信号与系统作业作业答案
信号与系统作业作业答
案
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-
第二章 作业答案
2–1 已知描述某LTI 连续系统的微分方程和系统的初始状态如下,试求此系统的零输入响应。
(1))()(2)(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+''
2)0(=-y ,1)0(-='-y
解:
根据微分方程,可知特征方程为:
0)2)(1(0232=++?=++λλλλ
所以,其特征根为: 1,221-=-=λλ 所以,零输入响应可设为:0)(221≥+=--t e C e C t y t
t zi
又因为 ??
?=-=????-=--='=+=--31
12)0(2)0(2
12121C C C C y C C y 所以,03)(2≥-=--t e e t y t
t zi
(2))(2)()(6)(5)(t e t e t y t y t y -'=+'+''
1)0()0(=='--y y 。
解:
根据微分方程,可知特征方程为:
0)3)(2(0652=++?=++λλλλ
所以,其特征根为: 3,221-=-=λλ 所以,零输入响应可设为:0)(3221≥+=--t e C e C t y t
t zi
又因为 ???-==???
?=--='=+=--3
4
132)0(1)0(21
2121C C C C y C C y 所以,034)(32≥-=--t e e t y t
t zi
2–2 某LTI 连续系统的微分方程为
)(3)()(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+''
已知1)0(=-y ,2)0(='-y ,试求:
(1) 系统的零输入响应)(t y zi ;
(2) 输入)()(t t e ε=时,系统的零状态响应)(t y zs 和全响应)(t y 。
解:
(1)根据微分方程,可知特征方程为:
0)2)(1(0232=++?=++λλλλ
所以,其特征根为: 1,221-=-=λλ 所以,零输入响应可设为:0)(221≥+=--t e C e C t y t t zi
又因为 ???=-=???
?=--='=+=--43
22)0(1)0(2
12121C C C C y C C y
所以,034)(2≥-=--t e e t y t
t zi
(2) 可设零状态响应为:0)(221>++=--t p e C e C t y t x t x zs
其中p 为特解,由激励信号和系统方程确定。
因为)()(t t e ε= 所以,p 为常数,根据系统方程可知,23=p 。
于是,零状态响应可设为为:023)(221>++=--t e C e C t y t x t x zs
将上式代入原方程中,比较方程两边的系数,可得到
?????-==
2
2121C C 所以,02322
1
)(2>+-=--t e e t y t t zs
全响应为 )()()(t y t y t y zs zi +=
0)
23221
()34()(22>+-+-=----t e e e e t y t t t t zs
0)
232
5
2()(2>+-=--t e e t y t t zs
2–3 试求下列各LTI 系统的冲激响应和阶跃响应。 (1))(2)()(3)(4)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 解:
根据 在激励信号为)(t δ的条件下,求解系统的零状态响应可得
()
)(2
1)(3t e e t h t t
ε?+=
-- 因为,单位阶跃响应?-
?=t
d h t g 0)()(ττ
所以,()
?
-?+=--t
d e e t g 032
1)(τττ
0),1(6
1
)1(216
12
16030>-+-=
--=-----
-
t e e e e t t t t ττ
0,6
121326>--=
--t e e t
t
(2))(2)(2)()(2)(3)("t e t e t e t y t y t y +'+''=+'+ 解:
可先求系统 )()(2)(3)("t e t y t y t y =+'+ 的冲激励响应)(0t h ,
则,原系统的冲激响应为)(2)(2)()(0'
0"0
t h t h t h t h ++=。 因为)()(2)(3)("t e t y t y t y =+'+的特征根为:1,221-=-=λλ 所以,可设冲激响应为:)()()(2210t e C e C t h t t ε?+=-- 将)(0t h 代入系统方程,并确定待定系数后,可得:
)()()(20t e e t h t t ε?-=--
因为,)(2)(2)()(0'
0"0
t h t h t h t h ++= 又因为,)()2()(2'0t e e t h t t ε?-=--,)()4()()(2"
t e e t t h t t εδ?--=-- 所以,
[]
)()(2)()2(2)()4()()(222t e e t e e t e e t t h t t t t t t εεεδ?-?+?-?+?--=------
)()2()(2t e e t t t εδ?--=--
因为,单位阶跃响应?-
?=t
d h t g 0)()(ττ
所以,[]?-
?--=--t t t d t e e t t g 02)()(2)()(τεδ
())(
2
12t
e
e t
tε?
-
+
=-
-
2–4 各信号的波形如题2–4图所示,试计算下列卷积,并画出其波形。
(1))(
)
(
2
1
t
f
t
f*(2))(
)(
3
1
t
f
t
f*
(3))(
)
(
2
4
t
f
t
f*(4))(
)(
3
4
t
f
t
f*
题2–4 图
解:
根据)
(
)
(
)
(
t
t
f
t
t
t
f-
=
-
*δ,可方便地得到此题的卷积结果。
(1)
(2)
)
(3
(4
h和各激励信号)(t e的波图所示,试求此系统对激励信号的零状态响应。
形如题2–5
题2–5图
解:
因为,)(
)
(
)
(t
h
t
e
t
y
zs
*
=
所以,[][])2
(
)
(
)2
(
)
(
)
(-
-
*
-
-
=t
t
t
t
t
y
zs
ε
ε
ε
ε
)2
(
)2
(
)2
(
)(
)(
)2
(
)(
)(-
*
-
+
-
*
-
*
-
-
*
=t
t
t
t
t
t
t
tε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
)4
(
)4
(
)2
(
)2
(2
)(-
-
+
-
-
-
=t
t
t
t
t
tε
ε
ε
2–6 题2–6图所示系统是由几个子系统组合而成的,各子系统的冲激响应分别为
)(
)(
1
t
t
hε
=,)1
(
)(
2
-
=t
t
hδ,)1
(
)(
3
-
=t
t
hε
试求总系统的冲激响应)(t
h并画出其波形。
题2–6图
解:根据系统框图,可得:
[])(
)(
)(
)(
)(
1
3
2
1
t
h
t
h
t
h
t
h
t
h*
*
+
=
[])(
)1
(
)1
(
)(t
t
t
tε
ε
δ
ε*
-
*
-
-
=
[])(
)2
(
)(t
t
tε
ε
ε*
-
-
=
)2
(
)2
(
)(-
?
-
-
=t
t
t
tε
ε
此系统的单位冲激响应的波形为:
2–7 题2–7图所示系统是由几个子系统组合而成,各子系统的冲激响应分别为
)1()(1-=t t h δ,)3()1()(2---=t t t h εε
试求总系统的冲激响应)(t
h 并画出其波形。
题2–7图
解:根据系统框图,可得:
[])()()()()()(2111t h t h t h t h t t h **++=δ
[][])3()1()1()1()1()(---*-*-+-+=t t t t t t εεδδδδ [][])3()1()2()1()(---*-+-+=t t t t t εεδδδ
[][][])5()3()4()2()3()1(---+---+---=t t t t t t εεεεεε )5()4()2()1(-----+-=t t t t εεεε
此系统的单位冲激响应的波形为: