东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(含评分细则

2020年高三第一次联合模拟考试

理科数学

第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）

、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 .

A.( , 1) (3,

B.( , 1] [3,

D.( , 1] [1,

4.大约在 20 世纪 30 年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数 n ，如

果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1，这样反复运算，最后结果必然 是

1 ，这个题目在东方称为“角谷猜想” ，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各 种方

法，甚至动用了最先进的电子计算机， 验算到对 700 亿以内的自然数上述结论均为正确 的，但却给不出一般性的证明，例如取 n 13，则要想算出结果 1，共需要经过的运算步数 是（ ）

A.9

B.10

C.11

D.12

5.已知 a ln3,b log 3 e,c log e (注

：e 为自然对数的底

数）

，则下列关系正确的是 （ ）

A.b a

c

B.c b a

C.b c a

D.a b c

6.已知在边长为 3 的等边 ABC 的中，

1

BD DC ，则 AD AC =( )

2

A.6

B.9

C.12

D. 6

1.已知集合 A x 2

2x

，B

1

1 则 C R (A B) ( ) x

2.已知复数 za bi(a,b R)， z i1 是实数，那么复

数 z 的实部与虚部满足的关系式为 A.a B.a b C.a 2b 0 D.a 2b 0 3.已知 是两个不同的平面，直线 m ，下列命题中正确的是（ A.若 ，则 m ∥ B.若 ，则 m C.若 m

∥

，则 ∥

D.若 m ，则

C.[3, )

7.如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， ED 平面 ABCD ， FC 平面 ABCD ，

y 轴对称，则

2

n

b n 为数阵从左至右的 n 列，从上到下的 n 行共 n 2个数的和，则数列

的前 2020 项和为

b

n

ED 2FC 2 ，则四面体 A BEF 的体积为

( )

1 A.

3

2 B. 3

C.1

4 D.

3

8.已知函数 f (x)

sin2x 3 cos2x 的图像向右平移 (0

2

)个单位后，其图像关于

A.

12

B.

6

C.

3

5 D. 12

2

x

9.已知椭圆 2

a

2

y

b 2

1(a b 0) 的右焦点为 F(c,0) ，上顶点为

A(0,b) ，直线

2 a

x 上 c

存在一点 P 满足 (FP FA) AP 0 ，则椭圆的离心率取值范围为(

1

A.[1

2,1) 2 B.[ 22 ,1) 51 C.[ 52 1

,1) D.(0, 2 ]

10. 已 知 定 义 在 R 上的函 数 f (x) ， 满 足 f(1 x) f (1 x) ， 当

[1, ) 时

f(x)

1 x 2,x

x1

2f ( 2 ),x

[1,3) [3, )

，则函数 f(x) 的图像与函数 g(x)

ln x,x

ln(2 x),x 1

的图像

在区间 [ 5,7] 上所有交点的横坐标之和为(

A.5

B.6

C.7

D.9

11.已知数 a n 列的通项公式为 a n 2n

2 ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记

第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）

4 小题，每小题

5 分，共 20 分 .把答案填写在答题纸相应位置上

13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增 大.动

力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术， 它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的

主要动力 .假定现在市售的某款新能源汽车上， 车载动力蓄电池充放电循环次数达到 2000 次 的概率为 85%，充放电循环次数达到 2500 次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经 经过了 2000 次充电，那么他的车能够充电 2500 次的概率为 .

14.已知函数 f （x ） e x ae x 在［ 0,1］上不单调，则实数 a 的取值范围为

.

2*

15.数列 a n 满足 a 1 1，a n （2S n 1） 2S n 2（n 2,n N *），则 a n =

.

16.已知函数 f （x ） （x 2 a ）2 3x 2 1 b ，当 时（从①②③④中选出一个作

为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）

一）必考题：共 60 分 .

17. （本小题满分 12 分）

在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2bcosC 2a c （Ⅰ）求 B ；

（Ⅱ）若 a 2， D 为AC 的中点，且 BD 3，求 c .

18. （本小题满分 12 分）

如图，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 中， BB 1 平面 ABC ， AB BC ， AB 2，BC 1，

1011 A.

2020

2019 B.

2020

2020 C.

2021 1010 D.

2021

12.已知双曲线

2

y

1 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1、F

2 ， 点

3 1 2

P 在双曲线上，且 F 1PF 2 120 ，

F 1PF 2 的平分线交 x 轴于点 A ，则 PA （ ）

A. 5

5

B.

2 5 5

C.3 5

5

D. 5

二、填空题：本题共 1

①a

2

⑤ 4 个极小值

35

② a ③ a 1, 2 b 0 22

⑥1 个极小值点

⑦6 个零点

④ a 1, 9 b

4

⑧4 个零点

三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

2或 b 0

1 （Ⅱ）F 是线段CC1上一点，且直线AF 与平面ABB1A1所成角的正弦值为3，求二

3 面角F BA1 A 的余弦值.

19. （本小题满分12 分）

为了研究55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100 万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5 万，出现B症状人数为9.3 万，出现C 症状人数为 6.5万，其中含AB症状同时出现 1.8 万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5 万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5 万人，没有失眠症状且无心脑血管病的

人数为73 万人.

（Ⅰ）依据上述数据试分析55 岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？

（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠

与心脑血管病存在“强关联”？

n(ad bc)2

参考公式：K2

(a b)(c d)(a c)(b d)

20. (本小题满分12 分)

1 2 2 1

已知以动点P为圆心的⊙ P与直线l: x 相切，与定圆⊙ F：(x 1)2 y2相

24 外切.

(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程C ；

(Ⅱ)过曲线C上位于x轴两侧的点M、N (MN 不与x轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足记为M 1、N1 ，直线l 交x轴于点A，记AMM 1、AMN、ANN 1的面积分别为S1、S2、S3 ，且S22 4S1S3 ，证明：直线MN过定点.

21. (本小题满分12 分)

12

已知函数f(x) (x 1) ln( x 1)- ax2 x(a R) .

2

(Ⅰ)设f (x)为函数f(x) 的导函数，求函数f ( x)的单调区间；

(Ⅱ)若函数f(x)在(0, )上有最大值，求实数a 的取值范围.

二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任取一题作答 .如果多做，则按所做的第 题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑

.本题满分 10 分.

22. [选修 4-4：坐标系与参数方程 ]

Ⅰ）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程；

Ⅱ）设 M 、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求 MN 的最小值 .

23. [选修 4-5：不等式选将 ]

设函数 f （x ） x 2 x 3

（Ⅰ）求不等式 f （x ） 9的解集；

（Ⅱ）过关于 x 的不等式 f （x ） 3m 2 有解，求实数 m 的取值范围

一模答案

、填空题

1, n 1

13. 14. 15. a n

2 16. ①⑥、② ,n 2

2n 1 2n 3

⑤、③⑦、④⑧均可

三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.解析：

（Ⅰ）由正弦定理得 2sin BcosC 2sin A sinC ，??????????.2?分?

在直角坐标系 xOy 中，参数方程

x cos （其中 y sin

为参数）的曲线经过伸缩变换

2x

得到曲线 C ，以原点 O 为极

点， y

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极

坐标方程为 sin （

3 10 2

又由sin A sin(B C) sin BcosC cosB sin C ，??????????.4?分?得2cos B sin C sinC 0 ，

因为0 C ，所以sinC0，所以cosB1．因为0 B ，所以

2．

2

B．??????????.6?分?

3

uuur uuur uuur

（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以BA BC2BD ，

?

??????.8?分?

uuu r uuur 2 uuur 2

所以BC)2 (2BD)2，即a2 2 c ac12，???????.1?0 ?分

因为a 2，解方程c22c 8 0，得c 4 ．??????????.1?2 ?分

18. 解析：

(I )连结AB1交A1B于O，连结EO , OC1

1

Q OA OB, AE EB, OE BB1, OE //BB1, ??????????.1?分?

2

1

又DC1BB1，DC1// BB1,

2

OE/ /DC 1 ，因此，四边形DEOC 1为平行四边形，即ED / /OC1??????????.2?分?Q OC1 面C1AB, ED 面C1AB, DE // 平面C1BA1 ??????????.5?分?z

(II )建立空间直角坐标系B xyz ，如图

过F 作FH BB1 ，连结AH

Q BB1 面ABC,AB 面ABC, AB BB1

Q AB BC,BC I BB1, AB 面CBB1C1

Q AB 面BAA1 B1 , 面BAA1B1 面CBB1C1,

Q FH 面CBB1C1, FH BB1, 面BAA1B1 I 面CBB1C1 BB1, FH 面BAA1B1，

即FAH 为直线AF 与平面ABB1 A1 所成角，??????????.7?分?

11

记为，sin , AF 3,

AF 3

在Rt ACF 中，5 AC 2 CF 2 AF 2 CF 2 9, CF 2,

uuur uuur

F(0,2,1), A1(2,3,0), BF (0,2,1), BA1 (2,3,0),

20．解析：

ur 设平面 BAC 1的法向量 m （x, y,z ），

ur m ur m uuur BF 2y uuur BA 1 2x

3y 0 ur ，取 y 2,m ( 3,2, 4) 0 平面 BAA 1 的法向量 n (0,0,1) ，??

ur r |cos m,n |4 ???.1?1 ?分 29 1

因此，二面角 F BA 1 A 的余弦值 4

29 .?

29 19. 解析：

设 A ｛出现 A 症状的人｝ 、 B 示有限集合元素个数） 根据数 .1?0 ?

分

.1?2

分?

出现 B 症状的人｝、 C ｛出现 C 症状的人｝（ card 表 1 可 知

card AI B 1.8,card AI C 1,card BI C 2,card AI BI C 0.5，所以 card AUBUC card A card B card card AI B card AI C card B I C card

=8.5+9.3+6.5 1.8 1 0.5 20 1.3 6.2 0.5 4

0.5

1.5

失眠人数（万）

不失眠人数（万）

患病人数（万） 5 7 12 不患病人数（万）

15 73 88

20

80

100

得患病总人数为 20 万人，比例大约为 20%.

??.4?分? ?分?

.9?

分

2

2

100 5 73 15 7

k 2

4.001 3.841.??????????.1?1 ?分

12 88 80 20

有 95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在 “强关联 ” . ??????????.1?2 ?分

Ⅰ）设P x,y ，e P 半径为 R ，则R x 1, PF 2

1

R 1 ，所以点 P 到直线 x

2 1的 距离与到 F 1,0 的距离相等，故点 P 的轨迹方程 C 为 y 2 4x . .4?分?

Ⅱ）设 M x 1, y 1 N x 2, y 2 ，则 M 1 2,y 1

1 N 12,y

2 设直线 MN : x ty n t 22 0 代入 y 2 4x 中得 y 2 4ty 4n 0 y 1 y 2 4t, y 1y 2 4n 0. .6?分?

Q S 1 2 x 1

y 1 、 S 3 x 2 4S 1S 3

1 ty 1 n

2

ty 2

n 1 2

y 1y 2

2

1

t y 1y 2 n

2

t y 1

y

2

n

2

22

1

1 4nt 2

4t

2

n

n

2

2

x

1

2

x 1 2 y 1y 2

4n

2

1

4n

2

2

2t 2 n 1 4n

2 又 S 2 1

1 n y 1 y

2 1 1 n y

1

22 2 2 2

2 2 1 1 2 1 S 22 n 16t 2 16n 4 n 2

4 2 2 2 S 22 4S 1S 3 8nt 2 4 n 1 t 2 2n

2

y 2

4y 1y 2

2

t 2 n . ???

???.1?0 ?分

2

1 1

??

nn

????????.1?1 ?分

2

2 .??

.8?分

?

直线 MN 恒过 1

,0 .??????????.1?2 ?分 2

21．解析： （Ⅰ） f x ln x 1 ax

2 x ．

令 h x

ln x 1 ax ，

1 fx

hx

a ； .?????????

?.1?分?

x 1

1o

当 a

0时 ，h x 0 ，

f '

x

在 1, 上 递 增 ，

无减 区间

hx 0.????

???.3?分?

2o

当

a

0时，令 hx

01

1 x 1

，

a

令 h x

0x

1

1

a

所以， f 'x 在 1,1

1 上单调递增， 在 1

1, 上单调递减； .??? ???.5?

a

a

分

（Ⅱ）

由

（Ⅰ）可知，当 a 0 时，

f ' x

在 0, 上递增， f ' x

f ' 0 0

在 0,

上递增，无最大值， 不合题

意；

x

所以，当x0时，h x 2 x 1 ax 2 x 1 a x 1 x 12ax1

．

取t

4

21

1

，则t 1 ，且h t t 1 2 a t 10．a a

又因为h11h0 0，所以由零点存在性定理，存在x01 1,t ，使得

a a

h x0

0；

?????.1?1 ?分

当x0, x0时，h x0 ，即f x 0；当x x0 ,时，h x0 ，即f x0；

所

以， f x 在0, x0上单调递增，在

x0 ,

上单调递

减，在0,上有最大值f x0 ．

综上，0a1.??????????.1?2 ?分

在第22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用

2．B．铅．笔．在

答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分10 分

选修4-4：坐标系与参数方程

x 2cos

22．（Ⅰ）曲线C 的参数方程为（其中为参数），.??????????.2?分?

1

o当a1时，h x x11a 1 a0

0, 上递减，0，

2

o当0 a 1 时，1 1 0 ，

a

由（Ⅰ）可知f'x在0,1 1 上单调

a

减；

.

?.9?分?

设g x x1

ln

x ，则g x

x1

x

令g

x00x 1 ；令g

x

0 x 1

g x在0,1上单调递减，在

1,

单调递增；

g x g1

0，

即ln x x1

由

此，当x0时，

ln xx1x ，即ln x

上单调递

fx0,上递减，无最大值，

在不合题

意；

递增，在11, a

y sin

2

因此，曲线 C 的普通方程为x y2 1，.??????????.3?分?

4

曲线D的极坐标方程为2（ sin cos ）3 10，

22

因此，曲线D 的直角坐标方程为x y 3 5 0 ．.??????????.5?分?

Ⅱ）设M （2cos ,sin ），则|MN |的最小值为M到直线x y 3 5 0的距离为d，

d|2cos sin 3 5 | | 5sin( ) 3 5 | d 2 2

.7?分?

当sin( ) 1 时，.??????????.8?分?

| MN |最小值为10 ．.??????????.1?0 ?分选修4-5：不等式选讲

2x 1, x2

23.解：（Ⅰ）f x5, 2 x 3 ，.??????????.

2x 1, x3

当x 2 时，2 x 1 9 ，解得x 4 ，所以x 4；

当2 x 3 时，59 ，解得x；

2 x ．

当 x 3时， 2x 1 9 ，解得 x 5，所以 x 5， 综上所述，不等式 f x 9的解集为 {x|x 5或 x

4}．

3m 2 5 m

Ⅱ) Q x 2 x 3 x 2 x 3 5 .7?分?

当且仅当 x 2 x 3

0 即 2 x 3时取等）

.8?分?

.5?分?

.1?0 ?分