大学物理(第四版)课后习题及答案 电介质
题8.1：一真空二极管，其主要构件是一个半径R 1 = 5.0?10-4 m 的圆柱形阴极和一个套在阴极外，半径m 105.432-?=R 的同轴圆筒形阳极。阳极电势比阴极电势高300 V ，阴极与阳极的长度均为L = 2.5?10-2 m 。假设电子从阴极射出时的速度为零。求：（1）该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（2）电子刚从阳极射出时所受的力。 题8.1分析：（1）由于半径L R <<1，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性。从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电于所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少。由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率。
（2）计算阳极表面附近的电场强度，由E F q =求出电子在阴极表面所受的电场力。 解：（1）电子到达阳极时，势能的减少量为
J 108.417ep -?-=-=?eV E
由于电子的初始速度为零，故
J 108.417ep ek ek -?=?-=?-E E E
因此电子到达阳极的速率为
17ek
s m 1003.122-??===
m
eV
m
E v （2）两极间的电场强度为
r 02e E r πελ
-=
两极间的电势差 1
200ln 2d 2d 2
1
21
R R r r V R R R R πελ
πελ-=-
=?=??
r E 负号表示阳极电势高于阴极电势。阴极表面电场强度
r 1
2
1r 1
0ln 2e e E R R R V
R =
-
=πελ
电子在阴极表面受力
N e E F r 141037.4-?=-=e
这个力尽管很小，但作用在质量为9.11?10－
31 kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加
速度的5?1015倍。 题8.2：一导体球半径为R 1，外罩一半径为R 2的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q ，而内球的电势为V 0。求此系统的电势和电场的分布。
题8.2分析：不失一般情况，假设内导体球带电q ，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示，依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布。并由?∞
?=p v l E d P 或电势叠加求
出电势的分布。最后将电场强度和电势用已知量210R R Q V 、、、表示。
题8.2解：根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称。取同心球面为高斯面，由高斯定理()∑?=?=?024d πq r r E S E ，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域
内的电场分布为
时1R r <， ()01=r E
时21R r R <<，()2
024r q r E πε=
时2R r >，()2
024r q
Q r E πε+=
由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布。r 2 010321144d d d d 2 2 1 1 R Q R q V R R R R r r πεπε+ =?+?+?=?=????∞∞l E l E l E l E 时21R r R <<，2 0032244d d d 2 2R Q r q V R R r r πεπε+ = ?+?=?=?? ?∞ ∞ l E l E l E 时2R r >，r q Q V r 0334d πε+= ?=?∞ l E 也可以从球面电势的叠加求电势的分布。在导体球内（r 2010144R Q R q V πεπε+ = 在导体球和球壳之间（R 1 200244R Q r q V πεπε+ = 在球壳外（r >R 2） r q Q V 034πε+= 由题意 2 01 00144R Q R q V V πεπε+ = = 得 Q R R V R q 2 1 0104- =πε 代人电场、电势的分布得 时1R r <，011;0V V E == 时21R r R <<，()r R Q R r r V R V r R Q R r V R E 201012 2 201201244πεπε-+=-=； 时2R r >，()()r R Q R R r V R V r R Q R R r V R E 2012013 2 2012201344πεπε-+=-+= ； 题8.3：在一半径为R 1 =6.0 cm 的金属球A 外面套有一个同心的金属球壳B 。已知球壳B 的内、外半径分别为R 2 =8.0 cm ，R 3 =10.0 cm 。设球A 带有总电荷C 100.38A -?=Q ，球壳B 带有总电荷C 100.28B -?=Q 。（l ）求球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势；（2）将球壳B 接地然后断开，再把金属球A 接地，求球A 和球壳B 内、外表面上所 带的电荷以及球A 和球壳B 的电势。 题8.3分析：（1）根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷Q A 均匀分布在球A 表面，球壳B 内表面带电荷A Q -，外表面带电荷A B Q Q +，电荷在导体表面均匀分布， 由带电球面电势的叠加可求得球A 和球壳B 的电势。 （2）导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）。球壳B 接地后，外表面的电荷从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电A Q -。 断开球壳B 的接地后，再将球A 接地，此时球A 的电势为零。电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡、不失一般性可设此时球A 带电q A ，根据静电平衡时导体上电荷的分布规律，可知球壳B 内表面感应-q A ，外表面带电q A -Q A 。此时球A 的电势可表示为 30A A 20A 10A A 444R Q q R q R q V πεπεπε-+-+= 由0A =V 可解出球A 所带的电荷A q ，再由带电球面电势的叠加，可求出球A 和球壳B 的电势。 解：（1）由分析可知，球A 的外表面带电C 100.38-?，球壳 B 内表面带电C 100.38-?-，外表面带电C 100.58-?。由电势的叠加，球A 和球壳B 的电势分别为 V 106.544433 0B A 20A 10A A ?=++-+=R Q Q R Q R Q V πεπεπε V 105.4433 0?=+= R Q Q V B A B πε （2）将球壳B 接地后断开，再把球A 接地，设球A 带电q A ，球A 和球壳B 的电势为 044430A A 20A 10A A =+-+-+=R q Q R q R q V πεπεπε 3 0A A B 4R q Q V πε+-= 解得C 1012.283 1322121A -?=-+= R R R R R R Q R R q 即球A 外表面带电C 1012.28-?，由分析可推得球壳B 内表面带电C 1012.28-?-，外表面带电C 109.08-?-。另外球A 和球壳B 的电势分别为 0A =V V 1092.72B ?-=V 导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡。 题8.4：地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km ，试估算地球－电离层系统的电容。设地球与电离层之间为真空。 题8.4解：由于地球半径m 1037.661?=R ；电离层半径m 1047.6m 1000.16152?=+?=R R ，根据球形电容器的电容公式，可得 F 1058.4421 2210-?=-=R R R R C πε 题8.5：两线输电线，其导线半径为3.26 mm ，两线中心相距0.5 m ，线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略。求输电线单位长度的电容 题8.5解：两输电线的电势差 R R d U -=ln 0πελ 因此，输电线单位长度的电容 R d R R d U C ln /ln /00πεπελ ≈-== 代人数据 F 1086.412-?=C 题8.6：由两块相距0.50 mm 的薄金属板A 、B 构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒K 内，金属盒上、下两壁与A 、B 分别相距0.25 mm ，金属板面积为mm 40mm 30?求：（1）被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽金相碰，问此时的电容又为原来的几倍。 题8.6分析：薄金属板A 、B 与金属盒一起构成三个电容器其等效电路图如图所示，由于两导体间距离较小。电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可求得A 、B 间的电容。。 解：（1）如图，由等效电路可知 13 232123C C C C C C C C ++?=+= 由于电容器可视作平板电容器，且32122d d d ==，故1322C C C ==，因此 A 、B 间的 总电容 12C C = （2）若电容器的一个引脚与屏蔽盒相碰，相当于2C （或者3C ）极板短接，其电容为零，则总电容 13C C =' 题8.7：在A 点和B 点之间有5个电容器，其连接如图所示。（1）求A 、B 两点之间的等效电容；（2）若A 、B 之间的电势差为12 V ，求U AC 、U CD 和U DB 。 题8.7解：（1）由电容器的串、并联，有 μF 1221AC =+=C C C μF 843CD =+=C C C 求得等效电容μF 4AB =C （2）由于AB DB CD AC Q Q Q Q ===，得 V 4AB AC AB AC ==U C C U V 6AB CD AB CD ==U C C U V 2C C AB CD AB DB == U U 题8.8：盖革—米勒管可用来测量电离辐射。该管的基本结构如图所示，一半径为R 1的长直导线作为一个电极，半径为R 2的同轴圆柱筒为另一个电极。它们之间充以相对电容率1r ≈ε的气体。当电离粒子通过气体时，能使其电离。若两极间有电势差时，极板间有电流，从而可测出电离粒子的数量。如以E 1表示半径为R 1的长直导线附近的电场强度。（1）求极板间电势的关系式；（2）若mm 0.20,mm 30.0,m V 100.221161==??=-R R E ，两极板间的电势差为多少？ 题8.8解：（1）由上述分析，利用高斯定理可得L rL E λεπ0 1 2=?， 则两极板间的电场强度 r E 02πελ = 导线表面（r = R 1）的电场强度 1012R E πελ = 两极板间的电势差 1 2110ln d 2d 21 21 R R E R r r U R R R R ==?=? ? πελ r E （2）当mm 0.20,mm 30.0,m V 100.221161==??=-R R E 时， V 1052.23?=U 题8.9：一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm 2，厚度为0.10 mm 。 把平行平板电容器的两 级板紧贴在晶片两侧。（1）求电容器的电容；（2）当在电容器的两板上加上12 V 电压时，极板上的电荷为多少时，极板上的电荷为多少？此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？（3）求电容器内的电场强度. 题8.9解：（1）查表可知二氧化钛的相对电容率173r =ε，故充满此介质的平板电容器的电容 F 1053.190r -?== d S C εε （2）电容器加上V 12=U 的电压时，极板上的电荷 C 1084.18-?==CU Q 极板上自由电荷面密度为 240m C 1084.1--??== S Q σ 晶片表面极化电荷密度 2 400 m C 1083.111--??=??? ? ? ?-='σεσr （3）晶片内的电场强度为 15m V 102.1-??== d U E 题8.10：如图所示，半径R = 0.10 m 的导体球带有电荷C 100.18-?=Q ，导体外有两层均匀介质，一层介质的0.5r =ε，厚度m 10.0=d ，另一层介质为空气，充满其余空间。求：（1）离球心为r = 5 cm 、15 cm 、25 cm 处的 D 和E ；（2）离球心为r = 5 cm 、15 cm 、25 cm 处的 V ；（3）极化电荷面密度σ'。 题8.10分析：带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的 任取同心球面为高斯面，电位移矢量D 的通量只与自由电荷分布有关，因此在高斯面D 上呈均匀对称分布，由高斯定理∑?=?0d q S D 可得()r D 再由r ε0D E =可得()r E 。 介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系?∞ ?=r V l E d 求得，或者由电势叠 加原理求得。 极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷体面密度n P ='σ。 解：（1）取半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理得 0421=? r π 0011==E D ； Q r D d R r R =?+<<224π， 2 r 02 2244r Q E r Q D επεπ== ； Q r D d R r =?+>234π， 2 032 344r Q E r Q D πεπ== ； 将不同的r 值代人上述两式，可得r = 5 cm 、15 cm 和25 cm 时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外。r 1 = 5 cm ，该点在导体球内，则 0011r r ==E D ； r 2 = 15 cm ，该点在介质层内，0.5r =ε，则 1 32 r 0r 2 822 r m V 100.84m C 105.3422---??== ??==r Q E r Q D επεπε r 3 = 25 cm ，该点在空气层内，空气中0εε≈，则 1 320r32 823 0r3m V 104.14m C 103.14---??== ??==r Q E r Q D πεπε （2）取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得 V 3604d ,cm 252 03331 ==?==?∞r Q V r r πεr E ()() V 480444d d ,cm 150r 02r 032222 =+++-=?+?==? ? ∞++d R Q d R Q r Q V r d R d R r πεεπεεπεr E r E ()() V 540444d d ,cm 50r 0r 03211=+++-=?+?==? ? ∞++d R Q d R Q R Q V r d R d R R πεεπεεπεr E r E （3）均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率0εε=，极化电荷可忽略。 故在介质外表面；()()() 2 r r n 0r n 411d R Q E P +-=-=πεεεε ()() 282 r r n m C 106.141--??=+-= =d R Q P πεεσ 在介质内表面：()()2 r r n 0r n 411R Q E P πεεεε-= -= ()282 r r n m C 104.641--??-=-- =-='R Q P πεεσ 介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号。 题8.11：一平板电容充电后极板上电荷面密度为230m C 105.4--??=σ。现将两极板与电源断开，然后再把相对电容率为0.2r =ε的电介质插人两极板之间。此时电介质中的D 、E 和P 各为多少？ 题8.11解：介质中的电位移矢量的大小 250m C 105.4--??==?= σS Q D 介质中的电场强度和极化强度的大小分别为 16r 0m V 105.2-??==εεQ E 250m C 103.2--??=-=E D P ε D 、P 、 E 方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）。 题8.12：在一半径为R 1的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为2R ，相对电容率为r ε。设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为λ。试求介质层内的D 、E 和P 。 题8.12解：由介质中的高斯定理，有 L rL D λπ=?=??2d S D 得r 2e D r πλ= 在均匀各向同性介质中 r r 0r 02e D E r επελεε== r r 021 1e E D P r πλε ε??? ? ? ?-=-= 题8.13：设有两个薄导体同心球壳A 与B ，它们的半径分别为R 1 = 10 cm 与R 3 = 20 cm ，并分别带有电荷C 100.48-?-与C 100.17-?。球壳间有两层介质内层介质的0.4r1=ε，外层介质的0.2r2=ε，其分界面的半径为R 2 = 15 cm 。球壳B 外为空气。求（1）两球间的电势差U AB ；（2）离球心30 cm 处的电场强度；（3）球A 的电势。 题8.13分析：自由电荷和极化电荷均匀分布在球面上。电场呈球对称分布。取同心球面为高斯面，根据介质中的高斯定理可求得介质中的电场分布。 由电势差和电场强度的积分关系可求得两导体球壳间的电势差，由于电荷分布在有限空间，通常取无穷远处为零电势，则A 球壳的电势 ?∞ ?=A V l E d A 解：（1）由介质中的高斯定理，有 12 4d Q r D =?=??πS D 得 r r Q e D D 2 1 214π== 21r 2 r101r101 14R r R r Q <<==e D E επεεε 32r 2 r201r2 02 24R r R r Q <<= = e D E επεεε 两球壳间的电势差 ? ??? ??-+???? ??-=?+?=?=? ?? 32 r2 0121r101 21AB 114114d d d 32 2 1 31 R R Q R R Q U R R R R R R επεεπεl E l E l E （2）同理由高斯定理可得 1r 3r 2 02 13m V 100.64-??=+=e e E r Q Q πε （3）取无穷远处电势为零，则 V 101.24d 3r1 02 1AB 3AB A ?=++ =?+=?∞ επεQ Q U U V B l E 题8.14：如图所示，球形电极浮在相对电容率为0.3r =ε的油槽中。球的一半浸没在油中，另一半浸入在油中，另一半在空气中。已知电极所带净电荷C 100.260-?=Q 。问球的上、下部分各有多少电荷？ 题8.14分析：我们可以将导体球理解为两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立容器，静电平衡时导体球上的电荷分布使导体成为等势体，故可将导体球等效为两个半球电容并联，其相对无限远处的电势均为V ，且 2211C Q C Q V ==（1） 另外导体球上的电荷总量保持不变，应有 021Q Q Q =+ （2） 因而可解得Q 1、Q 2. 解：将导体球看作两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立电容器，上 半球在空气中，电容为 R C 012πε= 下半球在油中，电容为 R C r 022επε= 由分析中式（1）和式（2）可解得 C 1050.011 60r 02111-?=+=+=Q Q C C C Q ε C 105.11 60r r 02122-?=+=+= Q Q C C C Q εε 由于导体球周围部分区域充满介质，球上电荷均匀分布的状态将改变。可以证明，此时介质 中的电场强度与真空中的电场强度也不再满足r 0εE E =的关系。事实上，只有当电介质均匀 充满整个电场，并且自由电荷分布不变时，才满足r εE E = . 题8.15：有一个空气平极电容器，极板面积为S ，间距为d 。现将该电容器接在端电压为U 的电源上充电，当（1）充足电后；（2）然后平行插入一面积相同、厚度为()d <δδ、相对电容率为r ε的电介质板；（3）将上述电介质换为同样大小的导体板。分别求电容器的电容C ，极板上的电荷Q 和极板间的电场强度E 。 题8.15分析：电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U 。插入电介质后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反，介质内的电场减弱。由于极板间的距离d 不变，因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有 ()δεεδεS Q d S Q U r 00+-= 相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由 电荷和插人导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场E 增强，以维持两极板间的电势差不变，并有 ()δε-=d S Q U 0 综上所述，接上电源的平板电容器，插人介质或导体后，极板上的自由电荷均会增加，而电势差保持不变。 解：（l ）空气平板电容器的电容 d S C 00ε= 充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为 U d S Q 00ε= d U E = 0 （2）插入电介质后，电容器的电容C 1为 ()()δεδεεδεεδε-+=??? ? ??+-=d S S Q d S Q Q C r r 0r 001/ 故有 () δεδεε-+= =d SU U C Q r r 011 介质内电场强度 ()δεδεε-+= ='d U S Q E r r 011 空气中的电场强度 () δεδεε-+= =d U S Q E r r 011 （3）插人导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为 δ ε-=d S C 02 U d S Q δ ε-= 02 导体中的电场强度00 ='E 空气中的电场强度δ -= d U E 2 题8.16：如图所示，在平板电容器中填入两种介质，每种介质各占一半体积，试证其电容为 2 2 10r r d S C εεε+= 题8.16证1：将此电容器视为极板面积均为2S ，分别充满相对电容率为r1ε和r2ε的电介质的两个平板电容器并联，则 2 22r2 r10r201r 021εεεεεεε+= + = +=d S d S d S C C C 证2：假设电容器极板上带电荷 Q ，则由于电容器两侧所填充的电介质的电容率不同，故导 体极板上自由电荷的分布不均匀。设介质Ⅰ侧导体极板带电荷Q 1，介质Ⅱ侧导体极板带电 荷Q 2，在导体达到静电平衡时，导体极板为等势体， 故有 ??? ??=+=Q Q Q S d Q S d Q 21 r202r10122εεεε 解得Q Q r2 r11 r 1εεε+= Q Q r2 1r r2 2εεε+= r2 1r 0r10122εεεεε+= = Q S d S d Q U 2 2 10r r d S U Q C εεε+?== 题8.17：为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为r ε的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A 、B 为平板电容器的导体极板，d 0为两极板间的距离。试说明检测原理，并推出直接测量电容C 与间接测量厚度d 之间的函数关系。如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？ 题8.17解：由分析可知，该装置的电容为 ()d d d S C -+=0r r 0εεε 则介质的厚度为 ()()C S d C S C d d 111r r 00r r r r 00r ---=--=εεεεε εεεε 如果待测材料是金属导体，其等效电容为 d d S C -=00ε 导体材料的厚度 C S d d 00ε- = 实时地测量A 、B 间的电容量C ，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度、通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度。 题8.18：利用电容传感器测量油料液面高度。其原理如图所示，导体圆管A 与储油随B 相连，圆管的内径为D ，管中心同轴插入一根外径为d 的导体棒C ，d 、D 均远小于管长L 并且相互绝缘。试征明：当导体团管与导体棒之间接以电压为U 的电源时，圆管上的电荷与液面高度成正比（油料的相对电容率为r ε）。 题8.18分析：由于d 、D < 证：由分析知，导体A 、C 构成一组柱形电容器，它们的电容分别为 d D X C ln 2r 01επε= ()d D X L C ln 202-= πε 其总电容 ()X d D X L d D X C C C βαπεεπε+=-+= +=ln 2ln 20r 021 其中()d D d D L ln 12;ln 2r 00-== επεβπεα UX U CU Q βα+== 即导体管上所带电荷Q 与液面高度X 成正比，油罐与电容器联通。两液面等高，测出 电荷Q 即可确定油罐的液面高度。 题8.19：有一平行平板电容器，两极板间被厚度为0.01 nm 的聚四氯乙烯薄膜所隔开，求该电容器的额定电压。 题8.19解：查表可知聚四氯乙烯的击穿电场强度E b = 1.9?107 V ?m － 1。当电容器不被击穿时，电容器中的电场强度b E E ≤。因此，由均匀电场中电势与电场强度的关系，可得电容器上最大电势差（即额定电压）为 V 190b max ==d E U 题8.20：空气中半径分别为1.0 cm 和0.10 cm 的长直导线上，导体表面电荷面密度最大为多少？ 题8.20解：设长直导线上单位长度所带电荷为λ，则导线周围的电场强度为 002εσεπλ==r E 式中导体表面电荷面密度r πλ σ2= 。显然，在导线表面附近电场强度最大，查表可知空气的击穿电场强度E b = 3.0?106 V ?m － 1，只有b E E ≤，空气才不会被击穿，故σ的极限值 250m C 1066.2--??==b m E εσ 显然，它与导线半径无关。 题8.21：一空气平板电容器，空气层厚 1.5 cm ，两极间电压为40 kV ，该电容器会被击穿吗？现将一厚度为0.30 cm 的玻璃板插入此电容器，并与两极平行，若该玻璃的相对电容率为 7.0，击穿电场强度为10 MV ?m -1。则此时电容器会被击穿吗？ 题8.21解：未插入玻璃时，电容器内的电场强度为 16m V 107.2-??==d U E 因空气的击穿电场强度E b = 3.0?106 V ?m － 1，b E E <故电容器不会被击穿 插人玻璃后，由习题8.15可知，空气间隙中的电场强度 ()16r r m V 102.3-??=+-= δ δεεd V E 此时，因b E E >，空气层被击穿。击穿后40 kV 电压全部加在玻璃板两侧，此时玻璃板内的电场强度 17m V 103.1-??== δ V E 由于玻璃的击穿电场强度E 'b = 10 MV ?m -1，故b E E '>，玻璃也将相继被击穿，电容器完全被击穿。 题8.22：某介质的相对电容率8.2r =ε，击穿电场强度为18?106 V ?m － 1，如果用它来作平板电容器的电介质，要制作电容为0.047 μF ，而耐压为4.0 kV 的电容器，它的极板面积至少要多大。 题8.22解：介质内电场强度 16b m V 1018-??=≤E E 电容耐压U m = 4.0 kV ，因而电容器极板间最小距离 m 1022.24b m -?==E U d 要制作电容为0.047 μF 的平板电容器，其极板面积 2r 0m 42.0==εεCd S 显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通常将平板电容器卷叠成筒状后再封装。 题8.23：一平行板空气电容器，极板面积为S ，极板间距为d ，充电至带电Q 后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到2d 。求：（1）电容器能量的改变；（2）此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系。 题8.23解：（1）极板间的电场为均匀场，且电场强度保持不变，因此，电场的能量密度为 2 022 0e 221S Q E w εε== 在外力作用下极板间距从d 被拉开到2d 。电场占有空间的体积，也由V 增加到2V ，此 时电场能量增加。 S d Q V w W 02e e 2ε=?=? （2）两导体极板带等量异号电荷，外力F 将其缓缓拉开时，应有F = -F 则外力所作的功为 S d Q QEd A 02e 2ε==??-=r F 外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加。 说明：字母为黑体者表示矢量 一、选择题 1. 关于静电场中某点电势值的正负，下列说法中正确的是： [ C ] (A) 电势值的正负取决于置于该点的试验电荷的正负 ; (B) 电势值的正负取决于电场力对试验电荷作功的正负 ; (C) 电势值的正负取决于电势零点的选取 ; (D) 电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负。 2. 真空中一半径为 R 的球面均匀带电 Q ，在球心 O 处有一带电量为 q 的点电荷，如图所示。 设无穷远处为电势零点，则在球内离球心 O 距离为 r 的 P 点处电势为： [ B ] (A) q (B) 1 ( q Q ) Q 4 r 4 r R r P (C) q Q (D) 1 ( q Q q ) O q R 4 0 r 4 0 r R 3. 在带电量为－ Q 的点电荷 A 的静电场中， 将另一带电量为 q 的点电荷 B 从 a 点移到 b 点， a 、 b 两点距离点电荷 A 的距离分别为 r 1 和 r 2，如图所示。则在电荷移动过程中电场力做的 功为 [ C ] (A) Q 1 1 (B) qQ 1 1 A r 1 a 4 ( ) ； ( ) ； 0 r 1 r 2 4 0 r 1 r 2 - Q qQ 1 1 qQ r 2 b (C) ) ； (D) 。 ( r 2 4 0 ( r 2 r 1 ) 4 0 r 1 4. 以下说法中正确的是 [ A ] (A) 沿着电力线移动负电荷 , 负电荷的电势能是增加的； (B) 场强弱的地方电位一定低 , 电位高的地方场强一定强； (C) 等势面上各点的场强大小一定相等； (D) 初速度为零的点电荷 , 仅在电场力作用下 , 总是从高电位处向低电位运动； (E) 场强处处相同的电场中 , 各点的电位也处处相同 . 二、填空题 R 1．电量分别为 q , q , q 的三个点电荷位于一圆的直径上 , 两个在 q q 2 1 q 1 2 3 O 3 圆周上 , 一个在圆心 . 如图所示 . 设无穷远处为电势零点，圆半径为 ，则 b 点处的电势 U = 1 （ q 1 q 3 ）. b R 4 R 2 q 2 2．如图所示，在场强为 E 的均匀电场中， A 、B 两点间距离为 E ， 连线方向与 E 的夹角为 . 从 A 点经任意路径到 B 点的 d AB A B d 题1.1：已知质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为3322)s m 2()s m 6(m 2t t x --?-?+= 。求（l ）质点在运动开始后s 0.4内位移的大小；（2）质点在该时间内所通过的路程。 题1.1解：（1）质点在4.0 s 内位移的大小 m 3204-=-=?x x x （2）由 0)s m 6()s m 12(d d 232=?-?=--t t t x 得知质点的换向时刻为 ｓ2=P t （t = 0不合题意） 则：m 0.8021=-=?x x x m 40x 242-=-=?x x 所以，质点在4.0 s 时间间隔内的路程为 m 4821=?+?=x x s 题1.2：一质点沿x 轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。设0=t 时，0=x 。试根据已知的图t v -，画出t a -图以及t x -图。 题1.2解：将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程，它们对应的加速度值分别为 2A B A B AB s m 20-?=--=t t v v a （匀加速直线运动） 0BC =a （匀速直线） 2C D C D CD s m 10-?-=--= t t v v a （匀减速直线运动） 根据上述结果即可作出质点的a －t 图 在匀变速直线运动中，有 2002 1at t v x x + += 间内，质点是作v = 201s m -?的匀速直线运动，其x －t 图是斜率k = 20的一段直线。 题1.3：如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h ，滑轮到原船位置的绳长为0l ，试求：当人以匀速v 拉绳，船运动的速度v '为多少？ 2003—2004学年度第2学期期末考试试卷（A 卷） 《A 卷参考解答与评分标准》 一 填空题：（18分） 1． 10V 2.（变化的磁场能激发涡旋电场），（变化的电场能激发涡旋磁场）. 3. 5， 4. 2， 5. 3 8 6. 293K ，9887nm . 二 选择题：（15分） 1. C 2. D 3. A 4. B 5. A . 三、【解】(1) 如图所示，内球带电Q ，外球壳内表面带电Q -. 选取半径为r （12R r R <<）的同心球面S ，则根据高斯定理有 2() 0d 4πS Q r E ε?==? E S 于是，电场强度 204πQ E r ε= (2) 内导体球与外导体球壳间的电势差 22 2 1 1 1 2200 01211d 4π4π4πR R R AB R R R Q Q dr Q U dr r r R R εεε?? =?=?==- ????? ? r E (3) 电容 12 001221114π/4πAB R R Q C U R R R R εε??= =-= ?-?? 四、【解】 在导体薄板上宽为dx 的细条，通过它的电流为 I dI dx b = 在p 点产生的磁感应强度的大小为 02dI dB x μπ= 方向垂直纸面向外. 电流I 在p 点产生的总磁感应强度的大小为 22000ln 2222b b b b dI I I dx B x b x b μμμπππ===? ? 总磁感应强度方向垂直纸面向外. 五、【解法一】 设x vt ＝, 回路的法线方向为竖直向上( 即回路的绕行方向为逆时 针方向)， 则 21 d cos602B S Blx klvt Φ=?=?= ? ∴ d d klvt t εΦ =- =- 0ac ε < ，电动势方向与回路绕行方向相反，即沿顺时针方向（abcd 方向）． 【解法二】 动生电动势 1 cos602 Blv klvt ε?动生＝＝ 感生电动势 d 111 d [cos60]d 222d d dB B S Blx lx lxk klvt t dt dt dt εΦ=- =?=--?===?感生－ klvt εεε==感生动生＋ 电动势ε的方向沿顺时针方向（即abcd 方向）。 六、【解】 1. 已知波方程 10.06cos(4.0)y t x ππ=- 与标准波方程 2cos(2) y A t x π πνλ =比较得 , 2.02, 4/Z H m u m s νλνλ==== 2. 当212(21)0x k ππΦ-Φ==+合时，A ＝ 于是，波节位置 21 0.52k x k m += =+ 0,1,2, k =±± 3. 当 21222x k A ππΦ-Φ==合时，A ＝ 于是，波腹位置 x k m = 0,1,2, k =±± ( 或由驻波方程 120.12cos()cos(4)y y y x t m ππ=+= 有 (21) 00.52 x k A x k m π π=+?=+合＝ 0,1,2, k =±± 20.122 x k A m x k m π π=?=合＝, 0,1,2, k =±± ) 习 题 四 4-1 质量为m =的弹丸，其出口速率为300s m ，设弹丸在枪筒中前进所受到的合力 9800400x F -=。开抢时，子弹在x =0处，试求枪筒的长度。 [解] 设枪筒长度为L ，由动能定理知 2022121mv mv A -= 其中??-==L L dx x Fdx A 00)9 8000400( 9 40004002 L L - = 而00=v ， 所以有： 22 300002.05.09 4000400??=-L L 化简可得： m 45.00 813604002==+-L L L 即枪筒长度为。 4-2 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m 的滑块以初速度0v 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为() 12 1220-= -πμe mv W [证明] 物体受力：屏障对它的压力N ，方向指向圆心，摩擦力f 方向与运动方向相反，大小为 N f μ= (1) 另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。 由牛顿运动定律 切向 t ma f =- (2) 法向 R v m N 2 = (3) 联立上述三式解得 R v a 2 t μ-= 又 s v v t s s v t v a d d d d d d d d t === 所以 R v s v v 2 d d μ -= 即 s R v v d d μ-= 两边积分，且利用初始条件s =0时，0v v =得 0ln ln v s R v +- =μ 即 s R e v v μ -=0 由动能定理 2 022 121mv mv W -= ，当滑块从另一端滑出即R s π=时，摩擦力所做的功为 () 12 1212122020220-=-=--πμ πμ e mv mv e mv W R R 4-3 质量为m 的质点开始处于静止状态，在外力F 的作用下沿直线运动。已知 T t F F π2sin 0=，方向与直线平行。求：(1)在0到T 的时间内，力F 的冲量的大小；(2)在0到2T 时间内，力F 冲量的大小；(3)在0到2T 时间内，力F 所作的总功；(4)讨论质点的运动情况。 [解]由冲量的定义?=1 2 d t t t F I ，在直线情况下，求冲量I 的大小可用代数量的积分，即 ?= 1 2 d t t t F I (1) 从t ＝0到 t=T ，冲量的大小为： ?= =T t F I 01d ?-=T T T t T F t T t F 0 00]2cos [2d 2sin πππ=0 (2) 从t =0到 t =T /2，冲量的大小为 π πππ0000 0022 2 2]2cos [2d 2sin d TF T t T F t T t F t F I T T T =-=== ?? (3) 初速度00=v ，由冲量定理 0mv mv I -= 当 t =T /2时，质点的速度m TF m I v π0== 又由动能定理，力F 所作的功 m F T m F mT mv mv mv A 22022 22022 20222212121ππ===-= (4) 质点的加速度)/2sin()/(0T t m F a π=，在t =0到t =T /2时间内，a >0，质点 作初速度为零的加速运动，t =T /2时，a =0，速度达到最大；在t =T /2到t =T 时间内，a <0，但v >0，故质点作减速运动，t =T 时 a =0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一 大学物理练习册习题答案 练习一 （第一章 质点运动学） 一、1.（0586）（D ）2.（0587）（C ）3.（0015）（D ）4.（0519）（B ） 5.（0602）（D ） 二、1.（0002）A ｔ= 1.19 s ｔ= 0.67 s 2.（0008）8 m 10 m 3.（0255）() []t t A t ωβωωωβ βsin 2cos e 22 +--，()ωπ/122 1+n ， （n = 0, 1, 2,…） 4.（0588） 30/3 Ct +v 4 00112 x t Ct ++ v 5.（0590） 5m/s 17m/s 三、 1.（0004）解：设质点在x 处的速度为v ， 2 d d d 26 d d d x a x t x t ==?=+v v ()2 d 26d x x x =+??v v v () 2 2 1 3 x x +=v 2.（0265）解：（1） /0.5 m/s x t ??==-v （2） 2 =/96dx dt t t =- v （3） 2= 6 m/s -v |(1.5)(1)||(2)(1.5)| 2.25 m S x x x x =-+-= 3.（0266）解：（1） j t r i t r j y i x r ????? sin cos ωω+=+= （2） d sin cos d r r t i r t j t ωωωω==-+v v v v v 22 d cos sin d a r t i r t j t ωωωω==--v v v v v （3） ()r j t r i t r a ???? sin cos 22 ωωωω-=+-= 这说明 a ?与 r ? 方向相反，即a ?指向圆心. 4. 解：根据题意t=0，v=0 --------==?+?∴=?+?=====?+?=+?+?? ??? ??由于及初始件v t t r t t r dv adt m s i m s j dt v m s ti m s tj dr v t r m i dt dr vdt m s ti m s tj dt r m m s t m s t j 0 220 220 220 2222[(6)(4)] (6)(4)0,(10)[(6)(4)][10(3)][(2)] 质点运动方程的分量式： --=+?=?x m m s t y m s t 2 2 22 10(3)(2) 消去参数t ，得到运动轨迹方程 =-y x 3220 练习二（第一章 质点运动学） 一、1.（0604）（C ） 2.（5382）（D ） 3.（5627）（B ） 4.（0001）（D ） 5.（5002）（A ） 二、1.（0009） 0 bt +v 2. （0262） －c （b －ct ）2/R 第2章刚体得转动 一、选择题 1、如图所示，A、B为两个相同得绕着轻绳得定滑轮．A滑轮挂一质量为M得物体，B滑轮受拉力F，而且F＝Mg．设A、Ｂ两滑轮得角加速度分别为βA与βＢ，不计滑轮轴得摩擦，则有 （Ａ) βA＝βB。（B）βA＞βＢ. (Ｃ)βA＜βB．(D）开始时βＡ=βB，以后βA<βB。 ［］ 2、有两个半径相同，质量相等得细圆环A与B。A环得质量分布均匀，B环得质量分布不均匀。它们对通过环心并与环面垂直得轴得转动惯量分别为ＪA与J B,则 （A）ＪA＞J B．(B) JＡ 、选择题 练习十三 (简谐振动、旋转矢量、简谐振动的合成) 1. 一弹簧振子，水平放置时，它作简谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列情况正确的是 (A) 竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动; (B) 竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动; (C) 两种情况都作简谐振动； (D)两种情况都不作简谐振动。 d2x 解：(C)竖直弹簧振子：m—2k(x I) mg kx( kl dt 弹簧置于光滑斜面上：m吟 dt2k(x I) mg sin kx ( )d 2x mg), 勞dt2 d2x kl mg),可 dt2 2 . 两个简谐振动的振动曲线如图所示，则有(A) n n (A) A超前一；(B) A落后一；(C) A超前n; 2 2 (D) A落后It 。 2 x 3. 一个质点作简谐振动，周期为T，当质点由平衡位置向x轴正方向运动时，由 之一最大位移这段路程所需要的最短时间为 (B) /、T/、T T /、T (A) (B) ; (C) (D) 。 41268 解：(A)X A A cos t, X B Acos( t /2) 解：(B)振幅矢量转过的角度/6 ,所需时间t 平衡位置到二分 4.分振动表式分别为x13cos(50 n 0.25 n 和x2 为: (A) x 2cos(50 n t 0.25 u);(B) (C) x 5cos(50 n 1 arcta n —)； 2 7 (D 解：(C)作旋转矢量图或根据下面公式计算5 . /6 T 2 /T 12 4cos(50 n 0.75 n (SI 制)则它们的合振动表达式x 5cos(50 n); A A 2AA COS(20 10) . 32 42 2 3 4cos(0.75 0.25 丄1 Asin 10 A2sin 20丄1 3sin(0.25 ) 4sin(0.75 ) tg - _ - — tg 3cos(0.25 ) cos 10 A? cos 20 4cos(0.75 ) 2 tg 两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端, 弹簧的伸长分别为5; l2，且h 2 l2，则 两弹簧振子的周期之比T1 :T2为(B) (A) 2 ; ( B) 2 ; ( C) 1/2 ; ( D) 1/、2。 x L h 书中例题：1.2, 1.6（p.7;p.17）（重点） 直杆AB 两端可以分别在两固定且相互垂直的直导线槽上滑动，已知杆的倾角φ＝ωt 随时间变化，其中ω为常量。 求：杆中M 点的运动学方程。 解：运动学方程为： x=a cos(ωt) y=b sin(ωt) 消去时间t 得到轨迹方程： x 2/a 2 + y 2/b 2 = 1 椭圆 运动学方程对时间t 求导数得速度： v x ＝dx/dt ＝-a ωsin(ωt) v y ＝dy/dt ＝b ωcos(ωt) 速度对时间t 求导数得加速度： a x ＝d v x /dt ＝－a ω2cos(ωt) a y ＝d v y /dt ＝－b ω2sin(ωt) 加速度的大小： a 2＝a x 2＋a y 2 习题指导P9. 1.4（重点） 在湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过一高处的滑轮拉船靠岸，当绳子以v 通过滑轮时， 求：船速比v 大还是比v 小？ 若v 不变，船是否作匀速运动？ 如果不是匀速运动,其加速度是多少？ 解： l ＝（h2＋x2）1/2 221/2 122()d l x d x v d t h x d t ==+ 221/2()d x h x v d t x += 当x>>h 时，dx/dt ＝v ，船速＝绳速 当x →0时，dx/dt →∞ 加速度： x y M A B a b φ x h 220d x d t =2221/22221/2221/2221/2221/22221/2()1()11()()1112()2()d x d h x v dt dt x d h x v dt x d dx d h x dx h x v v dx x dt x dx dt dx x dx h x v v x dt x h x dt ?? +=??????=?+???? +??=?++ ???=-?+++ 将221/2()d x h x v d t x +=代入得： 2221/2221/2 221/2 22221/21()112()()2()d x h x x h x h xv v v v d t x x x h x x ++=-?+++3222232222)(x v h x v v x x h dt x d -=++-= 分析： 当x ∞, 变力问题的处理方法（重点） 力随时间变化：F ＝f （t ） 在直角坐标系下，以x 方向为例，由牛顿第二定律： ()x dv m f t dt = 且：t ＝t 0 时，v x ＝v 0 ；x ＝x 0 则： 1 ()x dv f t dt m = 直接积分得： 1 ()()x x v dv f t dt m v t c ===+?? 其中c 由初条件确定。 由速度求积分可得到运动学方程： 《大学物理学》课后习题参考答案 习 题1 1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 )ωt sin ωt (cos j i +=R r 其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。 解：1） 由)ωt sin ωt (cos j i +=R r 知 t cos R x ω= t sin R y ω= 消去t 可得轨道方程 222R y x =+ 2） j r v t Rcos sin ωωt ωR ωdt d +-== i R ωt ωR ωt ωR ωv =+-=2 122 ])cos ()sin [( 1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r )t 23(t 42++=，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求： （1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。 解：1）由j i r )t 23(t 42++=可知 2t 4x = t 23y += 消去t 得轨道方程为：2)3y (x -= 2）j i r v 2t 8dt d +== j i j i v r 24)dt 2t 8(dt 1 1 +=+==??Δ 3） j v 2(0)= j i v 28(1)+= 1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r t t 22+=，式中r 的单位为m ，t 的单 位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。 解：1）j i r v 2t 2dt d +== i v a 2dt d == 2）21 22 12)1t (2] 4)t 2[(v +=+= 1 t t 2dt dv a 2 t +== n a == 1-4. 一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。 解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为 2012 1 at t v y += （1） 图 1-4 2022 1 gt t v h y -+= （2） 21y y = （3） 解之 t = 1-5. 一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的t d d r ，t d d v ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 2 1 h y -= 式（2） j i r )gt 2 1 -h (t v (t)20+= （2）联立式（1）、式（2）得 2 02 v 2gx h y -= （3） j i r gt -v t d d 0= 而 落地所用时间 g h 2t = 练习一 质点运动学 1、26t dt d +== ，61+= ，t v 261 331+=-=-? ， a 241 31 331=--=- 2、020 22 12110 v Kt v Ktdt v dv t Kv dt dv t v v +=?-?=??-= 所以选（C ） 3、因为位移00==v r ?，又因为,0≠?0≠a 。所以选（B ） 4、选（C ） 5、（1）由,mva Fv P ==dt dv a = ，所以：dt dv mv P =，??=v t mvdv Pdt 0 积分得：m Pt v 2= （2）因为m Pt dt dx v 2==，即：dt m Pt dx t x ??=0 02，有：2 3 98t m P x = 练习二 质点运动学 （二） 1、 平抛的运动方程为 202 1gt y t v x ==，两边求导数有： gt v v v y x ==0，那么 2 22 0t g v v +=， 2 22 022t g v t g dt dv a t +==， = -=22 t n a g a 2 220 0t g v gv +。 2、 2241442s /m .a ;s /m .a n n == 3、 （B ） 4、 （A ） 练习三 质点运动学 1、023 2332223x kt x ;t k )t (a ;)k s (t +=== 2、0321`=++ 3、（B ） 4、（C ） 练习四 质点动力学（一） 1、m x ;912== 2、（A ） 3、（C ） 4、（A ） 练习五 质点动力学（二） 1、m 'm mu v )m 'm (v V +-+-=00 2、（A ） 3、（B ） 4、（C ） 5、（1）Ns v v m I v s m v t t v 16)(,3,/19,38304042=-===+-= （2）J mv mv A 1762 1212 024=-= 练习六、质点动力学（三） 1、J 900 2、)R R R R ( m Gm A E 2 12 1-= 3、（B ） 4、（D ） 5、)(2 1 222B A m -ω 练习七 质点动力学（四） 1、) m m (l Gm v 212 2 12+= 2、动量、动能、功 3、（B ） 2014级机械《大学物理》习题库 1．以下四种运动形式中，a 保持不变的运动是 ［ D ］ (A) 单摆的运动 (B) 匀速率圆周运动 (C) 行星的椭圆轨道运动 (D) 抛体运动 2．一运动质点在某瞬时位于矢径(,)r x y r 的端点处，其速度大小为［ D ］ (A) d d r t (B) d d r t r (C) d d r t r 3．质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈。在2T 时间间隔 中，其平均速度大小与平均速率大小分别为 ［ B ］ (A) 2/R T ，2/R T (B) 0 ，2/R T (C) 0 ， 0 (D) 2/R T ， 0. 4．某人骑自行车以速率v 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30°方向 吹来，试问人感到风从哪个方向吹来［ C ］ (A) 北偏东30° (B) 南偏东30° (C) 北偏西30° (D) 西偏南30° 5．对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的： ［ B ］ (A) 切向加速度必不为零 (B) 法向加速度必不为零（拐点处除外） (C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零 (D) 若物体作匀速率运动，其总加速度必为零 6．下列说法哪一条正确［ D ］ (A) 加速度恒定不变时，物体运动方向也不变 (B) 平均速率等于平均速度的大小 (C) 不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成(v 1、v 2 分别为初、末 速率) 122 v v v (D) 运动物体速率不变时，速度可以变化。 7．质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，S 表示 路程，t a 表示切向加速度，下列表达式中，［ D ］ (1) d d v a t ， (2) d d r v t ， (3) d d S v t ， (4) d d t v a t r (A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的 (C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的 8．如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A 至C 的下滑过程中，下面哪个说法是正确的［ D ］ (A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心 (B) 它的速率均匀增加 A R 大学物理课后习题答案第六章 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 2 00 200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 故 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为 l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的 电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (4220R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E 2 3220)(41 cos R x xdq dE dE x += =πεθ R O λ1 λ2 l x y z x O 1A 2 2 练习 十三 (简谐振动、旋转矢量、简谐振动的合成) 一、选择题 1． 一弹簧振子，水平放置时，它作简谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列情况正确的是 （C ） （A ）竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动； （B ）竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动； （C ）两种情况都作简谐振动； （D ）两种情况都不作简谐振动。 解：(C) 竖直弹簧振子:kx mg l x k dt x d m )(22(mg kl ),0222 x dt x d 弹簧置于光滑斜面上:kx mg l x k dt x d m sin )(22 (mg kl ),0222 x dt x d 2． 两个简谐振动的振动曲线如图所示，则有 （A ） （A ）A 超前 2π； （B ）A 落后2π；（C ）A 超前π； （D ）A 落后π。 解：(A)t A x A cos ,)2/cos( t A x B 3． 一个质点作简谐振动，周期为T ，当质点由平衡位置向x 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的最短时间为： （B ） （A ）4T ； （B ）12T ； （C ）6T ； （D ）8 T 。 解：(B)振幅矢量转过的角度6/ ,所需时间12 /26/T T t , 4． 分振动表式分别为)π25.0π50cos(31 t x 和)π75.0π50cos(42 t x （SI 制）则它们的合振动表达式为： （C ） （A ）)π25.0π50cos(2 t x ； （B ）)π50cos(5t x ； （C ）π1 5cos(50πarctan )27 x t ； （D ）7 x 。 解：(C)作旋转矢量图或根据下面公式计算 )cos(210202122 2 1 A A A A A 5)25.075.0cos(432432 2 ; 7 1 2)75.0cos(4)25.0cos(3)75.0sin(4)25.0sin(3cos cos sin sin 112021012021011 0 tg tg A A A A tg 5． 两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端，弹簧的伸长分别为1l 和2l ，且212l l ，则两弹簧振子的周期之比21:T T 为 （B ） （A ）2； （B ）2； （C ）2/1； （D ）2/1。 解：(B) 弹簧振子的周期k m T 2 ,11l mg k , 22l mg k ,22 121 l l T T 6. 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m 的重物，其自由振动的周期为T ．今已知振子离开平衡位置为 x 时，其振动速度为v ，加速度为a ．则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是： （B ） (A) 2 max 2max /x m k v ； (B) x mg k / ； (C) 2 2/4T m k ； (D) x ma k / 。 解：B 7. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动表式为x 1 = A cos(t + )．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质 点的振动表式为 （B ） (A) )π21 cos( 2 t A x ； (B) )π2 1cos(2 t A x ； x t o A B 1 A 4 / 4 /3 2 A A x O )0(A )(t A 3/ 6/ 西安工业大学试题纸 1.若质点的运动方程为：()2r 52/2t t i t j =+-+（SI ），则质点的v ＝ 。 2. 一个轴光滑的定滑轮的转动惯量为2/2MR ，则要使其获得β的角加速度，需要施加的合外力矩的大小为 。 3.刚体的转动惯量取决于刚体的质量、质量的空间分布和 。 4.一物体沿x 轴运动，受到F =3t (N)的作用，则在前1秒内F 对物体的冲量是 （Ns ）。 5. 一个质点的动量增量与参照系 。（填“有关”、“无关”） 6. 由力对物体的做功定义可知道功是个过程量，试回答：在保守力场中，当始末位置确定以后，场力做功与路径 。（填“有关”、“无关”） 7.狭义相对论理论中有2个基本原理(假设)，一个是相对性原理，另一个是 原理。 8.在一个惯性系下，1、2分别代表一对因果事件的因事件和果事件，则在另一个惯性系下，1事件的发生 2事件的发生（填“早于”、“晚于”）。 9. 一个粒子的固有质量为m 0，当其相对于某惯性系以0.8c 运动时的质量m = ；其动能为 。 10. 波长为λ，周期为T 的一平面简谐波在介质中传播。有A 、B 两个介质质点相距为L ，则A 、B 两个质点的振动相位差=?φ____；振动在A 、B 之间传播所需的时间为_ 。 11. 已知平面简谐波方程为cos()y A Bt Cx =-，式中A 、B 、C 为正值恒量，则波的频率为 ；波长为 ；波沿x 轴的 向传播（填“正”、“负”）。 12.惠更斯原理和波动的叠加原理是研究波动学的基本原理，对于两列波动的干涉而言，产生稳定的干涉现象需要三个基本条件：相同或者相近的振动方向，稳定的位相差，以及 。 13. 已知一个简谐振动的振动方程为10.06cos(10/5)()X t SI π=+，现在另有一简谐振动，其振动方程为20.07cos(10)X t =+Φ，则Φ= 时，它们的合振动振幅最 大；Φ= 时，它们的合振动振幅最小。 14. 平衡态下温度为T 的1mol 单原子分子气体的内能为 。 15. 平衡态下理想气体(分子数密度为n ，分子质量为m ，分子速率为v )的统计压强P= ;从统计角度来看，对压强和温度这些状态量而言， 是理想气体分子热运动激烈程度的标志。 大学物理(上)课后习题答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 3 第1章 质点运动学 P21 1.8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为：x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计。⑴以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；⑵求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；⑶ 计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。 解：（1）j t t i t r )432 1()53(2 m ⑵ 1 t s,2 t s 时，j i r 5.081 m ；2114r i j v v v m ∴ 213 4.5r r r i j v v v v v m ⑶0t s 时，054r i j v v v ；4t s 时，41716r i j v v v ∴ 140122035m s 404r r r i j i j t v v v v v v v v v ⑷ 1 d 3(3)m s d r i t j t v v v v v ，则：437i j v v v v 1s m (5) 0t s 时，033i j v v v v ；4t s 时，437i j v v v v 24041 m s 44 j a j t v v v v v v v v v (6) 2d 1 m s d a j t v v v v 这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。 1.9 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为2 26a x ，a 的单位为m/s 2， x 的单位为m 。质点在x =0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。 解：由d d d d d d d d x a t x t x v v v v 得：2 d d (26)d a x x x v v 两边积分 210 d (26)d x x x v v v 得：2322250x x v ∴ 31225 m s x x v 1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+33t ，式中 以弧度计，t 以秒计，求：⑴ t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度 的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解： t t t t 18d d ,9d d 2 ⑴ s 2 t 时，2 s m 362181 R a 2 222s m 1296)29(1 R a n ⑵ 当加速度方向与半径成ο45角时，有：tan 451n a a 即： R R 2 ，亦即t t 18)9(2 2 ，解得：9 2 3 t 则角位移为：32 2323 2.67rad 9 t 1.13 一质点在半径为0.4m 的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为 =0.2 rad/s 2，求t ＝2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。 解：s 2 t 时，4.02 2.0 t 1s rad 则0.40.40.16R v 1s m 064.0)4.0(4.022 R a n 2 s m 0.40.20.08a R 2 s m 22222s m 102.0)08.0()064.0( a a a n 与切向夹角arctan()0.0640.0843n a a 练习一 质点运动学 一、选择题 1.【 A 】 2. 【 D 】 3. 【 D 】 4.【 C 】 二、填空题 1. (1) 物体的速度与时间的函数关系为cos dy v A t dt ωω= =； (2) 物体的速度与坐标的函数关系为2 2 2 ()v y A ω +=. 2. 走过的路程是 m 3 4π ； 这段时间平均速度大小为：s /m 40033π；方向是与X 正方向夹角3 π α= 3.在第3秒至第6秒间速度与加速度同方向。 4.则其速度与时间的关系v=3 2 03 1Ct dt Ct v v t = =-? , 运动方程为x=4 0012 1Ct t v x x +=-. 三、计算题 1. 已知一质点的运动方程为t ,r ,j )t 2(i t 2r 2 ? ?? ? -+=分别以m 和s 为单位，求: (1) 质点的轨迹方程，并作图； (2) t=0s 和t=2s 时刻的位置矢量； (3) t=0s 到t=2s 质点的位移?v ,?r ==? ?? (1)轨迹方程：08y 4x 2 =-+； (2) j 2r 0?? =，j 2i 4r 2???-= (3) j 4i 4r r r 02??? ??-=-=?，j 2i 2t r v ????-==?? 2. 湖中一小船，岸边有人用绳子跨过高出水面h 的滑轮拉船，如图5所示。如用速度V 0收绳，计算船行至离岸边x 处时的速度和加速度。 选取如图5所示的坐标，任一时刻小船满足： 222h x l +=，两边对时间微分 dt dx x dt dl l =，dt dl V 0-=，dt dx V = 02 2V x h x V +-= 方向沿着X 轴的负方向。 5 图 大学物理试题及答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 第1部分：选择题 习题1 1-1 质点作曲线运动，在时刻t 质点的位矢为r ，速度为v ，t 至()t t +?时间内的位移为r ?，路程为s ?，位矢大小的变化量为r ?（或称r ?），平均速度为v ，平均速率为v 。 （1）根据上述情况，则必有（ ） （A ）r s r ?=?=? （B ）r s r ?≠?≠?，当0t ?→时有dr ds dr =≠ （C ）r r s ?≠?≠?，当0t ?→时有dr dr ds =≠ （D ）r s r ?=?≠?，当0t ?→时有dr dr ds == （2）根据上述情况，则必有（ ） （A ）,v v v v == （B ）,v v v v ≠≠ （C ）,v v v v =≠ （D ）,v v v v ≠= 1-2 一运动质点在某瞬间位于位矢(,)r x y 的端点处，对其速度的大小有四种意见，即 （1） dr dt ；（2）dr dt ；（3）ds dt ；（4下列判断正确的是： （A ）只有（1）（2）正确 （B ）只有（2）正确 （C ）只有（2）（3）正确 （D ）只有（3）（4）正确 1-3 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，s 表示路程，t a 表示切向加速度。对下列表达式，即 （1）dv dt a =；（2）dr dt v =；（3）ds dt v =；（4）t dv dt a =。 下述判断正确的是（ ） （A ）只有（1）、（4）是对的 （B ）只有（2）、（4）是对的 （C ）只有（2）是对的 （D ）只有（3）是对的 1-4 一个质点在做圆周运动时，则有（ ） （A ）切向加速度一定改变，法向加速度也改变 （B ）切向加速度可能不变，法向加速度一定改变 （C ）切向加速度可能不变，法向加速度不变 （D ）切向加速度一定改变，法向加速度不变 * 1-5 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向 岸边运动。设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长且湖水静止，小船的速率为v ，则小船作（ ） （A ）匀加速运动，0 cos v v θ= （B ）匀减速运动，0cos v v θ= （C ）变加速运动，0cos v v θ = （D ）变减速运动，0cos v v θ= （E ）匀速直线运动，0v v = 1-6 以下五种运动形式中，a 保持不变的运动是 ( ) （Ａ）单摆的运动． （Ｂ）匀速率圆周运动． （Ｃ）行星的椭圆轨道运动． （Ｄ）抛体运动． （Ｅ）圆锥摆运动． 1-7一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度ｖ＝２ｍ／ｓ，瞬时加速度22/a m s -=-，则一秒钟后质点的速度 ( ) （Ａ）等于零． （Ｂ）等于－２ｍ／ｓ． （Ｃ）等于２ｍ／ｓ． （Ｄ）不能确定．大学物理习题集答案.doc
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