第四章作业及答案(学生版)

习题4-1

1. 设随机变量

求()E X ；E (2－3 X ); 2()E X ；2(35)E X +.

解 -0.2；2.6；2.8；13.4

2. 设随机变量X 的概率密度为

,0,()0,

0.x

e x

f x x -?>?=???≤

求X

e Z X Y 22-==和的数学期望.

解 2，

1

3

.. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60]上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望.

解

记Y 为游客等候电梯的时间,则

5,05,

25,525,()55,2555,65,5560.

X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-

?

???≤≤≤≤ 因此, 60

1

()[()]()()()60E Y E g X g x f x dx g x dx ∞-∞

===

?

?=11.67(分钟)..

14. 某保险公司规定, 如果在一年内顾客的投保事件A 发生, 该公司就赔偿顾客a 元. 若一年内事件A 发生的概率为p , 为使该公司受益的期望值等于a 的10％, 该公司应该要求顾客交多少保险费？

解 应要求顾客角保费(0.1)c p a =+.

习题4-2

1. 选择题

(1) 已知(1,(3))E D X X =-= 则2

[3(2)]()E X -=.

(A) 9. (B) 6. (C) 30. (D) 36. 解 应选(D).

(2) 设~(,),(6,( 3.6))B n p E D X X X ==, 则有( ).

(A) 10, 0.6n p ==. (B) 20, 0.3n p ==. (C) 15, 0.4n p ==. (D) 12, 0.5n p ==. 解 应选(C).

(3) 设X 与Y 相互独立，且都服从2(,)N μσ, 则有( ).

(A) ()()()E X Y E X E Y -=+. (B) ()2E X Y μ-=. (C) ()()()D X Y D X D Y -=-. (D) 2()2D X Y σ-=.

解 选(D).

(4) 在下列结论中, 错误的是( ).

(A) 若~(,),().X B n p E X np =则

(B) 若()~1,1X U -，则()0D X =. (C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =. (D) 若2~(,),X N μσ 则

~(0,1)X N μ

σ

-.

解 选(B).

2. 已知X , Y 独立, E (X )= E (Y )=2, E (X 2)= E (Y 2)=5, 求E (3X -2Y ),D (3X -2Y ). 解 2,1

3.

3. 设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1服从区间[0, 6]上的均匀分布, 22~0,2X N （）

, 3~3X E （）, 记12323Y X X X =-+, 求E (Y )和D (Y ) . 解

123123()(23)()2()

3()1

32034.

3

E Y E X X X E X E X E X =-+=

-+=-?+?=

123123()(23)()4()9()

1344920.

9D Y D X X X D X D X D X =-+=++=+?+?

=

4. 设两个随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从均值为0, 方差为12

的正态

分布, 求||X Y -的的期望和方差.

解 记U X Y =-. 由此~(0,1)U N . 进而

;

2222(||)()()[()]101E U E U D U E U ==+=+=

.

2

22

2(||)(||)(||)[(||)]11D X Y D U E U E U π-==-=-=-.

5. 设随机变量~(1,2)X U -, 随机变量

??

?

??<-=>=.0,1,0,0,0,1X X X Y

求期望()E Y 和方差)(Y D .

解 121

()1001333

E Y =-?+?+?=,

222212

()(1)001133

E Y =-?+?+?=.

故有 22

18()()[()]199

D Y

E Y E Y =-=-=.

6. 设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量

1,1,1, 1.U X U --=>-???若≤若 1,1,

1, 1.

U Y U -=>???若≤若

求E (X +Y ), D (X +Y ).

解 得X 和Y 的联合密度分布为

由此可见

22()04

4

E X Y +=-

+

=;2()[()]2D X Y E X Y +=+=.

习题4-3

1. 选择题

(1) 在下列结论中, ( )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件

(A) E (XY )=E (X )E (Y ). (B) D (X +Y )=D (X )+D (Y ). (C) Cov(X ,Y )=0. (D) X 与 Y 相互独立.

解 选(D).

(2) 设(X , Y )服从二元正态分布, 则下列说法中错误的是( ).

(A) (X , Y )的边缘分布仍然是正态分布.

(B) X 与Y 相互独立等价于X 与Y 不相关.

(C) (X , Y )是二维连续型随机变量.

(D)由(X , Y )的边缘分布可完全确定(X , Y )的联合分布. 解 选(D)

2 设D (X )=4, D (Y )=6, ρXY =0.6, 求D (3X -2Y ) .

解 (32)9()4()12Cov(,)D X Y D X D Y X Y -=+-

)()(126449Y D X D XY ??-?+?=ρ.

3. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 22

()()2E X E Y ==,

求2[()]E X Y +.

解

222[()]()2()()

42[Cov(,)()()]

E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++

42420.52

6.

ρ=+=+??=

4. 设随机变量(X , Y )

若E (XY )=0.8, 求常数a 解 得3.0=b . 进而1.0=a . 由此可得边缘分布律

故 C o v (,)()()()0.8 1.40X

Y E X Y E X E Y =-=-?=. 5. 已知随机变量(,)~(0.5,4;0.1,9;0)X Y N , Z =2X -Y , 试求方差D (Z ),

协方差Cov(,)X Z , 相关系数ρXZ .

解 25944)()(4)2()(=+?=+=-=Y D X D Y X D Z D ,

Cov(,)Cov(,2)

2Cov(,)Cov(,)2()08

X Z X X Y X X X Y D X =-=-=-=.

因此

8

0.825

XZ ρ=

==?.

6．证明: 对随机变量(X , Y ), E (XY )=E (X )E (Y )或者D (X ±Y )=D (X )+D (Y )的充

要条件是X 与Y 不相关.

证 首先我们来证明)()()(Y E X E XY E =和()()()D X Y D X D Y ±=+是等价的.

事实上, 注意到()()()2Cov(,)D X Y D X D Y X Y ±=+±. 因此

()()()D X Y D X D Y ±=+Cov(,)0()()()X Y E XY E X E Y ?=?=. 其次证明必要性. 假设E (XY )=E (X )E (Y ), 则

Cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=.

进而0XY ρ=

=, 即X 与Y 不相关.

最后证明充分性. 假设X 与Y 不相关, 即0=XY ρ, 则Cov(,)0X Y =. 由此知)()()(Y E X E XY E =.

总习题四

1. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗. 假设在各个交通岗遇到

红灯的事件是相互独立的, 并且概率是2

5

. 设X 为途中遇到红灯的次数, 求随

机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.

解 知2

~(3,)

X B . 即X 的分布律为

从而6

()5

E X =.

2. 设随机变量),(Y X 的概率密度为

2

12,01,

(,)0,.y y x f x y ??=???≤≤≤其它

求22

(),(),(),()E X E Y E XY E X Y +.

解 4()5E X =.3()5E Y =.1()2E XY =.22

16()15

E X Y +=.

3. 设随机变量X 与Y 独立, 同服从正态分布1

(0,)2

N , 求

(1) ();()E X Y D X Y --；

(2) (max{,});(min{,})E X Y E X Y . 解 (1)

2

2

22

(||)(||)||x x E X Y E x dx xe

dx ξ+∞

+∞--

-∞

-==?

22

x e

+∞

-

=,

101)]([)()()|(|2222=+=+==ξξξξE D E E .

故而ππξξξ2121|)](|[)|(||)(||)(|2

2

2-=???

? ??-=-==-E E D Y X D . (2) 注意到

2||)(),max(Y X Y X Y X -++=

, 2

|

|),min(Y X Y X Y X --+=.

所以

ππ21

221|]}[|)()({21)],[max(=

=-++=Y X E Y E X E Y X E , π

π21

221|]}[|)()({21)],[min(-

=-=--+=Y X E Y E X E Y X E . 4. 设随机变量),(Y X 的联合概率密度为

,02,02,

8(,)0,

.x y

x y f x y +??=??

?≤≤≤≤其它

求: E (X ), E (Y ), Cov(X ,Y ), ρXY , D (X+Y ).

解 7()6E X =,2

5()3E X =,因而11()36D X =.4()3

E XY =. 由对称性知

2275()(),()()63

E Y E X E Y E X ====, 3611

)()(==X D Y D .

这样，

1Cov(,)()()()36

X Y E XY E X E Y =-=-

, 1

11XY ρ=

=-,

5

()()()2Cov(,)9

D X Y D X D Y X Y +=++=

.