二次根式能力拓展题(提高篇)
二次根式的计算与化简（提高篇）
1、已知m
2、化简（1（2）
x
x x x x 50
2232212
3-+
（30)a >
3、当2x =2(7(2x ++的值。
4、先化简，再求值：221,39a b ==。
5、计算：)
...1
6、已知1a 222214164821442
a a a a
a a a a a --++÷
-+-+-,再求值。
7、已知：3
21
+=a ，321
-=b ，求b a b a 222
2+-的值。
8、已知：2
323-+=a ，2
323+-=b ，求代数式223b ab a +-的值。
9、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x
10、已知2a =a a
a a a a a a 1121212
2
2--+---+-
11、①已知2222x y x xy y ==++求：的值。
②已知12+=x ，求1
12
--+x x x 的值．
③)57(9
64222x x y x y +-+ ④3)2733(3
a a a ÷
-
12、计算及化简：
⑴. 22
- ⑵
⑶
⑷
13、已知：11a a +=+221
a a
+的值。 14、已知1
1039
32
2++=+-+-y x x x y x ，求
的值。
二次根式提高测试
一、判断题：（每小题1分，共5分） 1．
ab
2)2(-＝－2ab ．…………………（ ）
2．3－2的倒数是3＋2．（ ）
3．
2
)1(-x ＝2
)1(-x ．…（ ）
4．ab 、3
1
b a 3、b a
x 2-
是同类二次根式．…（ ）
5．x 8，31
，2
9x +都不是最简二次根式．（ ）
二、填空题：（每小题2分，共20分）
6．当x__________时，式子31
-x 有意义． 7．化简－8
15
27102
÷31225
a ＝_．
8．a －12
-a 的有理化因式是____________．
9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋
122+-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．
11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简
222
2d c ab d c ab +-＝______．
12．比较大小：－721_________－341
．
13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋
3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．
15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y2＝____________． 三、选择题：（每小题3分，共15分）
16．已知2
3
3x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）
（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0 17．若x ＜y ＜0，则
2
22y xy x +-＋
2
22y xy x ++＝………………………（ ）
（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y
18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4
)1(2-+x x 等于………………………（ ）
（A ）x 2 （B ）－x 2
（C ）－2x （D ）2x
19．化简a
a 3
-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a
20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）
（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2
)(b a ---
四、在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分） 21．9x 2－5y 2
； 22．4x 4－4x 2＋1．
五、计算题：（每小题6分，共24分） 23．（235+-）（235--）；
24．1145
-－7114-－732
+；
25．（a 2m n －m
ab
mn ＋m
n n m ）÷a 2b 2m n ；
26．（a ＋b a ab
b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．
（六）求值：（每小题7分，共14分）
27．已知x ＝2323-+，y ＝232
3+-，求
32234232y x y x y x xy x ++-的值．
28．当x ＝1－2时，求2
222a x x a x x
+-+＋2
2
2
2
22a x x x a x x +-+-＋
221
a x +的值．
七、解答题：（每小题8分，共16分）
29．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991
+）．
30．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y
x ++2－x y y x +
-2的值．
《二次根式》提高测试
（一）判断题：（每小题1分，共5分）
1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ）【提示】2
)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．
2．3－2的倒数是3＋2．（ ）【提示】
2
31-＝432
3-+＝－（3＋2）．【答案】×．
3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ）【提示】2
)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式
相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、
3
1
b a 3、b
a
x 2-
是同类二次根式．…（ ）【提示】
31b a 3、b
a
x 2-
化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，
3
1
，29x +都不是最简二次根式．（ ）29x +是最简二次根式．【答案】×． （二）填空题：（每小题2分，共20分）
6．当x __________时，式子
3
1
-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－8
15
27102
÷31225a
＝_．【答案】－2a a ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．
8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ．
9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．
【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．
10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简
2
222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．
【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）． 12．比较大小：－
7
21_________－
3
41．【提示】27＝28，43＝48．
【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－28
1
与－
48
1
的大小． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________．
【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋
3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．
【答案】40． 【点评】1+x ≥0，
3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．
15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．
【提示】∵ 3＜11＜4，∴ _______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．
【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分）
16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）
（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．
17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋2
22y xy x ++＝………………………（ ）
（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．
∴
222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．
222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ．
【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |． 18．若0＜x ＜1，则4)1
(2
+-x
x －4)1(2
-+
x
x 等于………………………（ ）
（A ）
x 2 （B ）－x 2
（C ）－2x （D ）2x 【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1
)2．又∵ 0＜x ＜1，
∴ x ＋x 1＞0，x －x
1
＜0．【答案】D ．
【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －
x
1
＜0． 19．化简a
a 3
-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ）
（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a
【提示】3a -＝2a a ?-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ．
20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ） （A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a --- 【提示】∵ a ＜0，b ＜0，
∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．
【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义． （四）在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）
21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】（3x ＋5y ）（3x －5y ）． 22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2(2x －1)2． （五）计算题：（每小题6分，共24分）
23．（235+-）（235--）；
【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式． 【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．
24．
1145
-－
7114-－7
32
+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．
【解】原式＝11
16)114(5-+－711)711(4-+－79)
73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．
25．（a 2m n －m ab mn ＋
m n n m ）÷a 2b 2m
n
； 【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2
m n －m ab mn ＋m n n m ）·221b a n
m ＝
2
1b n m m n ?－mab 1n
m m n ?＋22b ma n n m
n m ?
＝21b －ab 1＋221b a ＝2
221b
a a
b a +-． 26．（a ＋b
a ab
b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．
【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝
b a ab b ab a +-++÷)
)(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--
＝b a b a ++÷)
)((2
222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----
＝
b a b a ++·)
()
)((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．
【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐．
（六）求值：（每小题7分，共14分）
27．已知x ＝2323-+，y ＝2
32
3+-，求3
2234232y x y x y x xy x ++-的值． 【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵ x ＝
232
3-+＝2)23(+＝5＋26，
y ＝2
323+-＝2)23(-＝5－26．
∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．
3
22342
32y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164?＝
652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的
过程更简捷．
28．当x ＝1－2时，求
2
2
2
2
a
x x a x x
+-+＋
2
2
2
222a
x x x a x x +-+-＋
2
2
1a
x +的值．
【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，
∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x 22a x +＝－x （22a x +－x ）． 【解】原式＝
)
(2
2
2
2
x a x a x x
-++－
)
(22
2
22x a x x a x x -++-＋
2
2
1a
x +
＝
)
()
()2(2
2
2
2
2222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-
＝)
()(222222
22222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)
()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝
)
()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++
＝
x 1．当x ＝1－2时，原式＝2
11-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝
)(2
2
2
2
x a x a x x -++－
)
(22
2
2
2x a x x a x x -++-＋
2
21a
x +
＝)11(2
222a x x a x +--+－)11(22
x x a x --+＋221a x +＝x 1． 七、解答题：（每小题8分，共16分）
29．计算（25＋1）（
211+＋321+＋4
31+＋…＋100991
+）．
【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算． 【解】原式＝（25＋1）（
1212--＋2323--＋3434--＋…＋99
10099
100--） ＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）] ＝（25＋1）（1100-） ＝9（25＋1）．
【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化
为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋
21．求x y y x ++2－x
y y x +-2的值． 【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[???≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].
214
1[???
???
?
==y x 【解】要使y 有意义，必须???≥-≥-014041[x x ，即???
????≥≤.
414
1x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．
又∵
x y y x ++2－x
y
y x +-2＝2)(x y y x +－2)
(x
y y x - ＝|x
y y x +|－|x y y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ y x
＜x y ．
∴ 原式＝x y y x +－y x x y +＝2y
x 当x ＝41，y ＝21
时，
原式＝221
41
＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．
二次根式提高练习题(含答案)
一.计算题： 1． (235+-）（235--）； 2. 1145 -－ 7 114-－7 32+ ； 3.（a 2m n －m ab mn ＋m n n m ） ÷a 2b 2m n ； 4.（a ＋b a ab b +-）÷（b ab a +＋ a a b b -－ab b a +） （a ≠b ）． 二.求值： 1.已知x ＝ 2 323-+，y ＝ 2 32 3+-，求 322342 3 2y x y x y x xy x ++-的
值． 2.当x ＝1－ 2 时，求 2 2 2 2 a x x a x x +-+＋ 2 2 2 22 2a x x x a x x +-+-＋221 a x +的值． 三.解答题： 1．计算（2 5＋1）（211 +＋ 3 21+＋431 +＋… ＋100 991 +）． 2.若x ，y 为实数，且y ＝ x 41-＋14-x ＋21 ．求
x y y x ++2－ x y y x +-2的值． 计算题： 1、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式． 【解】原式＝(35-)2 －2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 2、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式． 【解】原式＝1116)114(5-+－7 11) 711(4-+－ 79) 73(2--＝4＋ 11－11－ 7－3＋ 7＝1． 3、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2 m n －m ab mn ＋
m n n m ）·2 21b a n m ＝2 1b n m m n ?－mab 1n m m n ? ＋ 2 2b ma n n m n m ? ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221 b a ab a +-． 4、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝b a a b b ab a +-++÷) )(() )(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+-- ＝ b a b a ++÷) )((2 222b a b a ab b a b ab b ab a a -++---- ＝
人教版八年级数学下《二次根式》拓展练习
《二次根式》拓展练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）若有意义，则a能取的最小整数为（） A．0B．﹣4C．4D．﹣8 2．（5分）x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D． 3．（5分）若在实数范围内有意义，则x不能取的值是（）A．2B．3C．4D．5 4．（5分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2B．x≥2C．x＝2D．x＜﹣2 5．（5分）下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝． 7．（5分）若，则a m＝． 8．（5分）若u、v满足v＝，则u2﹣uv+v2＝．9．（5分）已知，求x y的值． 10．（5分）若有意义，则x的取值范围为． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）已知+＝b+8 （1）求a的值； （2）求a2﹣b2的平方根． 12．（10分）若a，b为实数，且，求．13．（10分）已知x，y都是实数，且，求x+2y的平方根．14．（10分）已知a是非负数，且关于x的方程+＝仅有一个实
数根，求实数a的取值范围． 15．（10分）若y＝﹣2，求（x+y）y的值．
《二次根式》拓展练习 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）若有意义，则a能取的最小整数为（） A．0B．﹣4C．4D．﹣8 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解答】解：有意义，则a+1≥0， 解得：a≥﹣4， 故a能取的最小整数为：﹣4． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 2．（5分）x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D． 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，分别计算即可．【解答】解：A，x+3≥0，解得，x≥﹣3，错误； B、x﹣3＞0，解得，x＞3，错误； C、x+3＞0，解得，x＞﹣3，错误； D、x﹣3≥0，解得，x≥3，正确， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 3．（5分）若在实数范围内有意义，则x不能取的值是（）A．2B．3C．4D．5 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解答】解：∵在实数范围内有意义， ∴x﹣3≥0， 解得：x≥3，
浙教版八下二次根式题型归纳总结
最新浙教版八下二次根式题 型归纳总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
最新浙教版八下二次根式题型归纳总结 - 百度文库1、知识框架 1. 二次根式：式子（≥0 ）叫做二次根式。 2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴ 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵ 被开方数中不含分母； ⑶ 分母中不含根式。 3. 同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： （ 1 ）（） 2 = （≥0 ）；（ 2 ） 5. 二次根式的运算： （ 1 ）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， ? 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （ 2 ）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （ 3 ）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． = ·（a≥0 ，b≥0 ）；（b≥0 ， a>0 ）． （ 4 ）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， ? 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 三、例题讲解 1 、概念与性质
例 1 下列各式 1 ），其中是二次根式的是 _________ （填序号）． 例 2 、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）；（ 2 ） 例 3 、在根式 1) ，最简二次根式是（） A ． 1) 2) B ． 3) 4) C ． 1) 3) D ． 1) 4) 例 4 、已知： 例 5 、已知数 a ， b ，若=b － a ，则 ( ) A. a>b B. a《二次根式》典型例题和练习题之欧阳歌谷创编
《二次根式》分类练习题 欧阳歌谷（2021.02.01） 二次根式的定义： 【例1】下列各 式 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、 2、在、、、中是二次根式的个数有 ______个 【例2 有意义，则x 的取值范围是．[来源:学*科* 网Z*X*X*K] 举一反三： 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 3、如果代数式 mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、
第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 举一反三： 1 2()x y =+，则 x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y= 4x 233x 2+-+-，求 xy 的值 3、当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。 已知a b 是1 2a b + +的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。 若 17 的整数部分为x ，小数部分为y ，求 y x 1 2+ 的值. 知识点二：二次根式的性质 【例4】若 ()2 240a c -+-=，则= +-c b a ． 举一反三： 1、若 0)1(32=++-n m ，则m n +的值为。 2、已知y x ,为实数，且()0 2312 =-+-y x ，则y x -的值为 （ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2 －4｜＋6 52+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿. 4、若 1 a b -+() 2005 _____________ a b -=。 （公式 )0()(2 ≥=a a a 的运用）
中考数学一轮复习提高题专题复习二次根式练习题附解析
中考数学一轮复习提高题专题复习二次根式练习题附解析 一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A ．235+= B ．422-= C ．8＝42 D ．236?= 2．下列计算正确的是（ ） A ．2+3=5 B ．8=42 C ．32﹣2=3 D ．23?=6 3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ． 1.5 B ． 13 C ．10 D ．27 4．已知52a =+，52b =-，则227a b ++的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 5．下列运算中，正确的是( ) A ．1333??+ ? ?? =3 B ．(12-7)÷3=-1 C ．32÷ 1 22 =2 D ．(2+3)×3=63+ 6．下列运算正确的是（ ） A ．52223-=y y B ．428x x x ?= C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2 D ．27123-= 7．下列计算正确的是（ ） A ．822-= B ．321-= C ．325+= D ．(4)(9)496-?-= -?-= 8．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5 个数是（ ） 1232567 22 310 A ．210 B ．41 C ．52 D ．51 9．将1、 、 、 按图2所示的方式排列，若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第 n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数的积是（ ）
A ．1 B ．2 C ． D ．6 10．下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A ．0.1 B ．19 C ．8 D ．14 4 11．设0a >，0b >，且( )( ) 35a a b b a b +=+，则 23a b ab a b ab -+++的值是 （ ） A ．2 B ． 14 C ． 12 D ． 3158 12．给出下列化简①（2-）2=2：②22-=（）2；③221214+=123； ④11 142 - =，其中正确的是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①② D ．③④ 二、填空题 13．已知2215x 19x 2+--=，则2219x 215x -++=________． 14．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=-+-+--，则 2b c +=________． 15．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 2]=1，类似地，只需进行3次操作 后变为1的所有正整数中，最大的是________． 16．当x 3x 2﹣4x +2017=________． 17．把1 a - 18．已知2，n=1222m n mn +-的值________． 19．若a 、b 为实数，且b 2211a a -+-+4，则a+b ＝_____． 201262_____． 三、解答题 21．观察下列各式子，并回答下面问题． 211-
二次根式拓展提高练习(沪教版)
二次根式拓展提高练习 1、化简： 2 3)20x y >> 4a b ==，用a 、b 表示9.4
5、计算：232xy 6、计算：(?- ? 7、计算：2+=_________. 8、当 a =，求代数式2963a a a -+-的值.
9、已知：3a b +=，1ab =，且a b >的值. 10、已知：x = y =，求44x y +的值. 11、已知1a ，b =2c =，那么a ，b ，c 的大小关系是＿＿＿＿. A.a b c << B.b a c << C.c b a << D.c b a << 12、把代数式(x -___________； 13、已知：2b =，则 11a b +的平方根为_____________； 14、若a 、b 为实数，且|1|0a -， 则1111(1)(1)(2)(2)(1993)(1993) ab a b a b a b +++++++++的值为_____________；
15 =成立的条件是_________ =-，则x 的取值范围是_________； 16 、若化简|1|x -25x -，则x 的取值范围是__________； 17、如果||1a a =- ，那么|21|a --； 18 、代数式3--_________；这时,a b 的关系是_________； 19 a b ==，用,a b =_________； 20 、化简：； 21 、若最简二次根式a =________； 22、若△ABC 的三边长分别为,,a b c 0=，则最大边c 的取值范围为____________。 23、已知a 为实数，且满足200a a -=，则2200a -的值为________； 24、已知01x << ； 25、已知a =的值。 26、已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简222 2d c ab d c ab +-＝______； 27、化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________； 28、化简： 2 1a a a --=______________ 29、若2223+-=+x x x x ，则x 的取值范围是_______________； a a a a a a a -+---+-+22212121,321 求
二次根式知识点归纳及题型总结精华版
二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理；
(3) 乘法公式的推广： 2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3）45++x x (6). （7）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （8）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< 二次根式专题 题型一：二次根式的概念 【例题1】 当为实数时，下列各式，，， 属于二次根式的有 ________个. 【练一练】 1. 下列式子中二次根式的个数有 （ ） （1） ；（ 2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） （x ＞1） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2. 下列各式① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中二次根式的个数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 题型二：二次根式的意义（取值范围） 【例题2】 x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1） （2）y=－； 【练一练】 1. 若使二次根式 有意义，则x 的取值范围是 ； 2. 使式子 x 211 -有意义的x 的取值范围为______________________； 3. 代数式x -9有意义时，实数x 的取值范围是__________________； 4. 函数x x y 2 += 的自变量x 的取值范围是_____________________； 5. 函数2 1 -+= x x y 中，自变量x 的取值范围是___________________； 6. 若式子12112+-+-x x 在实数范围内有意义，则x 满足的条件是______________________. x () 2 223,1,,, , x x x x x --y =2+x x 23- 题型三：二次根式的性质（)0 ( ) (2 2≥ = =a a a a a，） 【例题2】 1.计算下列各式： (1)（3）（4） 2.已知a，b，c在数轴上如图所示，化简：． 3.已知a、b 都是实数，且b，化简?＋1的结果是多少？ 【练一练】 1.=________. 若，则______.若=0，则=__________. 2.若，则____________；若，则______________. 3.已知，求的值为____________. 4.若，则化简的结果是__________. 5.已知c b a, ,为三角形的三边，则2 2 2) ( ) ( ) (a c b a c b c b a- + + - - + - += ． 2 3 2() 4 --2 (3.14)π -2) 2 5 2 (-2) 2 ( 2a a- - - 22 x x -+- 2 (1) 1 x x - - 二次根式练习题 一．选择题（共4小题） 1．要使式子有意义，则x的取值X围是（） A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1 2．式子在实数X围内有意义，则x的取值X围是（） A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1 3．下列结论正确的是（） A．3a2b﹣a2b=2 B．单项式﹣x2的系数是﹣1 C．使式子有意义的x的取值X围是x＞﹣2 D．若分式的值等于0，则a=±1 4．要使式子有意义，则a的取值X围是（） A．a≠0 B．a＞﹣2且a≠0 C．a＞﹣2或a≠0 D．a≥﹣2且a≠0 二．选择题（共5小题） 5．使有意义，则x的取值X围是． 6．若代数式有意义，则x的取值X围为． 7．已知是正整数，则实数n的最大值为． 8．若代数式+（x﹣1）0在实数X围内有意义，则x的取值X围为．9．若实数a满足|a﹣8|+=a，则a=． 三．解答题（共8小题） 10．若a，b 为实数，a=+3，求． 11．已知 22 1616 3 4 n n m n -- =- + ，求2016 () m n +的值？ 12．已知x ，y 为等腰三角形的两条边长，且x ，y 满足3264y x x =--+，求此三角 形的周长 13．已知a 、b 、c 满足+|a ﹣c+1|= + ，求a+b+c 的平方根． 14．若a 、b 为实数，且，求 ． 15．已知y ＜+ +3，化简|y ﹣3|﹣ ． 16．已知a 、b 满足等式 ． （1）求出a 、b 的值分别是多少？ （2）试求的值． 17．已知实数a 满足+=a ，求a ﹣20082 的值是多少？ 参考答案与试题解析 题型一二次根式的定义 例1、(1) Vf 斥是整数，求自然数n 的值. 题型二二次根式有意义的条件 例2、当x _________ 时，二次根式VTTT 有意义。 例3、已知x 、y 为实数，y= — ,求5x+6y 的值. x-3 例 4、已知 y =厶-3 + 丁3-x + 4 ,求 +8y + 16-的值。 a b I 鼻 1 ] I 1 ! ] I * ； -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 题型三二次根式的性质与化简 例5、已知实数“ b 在数轴上的位置如图所示: 二次根式 试化简 -2ab + b 2 时, 式子 長 3 有意义. 例6、计算 例7、化简求值 (1) 化简：-\a+b\ + yl^c-ay +|/? + c| 力 G 0 (3)若 x 6）当 a<0, b<0 时，-a+2^b~b 可变形为（ ） 题型四最简二次根式 例8、（1）下列式子中，属于最简二次根式的是（ （2）届,J |, 7^7都不是最简二次根式.（ ） 题型五二次根式的乘除法 例10、计算 (1) ( - y/3 + ^2 ) ( y/5 - V3 - A /2 ) 2 ? (A) - (B)-- x x (5)化简(a<0)得( ) a (A) (B) — 4ci (C) —2x (D) 2x (C) — J_a (D)需 例 A. ) 一5 V m< ~4 D ? 一6 《二次根式》培优 一、知识讲解 1．根式中的相关概念 ⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。 ⑵ n n 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。 ⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。 ⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。 时，a c +=+ 2. 二次根式的性质 （1 ） ()2 0a a =≥. （2 00 0 0a a a a a a >?? ===??- （4 ） )0m a =≥ （5）若0a b >> >4. 分母有理化 （1）把分母中的根号化去叫做分母有理化. （2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式 . 互为有理数因式。分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0. 二、习题讲解 基础巩固 1.化简： （1 ） （2 （3 （4 ） （5 （6 ） 解：（1 ）. （2 3. （3 ） （4 3 . （5 ） 2 32 - . （6 ） 2. 设y = ，求使y 有意义的x 的取值范围. 解：由题知2102010x x x -≥?? -≥??->?，解得1221 x x x ?≥?? ≤??>? ?，所以x 的取值范围为12 2x ≤≤. 3.（1）已知最简二次根式b a = ， b = . （2）已知 0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 . 解：（1）由题知：2 322b a b b a - =??=-+?，解得02a b =??=?. （2）因为0 ≥，2160m -≥0= 二次根式知识点总结及常见题型 资料编号:20190802 一、二次根式的定义 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=（a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: （1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性: () a a =2 （a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简） 重要结论: （1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值. （2） ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. （3）()() ??????=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________. 初二数学专题练习《二次根式》 一．选择题 1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1 2．若1＜x＜2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 3．下列计算正确的是（）A．=2B．= C．=x D．=x 4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（） A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 5．化简+﹣的结果为（）A．0 B．2 C．﹣2D．2 6．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x 7．下列式子运算正确的是（）A．B．C．D． 8．若，则x3﹣3x2+3x的值等于（）A．B．C．D． 二．填空题 9．要使代数式有意义，则x的取值范围是． 10．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为． 11．计算：=．12．化简：=．13．计算：（+）=．14．观察下列等式： 第1个等式：a1==﹣1， 第2个等式：a2==﹣， 第3个等式：a3==2﹣， 第4个等式：a4==﹣2， 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第n个等式：a n=； （2）a1+a2+a3+…+a n=． 15．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=．16．已知：a＜0，化简=． 17．设，，，…，． 设，则S=（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．三．解答题 18．计算或化简：﹣（3+）； 19．计算：（3﹣）（3+）+（2﹣） 20．先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0． 21．计算：（+）×． 22．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3． 23．计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0． 24．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：． 25．阅读材料，解答下列问题． 例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身； 当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零； 当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数． ∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即， 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想． 问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况； （2）猜想与|a|的大小关系． 26．已知：a=，b=．求代数式的值． 教学准备 1. 教学目标 1、知识与技能： （1）理解二次根式的概念， （2）利用公式的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 2、过程与方法： 通过自主合作学习，和教师合作精讲，掌握学习目标。 3、感态度与价值观： 培养学生辩证唯物主义观点。 2. 教学重点/难点 二次根式中被开方数的取值范围。 3. 教学用具 多媒体，白板。 4. 标签 教学过程 1 、引入新课 【师】同学们好（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：面积为3的正方形的边长为 ___面积为S的正方形的边长． 问题2：一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130则他的宽为 __________． 问题3：一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t与开始落下时离地面的高度h满足关系h=5t2用含h的式子表示t，那么t为 _________． 答案： 【板书】 第十六章二次根式 2 、新知介绍 【师】很明显都是一些正数的算术平方 根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如\（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 思考: （学生活动）议一议： 1）-1有算术平方根吗？(没有) 2）0的算术平方根是多少？（0） 3）当a<0，有意义吗？（没有） 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有： 不是二次根式的有： 【板演/PPT】 【师】大家刚才都完成了任务，接下来我们一起学习二次根式性质： 我们学过，，a≥0的式子叫二次根式，我们知道a≥0那么呢？因是a的算术平方根所以≥0.下面我们根据二次根式的非负性解决实际问题。 例2：当x是多少时，在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x≥1/3 当x≥1/3时，在实数范围内有意义． 3、巩固训练（生演板） 精品文档 二次根式 二次根式： 当 ______________ 时，J x +2 + J 1 —2x 有意义。 若.— 1有意义，则 m 的取值范围是 。 m 1 当x __________ 时，J （1 -X $是二次根式。 在实数范围内分解因式： x 4 —9 = ,x 2 —2j2x+2 = 已知\ I. x - 2 = 2 - x ，则x 的取值范围是 。 化简：X 2—2X ， 1 x -1 的结果是 ______________________________ 。 当 w x < 5 时，J （x X j 斗 x -5 = ________________ ° 把a j _*1的根号外的因式移到根号内等于 ______________________ ° 使等式、x 1 x-1 =_x —1「，x ， 1成立的条件是 ____________________ 若a —b +1与J a +2b +4互为相反数，则（ a — b 『°5 = ______________ 在式子石 d 心戸（y"）工2^（ X 却 两,J x 2出,x 中，二次根式有（ A. 2个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 若 2 w a w 3， 则 J （2 ￡ f -J （a d j 等于（ ） -H-* 1.2二次根式的乘除 1. 当 a 兰 0，b w 0 时， _________________________ ° 2. 若J 2m 2 和J 33m _2"都是最简二次根式，则 m= ___________ ,n= ______ 3. 计算：\[3 = ___________________ ; J 36 工 9 = _________ ° 4. 计算： （届 _3厉尸73= ____________ ° 5. 长方形的宽为 3 ，面积为2^6，则长方形的长为 ______________ ° 6. 下列各式不是最简二次根式的是（ A . , a 2 1 B. . 2x 1 ) ■ 2b D. C. 7.已知xy > 0,化简二次根式 ... 0.1y A . , y B.、丐 8.对于所有实数a,b ，下列等式总能成立的是（ ） （T a +V b j=a +b B. J a W a +b C. 扣+2 j A. 10. =a 2 ■ b 2 对于二次根式 x 2 9 ，以下说法中不正确的是（ ） A.它是一个非负数 B.它是一个无理数 C.它是最简二次根式 D. a ■ b 2 =a ■ b D.它的最小值为3 A . 5 ~ 2a B. 1 2a c. 2a - 5 D. 2a -1 能使等式 x _ x 成立的x 的取值范围是( ) A. X = 2 B. X - 0 C. x w 2 D. 计算：J(2a -1 $ + J(1 -2a 2 的值是( A . o B. 4a-2 c. 2-4a D. 若? x - y y 2 -4y 4 =0，求 xy 的值。 x_2 ) 2 -4a 或 4a -2 已知a, b 为实数，且叩a ■ ib -1 "：」1 —b =0，求a 2005 —b 2006的值。 11.计算: 1.1 2. 3. 4. 5. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 15. 18. 19. 21. 25. 二次根式 一、二次根式的两个非负性. 1）、被开方数非负的应用：【a ≥0】 例1：已知：y=32-x +x 23-+2.则x y = . 例2：已知：b= b a a 3462+-+b a a 3426+-则a 2-ab+b 2= . 例3：设a.b.c 均为不小于3的实数. 则2-a +1+b +11--c 的最小值是 . 针对性训练： 1、代数式x +1-x +2-x 的最小值为 . 2、求：4+a +a 29-+a 31-+2a -的值为 . 2）、结果非负【a ≥0】的应用 例1：已知：4+x +（2x+y ）2=0则x-y 的值为 . 针对性训练习： 1、已知：2-m +x 2+y 2+4x-6y+13=0则（x+y ）m 的值为 . 2、①.110-x +1有最小值时x= ，这个最小值为= . ②.42+x +1有最小值时x= ，这个最小值为= ③.9-24x -的最大值为 ，最小值为 . 3）、综合应用.8 例1：已知：2001-a +a -2000=2003-a 求：a 例题：已知：3x +5y =7其中（x>0）求m=2x -3y 的取值范围. 针对性练习： 1、已知：实数a 满足a -2004+2005-a =a 则a-20042的值为 . 4）、一个非负数转化为另一个非负数的平方的应用【2)( a a =】 例1: 填空：y-21-y =( )2 例2：已知：2（x +1-y +2-z ）=x+y+z.求x.y.z 的值. 例3：已知a+b 2+11--c =42-a +2b-3 求：a+2b-2 1 c 的值. 针对性练习 1、a,b,c 是实数，若14261412--++++=++c b a c b a ，求()()()b a c a c b c b a +++++的值 2、如果( ) 9214+++=-+-+z y x z y x ，那么x+y+z 的值是多少 二、2a =a 的应用 拓展为b a 2= a b 反过来a b =b a 2时要注意a 符号 例1：设x<0.y<0.在x x y -y 13xy -y x 3化简= . 例2：若3-x +()21-x =2则x 的取值范围是 . 例3：已知：-32 二次根式知识点总结及常见题型 资料编号 :20190802一、二次根式的定义 形如 a （ a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号, a叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数. 据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式, 应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“” ; ②被开方数是否为非负数 . 若两个标准都符合, 则是二次根式 ; 若只符合其中一个标准, 则不是二次根式 . （ 3）形如m a（a≥ 0）的式子也是二次根式, 其中m叫做二次根式的系数, 它表示的是 : m a m a （ a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件, 若二次根式A B 与B A 都有意义,则有A B. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质 : （1）双重非负性 : a ≥0, a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性 : 2 a a （ a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性 : a 2 a(a0) a a(a .（主要用于二次根式的化简） 0) 重要结论 : （1）若几个非负数的和为0, 则每个非负数分别等于0.若 A B 2C0 ,则 A 0, B 0,C 0 . 应用与书写规范 : ∵ A B 2C0 , A ≥0,B2≥0, C ≥0 ∴ A 0, B0, C0 . 该性质常与配方法结合求字母的值. （2） A B 2 A B A B A B ;主要用于二次根式的化简. B A A B A2 B A 0 （3）A B, 其中B≥ 0; A2 B A 0 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简: 可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内, 以达到化简的目的. （4） A B 2 A2 B ,其中B≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例 1. 式子1在实数范围内有意义,则x的取值范围是 _________. x1 分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 即被开方数为非负数, 注意分母不能为0.解: 由二次根式有意义的条件可知: x10 ,∴ x 1. 例 2.若 x, y 为实数,且y x11 1y1 x,化简 :. 2y1 分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 且有重要结论 : 若二次根式 A B 与 B A 都有意义 , 则有A B . 解: ∵x 1≥ 0,1 x≥ 0 ∴ x ≥1, x ≤1 ∴ x1 ∴ y0011 1 22 y11y 1 . ∴ 1y1 y 习题 1.如果3a 5 有意义,则实数 a 的取值范围是__________.习题 2.若 y x33x 2 ,则 x y_________. 习题 3.要使代数式 12x有意义 ,则x的最大值是 _________. 习题 4.若函数 y 1 2 x ,则自变量x 的取值范围是__________. x 习题 5.已知 b3a1282a 1 ,则 a b_________. 《二次根式》 （一）判断题：（每小题1分，共5 分） 1. , (-2) ab = _ 2 … ab ..... ....................... () 2. .、3 —2 的倒数是..3 + 2.( ) 3. 。二1)2= (、x—1)2.…() 4. Jab、- va3b、一是同类二次根式.…（） 3 xVb 5. *：.$8x，‘—，9 X都不是最简二次根式.（） F3 （二）填空题：（每小题2分，共20分） 13. 化简：(7 —5 -2 )2000( —7—5 2 ) 2001 = ____________ . 14. 若x 1 + . y —3 = 0，则(x—1)2+ (y+ 3)2 = ________________ . 15. x, y分别为8 —'?11的整数部分和小数部分，则2xy—y2= ____________ (三)选择题：(每小题3分，共15分) 16. .................................................................................... 已知? x33x2=—X X 3，则....................................................... () (A) x w 0 ( B) x w—3 (C) x>—3 ( D)—3< x< 0 17. ................................................................................................................................. 若x v y v 0，则x2-2xy y2+ x22xy y2= ........................................................................ ( (A) 2x (B) 2y ( C)—2x (D)—2y / 1T2 \ 1T2 18. 若0v x v 1,则｛(x_；) +4 —\：(x+：x)-4 等于 ...................... ( 2 2 (A ) ( B)—(C)—2x (D) 2x x x 19. 化简.................................................. (a v0)得 ( a _ (A) < - a (B) —c a (C) —- a (D) '：-a 9 .当1 v x v 4 时，|x—4|+ .. x2—2x 1 = 10. 方程J2 （x—1）= x+ 1的解是_________ 11. 已知a、b、c为正数，d为负数，化简 ab-c2d2 ,ab c2d2 12.比较大小：- 1 2 “7 1 4、3 1 6 .当x __________ 时，式子一有意义. #x_3 & a- Ja2 -1的有理化因式是_________________初二下册二次根式所有题型专题
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