八年级数学直角三角形性质和应用练习含答案
E N
M D
C
B
A 直角三角形性质和应用练习
班级姓名 一、填空题 1、“内错角相等，两直线平行”的逆命题：________. 2、“直角三角形两锐角互余”逆定理。(填:“有”或“没有”)。
3、在Rt ΔABC 中，∠A=30°则∠B=60°最直接的理由是 .
4、 在直角三角形中，斜边长为6cm ，则斜边上的中线为 cm.
5、在Rt △ABC 中,∠C=90度,∠B=15度,则∠A=______度
6、在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A=30o，AB=10cm ，则BC=_____cm 。
7、如图，在△ABC 中，AB=AC=10，CE=4，MN 是AB 的垂直平分线， BE =
8、如图，已知Rt △ABC 中，∠B AC=90o ，AD 是上的中线,AB=12,AC=5 那么AD = ，
9、如图：OC 是∠AOB 的平分线，点P 是OC 上的一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，
垂足分别为点D 、E ，若PD+PE =6，则PE = .
第7题 第8题 第9题
10、到一条线段两端点距离相等的点的轨迹是____.
11、在Rt △ABC 中，∠C=90°若a=5，b=12，则c=__________
12、已知A(2,-3)和B(4,2)二点，那么AB = ___________
二、选择题
1、下列定理中，没有逆定理的是 ……………………………… （ ） A 、两直线平行，同旁内角互补。 B 、等边对等角。
C 、全等三角形对应角相等。
D 、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
D
2
1
P C
A
B
E
O
D
B
A
E N M
D
C
B
A 2、如图，∠BCA=90，CD ⊥A
B ，则图中与∠A 互余的角
有（ ）个
A ．1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
3、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE ，
分别是斜边AB 上的高与中线，CF 是∠ACB 的平分线。则∠1与∠2的关系是（ ）
A ．∠1<∠2
B ．∠1=∠2;
C ．∠1>∠2
D ．不能确定
4、在直角三角形ABC 中，若∠C=90°，D 是BC 边上的 一点，且AD=2CD ， 则∠ADB 的度数是（ ）
A ．100°
B ．110°
C ．120°
D ．150°
5、三角形ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线MN 交AB ，
AC 于D,E ，若∠A=400，则∠EBC=（ ）。
A:150 B:200 C:300 D:无法判断。
6、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A 、25
B 、14
C 、7
D 、7或25
三、计算和证明
1、已知：CD 垂直平分线段AB ，E 是CD 上一点，分别联结CA 、CB 、EA 、EB . 求证：∠CAE =∠CBE .
2、已知:如图,在△ABC 中,AB = AC , 点D 在BC 上 , ∠DAC = 90°, AD = 2
1
CD.
求：∠
BAC 的度数
E C B
D A A D
3、如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，AB=6，求DE 的长。
4、已知：∠ABC=∠ADC=90度，E 是AC 中点。
求证：（1）ED=EB （2）图中有哪些等腰三角形？
5、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？
A
D
E
B
C
第7题图
答案与提示： 一、填空题：
1. 两直线平行，内错角相等。
2. 有。
3. 直角三角形两锐角互余。
4. 3。
5. 75。
6. 5
7. 6
8. 6.5
9. 3 10. 这条线段的中垂线 11. 13 12. 29
二、选择题
1. C
2.B
3.B.4C. 5.C 6.D 三、计算和证明
1. 先证∠CAB=∠CBA ，∠EAD=∠EBD ，两边相减得∠CAE=∠CBE 。
2. 120°
3. 3
4. （1）ED=21AC ，EB=2
1
AC ，所以ED=EB 。
（2）△EAD ，△EDC ，△EAB ，△EBC ，△EDB 。 5.10km 处。由题意得222210BE 15AE +=+，且AE+BE=25，解得AE=10.
最新部编人教版初中八年级下册数学专项训练
§16 二次根式（专项训练） 二次根式的定义： 1．下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x 最简二次根式的定义 1.下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. 12+x B.222y x x + C. 12 D.5.0 2．下列各式中是最简二次根式的是（ ）. A B ． C D 3、下列二次根式中，属于最简二次根式是（ ） A C 4、在 2 1、12 、x+2 、240x 、22y x +中，最简二次根式有 （ ）个 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4个 5、下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．44+a B ．48 C ．14 D ． b a 同类二次根式的定义 1.若最简二次根式53-a 与3+a 是同类二次根式，则a= 。 2.下列二次根式化成最简二次根式后，能与2合并的是 （ ） Ａ. 23 Ｂ．12 Ｃ．3 2 Ｄ.32 3．最简二次根式13+a 与2是同类二次根式，则a 的取值为 二次根式取值范围 1.式子 2 1 +-x x 中x 的取值范围是。 A . x ≥1 且 X ≠-2 B.x>1且x ≠-2 C.x ≠-2 D. .x ≥1 2．要使1 21 3-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．2 1≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠2 1 C ．2 1＜x ＜3 D ．2 1＜x ≤3 3 当 2 2-+a a 有意义a 的取值范围是 （ ） A ．a≥2 B．a ＞2 C ．a≠2 D．a≠－2
4．若2-x 是二次根式，则x 的取值范围是 A ． x ＞2 B ． x ≥2 C 、 x ＜2 D ． x ≤2 5 x 的取值范围为（ ） A 、x ≥2 B 、x ≠3 C 、x ≥2或x ≠3 D 、x ≥2且x ≠3 6 2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 7 有意义，则x 的取值范围是（ ） A.x ≥﹣ 25 B.x ≤25 C. x ≥25 D. x ≤- 2 5 二次根式的性质 1．若 2 八年级数学直角三角形 知识点 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 八年级数学《直角三角形》知识点 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 21AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD= 2 1AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理(了解) 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在 斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜 边上的射影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 CD ⊥AB 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c ，有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 三、解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系： 练习： 一、选择题 1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长为（ ） A 、4 cm B 、8 cm C 、10 cm D 、12 cm 2. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A 、13 B 、8 C 、25 D 、64 4. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A 、 钝角三角形 B 、 锐角三角形 C 、 直角三角形 D 、等腰三角形. 5、等腰三角形腰长为13，底边长为10，则它底边上的高为 （ ） 直角三角形的性质（二） 编写时间：年月日执行时间：年月日总序第个教案 一、【教学目标】： 1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 3、通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的 思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。 4、从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题 和解决问题能力。 二、【教学重点】与难点： 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 三、【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索. 四、【教学过程】： （一）引入： 如果你是设计师：（提出问题） 2008年将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公 交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构 成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？ （通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度关系，引 发学生的学习兴趣。） 动一动想一想猜一猜（实验操作） 请同学们分小组在模型上找出那个点，并说出它的位置。 请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。 通过以上实验请猜想一下，直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么 关系？ （通过动手操作找到那个点，通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的 关系。） （二）新授： 提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程） 应用定理： 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，E、F分别AB、AC 的中点。 求证：DE=DF 分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即 可证得。 （上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合，现在我们将图形变化 使斜边重合，我们可以得到哪些结论？） 练习变式： 1、已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，F是BC F E D C B A E N M D C B A 直角三角形性质和应用练习 班级姓名 一、填空题 1、“内错角相等，两直线平行”的逆命题：________. 2、“直角三角形两锐角互余”逆定理。(填:“有”或“没有”)。 3、在Rt ΔABC 中，∠A=30°则∠B=60°最直接的理由是 . 4、 在直角三角形中，斜边长为6cm ，则斜边上的中线为 cm. 5、在Rt △ABC 中,∠C=90度,∠B=15度,则∠A=______度 6、在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A=30o，AB=10cm ，则BC=_____cm 。 7、如图，在△ABC 中，AB=AC=10，CE=4，MN 是AB 的垂直平分线， BE = 8、如图，已知Rt △ABC 中，∠B AC=90o ，AD 是上的中线,AB=12,AC=5 那么AD = ， 9、如图：OC 是∠AOB 的平分线，点P 是OC 上的一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， 垂足分别为点D 、E ，若PD+PE =6，则PE = . 第7题 第8题 第9题 10、到一条线段两端点距离相等的点的轨迹是____. 11、在Rt △ABC 中，∠C=90°若a=5，b=12，则c=__________ 12、已知A(2,-3)和B(4,2)二点，那么AB = ___________ 二、选择题 1、下列定理中，没有逆定理的是 ……………………………… （ ） A 、两直线平行，同旁内角互补。 B 、等边对等角。 C 、全等三角形对应角相等。 D 、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 D 2 1 P C A B E O D B A 八年级数学上册分解因式专项练习题 一、选择题：（每小题 2 分，共 20 分） 1．下列各多项式中 , 不能用平方差公式分解的是 ( ) － 1 B ．4－0．25a 2 C ．－ a 2－b 2 D ．－ x 2+1 2．如果多项式 x 2－mx+9是一个完全平方式 , 那么 m 的值为 ( ) A ．－ 3 B ．－ 6 C ．±3 D ．±6 3．下列变形是分解因式的是 ( ) A ．6x 2y 2=3xy ·2xy B ．a 2－ 4ab+4b 2=(a －2b) 2 C ．(x+2)(x+1)=x 2+3x+2 D ．x 2 －9－6x=(x+3)(x －3) －6x 4．下列多项式的分解因式，正确的是（ ） （ A ） 12xyz 9x 2 y 2 3xyz(4 3xyz) （ B ） 3a 2 y 3ay 6 y 3y( a 2 a 2) （C ） x 2 ( 2 ) D 2 2 xy xz x x y z b b(a 5a) （ ）a b 5ab 5．满足 m 2 n 2 2m 6n 10 0 的是（ ） （ A ）m 1,n 3 （B ）m 1, n 3（C ）m 1, n 3 （D ）m 1, n 3 6．把多项式 m 2 (a 2) m(2 a) 分解因式等于（ ） A 、 ( a 2)(m 2 m) B 、 (a 2)( m 2 m) C 、m(a-2)(m-1) D 、m(a-2)(m+1) 7．下列多项式中，含有因式 ( y 1) 的多项式是（ ） A 、 y 2 2xy 3x 2 、 ( y 1) 2 ( y 1)2 B ( 1) 2 ( 2 1) D 2 C 、 y y 2( y 1) 1 、 ( y 1) 8．已知多项式 2x 2 bx c 分解因式为 2( x 3)( x 1) ，则 b, c 的值为（ ） A 、 b 3,c 1 B 、 b 6, c 2 C 、 b 9． a 、b 、c 是△ ABC 的三边，且 a 2 b 2 状是（ ） A 、直角三角形 B 、等腰三角形 D 、等边三角形 6, c4 D 、 b 4,c 6 c 2 ab ac bc ，那么△ ABC 的形 C 、等腰直角三角形 10、在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形（ a>b ）。把余下的部分剪拼成一个矩形（如图） 。通过计算阴影部分的面积， 验证了一个等式，则这个等式是（ ） A 、 a 2 b 2 (a b)(a b) 直角三角形性质应用 ? 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图． ? 知识点睛 直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1 130° 2 3 4 2 1 1 C A B C A B C A 4. 垂直（多个） ①等面积法 a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30° ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） ? 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作 BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）． 3. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，AC =6.5，则AB 的长为______． 直角三角形的性质（一） 【教学目标】： 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 【教学重点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 【教学难点】：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 【教学过程】： 一、引入 复习提问：（1）什么叫直角三角形？ （2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、新授 （一）直角三角形性质定理1 请学生看图形： 1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？ 2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。 3、巩固练习： 练习1：（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。 练习2 ：在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。（3）与∠B 相等的角有。 （二）直角三角形性质定理2 1、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片 （l）量一量斜边AB的长度（2）找到斜边的中点，用字母D表示（3）画出斜边上的中线（4）量一量斜边上的中线的长度 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？ 三、巩固训练： 练习3 ：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。 练习4：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中 点。求证：（1）ED=EB (2)∠EBD=∠EDB （3）图中有哪些等腰三角形？ 练习5：已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M 是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与 DE有什么样的关系存在? 四、小结： 这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理？ 1、直角三角形的两个锐角互余？ 五、布置作业 直角三角形的性质（二） 一、【教学目标】： 1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 3、通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。 4、从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题和解决问题能力。 二、【教学重点与难点】： 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 三、【教学过程】： （一）引入： 八年级数学专项训练—二元一次方程组 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程组是二元一次方程组的是（ ） A. ?? ? ??=+=+61 1,12y x y x B. ?? ?=+=+8248 32y x y x C. ?? ?=+3, x)-2(y =y +2x -2y x D. ? ? ?=+=+42 3xy x x 2. 下面能满足方程3x+2=2y 的一组解是（ ） A. 4 2x y =??=? B. 3 5x y =??=? C. 2 4x y =??=? D. 1 3x y =??=? 3. 方程x -y =3与下列方程构成的方程组的解为?? ?==1 , 4y x 的是（ ） A. 3x -4y =16 B. 41x +2y =5 C. 21x +3y =8 D. 2(x -y)=6y 4. 用加减法解方程组???=-=-8243 52y x y x 下列解法不正确的是（ ） A. ①×2-②，消去x B. ①×2-②×5，消去y C. ①×（-2）+②，消去x D. ①×2-②×（-5），消去y 5. 已知x+y=1，x-y=3，则xy 的值为（ ） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 6. 若﹣2a m b 4与5a n +2b 2m +n 可以合并成一项，则m-n 的值是（ ） A. 2 B. 0 C. -1 D. 1 7. 如果方程组54, 358x y k x y -=?? +=? 的解中的x 与y 相等，则k 的值为（ ） A. 1 B. 1或－1 C. 5 D. －5 8. 全体教师在会议室开会，每排座位坐12人，则有11人无处坐；每排座位坐14人，则余1人独坐一排.则这间会议室共有座位排数是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 15 ①② 八年级下册第一章《直角三角形》培优习题 一、知识要点填空： 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角_________ （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________; （3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半； （4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°. 2、直角三角形的判定方法： （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）有两个角______的三角形是直角三角形； （3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。 二、练习题 1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C， 则则∠1+∠2等于__________. 2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示 等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（） A. B. C. D. 3、如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E， EF∥AC，下列结论一定成立的是（） A.AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE 4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点， 则AP的长不可能的是（） A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线 于F， 若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3 B．2 C．3 D．1 第2课时含30°锐角的直角三角形的性质及其应用 1．理解并掌握含30°锐角的直角三角 形的性质；(重点) 2．能利用含30°锐角的直角三角形的 性质解决问题．(难点) 一、情境导入 用两个全等的含30°角的直角三角尺， 你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并 把你的发现和大家交流一下． 二、合作探究 探究点一：在直角三角形中，如果有一 个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 斜边的一半 等腰三角形的一个底角为75°， 腰长4cm，那么腰上的高是________cm，这 个三角形的面积是________cm2. 解析：因为75°不是特殊角，但是根据 “三角形内角和为180°”可知等腰三角形 的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A ＝30°，BD⊥AC，AB＝4cm，所以BD＝2cm， S△ABC＝1 2 AC·BD＝ 1 2 ×4×2＝4(cm2)．故答 案为2，4. 方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键． 探究点二：在直角三角形中，如果一条 直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° 如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝ 1 2 BC，求∠DAC 的度数． 解析：根据题意得∠CBA＝30°，由平行得∠BAD＝30°，进而可得出结论． 解：∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°.∵AC ＝ 1 2 BC，∴∠CBA＝30°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°. 方法总结：如果题中出现直角三角形及 斜边是直角边的两倍可直接得出30°的角，再利用相关条件求解． 探究点三：含30°锐角的直角三角形性 质的应用 如图，某船于上午11时30分在A 处观测到海岛B在北偏东60°方向；该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30°方向；航行到D 处，观测到海岛B在北偏西30°方向；当船到达C处时恰与海岛B相距20海里．请你确定轮船到达C处和D处的时间． 解析：根据题意得出∠BAC，∠BCD，∠BDA的度数，根据直角三角形的性质求出BC、AC、CD的长度．根据速度、时间、路 程关系式求出时间． 解：由题意得∠BCD＝90°－30°＝ 初中八年级数学寒假专项训练（九） 二元一次方程组 一、选择题 1．在下列方程中，不是二元一次方程的是（ ） （A ）x ＋y ＝3 （B ）x ＝3 （C ）x －y ＝3 （D ）x ＝3－y 2．已知二元一次方程组???=+=+8 27 2y x y x ，则=+y x （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）－1 （D ）5 3．下列各组数，既是方程0123=++y x 的解，又是方程75=-y x 的解是（ ） （A ）?? ?-=-=21y x （B ）???-==21y x （C ）???-==32y x （D ）???-==4 3 y x 4．如果单项式2222m n n m a b +-+与57a b 是同类项，那么m n 的值是（ ） （A ）－ 3 （B ）－1 （C ） 1 3 （D ）3 5．方程组 的解为???=y x 2 ，则被遮盖的两个数分别为（ ） （A ）1，2 （B ）1，3 （C ）1，4 （D ）1，5 6．小刘同学用10元钱购买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设1元的贺卡为x 张，2元的贺卡为y 张，那么x y ， 所适合的一个方程组是（ ） （A ）102 8 y x x y ? +=???+=? （B ）8 210210 x y x y ?+=???+=? （C ）10 28x y x y +=?? +=? （D ）8 210 x y x y +=?? +=? 7．如图1，直线l 1、l 2的交点坐标可以看作方程组（ ）的解 （A ）22,22x y x y -=-??-=? （B ）1,22y x y x =-+??=-? （C ）21,22x y x y -=-??-=-? （D ）21,22y x y x =+??=-? 8．古代有这样一个寓言故事: 驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说：你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍； 如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多。那么驴子原来所驮货物的袋数是 ???=+=+32y x y x 图1 直角三角形 一、直角三角形的性质 重点：直角三角形的性质定理及其推论： ①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半; （2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 难点： 1.性质定理的证明方法. 2.性质定理及其推论在解题中的应用. 二、直角三角形全等的判断 重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 难点： 创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。 三、角平分线的性质定理 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的 距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 图4 2.关于三角形三条角平分线的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC 的内角∠BAC、 ∠ ABC、∠ACB的平分线，那么： ① AP、BQ、CR相交于一点I； ②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）. 3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： （1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 四、勾股定理的证明及应用 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222 a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现 并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 学生做题前请先回答以下问题 问题1：从边与角的角度来考虑直角三角形的性质都有哪些？ 问题2：遇到斜边上的中点怎么想？ 问题3：直角三角形斜边上的中线等于__________； 如果一个三角形__________________，那么这个三角形是直角三角形． 直角三角形性质应用（直角+中点） 一、单选题(共7道，每道12分) 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，斜边BC上的高AD=5cm，斜边BC上的中线AE=8cm，那么△ABC的面积为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB． 若∠BCF=35°，则∠ACD的度数是( ) A.35° B.45° C.55° D.65° 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( ) A.20 B.14 C.13 D.10 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 4.如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，若∠BCD=75°，则∠BDE=( ) A.25° B.20° C.15° D.10° 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 5.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则下列结论成立的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 直角三角形性质应用 1. 如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积 分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=_______． S 4 l 3 21 S 3 S 2 S 1 2. 如图，在△ABC 中，∠C =45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若 AD =DB =DE ，AE =1，则AC 的长为_______． 45° E D C B A P D B C A 第2题图 第3题图 3. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =6，BC =3，BD 平分 ∠ABC ，交AC 于点D ，P 是BD 的中点，则CP 的长为_______． 4. 如图，△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若DE +DF =3，则△ABC 的周长为__________． F A C D E F E B C A 第4题图 第5题图 5. 如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E ，M 为BC 的中点．若 EF =7，BC =10，则△EFM 的周长为__________． 6. 如图，直线l 1∥ l 2∥l 3，且l 1与l 3l 2与l 3之间的距离为1．若 点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且AC ⊥BC ，AC =BC ，AC 与直线l 2交于 点D ，则BD 的长为______． D l 3 l 2l 1A B C 7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD ∥BC ，BD 交AC 于点E ， 1 2 CBE ABE ∠=∠，F 是DE 的中点．若BC =1，AF =4，则AC 的长为 _______． F E D C B A 8. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，CD =5，AD =则BD 的长为_______． D C B A O E D C B A 第8题图 第9题图 9. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且 正方形对角线交于点O ，连接OC ．若AC =2，BC =4，则OC =_________． 10. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AB 上一 点，连接DE ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，连接OF ，若DF =3， ，则AF =_________． 八年级阅读理解题专项练习 1.阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO 和△CDO 均为等腰直角三角形, ∠AOB =∠COD =90?．若△BOC 的面积为1， 试求以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形的面积． 图1 图2 小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E , 使得OE =CO , 连接BE , 可证△OBE ≌△OAD , 从而得到的△BCE 即是以AD 、 BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图2）． 请你回答：图2中△BCE 的面积等于 ． 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题： 如图3，已知△ABC , 分别以AB 、AC 、BC 为边向外作正方形 ABDE 、AGFC 、BCHI , 连接EG 、FH 、ID ． （1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG 、FH 、ID 的长 度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若△ABC 的面积为1，则以EG 、FH 、ID 的长度为 三边长的三角形的面积等于 ． 图3 解：△BCE 的面积等于 2 ………1分 （1）如图（答案不唯一）…2分 以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的 一个三角形是△EGM . …………3分 （2） 以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的三角 形的面积等于 3 ． …………5分 2.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内．．点．．如图1，PH PJ =，PI PG =，则点P 就是四边形ABCD 的准内点． B O C D A I H G F A B C D E E D C B A G 直角三角形单元测试题班级：C167 姓名：分数： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A=（） A.66° B.36° C.56° D.46° 2.△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:5，则△ABC是（） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 3.以下四组数中，不是勾股数的是（） A.3，4，5 B.5，12，13 C.4，5，6 D.8，15，17 4.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（） A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等 C.一条边和一个锐角对应相等 D.两个锐角对应相等 5.三角形中，到三边距离相等的点是（） A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条高的交点 C.三条中线的交点 D.三条角平分线的交点 6.等腰三角形腰长为13，底边长为10，则它底边上的高为（） A.12 B.7 C.5 D.6 7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线， AD=10，则点D到AB的距离是（） A.8 B.5 C.6 D.4 8.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC＝6 cm，BC＝8 cm， 将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于() A. 25 4cm B. 22 3cm C. 7 4cm D. 5 3cm 9.如图，有两棵树，一棵高13米，另一棵高8米，两树相距12米， 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行( )． A.8米 B.12米 C.13米 D.14米 10.如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC，则图中全等的三角形对数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每空3分，共30分） 11.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4 cm，则AB＝______cm。 12.如图，∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AB=2BC,如果CD=2, 则AC= 。 13.若一个直角三角形的两边长分别是5、12，则第三边长为________。 14.直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为。 15.如图，将一副三角板按如图所示的方式叠放，则角α= 。 16.直角三角形的两直角边分别为6和8，则斜边上的高为。 17.如图，一棵大树在离地面3米处折断倒下，倒下树尖部分与树根距离为4米， 这棵大树原来的高度为__________米。 18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=30°，b=3，则a= 。 19．等边三角形的边长为4，则它的面积是。 20．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，使PP1=1；再过P1作P1P2⊥OP1，使P1P2=1； 又过P2作P2P3⊥OP2，使P2P3=1；…依此法继续作下去，得OP2015= ． 图4 4米 3米 D C A A B C D E 第7题 第8题 第9题 第10题 第12题 第15题 第17题 第20题 学生做题前请先回答以下问题 问题1：古人采用拼图的方法证明勾股定理，比较著名的是赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图，补全下列弦图． 问题2：根据特殊直角三角形的三边关系，求出下列直角三角形的斜边长，并记忆背诵． 问题3：如图，在直线上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别为1， 3，5，正放置的四个正方形的面积分别为则 ______________. 直角三角形的性质应用（弦图）（北师版） 一、单选题(共7道，每道14分) 1.如图所示是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中正确的是( ) A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：弦图 2.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线，分别过点A，C作直线的垂线，垂足分别为E， F．若AE=2，CF=3，则AB的长为( ) A.5 B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：弦图 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是( ) A.10 B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：弦图 4.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形和一个小正方形，若直角三角形较长的直角边为4，小正方形的面积为9，现向大正方形内随机撒一枚幸运小星星，则小星星落在小正方形内的概率为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 八年级上册数学全册全套试卷专题练习（word版 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|-|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|=______． 【答案】3a b c -- 【解析】 【分析】 根据三角形的三边关系判断绝对值内式子的正负，然后利用绝对值的性质去掉绝对值，再去括号合并同类项即可． 【详解】 解：∵a、b、c为△ABC的三边， ∴a+b＞c，a-b＜c，a+c＞b， ∴a+b-c＞0，a-b-c＜0，a-b+c＞0， ∴|a+b-c|-|a-b-c|+|a-b+c| =(a+b-c)+(a-b- c)+(a-b+c) =a+b-c+a-b- c+a-b+c =3a-b-c． 故答案为：3a-b-c． 【点睛】 本题主要考查了三角形的三边关系定理和利用绝对值的性质进行化简，利用三角形的三边关系得出绝对值内式子的正负是解决此题的关键． 2．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF=_________． 【答案】2 【解析】 由D是AC的中点且S△ABC=12，可得 11 126 22 ABD ABC S S ?? ==?=；同理EC=2BE即 EC=1 3 BC，可得 1 124 3 ABE S ? =?=，又, ABE ABF BEF ABD ABF ADF S S S S S S ?????? -=-=等量 代换可知S△ADF－S△BEF=2 3．∠A=65o，∠B=75o，将纸片一角折叠，使点C?落在△ABC外，若∠2=20o，则∠1的度数为 _______. 八年级直角三角形(答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 直角三角形 一、直角三角形的性质 重点：直角三角形的性质定理及其推论： ①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半; （2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 难点： 1.性质定理的证明方法. 2.性质定理及其推论在解题中的应用. 二、直角三角形全等的判断 重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 难点： 创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。 三、角平分线的性质定理 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的 距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 图4C D O A B F E 2.关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的 距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ； ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）. 3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： （1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 四、勾股定理的证明及应用 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 图6 E F D I P R Q B C A八年级数学直角三角形知识点
直角三角形的性质(二)
八年级数学直角三角形性质和应用练习含答案
八年级数学因式分解专项练习题.doc
直角三角形性质应用(讲义)
直角三角形的性质教案
八年级数学专项训练
最新八年级下册第一章《直角三角形》培优习题
《含30°锐角的直角三角形的性质及其应用》教案湘教版(2020年最新)
八年级数学寒假专项训练(九)含答案
八年级直角三角形(答案)
直角三角形性质应用(直角 中点)(含答案)
直角三角形性质应用(习题)
八年级数学阅读理解题专项练习
(完整版)新湘教版数学八年级下册直角三角形测试题
直角三角形的性质应用(弦图)(北师版)(含答案)
八年级上册数学 全册全套试卷专题练习(word版
八年级直角三角形(标准答案)