六年级奥数讲义分数应用题之工程问题2

第四讲

分数应用题之工程问题

教学目标

工程问题是分数应用题中最重要的一大类，因为处理这类问题的解题技巧独特且应用广泛，所以工程问题往往受出题者青睐，在各种数学竞赛和小升初考试中，工程问题和需要使用工程问题算术方法的类工程问题也经常出现。

1.工程问题的基本数量关系与一般解法；

2.工程问题中的常见解题方法；

3.工程问题算术方法在其他类型式题中的使用。

经典精讲

工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。

1.解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，

表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。

2.利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。抛开“工作总量”，

和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，

最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问

题求的是时间。

有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。

【例1】 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲

继续做，从开工到完成任务共用了16天。乙请假多少天?

【分析】

（法一）甲一共干了16天，完成了

11620?45=，还有415-=1

5

，是乙做的，乙干了了116530÷=（天）

，休息了16610-=（天），请假天数为：11

16116166102030

??--?÷=-= ???（天）。 （法二）假设乙没有请假，则两人合作16天，应完成114

()1620303

+?=，

超过单位“1”的41133-=，则乙请假11

10330

÷=（天）

。

【拓展】一项工程，甲队单独干20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单

独做15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？

【分析】甲的工作效率：120，甲的工作量：128205?=， 乙的工作量：23155-=，乙的工作效率：31

15525

÷=，

所以乙单独完成这项工作需25天。

【例2】 搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。有同样的仓库A 和B ，甲在

A 仓库，乙在

B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲、乙各搬运了几小时？

【分析】

（1）甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：111

2()8101215

÷++=小时。

（2）丙帮助甲搬运了11

1831015??-?÷= ???小时。

（3）丙帮乙搬运了835-=小时。

【拓展】甲、乙、丙三队要完成A ，B 两项工程，B 工程的工作量是A 工程工作量再增加

1

4

，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A 工程所需时间分别是20天，24天，30天.现在让甲队做A 工程，乙队做B 工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B 工程若干天，然后再与甲队合做A 工程若干天.问丙队与乙队合做了多少天？

【分析】三队合做完成二项工程所用的天数111111184202430?

???++÷+

+= ? ??

???天， 丙帮乙队做的天数：111

1181542430??+-?÷

= ???

天。 基本题型

一、

代换法

【例3】 一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。现在先开乙管6

小时，还需甲、丙两管同时开2小时。乙单独开几小时可以灌满？

【分析】

根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6

小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开、第三个2小时单独开。这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙独开2小时，正好灌满一

池水。可以计算出乙单独灌水的工作量为111

1225410

-?-?=，所以乙的工作效率为

1(622)10÷--120=，所以整池水由乙管单独灌水，则需要1

12020

÷=（小时）

。

【巩固】一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。两队合做2天后由乙队独做，

还要几天才能完成？

【分析】（法一）两队合做2天，看做甲先做两天，乙再做2天，然后再将剩下的工程完成，那么乙做

的部分相当于甲做的4天，所以乙做了416433?=天，除去与甲合作的2天，以还要做1610

233

-=

天。

（法二）甲的工作效率为16，所以乙的工作效率为11

3468

?÷=。两队合作2天后乙队独做还

要1

11101226883??-?-?÷= ???天才能完成。

【例4】 一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成工程的一半。已知甲、乙工效的比

是2:3。如果这项工程由乙单独做需要多少天才能完成？

【分析】

根据甲、乙工效比是2:3，可以知道，完成同样的工作量，甲、乙所用的时间比是3:2，

也就是同样的工作量，乙所用的时间是甲的2

3

。由“甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样

才完成工程的一半”可知，甲一共做了279+=天，把甲9天做的工作量给乙做，乙要2

96

3

?=天。完成工程的一半乙要用6+7=13天。所以这项工作由乙单独来做需要()2277226

3??

+?+?=????天。

技巧与方法

【例5】 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8

天可完成。如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？

【分析】 本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：

从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换

可知乙单独做这一工程需20+4=24（天）完成，即乙的工作效率是1

24。又因为乙工作4天的工

作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的45，141

24530

?=，甲、乙合作这一

工程需用的时间为111

1()1324303

÷+= (天)。

【例6】 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替

甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用

了多少小时？

【分析】

①若甲、乙两人合作共需多少小时？

11511171218365??

÷+=÷= ???

（小时）。

②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？ 1135117112183636??

-?+=-= ???。

③余下的1

36

由甲独做需要多少小时？

111

36123

÷=（小时）。 ④共用了多少小时？11

721433

?+=（小时）。

注：在工程问题中，转换条件是常用手法。“甲做1小时，乙做1小时，他们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做1小时．”这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了。

【例7】某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，10小时可完成这项工作。如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会晚1小时完成；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会提前1小时完成；问：如果同时交换工人A和B，C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变，多久可以完成这项工作？

【分析】最初的效率为

1

10

，交换工人A和B后效率减少

1

10

1

11

-=

1

110

，交换工人C和D后效率

增加1

9

1

10

-=

1

90

，同时交换工人A和B，C和D后效率变为

1

10

1

110

-+

1

90

101

990

=，所需时间

为：

10181 19

990101÷=。

二、比例法

【例8】打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。甲、乙两合做需几天完成？

【分析】根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。”可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量。完成这项工作甲、乙所用的时间比是2:3，同时也说明甲、乙单独做，乙用的时

间比甲多3+2=5天。乙独做的天数是：

3

(32)15

32

+?=

-

（天），

甲独做要15-5=10（天），甲乙合做需

11

16

1015

??

÷+=

?

??

（天）。

注：注意工程问题里也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系。其实这一点是与工程习惯无关的。

【例9】甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？

【分析】（法一）⑴先求出甲、乙相遇的时间：

11

1()6

1015

÷+=小时。

⑵甲清扫全长的

13

6

105

?=，乙清扫了全部的

12

6

155

?=。

⑶东西两城相距

32

1260

55

??

÷-=

?

??

千米。

（法二）因为时间相等，路程比等于速度比，这样相遇时甲、乙清扫的路程比是

11

:3:2 1015

=，

甲行了全程的

3

32

+

，乙行了全程的

3

32

+

，全程就是

32

1260

55

??

÷-=

?

??

千米。

【例10】甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙

工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%。结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？

【分析】

（法一）在晴天,一队、二队的工作效率分别为

112和1

15

，一队比二队的工作效率高112-115=160；在雨天，一队、二队的工作效率分别为()11140%1220?-=和()13110%1550

?-=，二队的工作效率比一队高350-1201

100

=

。 【分析】 由11

:5:360100

=知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，

【分析】 此时完成了工程的1312?+11

5202

?=，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天。

（法二）设晴天有x 天，雨天有y 天，一队在下雨天的工作效率是：11

601220

?％＝。

二队在下雨天的工作效率是：13

901550

?％＝，

所以有：1111220

1311550x y x y ?+=????+=??，解得：610x y =??=?。

三、

列表法

【例11】

放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，

4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分可以完成？

【分析】

由表中可知，每个阀门都出现了三次，所以： 1111131820212830????÷+++÷= ???????

（天）

【拓展】某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7

天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干

需要42天才能完成。那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？

一队

二队

三队

四队

五队

工作效率 ○ ○ ○ × ×

112 ○ × ○ × ○

17 × ○ × ○ ○

18 ○ × ○ ○ × 142

如表：一队、三队在表中出现3次，二队、四队、五队、各出现2次，如果第二、四、五小队的组合计算两次，那么各种组队的工作效率和中各个小队都被计算了3次。所以五个小队的工

作效率之和为：111

11231278

426??++?+÷= ???，五个小队一起合干需要1166÷=天。

【例12】

一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作，45天可以完成，需付工程款2700元；如果由甲、

乙、丁共同工作，40天可以完成，需付工程款2800元；如果由乙、丙、丁共同工作，36天可以完成，需付工程款2880元；如果由甲、丙、丁共同工作，30天可以完成，需付工程款2700元，现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要100天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？

【分析】

甲、乙、丙、丁的工效和是：111113

(

)345403630360

+++÷=

； 甲的工效是：131136036120-=；乙的工效是：1311

36030360-=

； 丙的工效是：131********-=；丁的工效是：1311

3604572

-=

。 确保工程要100天以内完成，只能选择丙队或丁队，然后比较支付的工程款。 甲、乙、丙每天需要的工程款27004560÷=元；甲、乙、丁每天需要的工程款28004070÷=；乙、丙、丁每天需要的工程款28803680÷=元；甲、丙、丁每天需要的工程款27003090÷=元。 甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和为()607080903100+++÷=元。

甲、乙、丙、丁每天需要的工程款分别是1008020-=元，1009010-=元，1007030-=元，

1006040-=元。

如果由丙队独自完成整项工程，那么需要支付30902700?=元，由丁队来完成，需要支付40722880?=元。相比较，工程应该交给丙队。

1.

一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完。现在甲先抄2小时，剩下的甲乙合作，还需要几小时才能完成？

巩固精练

【分析】由题意可知：甲，乙合作的效率为：

1

10

；乙单独的工作效率为

11

1813

1065

??

-?÷=

?

??

，所

以甲单独的效率

1

10

-

1

65

11

130

=。甲先抄2小时，剩下的甲乙合作，还需要

1114

128

1301013

??

-?÷=

?

??

小时。

2.抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、

乙每天工作效率和的1

5

。如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天都能

完成？

【分析】3人合抄只需8天就完成了，三人的合作工作效率为1

8

；甲每天的工作效率等于乙、丙二

人每天的工作效率的和，说明甲的工作效率等于乙、丙合作工作效率，且都是三人合作效率的

一半，即11

2

816

÷=；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的

1

5

，即甲、乙合作工作效率

为丙的5倍，甲=乙+丙，甲+乙=5丙，则乙的工作效率是丙的2倍，那么，乙的工作效率

=2

3

×

1

16

=

1

24

，所以，乙一人单独抄需要24天才能完成。

3.有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作

要8天，单独完成乙工作要20天。如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？

【分析】很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高。因此让李先做甲，张先做

乙。设乙的工作量为“1”个单位，张每天完成

1

15

，李每天完成

1

20

份。8天，李就能完成甲

工作。此时张还余下乙工作

17

18

1515

-?=。由张、李合作需要

711

4

151520

??

÷+=

?

??

天；所以完成

所有工作需要8412

+=（天）。

4.一件工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰可完成一半，现在甲乙两队

合做若干天后，由乙队单独完成,做完后发现两段所用时间相等，则共用多少天？

【分析】甲队做6天完成一半，甲队做3天乙队做2天也完成一半，,所以甲队做3天相当于乙队

做2天。即甲的工作效率是乙的2

3

，从而乙独做

2

128

3

?=天完成。所说两段所用时间相等,每

段时间应是

2

811

3

??

÷++

?

??

（天），因此共用3×2=6天。

竞技跳水比赛主要包括跳台和跳板，比赛时运动员要完成规定和自选动作，最后以两种动作的总分决定名次。２００８年北京奥运会设男、女个人１０米跳台和３米跳板，以及男、女双人１０米跳台和３米跳板共８个项目。比赛在北京奥林匹克公园的国家游泳中心举行。跳水池面积为２５米Ｘ２５米，池深５·４米。

跳水的男子个人和双人项目各需完成６个动作，女子个人和双人项目各需完成５个动作。跳板比赛中，女子包括５个不同组别无难度系数限制的动作，男子则包括６个无难度系数限制的动作，其中５个动作来自不同的组别，另１个动作从５个组别中任选。跳台的女子比赛含５个不同组别的无难度系数限制的动作，男子比赛包括６个不同组别的无难度系数限制的动作。

奥运会跳水比赛先进行预赛，然后选出１２名成绩最好的运动员参加决赛。决赛时，必须重复预赛时的全部动作，最后以决赛成绩总分多者为优胜。双人比赛没有预赛，直接进行决赛，决赛有８对选手参加。

农夫看到猎人的罗网里有一只老鹰，而那只老鹰的翅膀受伤了，正在罗网里伤心地哭泣。农夫见状动了恻隐之心，便对猎人说：“老哥，把这只老鹰卖给我吧，我很喜欢它。”

猎人同意了农夫的请求。农夫把老鹰带回家，为它洗净了伤口，包扎好后，还给它喂了一些粮食。老鹰在农夫的精心照顾下，伤口好得很快。

农夫从地里回来，发现老鹰已不知什么时候从他家里飞走了。农夫很后悔，自言自语地说：“真没良心，我救了它一命，现在连谢谢都没说就飞走了，我以后再也不做好事了。”

某个冬日，农夫正靠着墙根晒太阳，碰巧那堵墙快要倒塌，农夫却没有觉察到，正在这时，天上飞来一只老鹰，它用爪子抓走了农夫头上的帽子飞走了。农夫起身去追，发现抓走他帽子的刚好是被他救过一命的老鹰，农夫愤怒至极，他边追边骂：“你这个该死的家伙，我先前救了你一命，你不曾报答，现在又来抢我的帽子……”

农夫话还没有说完，突然听到“轰隆”一声，农夫回头一看，刚才自己靠着的那堵墙已倒塌了，而他的帽子，已从天空掉到了他的脚跟前。

有时我们帮助了别人，是不是也期待别人的回报？不要急于一时，付出总有回报。关爱和帮助也是一种付出，不论它多么微不足道。快乐不也是一种收获吗？

1、助人为快乐之本。回报不是助人的目的。

2、助人就是助己。