2017-2018年上海市交大附中高一下期中数学试卷及答案
2017-2018年交大附中高一下期中
一. 填空题
1. 已知数学期中考试时长为2小时，则考试期间分针旋转了弧度
2. 方程2cos210x +=的解集是
3.
ABC ?中，60A =?，1b =，4c =，则a =
4. 化简计算：
sin()
sin()tan(2)25tan()cos(3)cos()
2
παπααπππαπαα+--??=+-- 5. 函数2
arcsin()y x x =-的单调递增区间是 6. 已知02
π
θ<<
，将cos θ，cos(sin )θ，sin(cos )θ从小到大排列
7. 若()sin()sin()44
f x a x b x π
π
=+
+-（0ab ≠）是偶函数，则有序实数对(,)a b 可以是 （写出你认为正确的一组数即可）
8. 若函数()cos |sin |f x x x =+（[0,2]x π∈）的图像与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则
k 的取值范围是
9. 将3sin(2)4y x π=+
图像上所有点向右平移动6
π
个单位，再把所得的图像上各点横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），这样得到的图像对应的函数解析式为 10. 在锐角ABC ?中，1BC
=，2B A =，则AC 的取值范围是
11. 函数1arctan arctan
1x
y x x
-=++的值域是 12. 设函数1122()sin()sin()sin()n n f x a x a x a x ααα=?++?++???+?+，其中i a 、i
α（1,2,,i n =???，*n N ∈，2n ≥）为已知实常数，x ∈R ，下列关于函数()f x 的性质判断正确的有 （填写序号）
① 若(0)()02
f f π
==，则()f x 对任意实数x 恒成立；
② 若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数； ③ 若()02
f π
=，则函数()f x 为偶函数；
④ 当22(0)()02
f f π
+≠时，若12()()0f x f x ==，则12x x k π-=（k Z ∈）.
二. 选择题
13. 化简
24cos cot
tan
2
2
αα
α
=-（ ）
A.
sin2α B. sin α C. 2sin α D. tan2α
14. 与函数y x =表示同一个函数的是（ ）
A. arcsin(sin )y x =
B. cos(arccos )y x =
C. tan(arctan )y x =
D. 2
2
(sec tan )y x x x =- 15. 已知函数()sin()f x A x ω?=+（其中0A >，||2
π
?<）的图像如图所示，则函数()f x
的解析式为（ ） A. ()sin(2)3
f x x π
=- B. ()sin(2)6
f x x π
=+ C. ()sin(2)3
f x x π
=+
D. ()sin(4)6
f x x π
=+
16.
函数sin()
4()sin cos |sin cos x f x x x x x
π
-=??
-是（ ） A. 周期为2π
的偶函数 B. 周期为π的偶函数
C. 周期为2
π
的非奇非偶函数 D. 周期为π的非奇非偶函数
三. 解答题
17. 在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知sin sin sin A C p B +=? （0p >），且214
ac b =. （1）当5
4
p =
，1b =时，求a 、c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围.
18. 已知函数2
()cos f x x =
，1
()cos 2
g x x x =
+. （1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求(2)g a 的值； （2）若02
x π
≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.
19. 如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A x b ω?=++，[,]?ππ∈-，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处.
（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式； （2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地 面超过85米？
20. 如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角星形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设11AA H α∠=. （1）试用α表示11AA H ?的面积；
（2）求八角星所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小.
21. 已知()f x 是定义域为D 上的函数，若对任意的实数12,x x D ∈，都有：
12121
[()()]()22
x x f x f x f ++≤成立，当且仅当12x x =时取等号，则称函数()f x 是D 上的凸函数，凸函数具有以下性质：对任意的实数i x D ∈，都有：
12121
[()()()]()n n x x x f x f x f x f n n
++???+++???+≤（*n N ∈）成立. 当且仅当12n x x x ==???=时取等号，设()sin f x x =(0,)π. （1）求证：()sin f x x =是(0,)π上的凸函数； （2）设()()(
)2g x f x f x π=+-，(0,)2
x π
∈，利用凸函数的定义求()g x 的最大值；
（3）设A 、B 、C 是ABC ?三个内角，利用凸函数性质证明sin sin sin A B C ++≤
参考答案
1、4π-
2、,3x
x k k Z ππ?
?
=±∈????
3
4、1-
5
、12????
6、()()sin cos cos cos sin θθθ<<
7、()1,1-
8
、??
9、2
5sin 3
12y x π??
=+
???
10
、
11、3,4
4ππ??
-?
??? 12、①②③④
13-16、ACCD
17、（1）114a c =???=??或141
a c ?
=
???=?；（2
）? 18、（1）
12；（2）1,22??
????
19、（1）26050cos 3
y t π
=-（0t >）
；（2）1分钟 20、（1）()
2
8sin cos sin cos 1S αα
αα?=
++（0,
2πα??
∈ ?
??
）；（2
）64-4πα= 21、（1）略；（2
（3）略