(人教版)-高中数学必修2-第三章--直线与方程-直线系与对称问题(全)
(人教版)-高中数学必修2-第三章--直线与方程-直线系与对称问题(全)
课题：直线系与对称问题
教学目标：1.掌握过两直线交点的直线系方程；2.会求
一个点关于一条直线的对称点的坐标的求法；3.会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线的求法. 教学重点：对称问题的基本解法
（一） 主要知识及方法：
1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -；
关于y 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y x =的对称点的坐标为(),b a ；关于y x =-的对称点的坐标为(),b a --.
2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：
()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++??
???
一定在直线0ax by c ++=上.
()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即00
1y b a
x a b
-???-=- ?-??
结论：点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为()002,2x AD y BD --， 其中0022
Ax By C
D A B
++=
+；曲线C ：(,)0f x y =关于直线l ：0Ax By C ++=的对称曲线方程为()2,20f x AD y BD --=特别地，当22A B =，即l 的斜率为1±时，点()00,P x y 关于直线
l ：0Ax By C ++=对称点为00,By C Ax C A B ++??
-- ???
，即()00,P x y 关于直线0x y c ±+=对称的点为：()(),y c x c -+m m ，
曲线(,)0f x y =关于0x y c ±+=的对称曲线为()(),0f y c x c -+=m m 3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：
①到角相等；②在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…
4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点
(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.
5.直线系方程：
()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）. ()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =
()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=
()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：
()()1
1
1
2
2
2
0a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2
l ）
（二）典例分析：
问题1．（06湖北联考）一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上， 反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度.
问题2．求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程.
问题3．根据下列条件，求直线的直线方程
()1求通过两条直线3100
-=的交点，且到原点距离为1；
x y
+-=和30
x y
()2经过点()
3,2
A，且与直线420
+-=平行；
x y
()3经过点()
B，且与直线250
3,0
+-=垂直.
x y
问题4．()1已知方程1
=+有一正根而没有负根，求实数k的范围
x kx
()2若直线1l ：2y kx k =++与2l ：24y x =-+的交点在第一象限，求k 的取值范围.
()3 已知定点()2,1P --和直线l ：()()()1312250x y λλλ+++-+=()R λ∈
求证：不论
λ取何值，点P 到直线l
（三）课后作业：
1.方程()()()14232140k x k y k +--+-=表示的直线必经过点
.A ()2,2 .B ()2,2- .C ()6,2- .D 3422,55??
???
2.直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是
.A 3220x y -+= .B 2370x y ++= .C 32120x y --= .D 2380x y ++=
3.曲线24y x =关于直线20x y -+=对称的曲线方程是
4.(){}.A x y y a x =
=，(){},B x y y x a ==+，A B I
仅有两个元素，则实数a 的范围是
5.求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的
直线方程
6.已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的方程分别是1l ：
10y +=与2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的方程.
7.已知直线130kx y k -+-=，当k 变化时所得的直线都经过的定点为
8.求证：不论m 取何实数，直线()()1215m x m y m -+-=-总通过一定点
9.求点P ()1,1关于直线l ：20x y ++=的对称点Q 的坐标
10.已知：(),P a b 与()1,1Q b a -+，()1a b ≠-是对称的两点，求对称轴的方程
11.光线沿直线1l ：250x y -+=射入，遇到直线2l ：3270x y -+=反射，求反射光线
所在的直线3l 的方程
12.已知点()3,5A -，()2,15B ，试在直线l ：3440x y -+=上找一点P ，使PA PB + 最
小，并求出最小值.
（四）走向高考：
1.(04安徽春)已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=.若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程为
.A 210x y -+= .B 210x y --= .C 10x y +-= .D 210x y +-=
2.（05上海）直线1
2y x =关于直线1x =对称的直线方程是
3.（07上海文）圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是
.A 21)2()3(22=-++y x .B 2
1)2()3(22=++-y x .C 2)2()3(22=-++y x .D 2)2()3(22=++-y x
直线与方程测试题含答案
第三章 直线与方程测试题 一．选择题1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为（ ） A ．y ＝3x －6 B. y ＝ 33x ＋4 C . y ＝33x －4 D. y ＝3 3x ＋2 2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是（ ）。 A. －6 B. －7 C. －8 D. －9 3. 如果直线 x ＋by ＋9=0 经过直线 5x －6y －17=0与直线 4x ＋3y ＋2=0 的交点，那么b 等于（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 直线 (2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m =0的倾斜角是450, 则m 的值为（ ）。 A.2 B. 3 C. －3 D. －2 5.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是( ) A.平行 B .相交 C.重合 D.与m 有关 *6．到直线2x +y +1=0的距离为55 的点的集合是( ) A.直线2x+y －2=0 B.直线2x+y=0 C.直线2x+y=0或直线2x+y －2=0 D .直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0 7直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是（ ） Ａ．[]2,2- Ｂ．(][)+∞?-∞-,22, Ｃ．[)(]2,00,2?- Ｄ．()+∞∞-,
*8．若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，－1），则直线l的斜率是（） A．－2 3 B． 2 3 C．－ 3 2 D． 3 2 9．两平行线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为213 13 ，则 c＋2 a的 值是( ) A .±1 B. 1 C. -1 D . 2 10．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（） A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 **11．点P到点A′（1，0）和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距 离等于 2 2 ，这样的点P共有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 *12．若y＝a｜x｜的图象与直线y＝x＋a（a＞0） 有两个不同交点，则a的取值范围是（） A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a＞0且a≠1 D．a＝1 二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13. 经过点(－2,－3) , 在x轴、y轴上截距相等的直线方程是；或。
人教版高一数学必修2第三章直线与方程单元测试题及答案
必修2第三章《直线与方程》单元测试题 （时间：90 满分：120分） 班别 座号 姓名 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０° 2．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ） A.21 3, B.-- 213, C.--1 2 3, D.－2，－3 3. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、2 3- D 、3 2 4.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） （A ）2 （B ）2 1 （C ）1 （D ）2 7 5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0 6.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（ ） Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2） 8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定 9. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3， 则必有 A. k 1 (人教版)-高中数学必修2-第三章--直线与方程-直线系与对称问题(全) 课题：直线系与对称问题 教学目标：1.掌握过两直线交点的直线系方程；2.会求 一个点关于一条直线的对称点的坐标的求法；3.会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线的求法. 教学重点：对称问题的基本解法 （一） 主要知识及方法： 1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -； 关于y 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y x =的对称点的坐标为(),b a ；关于y x =-的对称点的坐标为(),b a --. 2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法： ()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++?? ??? 一定在直线0ax by c ++=上. ()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即00 1y b a x a b -???-=- ?-?? 结论：点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为()002,2x AD y BD --， 其中0022 Ax By C D A B ++= +；曲线C ：(,)0f x y =关于直线l ：0Ax By C ++=的对称曲线方程为()2,20f x AD y BD --=特别地，当22A B =，即l 的斜率为1±时，点()00,P x y 关于直线 l ：0Ax By C ++=对称点为00,By C Ax C A B ++?? -- ??? ，即()00,P x y 关于直线0x y c ±+=对称的点为：()(),y c x c -+m m ， 曲线(,)0f x y =关于0x y c ±+=的对称曲线为()(),0f y c x c -+=m m 3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法： ①到角相等；②在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，… 必修二直线与方程专题讲义 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ① 关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 0. ③ 倾斜角α的围00 0180α≤<. ④ 090,tan 0k αα?≤ 注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定） （1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =； （2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） 3、两条直线平行与垂直的判定 （1） 两条直线平行 斜截式：对于两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则有 121212//,l l k k b b ?=≠ 注：当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行. 一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则 1212211221//,l l A B A B AC A C ?=≠ 注：1212211221=,l l A B A B AC A C ?=与重合 1l 与2l 相交01221≠-?B A B A （2）两条直线垂直 斜截式：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. 直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 （数学2必修）第三章 直线与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．0 45,1 B ．0 135,1- C ．090，不存在 D ．0 180，不存在 6．若方程014)()32(2 2 =+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．2 3 - ≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3 - ≠m ，0≠m 二、填空题 1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________. 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________; 直线与方程知识点 一、基础知识回顾 1.倾斜角与斜率 知识点1：当直线l 与x 轴相交时， x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角. 注意: 当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度. 知识点2：直线的倾斜角(90)αα≠?的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=. 注意: 当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的王新敞 知识点3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：21 21 y y k x x -= -. 知识点4：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ?1k =2k 王新敞 ． 知识点5：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直. 即12l l ⊥?12 1 k k =-?121k k =- 王新敞 注意： 1．1212//l l k k ?=或12,l l 的斜率都不存在且不重合. 2．12121l l k k ⊥?=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在. 2.直 线 的 方 程 知识点6：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 注意： ⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 . ⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 . ⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 . 知识点7：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程. 注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标. 知识点8：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程 为11 12122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程. 知识点9：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠， 则直线l 的方程为 1=+b y a x ，叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0, b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距. 知识点10：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程. 注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线 （2）点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上?00Ax By +0C += 王新敞 3、直线的交点坐标与距离 知识点11： 两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组111222 0A x B y C A x B y C ++=?? ++=?，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行. 直线与方程练习题 一、填空题(5分×18=90分) 1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为 ； 2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是 ； 3.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是 ； 4.直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是 ； 5. 经过点(－2,－3) , 在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 ； 6．已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平行，则它们之间的距离是: 7、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是: 8.三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是: 9．已知点)2,1(-A ，)2,2(-B ，)3,0(C ，若点),(b a M )0(≠a 是线段AB 上的一点，则直线CM 的斜率的取值范围是: 10．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为: 11.与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线有______条. 12．直线l 过原点，且平分□ABCD 的面积，若B (1, 4)、D (5, 0)，则直线l 的方程是 ． 13．当1 0k 2 << 时，两条直线1-=-k y kx 、k x ky 2=-的交点在 象限． 14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ； 15.直线y= 2 1 x 关于直线x ＝1对称的直线方程是 ; 16.已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________． 17.光线从点()3,2A 射出在直线01:=++y x l 上，反射光线经过点()1,1B , 则反射光线所在直线的方程 18．点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为: 二.解答题(10分×4+15分×2=70分) 3.1知识表 直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率 （1）直线的方程：如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线． （2）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角．倾斜角的取值范围是0°≤α<180°． （3）直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．倾斜角是90°的直线的斜率不存在．过P 1（x 1，y 1），P 2（x 2， y 2）（x 2≠x 1）两点的直线的斜率特别地是，当12x x =， 12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?< 数学必修二第三章综合检测题 一、选择题 1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．若三点A (3,1)，B (－2, b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．－9 3．过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是( ) A ．y ＋2＝33(x ＋1) B ．y －2＝3(x －1) C.3x －3y ＋6－3＝0 D.3x －y ＋2－3＝0 4．直线3x －2y ＋5＝0与直线x ＋3y ＋10＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合 D ．异面 5．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为( ) A ．(－2,1) B ．(2,1) C ．(1，－2) D ．(1,2) 6．已知ab ＜0，bc ＜0，则直线ax ＋by ＋c ＝0通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 7．点P (2,5)到直线y ＝－3x 的距离d 等于( ) A ．0 B.23＋52 C.－23＋52 D.－23－52 8．与直线y ＝－2x ＋3平行，且与直线y ＝3x ＋4交于x 轴上的同一点的直线方程是( ) A ．y ＝－2x ＋4 B ．y ＝12x ＋4 C ．y ＝－2x －83 D ．y ＝12x －83 9．两条直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 10．已知等腰直角三角形ABC 的斜边所在的直线是3x －y ＋2＝0，直角顶点是C (3，－2)，则两条直角边AC ，BC 的方程是( ) A ．3x －y ＋5＝0，x ＋2y －7＝0 B ．2x ＋y －4＝0，x －2y －7＝0 C ．2x －y ＋4＝0,2x ＋y －7＝0 1．一条光线从点A (－1,3)射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点B (3,1)，求P 点的 坐标． 解 设P (x,0)，则k P A ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x ，依题意， 由光的反射定律得k P A ＝－k PB ， 即3x ＋1＝13－x ，解得x ＝2，即P (2,0)． 2．△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上， 求边AB 与AC 所在直线的斜率． 解 如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°， ∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°， ∴k AB ＝tan 150°＝－33 ， k AC ＝tan 30°＝33 . 3．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，试比较f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小． 解 画出函数的草图如图，f (x )x 可视为过原点直线的斜率． 由图象可知：f (c )c >f (b )b >f (a )a . 4．(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6,11)，求证：AB ⊥CD . (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34 ，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)且l 1⊥l 2，求实数a 的值． (1)证明 由斜率公式得： k AB ＝6－310－5＝35 ， k CD ＝11－(－4)－6－3＝－53， 则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)解 ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－(－2)0－3a ＝－1，解得a ＝1或a ＝3. 5. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)、P (1，t )、Q (1－2t,2＋t )、R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状． 解 由斜率公式得k OP ＝t －01－0 ＝t ， 一选择题（共５5分,每题5分) 1． 已知直线经过点A （0,4）和点B(1，2）,则直线AB 的斜率为（ ） A.3 Ｂ.-2 C ． 2 D ． 不存在 2.过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为( ) A.072=+-y x Ｂ.012=-+y x C.250x y --= D ．052=-+y x ３． 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ) x y O x y O x y O x y O A B C D 4.若直线x +a y+2＝0和2ｘ＋3y+1=0互相垂直,则a ＝( ） A ．32- B ．32 C.2 3- D ．23 5.过(x 1,y 1)和（ｘ２，y 2)两点的直线的方程是( ) 11 212111 2112 211211211211.. .()()()()0.()()()()0 y y x x A y y x x y y x x B y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y --= ----= -------=-----= 6、若图中的直线L 1、Ｌ２、L 3的斜率分别为 A 、K 1﹤Ｋ2﹤K 3 Ｂ、Ｋ２﹤Ｋ1﹤K 3 C 、K ３﹤K 2﹤Ｋ１ D 、K 1﹤K 3﹤K 2 7、直线2x ＋３y －5=0关于直线y=x Ａ、3x+2ｙ-5＝０ Ｂ、2ｘ-３y －5=0 C 、3ｘ＋2y ＋5＝0 Ｄ、3x-2y-5=0 8、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-１)对称的直线是（ ) Ａ．３ｘ-2y-6=0 Ｂ．2x+3ｙ+7=0 Ｃ. 3x －２y －12=0 Ｄ. 2x+3y+8＝0 9、直线5x －2ｙ-1０=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ) x 第三章 直线与方程 A 组 一、选择题 1．若直线x ＝1的倾斜角为 α，则 α( )． A ．等于0 B ．等于π C ．等于 2 π D ．不存在 2．图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )． A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2 3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)、(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 4．已知直线l 与过点M (－3，2)，N (2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )． A ． 3 π B ． 3 2π C ． 4 π D ． 4 3π 5．如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )． A ．x ＋y －5＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2y －x －4＝0 D ．2x ＋y －7＝0 7．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )． A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝ 0 D ．3x ＋19y ＝0 8．直线l 1：x ＋a 2 y ＋6＝0和直线l 2 : (a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值 (第2题) 数学必修二——直线与方程 （一）直线的斜率 1. 坡度：是指斜坡起止点间的高度差与水平距离的比值。 2. 直线的斜率：已知两点如果，那么直线PQ的斜率为 练习：直线都经过点P（2,3），又分别经过试计算的斜率。 （1）当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜 （2）当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜。 （3）当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合 说明： 1、如果，那么直线PQ的斜率不存在（与x轴垂直的直线不存在斜率） 2、由直线上任意两点确定的斜率总是相等的。 3、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。 当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。 因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤＜180°。 4、直线倾斜角与斜率的关系： 当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角，此时有 当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角，此时有 概念辨析：为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的题。 关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的： A. 任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C. 平行于x轴的直线的倾斜角是0或180°； D. 两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等； E. 直线斜率的范围是（－∞，＋∞）。 辨析：上述说法中，E正确，其余均错误，原因是： A. 与x轴垂直的直线倾斜角为90°，但斜率不存在； B.举反例说明， C. 平行于轴的直线的倾斜角为0； D. 如果两直线的倾斜角都是90°，但斜率不存在，也就谈不上相等. 说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是； ③倾斜角是90°的直线没有斜率。 （二）直线方程 1. 直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。 问题一：已知直线经过点，且斜率为，如何求直线的方程？ 因为经过直线上一个定点与经过这条直线上任意一点的直线是都惟一的，其斜率都等于。 所以，要把它变成方程. 因为前者表示的直线上缺少一个点，而后者才是整条直线的方程. 2. 直线的点斜式方程 已知直线经过点，且斜率为，直线的方程：为直线方程的点斜式。 直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为。 问题二：已知直线经过点P（0，b），并且它的斜率为，求直线的方程？ 3. 直线的斜截式方程 已知直线经过点P（0，b），并且它的斜率为k，直线的方程：为斜截式。 说明： （1）斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间有什么差别？只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式。 （2）斜截式中，表示直线的斜率，b叫做直线在y轴上的截距。 4. 直线方程的两点式 已知直线上两点，B（，求直线方程。 首先利用直线的斜率公式求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程为： 由可以导出，由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式。 注意：倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示。 5. 直线方程的截距式 定义：直线与轴交于一点（,0）定义为直线在轴上的截距；直线与y轴交于一点（0,）定义为直线在轴上的截距。 叫做直线方程的截距式。，表示截距，它们可以是正，也可以是负，也可以为0。当截距为零时，不能用截距式。 高中数学必修二第三章知识点总结 一、直线与方程 １．直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° ２．直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180 ,90∈α时，0 高中数学《直线与方程》同步练习（含答案） 1. 经过点并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( ) A.条 B.条 C.条 D.条 2. 已知直线的纵截距是（） A. B. C. D. 3. 动点关于直线的对称点是，则的最大值（） A. B. C. D. 4. 若直线的倾斜角为，则的值是（） A. B. C. D.不存在 5. 下列命题中真命题为（） A.过点的直线都可表示为 B.过两点，的直线都可表示为 C.过点的所有直线都可表示为 D.不过原点的所有直线都可表示为 6. 过点可作在轴，轴上的截距相等的直线共（） A.条 B.条 C.条 D.条 7. 直线的倾斜角是( ) A. B. C. D. 8. 经过两点，的直线的斜率为（） A. B. C. D. 9. 过两直线，的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程可以为（） A. B. C. D. 10. 若不论取何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标为（） A. B. C. D. 11. 设直线交曲线于，两点， （1）若，则________； （2），则________． 12. 已知点平分线段，且，，则________，________． 13. 设复数且，则点的轨迹方程是________． 14. 直线与坐标轴围成的三角形的面积为________．15. 已知，，则直线的图象一定不过第________象限． 16. 直线与的交点在第一象限，则的取值范围是________． 17. 若三点，，共线，则的值为________． 18. 过点和的直线方程是________． 19. 已知直线，直线．当________时，与相交；当________时，；当________时，与重合；当________时，． 20. 已知，则直线的倾斜角的取值范围是________． 21. 求为何值时，这三条直线，，，不能构成三角形． 22. 已知直线经过两条直线和的交点. 若直线与直线垂直，求直线的方程； 求经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程. 23. 已知点，在轴上，求点，使，并且求值． 24. 已知：，，，求证：． 25. 直线经过两直线与的交点，且与直线平行． （1）求直线的方程； 直线与方程复习A 一、选择题 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．0 45,1 B ．0 135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在 6．若方程014)()32(2 2=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3 -≠m ，0≠m 二、填空题 1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________. 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________; 3． 若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。 4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则2 2 x y +的最小值是________________. 5．直线l 过原点且平分ABCD Y 的面积，若平行四边形的两个顶点为 (1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。 高中数学必修2第三章测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.若直线过点（１，２），（４，２＋ 3），则此直线的倾斜角是 （ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０° 2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23 D 、32 3.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） （A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）2 7 4. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９）， 则（ ） Ａ m ＝－３，n ＝１０Ｂ m ＝３，n ＝１０Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５ 5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程 是（ ） Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0 6.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜Ｍ Ｐ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（ ） Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2） 8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不 能确定 9. 已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+????+-?≤，≥， ≤，则y x 的取值范围是（ ） A ．965?????? ， B ．[)965??-∞+∞ ???U ，， C ．(][)36-∞+∞U ，， D ．[36]， 10.已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程为（ ） （A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.已知点)4,5(-A 和),2,3(B 则过点)2,1(-C 且与B A ,的距离相等的直线方程 为 . 12．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程 是 . 13．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离 是 . 14．原点Ｏ在直线Ｌ上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线Ｌ的方程(人教版)-高中数学必修2-第三章--直线与方程-直线系与对称问题(全)
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