解析几何范围最值问题(教师)详解

第十一讲 解析几何范围最值问题

解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 一、几何法求最值

【例1】 抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足＋＝(－4，－12)．

(1)求直线l 和抛物线的方程；

(2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值．

[满分解答] (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx －2，x 2＝－2py ，

得x 2＋2pkx －4p ＝0 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 所以＋＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨

⎪

⎧

－2pk ＝－4，－2pk 2

－4＝－12，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y .

(2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)．

此时点P 到直线l 的距离d ＝

|2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2

＝45＝4 5

5.

由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝2x －2，

x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝

1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝

1＋22·(－4)2－4·(－4)＝4 10.

于是，△ABP 面积的最大值为12×4 10×4 55＝8 2.

二、函数法求最值

【示例】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝

2

3

，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．

(1)由e ＝c

a

＝

a 2－

b 2

a 2＝ 23，得a ＝3

b ，椭圆C ：x 23b 2＋y 2

b

2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2，

设P (x ，y )为C 上任意一点，则|PQ |＝ x 2＋(y －2)2＝ －2(y ＋1)2＋3b 2＋6，

－b ≤y ≤b .

若b ＜1，则－b ＞－1，当y ＝－b 时，|PQ |max ＝ －2(－b ＋1)2＋3b 2＋6＝3，又b ＞0，得b ＝1(舍去)， 若b ≥1，则－b ≤－1，当y ＝－1时，|PQ |max ＝ －2(－1＋1)2＋3b 2＋6＝3，得b ＝1.

∴椭圆C 的方程为x 23

＋y 2

＝1.

(2)法一 假设存在这样的点M (m ，n )满足题意，则有m 23＋n 2＝1，即n 2

＝1－m 23

，－3≤m ≤ 3.由题意可得S

△AOB

＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤1

2

， 当∠AOB ＝90°时取等号，这时△AOB 为等腰直角三角形， 此时圆心(0,0)到直线mx ＋ny ＝1的距离为

2

2

， 则1m 2＋n 2＝22

，得m 2＋n 2＝2，又m 23＋n 2＝1，解得m 2

＝32，n 2＝12，即存点M 的坐标为

⎝⎛⎭⎫62，22，⎝⎛⎭⎫62，－22，⎝⎛⎭⎫－62，22，⎝⎛⎭⎫－62

，－22满足题意，且△AOB 的最大面积为12.(12分)

法二 假设存在这样的点M (m ，n )满足题意，则有m 23＋n 2＝1，即n 2

＝1－m 23

，－3≤m ≤3，又设A (x 1，y 1)、

B (x 2，y 2)，由⎩

⎪⎨⎪⎧

mx ＋ny ＝1x 2＋y 2＝1，消去y 得(m 2＋n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0，①把n 2

＝1－m 23代入①整理得(3＋2m 2)x 2－6mx

＋m 2＝0，

则Δ＝8m 2(3－m 2)≥0，

∴⎩⎨⎧

x 1＋x 2＝

6m

3＋2m 2

，

x 1x 2

＝m

2

3＋2m

2

，②而S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝1

2

sin ∠AOB ，

当∠AOB ＝90°，S △AOB 取得最大值1

2

，

此时·＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1y 2＝1－mx 1n ·1－mx 2n ＝3－3m (x 1＋x 2)＋3m 2x 1x 2

3－m 2，

∴x 1x 2＋3－3m (x 1＋x 2)＋3m 2x 1x 2

3－m 2

＝0，即3－3m (x 1＋x 2)＋(3＋2m 2)·x 1x 2＝0， 把②代入上式整理得2m 4－9m 2＋9＝0，解得m 2＝3

2或m 2＝3(舍去)，

∴m ＝±6

2，n ＝±

1－m 23＝±22，∴M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫62

，22，⎝⎛⎭⎫62，－22，⎝⎛⎭⎫－62，22，⎝⎛⎭⎫－62，－22，使得S △AOB 取得最大值1

2

.

老师叮咛：当所求的最值可以表示成某个变量的函数关系式时，我们常常先建立对应的函数关系式，然后利用函数方法求出对应的最值，称这种方法为函数法，这是解析几何问题中求最值的常用方法．函数法是研究数学问题