 的面积为S ，求S 与t 的函数关系；

（3）在（2）的条件下，点F 为BE 中点，连接OF 交BC 于G ，当∠FOB +∠DAE =45°时，求点E 坐标.

12．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方

法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．

如图，将一个矩形纸片ABCD ，放置在平面直角坐标系中，()0,0A ，()4,0B ，

()0,3D ，M 是边CD 上一点，将ADM 沿直线AM 折叠，得到ANM ．

（Ⅰ）当AN 平分MAB ∠时，求DAM ∠的度数和点M 的坐标； （Ⅱ）连接BN ，当1DM =时，求

ABN 的面积；

（Ⅲ）当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．（直接写出答案） 在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：

师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题． 小明：我是这样想的，延长MN 与x 轴交于P 点，于是出现了Rt NAP △． 小雨：我和你想的不一样，我过点N 作y 轴的平行线，出现了两个Rt NAP △．

13．如图，抛物线2

(40) y ax bx a =++≠与x 轴交于()() 3,0, 4,0A C -两点，与y 轴

交于点B ．

()1求这条抛物线的顶点坐标；

()2已知AD AB =(点D 在线段AC 上)，有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动：同时另一个点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过()t s 的移动，线

段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；

()3在()2的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ MC +的值最小?若存

在，请求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．

14．如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，D 为AB 的中点，EF 为△ACD 的中位线，四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD 的边上）． （1）计算矩形EFGH 的面积；

（2）将矩形EFGH 沿AB 向右平移，F 落在BC 上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD 重叠部分的面积为

3

时，求矩形平移的距离； （3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形1111E F G H ，将矩形

1111E F G H 绕1G 点按顺时针方向旋转，当1H 落在CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩

形2212E F G H ，设旋转角为α，求cos α的值．

15．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC

（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；

（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．

①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；

②取BF 的中点G ，连接OG ，判断OG 与AD 的数量关系，并说明理由； （3）若四边形ABCD 的周长为8，直接写出GE 2＋GF 2＝____．

16．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，连接BD ，将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△（B ′与B 重合），且点D '刚好落在BC 的延长上，A D ''与

CD 相交于点E ．

（1）求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE ''）的面积； （2）将A B D '''△以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移，如图2，当B ′移动到C 点时

停止移动．设矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分的面积为y ，移动的时间为x ，请你直接写出y 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；

（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x ，使得AA B ''△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x 的值，若不存在，请你说明理由．

17．在菱形ABCD 中，P 为直线DA 上的点，Q 为直线CD 上的点，分别连接PC ，

PQ ，且PC PQ =．

（1）若60B ∠=?，点P 在线段DA 上，点Q 在线段CD 的延长线上，如图①，易证：

DQ PD AB +=（不需证明）；

（2）如图②，若∠B ＝120°，点P 在线段DA 上，点Q 在线段CD 的延长线上，如图③，猜想线段DQ ，PD 和AB 之间有怎样的数量关系？请直接写出对图②，图③的猜想，并选择其中一种情况给予证明．

18．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC △的斜边在AB 在x 轴上，点C 在y 轴上

90ACB ∠=?，OC 、OB 的长分别是一元二次方程2680x x -+=的两个根，且OC OB <．

（1）求点A 的坐标；

（2）D 是线段AB 上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合），过点D 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边AC 或边BC 于点P ，设点D 的横坐标为t ，线段DP 的长为d ，求d 关于

t 的函数解析式；

（3）在（2）的条件下，当1

2

d =

时，请你直接写出点P 的坐标．

19．已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+3交x 轴于点A 、C （点A 在点C 左侧），交y 轴于点B ．

（1）求A ，B ，C 三点坐标；

（2）如图1，点D 为AC 中点，点E 在线段BD 上，且BE=2DE ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 坐标；

（3）如图2，将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，点P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ，求PA+PC+PG 的最小值，并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标（直接写出结果即可）．

20．已知：矩形ABCD 内接于⊙O ，连接 BD ，点E 在⊙O 上，连接 BE 交 AD 于点F ，∠BDC+45°=∠BFD ，连接ED ． （1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB ；

（2）如图2，点G 是 AB 上一点，过点G 作 AB 的垂线分别交BE 和 BD 于点H 和点K ，若HK=BG+AF ，求证：AB=KG ；

（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O 上有一点N ，连接 CN 分别交BD 和 AD 于10点 M 和点 P ，连接 OP ，∠APO=∠CPO ，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB 的长．

21．如图，抛物线2

5y ax bx =+-交x 轴于点A 、B （A 在B 的左侧），交y 轴于点

C ，且OB OC =，()2,0A -．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，设P 点横坐标为t ，线段PD 的长度为d ，求d 与t 的函数关系式．（不要求写出t 的取值范围） （3）在（2）的条件下，F 为BP 延长线上一点，且45PFC ∠=?，连接OF 、CP 、

PB ，FOB ?的面积为

3600

169

，求PBC ?的面积． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在

x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛

物线2

12y ax bx =++过D ，C ，E 三点．

（1）当//DE AB 时， ①求抛物线的解析式；

②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ，

H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值．

（2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在

x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．．

点E 的坐标． 23．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P 、M 、N 、Q ，

（1）如图①所示．当∠CNG ＝42°，求∠HMC 的度数．（写出证明过程）

（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C ，交 AB 于点 P ，直尺另一侧与三角形交于 N 、Q 两点。请直接写出∠PQF 、∠A 、∠ACE 之间的关系．

24．（1）探究发现

数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？”

经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：

在直线21y x =-上任取点()01A -，， 向左平移3个单位得到点()31，

'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．

因为2y x n =+过点()31，

'--A ， 所以61n -+=-， 所以5n =，

填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为 （2）类比运用

已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式； （3）拓展运用

将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式 ．

25．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线2

2(0)y ax ax a =->交x

轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ． （1）求点C 的坐标； （2）求直线AB 的表达式；

（3）设抛物线2

2(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．

①若2AE AO =，求抛物线表达式；

②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为 ．（直接写出答案）

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题 1．B

解析：（1）1.5；（2）3；（3）()

(

)

()

2

2

2

9333

42

315393

242

273

3

.

3

0 1.5

15

34

93

x x

y x

x

x

x

x

x x

?

-

?

?

??

=-+-

?

?

?

-+-

?

??

≤

≤≤

≤

＜

＜

【解析】

【分析】

（1）令PQ⊥BC，表示出BP和BQ的长，利用余弦的定义得出方程，求解即可；

（2）根据△ABC是等边三角形得出BQ=CM，表示出PC的长，结合余弦的定义得出方程，求解即可；

（3）根据（1）和（2）中结论，分0≤x＜1.5时，1.5≤x≤3时，3＜x≤4时三种情况画出图形，求出相应边长，可得函数解析式.

【详解】

解：（1）当PQ⊥BC时，

BP=1.5x，BQ=6-x，

∴BQ=

1.5

cos cos60

BP x

ABC

=

∠?

，即6-x=

1.5

1

2

x

，

∴6-x=3x，

解得：x=1.5，

∴当x=1.5时，PQ⊥BC；

（2）∵△ABC是等边三角形，QM∥BC，

∴AQ=AM，BQ=CM，

PC=6-1.5x，CM=

6 1.5

123

1

cos60

2

PC x

x

-

==-

?，

∴BQ=12-3x，AQ=x，

∴12-3x+x=6，

解得x=3，

∴当点M落在AC上时，x=3（s）；

（3）当0≤x ＜1.5时，过Q 作QE ⊥BC 于E ， ∵BQ=6-x ，

∴QE=BQsin ∠B=BQsin60°，而DP=BPtan ∠B=BPtan60°， y=S △BPQ -S △BPD

=11

22BP QE BP DP ?-? =()()11

sin 60tan 6022

BP BQ BP BP ?-? =

2

933342

x x -；

当1.5≤x≤3时，过点Q 作QD ⊥BC 于D ， 可知：四边形QDPM 为矩形， ∴QM=DP=BP-BD=BP-BQ·cos60°， PM=MC·sin60°=BQ·sin60°， 则y=S △PQM

=1

2QM PM ? =()1

cos60sin 602

BP BQ BQ -????? =2315393

x x -

+-

；

当3＜x≤4时，

如图所示，过点Q 作QE ⊥BC 于点E ， 可知四边形QEPM 为矩形，

∴QM=EP=BP-BE=BP-BQ·tan∠B=1.5x-1

2

（6-x）

=2x-3，

∵QM∥BC，

∴△AQO为等边三角形，∠MON=∠C=60°，

∴AQ=OQ=AO=x，

∴OM=QM-OQ=2x-3-x=x-3，

∵PC=6-1.5x，∠C=60°，

∴NP=PC·tan∠C= PC·tan60°=

3

63

2

x

??

-?

?

??

，

∴MN=MP-NP=QE-NP=BQ·sin∠B-NP=（6-x）·sin60°-

3

63

2

x

??

-?

?

??

=333

x-，

y=S△PQM-S△NOM

=

11

22

MQ PM OM MN

?-?

=2

315393

242

x x

-+--

1

2

（x-3333

x-）

=2

3

33

4

x x

+-

故y关于x的函数解析式为

()

)

)

2

2

2

9333

315393

273

3

.

3

0 1.5

15

34

93

x x

y

x

x

x

x

x x

?

-

?

?

??

=+-

?

?

?

-+-

?

??

≤

≤≤

≤

＜

＜

.

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的应用—几何问题，难度较大，解题的关键是根据图形的运动情况分情况求解.

2．C

解析：（1）2

1

y x34

3

=-+

（），顶点M3,4；（2）P3,2

（）；（3）1m＝2，2

m＝1

【解析】 【分析】

（1）由点C 的坐标，可求出c 的值，再把()

A 3,0-、()

B 33,0代入解析式，即可求出a

、b 的值，即可求出抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可求出顶点M 的坐标；

（2）因为A 、B 关于抛物线的对称轴对称，连接BC 与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ，设对称轴与x 轴交于点H ，证明PHB COB ∽，即可求出PH 的长，从而求出点P 的 坐标；

（3）根据点A 、B 、M 、C 的坐标，可求出ABMC S 四边形，从而求出PDE

S

3=，根据OC ＝

3，OB ＝33，推出OCB ∠＝60，因为DE //PC ，推出 ODE ∠＝60，从而得到OD ＝3m -，()OE 33m =-，根据PDE

DOE PDOE S

S S

=-四边形，列出关于

m 的方程，

解方程即可. 【详解】

（1）∵抛物线y ＝2ax bx c a 0++≠（）过()A 3,0-、()

B 33,0，()

C 0,3三点， ∴c ＝3，

∴3a 3b 3027a 33b 30

?-+=??++=??， 解得1a 323b ?=-????=??

．

故抛物线的解析式为()

2

21231

y x x 3x 3433

=-++=--+，

故顶点M 为

(

)

3,4．

（2）如图1，

∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，

∴连接BC 与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ． 设对称轴与x 轴交于点H ， ∵PH //y 轴，

∴PHB COB ∽． ∴

PH BH

CO BO

=． 由题意得BH ＝23，CO ＝3，BO ＝33，

∴

PH 23

333

=

， ∴PH ＝2． ∴(

)

P

3,2．

（3）如图2，∵()

A 3,0-、()

B 33,0，()

C 0,3，(

)

M

3,4，

∴ABMC S 四边形＝

()AOC MHB

COHM 111

S

S S

3334342393222

++=

??++??=梯形． ∵ABMC S 四边形＝PDE

9S ，

∴PDE

S

3=

∵OC ＝3，OB ＝33

∴OCB ∠＝60． ∵DE //PC ， ∴ODE ∠＝60．

∴OD ＝3m -，)OE 33m =-． ∵PDOE S 四边形＝))COE

133S 333m 3m 22

=

?-=-， ∴PDE

S

＝))2

DOE

PDOE 333S S

3m 3m -=

--=四边形 2333

0m 33+<<（）

． ∴2333

3+= 解得1m ＝2，2m ＝1． 【点睛】

此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质和四边形面积求法等知识，熟练运用方程思想方法和转化思想是解题关键．

3．A

解析：（1）A（0，1）

（2）结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°.

（3）α+2β＝45°．

【解析】

【分析】

（1）利用二次根式的性质求出m、n的值，求出B、C两点坐标，由S四边形AOBC＝

S△OBC+S△AOC，推出

1

2

×2×4+

1

2

×OA×4＝6，求出OA即可；

（2）如图2中，结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．根据三角形内角和定理，三角形的外角的性质即可解决问题；

（3）由AD∥BC，推出∠ADC＝∠DCB＝α，由BE平分∠CBx，推出∠CBE＝∠EBx，由

∠CBE＝∠F+∠OCB＝α+β，推出∠OBF＝∠EBx＝α+β，由OC平分∠AOB，可得∠COB＝45°＝∠F+∠OBF＝α+（α+β），由此即可解决问题；

【详解】

解：（1）由题意

20

20

n

n

-≥

?

?

-≥

?

，

，得

，

解得n＝2，

∴m＝4，B（2，0），C（4，4）．如图：

∵S四边形AOBC＝S△OBC+S△AOC，

∴1

2

×2×4+

1

2

×OA×4＝6，

∴OA＝1，

∴A（0，1）．

（2）结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．如图：

理由如下：

∵OC∥PQ，

∴∠Q＝∠OCB，

∵∠ABQ＝∠1+∠OCB＝∠1+∠Q，∠1＝180°﹣∠OAB﹣∠AOC＝180°﹣∠OAB﹣45°＝135°﹣∠OAB，

∴∠ABQ＝∠Q+135°﹣∠OAB，

∴∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．

（3）如图：

∵AD∥BC，

∴∠ADC＝∠DCB＝α，

∵BE平分∠CBx，

∴∠CBE＝∠EBx，

∵∠CBE＝∠F+∠OCB＝α+β，

∴∠OBF＝∠EBx＝α+β，

∵C（4，4），

∴OC平分∠AOB，

∴∠COB＝45°＝∠F+∠OBF＝α+（α+β），

∴α+2β＝45°．

【点睛】

本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性

质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题．

4．A

解析：（1）

O 半径为

25

4；（2）①458AM =；②详见解析；③当

1251017

x <<时，有2220ND DM -<成立． 【解析】 【分析】

（1）如下图，在Rt △ABH 中，先求得AH 的值，设OA=r ，在Rt △OBH 中，利用勾股定理可求得r 的长；

（2）①如下图，在Rt BCN ，可求得BN 的长，然后在矩形NBHD 中，求得AD 的值，最后利用cos ∠MAD 求得AM ；

②如下图，同过证AMN NFC △∽△可得结论；

③如下图，通过转换，先得出222ND DM -=22AM MB DM ?这个等式，然后利用

3

sin 5

DM MAD AM ∠=

=，设AM=x ，可得到关于x 的方程，进而求出x 的取值范围． 【详解】

解：（1）如图1，连接OB ，

∵AH 过圆心O ，∴AH BC ⊥， ∵AB AC =，∴1

62

BH CH BC ==

=， 在Rt ABH △中，221068AH =-=，

设半径OA OB r ==，则8OH r =-，在Rt OBH 中，2

2

2

(8)6r r -+=， 解得254r =

，即O 半径为254

． （2）①如图2，连接CN

在平行四边形CDEB 中，DE BC ∥，∴ENB NBC ∠=∠．

∵BN DE ⊥，即90ENB ∠=?，∴90NBC ∠=?． ∴CN 是

O 的直径．2522

CN r ==

． ∴在Rt BCN 中，22

72

BN CN BC =-=

． ∵四边形CDEB 是平行四边形，NB ⊥BH ，DH ⊥BH ∴四边形NBHD 是矩形， ∴72DH BN ==

，6ND BH ==，∴79822

AD AH DH =-=-=． ∴在Rt ADM △中，4cos 5AD AH MAD AM AB ∠===，∴45

8

AM =， ②如图3，连接AN ，CN ，

∵DE BC ∥，∴DNC NCB ∠=∠． ∵NAB NCB ∠=∠，∴NAB DNC ∠=∠．

由DE BC ∥，AB AC =可得AMD ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠， ∴AMN NFC ∠=∠，AM

AF =．

∴AMN NFC △∽△，MB CF =． ∴

NM NM AM

CF MB NF

==，即NM NF AM MB ?=?． ③∵AH BC ⊥，DE BC ∥，∴AD MF ⊥，∵AM AF =，∴MD DF =，

∴222222ND DM ND DM DM -=--

2()()ND DM ND DM DM =-+- 2NM NF DM =?-

22AM MB DM =?．

∵AM x =，∴10BM x =-，

由3sin 5DM MAD AM ∠=

=，得3

5

DM x =， ∴2

2

2

23342(10)10525ND DM x x x x x ??-=--=-+ ???

．(010)x <<

该函数图象的示意图如图4