北邮离散数学期末复习资料题1
离散数学期末复习题 第一章集合论 一、判断题
（1）空集是任何集合的真子集． （ 错 ）
（2）{
}φ是空集． （ 错 ） （3）{}{
}a a a },{∈ （ 对 ） （4）设集合{}{}{}{}A
A 22,1,2,1,2,1?=则. ( 对 ） （5）如果
B A a ??，则A a ?或B a ?． （ 错 ）
解 B A a ??则B A B A a ?=?∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ?且B a ?
（6）如果A ∪.,B A B B ?=则 （ 对 ）
（7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则
},,,,,{332211><><><=?b a b a b a B A （ 错 ）
（8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A
2到A 的关系． （ 对 ）
解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =?A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><> （9）关系的复合运算满足交换律． （ 错 ） （10）.条件具有传递性的充分必要上的关系是集合ρρρρA =ο （ 错 ） （11）设.~,上的传递关系也是则上的传递关系是集合A A ρ ρ ( 对 ) （12）集合A 上的对称关系必不是反对称的. （ 错 ） （13）设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 则21ρρ?也是集合A 上的等价关系( 对 ) （14）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈ （15）设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则 ( 错 ) 二、单项选择题 （1）设R 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 （ A ） A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B ．{}R x x x ∈=+且,09|2 C. {}R x x x x ∈+=且,1| D. {} R x x x ∈-=且,1|2 （2）设B A ,为集合，若φ=B A \，则一定有 （ C ） A. φ=B B ．φ≠B C. B A ? D. B A ? （3）下列各式中不正确的是 （ C ） A. φφ? B ．{ }φφ∈ C. φφ? D. {}}{,φφφ∈ （4）设{}}{,a a A =，则下列各式中错误的是 （ B ） A. {}A a 2∈ B ．{}A a 2? C. {}A a 2}{∈ D. {}A a 2}{? （5）设{ }2,1=A ，{}c b a B ,,=，{}d c C ,=，则)(C B A I ?为 （ B ） A. {}><> C. {}><><2,,,1c c D. {}><><2,,1,c c （6）设{}b A ,0=，{ }3,,1b B =，则B A Y 的恒等关系为 （ A ） A. {}><><><><3,3,,,1,1,0,0b b B ．{}><><><3,3,1,1,0,0 C. {}><><><3,3,,,0,0b b D. {}><><><><0,3,3,,,1,1,0b b （7）设{}c b a A ,,=上的二元关系如下，则具有传递性的为 （ D ） A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρ B ． {}><><=a c c a ,,,2ρ C. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρ D. {}><=a a ,4ρ （8）设ρ为集合A 上的等价关系，对任意A a ∈，其等价类[]ρa 为 （ B ） A. 空集； B ．非空集； C. 是否为空集不能确定； D. }|{A x x ∈. （9）映射的复合运算满足 （ B ） A. 交换律 B ．结合律 C. 幂等律 D. 分配律 （10）设A ，B 是集合，则下列说法中（ C ）是正确的. A ．A 到 B 的关系都是A 到B 的映射 B ．A 到B 的映射都是可逆的 C ．A 到B 的双射都是可逆的 D ．B A ?时必不存在A 到B 的双射 （11）设A 是集合，则（ B ）成立. A ．A A #22#= B ．A X X A ??∈2 C ．{}A 2∈φ D ．{}A A 2∈ （12）设A 是有限集（n A =#），则A 上既是≤又是～的关系共有（ B ）. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．n 个 三、填空题 1. 设}}2,1{,2,1{=A ，则=A 2____________. 填}}},2,1{,2{}},2,1{,1{},2,1{}},2,1{{},2{},1{,{2A A φ= 2.设}}{,{φφ=A ，则A 2= . 填}}},{{},{,{2A A φφφ= 3.设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ，7#=B ，且9)(#=?B A ， 则集合B A ?中元素的个数=?)(#B A .3 4.设集合}4,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数，是， }5,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数，是，则B A Y 中元素的个数为 .40 5.设 },{b a A =, ρ 是 A 2 上的包含于关系，,则有 ρ= . },,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><><><><> 6.设21,ρρ为集合 A 上的二元关系, 则=21ρρο .~1~2ρρο 7.集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是 ．ρρρ?ο 8. 设集合{}{}><><==0,2,2,02,1,01ρ上的关系A 及集合A 到集合{}4,2,0=B 的关系=2ρ｛><><><>< 四、解答题 1. 设 A d c b a A },,,,{=上的关系 },,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c d d c a b b a d d c c b b a a ρ （1）写出ρ的关系矩阵； （2）验证ρ是A 上的等价关系； （3）求出A 的各元素的等价类。 解 （1）ρ的关系矩阵为 ??????? ? ?=1100110000110011ρM （2）从ρ的关系矩阵可知：ρ是自反的和对称的。 又由于 ρρρM M M ≤?????? ? ??=??????? ? ???????? ??=110011000011001111001100001100111100110000110011οο 或ρρρ=ο满足ρρρ?ο 所以ρ是传递的。 因为ρ是自反的、对称的和传递的，所以ρ是A 上的等价关系。 （3） },{][][b a b a ==，},{][][d c d c == 2. 设集合}36,24,12,8,6,3,2,1{=A ，ρ是A 上的整除关系， （1） 写出ρ的关系矩阵ρM ； （2） 画出偏序集><ρ,A 的哈斯图； （3） 求出A 的子集}6,3,2{=B 的最小上界和最大下界。 解：（1）???????????? ? ? ?=1000000001000000 1110000001010000 111010001110110011111010 11111111ρM （2） （3）lubB=6, glbB=1 五、证明题 1. 设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 试证21ρρ?也是集合A 上的等价关系。 证明：由于21,ρρ是自反的，所以对任意A a ∈,21,,,ρρ>∈<>∈ 21,ρρ?>∈ 若21,ρρ?>∈∈<>∈ 以21,,,ρρ>∈<>∈∈ 若21,,,ρρ?>∈<> 21,,,,,,,ρρ>∈<><>∈<> 21,,,ρρ>∈<>∈ 由于21ρρ?是自反的、对称的和传递的，所以21ρρ?是等价关系。 第二章 代数系统 一、判断题 （1）集合A 上的任一运算对A 是封闭的． （ 对 ） （2）代数系统的零元是可逆元. （ 错 ） （3）设A 是集合，A A A →?:ο，b b a =ο，则ο是可结合的． （ 对 ） （4）设b a ,是代数系统??ο,A 的元素，如果e e a b b a (==οο是该代数系统的单位元），则.1b a =- ( 对 ) （5）设.)(,,,111---?=????b a b a G b a 则的元素是群 （ 错 ） （6）设>?<,G 是群．如果对于任意G b a ∈,，有 222)(b a b a ?=?，则>?<,G 是阿贝尔 群． （ 对 ） （7）设.,,,满足幂等律则运算是格∨∧?∨?L （ 对 ） （8）设集合},{b a A =，则>??<,},},{},{,{A b a φ是格． （ 对 ） （9）设>∧∨<,,,B 是布尔代数，则>∧∨<,,B 是格． （ 对 ） 二、单项选择题 （1）在整数集Z 上，下列哪种运算是可结合的 （ B ） A. b a b a -=ο B ．},max{b a b a =ο C. b a b a 2+=ο D. ||b a b a -=ο （2）下列定义的实数集R 上的运算 * 中可结合的是. （ C ） A ．b a a b a ?+=* B ．b a a b a ?+=*2 C ．b b a =* D ．b a b a +=* 其中，+，·，︱ ︱分别为实数的加法、乘法和取绝对值运算. （3）设集合{ }10,,4,3,2,1Λ=A ，下面定义的哪种运算关于集合A 不是封闭的 （ D ） A. },max{y x y x =ο B ． },min{y x y x =ο C. },{GCD y x y x =ο，即y x ,的最大公约数 D. },{LCM y x y x =ο，即y x ,的最小公倍数 （4）下列哪个集关于减法运算是封闭的 （ B ） A. N （自然数集）； B ．)}(|2{整数集Z x x ∈； C. }|12{Z x x ∈+； D. }|{是质数x x . （5）设Q 是有理数集，在Q 定义运算*为ab b a b a -+=*，则*,Q 的单位元 为 （ D ） A. a ； B ．b ； C. 1； D. 0 （6）设代数系统?A ，·?，则下面结论成立的是. （ C ） A ．如果?A ，·?是群，则?A ，·?是阿贝尔群 B ．如果?A ，·?是阿贝尔群，则?A ，·?是循环群 C ．如果?A ，·?是循环群，则?A ，·?是阿贝尔群 D ．如果?A ，·?是阿贝尔群，则?A ，·?必不是循环群 （7）循环群+,Z 的所有生成元为 （ D ） A. 1，0 B ．-1，2 C. 1，2 D. 1，-1 三、填空题 1. 设A 为非空有限集，代数系统> 中，A 2对运算Y 的单位元为 ，零元为 .填A ,φ 2.代数系统>+<,Z 中（其中Z 为整数集合，+为普通加法），对任意的I x ∈，其=-1x .填x - 3.在整数集合Z 上定义ο运算为b a b a ++=2ο，则><ο,Z 的单位元为 . 解 设单位元为e ，a e a e a =++=2ο，所以2-=e ， 又a a a a a a =++-=-=-++=-2)2()2(,)2(2)2(οο，所以单位元为2-=e 4.在整数集合Z 上定义ο运算为ab b a b a -+=ο，则><ο,Z 的单位元为 . 解设单位元为e ，a ae e a e a =-+=ο，0)1(=-e a ，所以0=e 5.设?,是群，对任意G c b a ∈,,，如果,c a b a ?=?，则 .填c b = 6.设?,是群，e 为单位元，若G 元素a 满足a a =2，则=a .填e 四、解答题 1.设ο为实数集R 上的二元运算，其定义为 ab b a b a R R 2,:2++=→οο，对于任意R b a ∈, 求运算ο的单位元和零元。 解：设单位元为e ，则对任意R a ∈，有a ae e a e a =++=2ο， 即 0)21(=+a e ，由a 的任意性知 0=e ， 又对任意R a ∈，a a a =++=000ο；a a a =++=000ο 所以单位元为0 设零元为θ，则对任意R a ∈，有θθθθ=++=a a a 2ο， 即 0)21(=+θa ，由a 的任意性知 21- =θ 又对任意R a ∈，2121)21(-=-- =-a a a ο，2121)21(-=-+-=-a a a ο 所以零元为 2 1- 2. 设ο为集合}4,3,2,1,0{5=I 上的二元运算，其定义为 5mod )(,:52 5ab b a I I =→οο，对于任意5,I b a ∈ （1） 写出运算ο的运算表； （2） 说明运算ο是否满足交换律、结合律，是否有单位元和零元、如果有请指出； （3） 写出所有可逆元的逆元 解：（1）运算表为 （2）运算ο满足交换律、结合律，有单位元，单位元为1，有零元，零元为0； （3）1的逆元为1，2的逆元为3，3的逆元为2，4的逆元4，0没有逆元 五、证明题 1. 设 ><ο,G 是一个群，试证 G 是交换群 当且仅当对任意的G b a ∈, ,有 2 22)(b a b a οο= . 证明：充分性 若在群><ο,G 中，对任意的G b a ∈, ,有222)(b a b a οο= . 则 )()()()(b a b a b b a a οοοοοο= b a b a b b a a οοοοοο)()(= a b b a οο= 从而 ><ο,G 是一个交换群。 必要性 若><ο,G 是一个交换群，对任意的G b a ∈, ,有a b b a οο=，则 b a b a b b a a οοοοοο)()(= )()()()(b a b a b b a a οοοοοο= 即222)(b a b a οο=. 2. 证明代数系统><ο,Z 是群，其中二元运算ο定义如下： ο：Z Z →2，3-+=y x y x ο （这里，+，－分别是整数的加法与减法运算.） 证明 （1）运算满足交换律 对任意∈z y x ,,Z ，由 ,6)3()(-++=-+=z y x z y x z y x οοο 6)3()(-++=-+=z y x z y x z y x οοο οοοοο即得),()(z y x z y x =满足结合律； （2）有单位元 3是单位元； （3）任意元素有逆元 对任意∈x Z ，?-=-,.61所以x x Z ，?ο是群. 第三章 图论 一、判断题 （1）n 阶完全图的任意两个不同结点的距离都为1. （ 对 ） （2）图G 的两个不同结点j i v v ,连接时一定邻接. （ 错 ） （3）图G 中连接结点.,,之间的短程的初级通路为j i j i v v v v （ 错 ） （4）在有向图中，结点i v 到结点j v 的有向短程即为j v 到i v 的有向短程． （ 错 ） （5）强连通有向图一定是单向连通的． （ 对 ） （6）不论无向图或有向图，初级回路一定是简单回路． （ 对 ） （7）设图G 是连通的，则任意指定G 的各边方向后所得的有向图是弱连通的． （ 对 ） （8）有生成树的无向图是连通的． （对） （9）下图所示的图是欧拉图. （ 错 ） （10）下图所示的图有哈密尔顿回路. （ 对 ） 二、单项选择题 （1）仅由孤立点组成的图称为 （ A ） A. 零图； B ．平凡图； C. 完全图； D. 多重图. （2）仅由一个孤立点组成的图称为 （ B ） A. 零图； B ．平凡图； C.多重图； D. 子图. （3）在任何图G 中必有偶数个 （ B ） A. 度数为偶数的结点； B ．度数为奇数的结点； C. 入度为奇数的结点； D. 出度为奇数的结点. （4）设G 为有n 个结点的无向完全图，则G 的边数为 （ C ） A. )1(-n n B ．)1(+n n C. 2)1(-n n D. 2)1(-n （5）在有n 个结点的连通图G 中，其边数 （ B ） A. 最多1-n 条； B ．至少1-n 条； C. 最多n 条； D. 至少n 条. （6）任何无向图G 中结点间的连通关系是 （ B ） A. 偏序关系； B ．等价关系； C. 既是偏序关系又是等价关系； D. 既不是偏序关系也不是等价关系. （7）对于无向图，下列说法中正确的是. （ B ） A ．不含平行边及环的图称为完全图 B ．任何两个不同结点都有边相连且无平行边及环的图称为完全图 C ．具有经过每条边一次且仅一次回路的图称为哈密尔顿图 D ．具有经过每个结点一次且仅一次回路的图称为欧拉图 （8）设D 是有向图，则D 强连通的充分必要条件为. ( C ) A ．略去D 中各边方向后所得到的无向图是连通的 B ．D 是单向连通图，且改变它的各边方向后所得到的有向图也是单向连通图 C ． D 的任意两个不同的结点都可以相互到达 D ．D 是完全图 （9）对于无向图G ，以下结论中不正确的是. （ A ） A ．如果G 的两个不同结点是连接的，则这两个结点之间有初级回路 B ．如果G 的两个不同结点是连接的，则这两个结点之间至少有一条短程 C ．如果G 是树，则任何两个不同结点之间有且仅有一条初级通路 D ．如果G 是欧拉图，则G 有欧拉回路 三、填空题 1. 设树T 中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点，则T 中有 个4度结点. 解 用握手定理和树的性质列出方程求解，设有x 个4度结点， )137(2497-++=++x x ，1=x 2.设>= 3.n 阶完全图的任意两个不同结点的距离都为 ．1 4.图G 为n 阶无向完全图，则G 共有 条边。2/)1(-n n 5.设G 为),(m n 图，则图中结点度数的总和为 。m 2 6. 图G 为欧拉图的充分必要条件是_____________________. G 为无奇度结点的连通图 四、解答题 1. 对下图所示的图G ，求 （1）G 的邻接矩阵A ； （2）G 的结点31,v v 之间长度为3的通路； （3）G 的连接矩阵C ； （4）G 的关联矩阵M 。 ^. 解 （1） A =.000011100111011 1010101110543215 4321?? ?? ? ?? ? ??v v v v v v v v v v （2） 因为 A 2=,2112111221114221223121213???????? ?? A 3=,7??????? ? ???? ?? ?????? ?? ??? ?? ????? ?? 所以，结点31,v v 之间长度为3的通路共有7条，它们是 . ,,,, ,,3431323135313141312135213131v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v （3）由于图G 是连通的，所以 54321v v v v v C =.111111111111111111111111154321?? ??? ?? ? ??v v v v v （4） 7654321e e e e e e e M =.1100000001100001101101000011000110154321?? ??? ?? ? ??v v v v v 2. 在下面的有向图D 中，回答下列问题 （1）写出图D 的邻接矩阵A ； （2）写出结点1v 到结点3v 的长度为3的所有有向通路； （3）写出结点5v 到自身的长度为3的所有有向回路； 解：（1）???????? ? ?=01010100000110000101 10000A （2）???????? ??=10101010101110011100 010102A ??????? ? ??=12110101011211012110101013A 所以结点1v 到结点3v 的长度为3的所有有向通路只有一条: 3251v v v v （3）结点5v 到自身的长度为3的所有有向回路只有一条：5125v v v v 3.在下面的无向图G 中，回答下列问题 a e b c （1）写出d a ,之间的所有初级通路； （2）写出d a ,之间的所有短程，并求),(d a d ； （3）判断无向图G 是否为欧拉图并说明理由。 解（1）d a ,之间的所有初级通路共有7条，分别为 aed ，aecd ，aebcd ，abed ，abcd ，abecd ，abced （2）d a ,之间的长度最短的通路只有1条，即aed ，因而它是d a ,之间 唯一的短程，2),(=d a d （3）由于无向图G 中有两个奇度顶点3)deg(,3)deg(==c b ，所以无向图G 没有欧 拉回路，因而不是欧拉图。 第四章 数理逻辑 一、判断题 （1）“如果8＋7＞2，则三角形有四条边”是命题． （ 对 ） （2）设Q P ,都是命题公式，则Q P ?也是命题公式． （ 错 ） （3）命题公式Q P ,的真值分别为0，1，则Q P →的真值为0 （以上是在对Q P ,所包含的命题变元的某个赋值下）． （ 错 ） （4）设:,1963:q p 年他生于他生于1964年，则命题“他生于1963年或1964年”可以符号化为.q p ∨ （ 对 ） （5）设P ，Q 都是命题公式，则.1?→?Q P Q P 的充分必要条件为（ 对 ） （6）逻辑结论是正确结论． （ 错 ） （9）设C B A ,,都是命题公式，则 )()(C A C B A →→?∨∨ 也是命题公式． （ 对 ） （10）命题公式Q P ,的真值分别为0，1，则Q P ?的真值为0 （以上是在对Q P ,所包含的命题变元的某个赋值下）． （ 对 ） 二、单项选择题 （1）下面哪个联结词不可交换 （ B ） A. ∧； B ．→； C.∨； D.? . （2）命题公式q q p p →→∧))((是 （ C ） A. 永假式； B ．非永真式的可满足式； C. 永真式； D. 等价式. （3）记:p 他懂法律，:q 他犯法，则命题“他只有懂法律，才不会犯法”可符号化为（ B ）. A ．q p ?→ B ．p q →? C ．p q ?→ D ．q p → （4）下列命题中假命题是（ B ）. A ．如果雪不是白的，则太阳从西边出来 B ．如果雪是白的，则太阳从西边出来 C ．如果雪不是白的，则太阳从东边出来 D ．只要雪不是白的，太阳就从西边出来 （5）设A ，B 都是命题公式，则A →B 为可满足式是B A ?的（ B ）. A ．充分而非必要条件 B ．必要而非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 三、填空题 1.设:p 天气很冷，:q 老王还是来了，则命题“虽然天气很冷, 但老王还是来了”符号化为 .q p ∧ 2.设:p 天下雨，:q 我骑自行车上班，则命题“如果天不下雨, 我就骑自行车上班”符号化为 .q p →? 3. 设q p ,的真值为0，s r ,的真值为1，则命题公式)()(s q r p ∨?∧?的真值为 .0 4.设q p ,的真值为0，r 的真值为1，则命题公式)(r q p ∧∨的真值为 .0 北京邮电大学 离散数学 第一次阶段作业 判断题 1. 如果A∪B=B，则A?B。【答案：A】 A. 正确 B. 错误 2. 如果a∈A∪B，则a?A或a?B。【答案：B】 A. 正确 B. 错误 3. a∈{a,a}。【答案：A】 A. 正确 B. 错误 4.{?}是空集。【答案：B】 A. 正确 B. 错误 5.设ρ是集合A上的等价关系，则当a,b∈ρ时，aρ=bρ。【答案：A】 A. 正确 B. 错误 单项选择题 1. 设A={a,a}，则下列各式中错误的是【答案：B】 A. a∈2A B. {a}?2A C. {a}∈2A D. {a}?2A 解：2A={?,a,a, a,a} 2. 下列各式中不正确的是【答案：C】 A. ??? B. ?∈{?} C. ??? D. ?∈{?,?} 3. 设ρ是集合A上的关系，则（）不是ρ为反对称关系的充分必要条件【答案：D】 A. ρ是反对称关系 B. ρ∩ρ?i A C. 对任意x,y∈A，当x,y∈ρ且x≠y时y,x?ρ D. 对A的某两个元素x, y，当x,y,y,x∈ρ时有x=y 4. 设A，B，C是集合，ρ,μ分别是A到B，B到C的关系，x∈A，z∈C，则存在y∈B使得x,y∈ρ且y,z∈μ是x,z∈ρ°μ的（）条件【答案：C】 A. 充分而非必要 B. 必要而非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 5. 设A={0,b}，B={1,b,3}，则A∪B的恒等关系为【答案：A】 A.{0,0,1,1,b,b,3,3} B. {0,0,1,1,3,3} C. {0,0,b,b,3,3} D. {0,1,1,b,b,3,3,0} 离散数学期末复习题 第一章集合论 一、判断题 （1）空集是任何集合的真子集． （ 错 ） （2）{ }φ是空集． （ 错 ） （3）{}{ }a a a },{∈ （ 对 ） （4）设集合{}{}{}{}A A 22,1,2,1,2,1?=则. ( 对 ） （5）如果 B A a ??，则A a ?或B a ?． （ 错 ） 解 B A a ??则B A B A a ?=?∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ?且B a ? （6）如果A ∪.,B A B B ?=则 （ 对 ） （7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则 },,,,,{332211><><><=?b a b a b a B A （ 错 ） （8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A 2到A 的关系． （ 对 ） 解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =?A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><>∈ 第三阶段 一、判断题（共5道小题，共50.0分） 1. 设图G是连通的，则任意指定G的各边方向后所得的有向图是弱连通的 A. 正确 B. 错误 知识点: 无向图和有向图 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 2. 3. n阶完全图的任意两个不同结点的距离都为1 A. 正确 B. 错误 知识点: 无向图和有向图 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 4. 5. 设都是命题公式，则也是命题公式 A. 正确 B. 错误 知识点: 命题逻辑 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 6. 7. “如果8＋7＞2，则三角形有四条边”是命题 A. 正确 B. 错误 知识点: 命题逻辑 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 8. 9. 设都是谓词公式，，则是永真式 A. 正确 B. 错误 知识点: 一阶逻辑 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 10. 二、单项选择题（共5道小题，共50.0分） 1. 设D是有向图，则D强连通的充分必要条件为 A. 略去D中各边方向后所得到的无向图是连通的 B. D是单向连通图，且改变它的各边方向后所得到的有向图也是单向连通图 C. D的任意两个不同的结点都可以相互到达 D. D是完全图 知识点: 无向图和有向图 学生答案: [C;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 2. 3. 图和的结点和边分别存在一一对应关系是（同构）的 A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 知识点: 无向图和有向图 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 离散数学期末复习题 第一章集合论 一、判断题 （1）空集是任何集合的真子集． （ 错 ） （2）{ }φ是空集． （ 错 ） （3）{}{ }a a a },{∈ （ 对 ） （4）设集合{}{ }{}{}A A 22,1,2,1,2,1?=则. ( 对 ） （5）如果 B A a ??，则A a ?或B a ?． （ 错 ） 解 B A a ??则B A B A a ?=?∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ?且B a ? （6）如果A ∪.,B A B B ?=则 （ 对 ） （7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则 },,,,,{332211><><><=?b a b a b a B A （ 错 ） （8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A 2到A 的关系． （ 对 ） 解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =?A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><>∈ 一、判断题（共5道小题，共50.0分） 1. 如果，则或． A. 正确 B. 错误 知识点: 集合 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 2. 是空集． A. 正确 B. 错误 知识点: 集合 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 3. 设为集合上的等价关系, 则 A. 正确 B. 错误 知识点: 关系 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 4. 设集合，则是到的关系 A. 正确 B. 错误 知识点: 关系 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 5. 设集合，，则 A. 正确 B. 错误 知识点: 关系 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 6. 二、单项选择题（共5道小题，共50.0分） 1. 设为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 A. B. C. D. 知识点: 集合 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 2. 设是集合A上的关系，则（）不是为反对称关系的充分必要条件. A. 是反对称关系 B. ∩ C. 对任意 D. 对A的某两个元素 知识点: 关系 学生答案: [D;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 3. 设为集合上的等价关系，对任意，其等价类为 A. 空集 B. 非空集 C. 是否为空集不能确定 D. 知识点: 关系 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 4. 设，，则的恒等关系为 A. B. 《离散数学》期末考试题(B) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为 ( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二、单选题(每小题3分，共15分) 1.设R 是集合A 上的偏序关系，1-R 是R 的逆关系，则1 -?R R 是A 上的 (A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立 2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有 (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 3.设p 是素数且n 是正整数，则任意有限域的元素个数为 (A)n p + (B)pn (C)n p (D)p n 4.设R 是实数集合，≤是其上的小于等于关系，则(R, ≤)是 (A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格 5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”. 1.若一个元素a 既存在左逆元l a ，又存在右逆元r a ，则r l a a =. ( ) 2.命题联结词→不满足结合律. ( ) 3.在Z 8 = {0，1，2，3，4，5，6，7}中，2关于“?8”的逆元为 4. ( ) 4.整环不一定是域. ( ) 离散数学试题(Ｂ卷答案１） 一、证明题(10分） 1）(P∧（Ｑ∧Ｒ）)∨(Q∧R）∨（Ｐ∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧Ｒ）∨((Q∨P）∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((Ｐ∨Ｑ）∧R）∨((Ｑ∨P)∧Ｒ) (（P∨Q）∨（Ｑ∨P))∧Ｒ （(P∨Ｑ)∨(Ｐ∨Q))∧R T∧Ｒ(置换)Ｒ 2) x (A(x)B(ｘ）)xA(x)xＢ(ｘ) 证明：x(A(ｘ)B(x))x(Ａ(ｘ)∨B(x)） x A(ｘ)∨xB（ｘ) xA(x)∨xB(x） xＡ(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨（Q∧R)）(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分）。 证明：(P∨（Q∧R))(P∧Q∧R)（P∨(Q∧R)）∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨Ｒ))∨（P∧Q∧Ｒ） （Ｐ∧Q)∨（P∧R)）∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧Ｒ)∨(P∧Q∧Ｒ))∨(P∧Ｑ∧R）)∨(Ｐ∧Q∧R） m0∨ｍ1∨m２∨ｍ７ Ｍ３∨M４∨Ｍ５∨M6 三、推理证明题（１0分) 1）Ｃ∨D，（C∨D)E, E(A∧B)，(A∧Ｂ)(R∨S)R∨Ｓ证明：(１） (C∨D) E ?P (2) E（A∧Ｂ) ??P （3) (Ｃ∨D）（A∧B) Ｔ（1）(2），I (4) （A∧B)(R∨S）??P (5) (Ｃ∨D)(Ｒ∨S) ? T(3)(4)，I (6） C∨Ｄ P (7) R∨S T(5)，I 2) x(P(ｘ)Ｑ(y)∧R(ｘ)），xＰ(ｘ)Q（y)∧x(Ｐ(x)∧R(x)) 证明(1)ｘP(x) Ｐ （2)Ｐ(ａ） T(1），ＥS (3)ｘ（P(x)Q（y)∧R(x）) Ｐ (４)P(a)Q（y)∧R(a） T(3)，ＵS (５)Q（ｙ)∧R(a） T(2)（4），I （6）Q(y) Ｔ(５)，I （7)R(ａ) T(5),I (8)P(a)∧Ｒ（ａ) T(2)(7),I （9)x(Ｐ(x）∧R(x)) Ｔ(8),ＥG (10)Q(ｙ)∧x(P(x)∧R(ｘ)) Ｔ(６）(9)，I 四、某班有２5名学生,其中14人会打篮球,１2人会打排球，6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解：A，B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则｜A|=1２，|Ｂ|＝6,｜Ｃ|=14，｜A∩C|=6，｜B∩C｜=5，|Ａ∩Ｂ∩C｜=２。 先求|A∩B|。 ∵6＝|（Ａ∪C)∩B|=|（A∩B）∪（Ｂ∩C)|=|（A∩B）|＋|（B∩C）｜-|A∩B∩C|=|(Ａ∩B)|+5-２，∴|(A∩B）|=３。 于是|A∪Ｂ∪C｜=12+6+14-6-5－３＋２=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知Ａ、B、Ｃ是三个集合,证明A-(B∪Ｃ)=(A-B)∩(Ａ-C）(10分)。 证明：∵x A-（B∪C） x A∧x（B∪C） xＡ∧(xＢ∧x C） （x A∧x B）∧(x A∧ｘC） x（A-B）∧x(Ａ-C） ｘ（Ａ-Ｂ）∩(A-C） ∴Ａ-（B∪Ｃ)=（Ａ－B）∩(A－Ｃ） 六、已知R、S是Ｎ上的关系,其定义如下：R={ 北邮离散数学期末复习题 第一章集合论 一、判断题 （1）空集是任何集合的真子集． （ 错 ） （2）{ }φ是空集． （ 错 ） （3）{}{ }a a a },{∈ （ 对 ） （4）设集合{}{}{}{}A A 22,1,2,1,2,1?=则. ( 对 ） （5）如果 B A a ??，则A a ?或B a ?． （ 错 ） 解 B A a ??则B A B A a ?=?∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ?且B a ? （6）如果A ∪.,B A B B ?=则 （ 对 ） （7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则 },,,,,{332211><><><=?b a b a b a B A （ 错 ） （8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A 2到A 的关系． （ 对 ） 解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =?A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><>∈ 北邮离散数学期末复习题 第一章集合论 一、判断题 （1）空集是任何集合的真子集． （ 错 ） （2）{ }φ是空集． （ 错 ） （3）{}{ }a a a },{∈ （ 对 ） （4）设集合{}{}{}{}A A 22,1,2,1,2,1?=则. ( 对 ） （5）如果 B A a ??，则A a ?或B a ?． （ 错 ） 解 B A a ??则B A B A a ?=?∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ?且B a ? （6）如果A ∪.,B A B B ?=则 （ 对 ） （7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则 },,,,,{332211><><><=?b a b a b a B A （ 错 ） （8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A 2到A 的关系． （ 对 ） 解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =?A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><>∈ 离散数学第二阶段作业（第四第五章） 1.在一阶逻辑中将下列命题符号化: （1）每个人都有心脏。 令M(x):x是人，H(x):x有心脏。命题符号化为：?x(M(x)→H(x)) （2）有的狗会飞。 设D(x)：x是狗，F(x)：x会飞。命题符号化为：?x(D(x)∧F(x)) （3）没有不犯错误的人。 设M(x): x是人，F(x):x犯错误，命题符号化为 ①┐?x(M(x)∧┐F(x)) ②?x(M(x)→F(x)) （4）发光的不都是金子。 设L(x)：x是发光的东西，G(x)：x是金子。命题符号化为 ①┐?x(L(x)→G(x)) ②?x(L(x)∧﹁G(x)) （5）一切人都不一样高。 设F(x):x是人, H(x,y), x与y相同, L(x,y): x与y一样高， 命题符号化为 ?x(F(x)→?y(F(y)∧?H(x,y)→?L(x,y))) 或?x?y(F(x)∧F(y)∧?H(x,y)→?L(x,y)) （6）并不是所有的汽车都比火车快。 设F(x):x是汽车, G(y):y是火车, H(x,y):x比y快， 命题符号化为 ??x?y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) 或?x?y(F(x)∧G(y)∧?H(x,y)) 7）没有一个自然数大于等于任何自然数。 设 N(x):x 是自然数，G(x,y):x ≥y 命题符号化为：??x(N(x)∧?y(N(y)→G(x,y))) （8）有唯一的偶素数。 设：Q(x):x 是偶数，P(x):x 是素数， E(x,y):x ＝y 命题符号化为： ?x(Q(x)∧P(x)∧??y(Q(y)∧P(y)∧?E(x,y))) 2.填空：求下列各式的前束范式。 )),()(()),((x xF y t G x F y x y t G y →????→??）（ (2))),()((),(2121211x x G x x H x x F x ??→→? )),()((),(2323211x x G x x H x x F x ??→→?? )),()((),(2332411x x G x H x x x F x ?→?→?? ))),()((),((2334121x x G x H x x F x x ?→→??? 3.在自然数推理系统F 中,构造下面推理的证明: 前提:))())()((()(y R y G y F y x xF →∨?→?,)(x xF ? 结论:?xR(x) ①)(x xF ?前提引入 ②F(c) ①EI ③))())()((()(y R y G y F y x xF →∨?→?前提引入 ④))())()(((y R y G y F y →∨? ①③假言推理 (1)?xF (x ) →?yG (x , y ) 离散数学试题(B卷答案1） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置换)?R 2) ?x (A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x)) ??x?A(x)∨?xB(x) ???xA(x)∨?xB(x) ??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D， (C∨D)→?E，?E→(A∧?B)， (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E P (2) ?E→(A∧?B) P (3) (C∨D)→(A∧?B) T(1)(2)，I (4) (A∧?B)→(R∨S) P (5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I (6) C∨D P (7) R∨S T(5)，I 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) P 阶段作业一 一、判断题（共5道小题，共50.0分） 1. 命题公式的真值分别为0，1，则的真值为0 A. 正确 B. 错误 知识点: 命题逻辑 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 2. 设P，Q都是命题公式，则 A. 正确 B. 错误 知识点: 命题逻辑 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 3. 空集是任何集合的真子集． A. 正确 B. 错误 知识点: 集合 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 4．设为集合上的等价关系, 则 A. 正确 B. 错误 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 5．设为集合上的等价关系, 则也是集合上的等价关系 C. 正确 D. 错误 知识点: 关系 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 二、单项选择题（共5道小题，共50.0分） 1. 下面哪个联结词不可交换 A. B. C. D. 知识点: 命题逻辑 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 2. 下列各式中不正确的是 A. B. C. D. 学生答案: [C;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 3. 设为集合，若，则一定有 A. B. C. D. 知识点: 集合 学生答案: [C;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 4. 设为集合上的等价关系，对任意，其等价类为 A. 空集 B. 非空集 C. 是否为空集不能确定 D. 知识点: 关系 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 5. 设A，B是集合，则下列说法中（）是正确的. A. A到B的关系都是A到B的映射 B. A到B的映射都是可逆的 C. A到B的双射都是可逆的 D. 时必不存在A到B的双射 《离散数学》期末考试试题 一、 填空题（每空2分，合计20分） 1. 设个体域为{2,3,6}D =-, ():3F x x ≤，():0G x x >。则在此解释下公式 ()(()())x F x G x ?∧的真值为______。 2. 设:p 我是大学生，:q 我喜欢数学。命题“我是喜欢数学的大学生”为可符合化 为 。 3. 设{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B -=________，A B ⊕=________。 4. 合式公式()Q P P ?→∧是永______式。 5. 给定集合{1,2,3,4,5}A =，在集合A 上定义两种关系： {1,3,3,4,2,2}R =<><><>, {4,2,3,1,2,3}S =<><><>， 则_______________S R =ο，_______________R S =ο。 6. 设e 是群G 上的幺元，若a G ∈且2a e =,则1a -=____ , 2a -=__________。 7． 公式))(()(S Q P Q P ?∧?∨∧∨?的对偶公式为 。 8. 设{2,3,6,12}A =, p 是A 上的整除关系，则偏序集,A <>p 的最大元是________，极小元是_ _。 9. 一棵有6个叶结点的完全二叉树，有_____个内点；而若一棵树有2个结点度数为2，一 个结点度数为3，3个结点度数为4，其余是叶结点，则该树有_____个叶结点。 10. 设图,G V E =<>, 1234{v ,v ,v ,v }V =，若G 的邻接矩阵????????????=0001001111011010A ，则1()deg v -=________, 4()deg v +=____________。 二、选择题（每题2分，合计20分） 1．下列各式中哪个不成立（ ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨? ； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。 阶段作业一一、判断题(共5道小题,共50、0分) 1. 命题公式的真值分别为0,1,则的真值为0 A. 正确 B. 错误 知识点: 命题逻辑 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 2. 设P,Q都就是命题公式,则 A. 正确 B. 错误 知识点: 命题逻辑 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 3. 空集就是任何集合的真子集. A. 正确 B. 错误 知识点: 集合 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 4.设为集合上的等价关系, 则 A. 正确 B. 错误 知识点: 关系 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 5．设为集合上的等价关系, 则也就是集合上的等价关系 C. 正确 D. 错误 知识点: 关系 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 二、单项选择题(共5道小题,共50、0分) 1. 下面哪个联结词不可交换 A. B. C. D. 知识点: 命题逻辑 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 2. 下列各式中不正确的就是 A. B. C. D. 知识点: 集合 学生答案: [C;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 3. 设为集合,若,则一定有 A. B. C. D. 知识点: 集合 学生答案: [C;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 4. 设为集合上的等价关系,对任意,其等价类为 A. 空集 B. 非空集 C. 就是否为空集不能确定 D. 知识点: 关系 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 5. 设A,B就是集合,则下列说法中()就是正确的、 A. A到B的关系都就是A到B的映射 B. A到B的映射都就是可逆的 C. A到B的双射都就是可逆的 D. 时必不存在A到B的双射 知识点: 映射 学生答案: [C;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示 阶段作业二 判断题(共5道小题,共50、0分) 离散数学-期末考试卷-A卷 东莞理工学院城市学院（本科）试卷（A卷） 2013-2014学年第一学期 开课单位：计算机与信息科学系，考试形式：闭卷，允许带入场 科目：离散数学，班级：软工本2012-1、2、3 姓名：学号： 题序一二三四总分 得分 A评 卷人 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。 1. 下述不是命题的是( ) A. 做人真难啊! B. 后天是阴天。 C. 2是偶数。 D. 地球是方的。 2. 命题公式P→(P∨Q∨R)是( ) A. 永假的 B. 永真的 C. 可满足的 D. 析取范式 3. 命题公式﹁B→﹁A等价于( ) A. ﹁A∨﹁ B B. ﹁(A∨B) C. ﹁A∧﹁ B D. A→B 4．设P：他聪明，Q：他用功，命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是（）A．?P∧Q B．P∧?Q C．P→?Q D．P∨?Q 5．设A（x）:x是人，B（x）：x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）A．?x(A(x))∧B(x) B．??x( A(x)→?B(x) ) C．??x( A(x)∧B(X)) D．??x( A(x)∧?B(x) ) 6. 设有A={a,b,c}上的关系R={ 7. 设A={1,2,3,4,5,6},B={a,b,c,d,e}，以下哪一个关系是从A到B的满射函数( ) A. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>,<5,e>} B. f={<1,e>,<2,d>,<3,c>,<4,b>,<5,a>,<6,e>} C. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,a>,<5,b>,<6,c>} D. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>,<5,e>,<1,b>} 8．设简单图G所有结点的度数之和为10，则G一定有（） A．3条边B．4条边C．5条边 D．6条边 9．下列不．一定是树的是（） A．每对结点之间都有通路的图 B．有n个结点，n-1条边的连通图 C．无回路的连通图D．连通但删去一条边则不连通的图 10．下列各图中既是欧拉图，又是哈密顿图的是（） 第一部分: 高等代数, 包括九个方面. 第一章：多项式 一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式； 第二章：行列式 排列，级行列式，级行列式的性质，行列式的计算，行列式按一行（列）展开，克拉默法则，行列式的乘法规则； 第三章：线性方程组 消元法，维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解的判别定理，线性方程组解的结构，二元高次方程组； 第四章：矩阵 矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块乘法的初等变换及应用，广义逆矩阵； 第五章：二次型 二次型的矩阵表示，标准形，惟一性，正定二次型； 第六章：线性空间 集合、映射，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构； 第七章：线性变换 线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核，不变子空间，若当(Jordan)标准形介绍，最小多项式； 第八章：矩阵 矩阵，矩阵在初等变换下的标准形，不变因子，矩阵相似的条件，初等因子，若当(Jordan)标准形的理论推导； 第九章：欧几里得空间 定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形。 第二部分: 概率论，包括以下六个方面． 1、概率论的基本概念 1) 随机试验、随机事件及其运算 2) 概率的定义及概率的性质 3) 概率空间的概念4) 条件概率和三个重要公式 5) 事件的独立性 6)贝努利试验和二项概率公式 2、一维随机变量及其分布 1) 随机变量的概念和分布函数 2) 离散型随机变量及其分布 3) 连续型随机变量及其分布 4) 六个常用的分布 5) 随机变量函数的分布 3、多维随机变量及其分布 1) 多维(离散型和连续型)随机变量及其分布 2) 边缘分布、条件分布和随机变量的独立性 3) 二维随机变量(包括二维到二维)函数的分布 4、随机变量的数字特征 《离散数学》复习题 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、下列命题中是命题的是（ ） A 、 7>+y x B 、雪是黑色的 C 、严禁吸烟 D 、我正在说谎 2下列命题联结词集合中,哪个不是极小全功能集( )。 A 、{,}刭 B 、{,}刳 C 、{}- D 、{,}佼 3、下列公式中哪个不是简单析取式（ ）。 A 、p B 、p q ∨ C 、()p q ?∨ D 、p q ?∨? 4、设个体域{,}A c d =，公式()()x P x x S x ?∧?在A 中消去量词后应为（ ） A ()()P x S x ∧ B (()())(()( P c P d S c S d ∧∧∨ C ()()P c S d ∧ D ()() () (P c P d S c S d ∧ ∧∨ 5、下列是命题公式p ∧(q ∨┓r)的成真指派的是( ) A.110，111，100 B.110，101，011 C.所有指派 D.无 6、下列命题中（ ）是正确的。 A. 若图G 有n 个顶点，则G 的各顶点的度和为2n; B. 无向树中任意两点之间均相互可达； C. 若有向图G 是弱连通的，则它必定也是单向连通； D. 若无向带权图G 是连通的，则其最小生成树存在且唯一。 7、正整数集合Z +的以下四个划分中，划分块最多的是（ ） A ．1π={{x }︱x ∈Z + } B ．2π= {Z + } C. 3π={12,S S },1S 为素数集，21S Z S + =- D ．3π={12,S S ,3S },i S 为Z +中元素除以3的余数 8、给定下列各图： ⑴G 1= 北邮离散数学-阶段作 业一二三 阶段作业一 一、判断题（共5道小题，共50.0分） 1. 命题公式的真值分别为0，1，则的真值为0 A. 正确 B. 错误 知识点: 命题逻辑 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 2. 设P，Q都是命题公式，则 A. 正确 B. 错误 知识点: 命题逻辑 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 3. 空集是任何集合的真子集． A. 正确 B. 错误 知识点: 集合 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 4．设为集合上的等价关系, 则 A. 正确 B. 错误 知识点: 关系 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 5．设为集合上的等价关系, 则也是集合上的等价关系 C. 正确 D. 错误 知识点: 关系 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 二、单项选择题（共5道小题，共50.0分） 1. 下面哪个联结词不可交换 A. B. C. D. 知识点: 命题逻辑 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 2. 下列各式中不正确的是 A. B. C. D. 知识点: 集合 学生答案: [C;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 3. 设为集合，若，则一定有 A. B. C. D. 知识点: 集合 学生答案: [C;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 4. 设为集合上的等价关系，对任意，其等价类为 A. 空集 B. 非空集 C. 是否为空集不能确定 D. 知识点: 关系 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 5. 设A，B是集合，则下列说法中（）是正确的. A. A到B的关系都是A到B的映射 B. A到B的映射都是可逆的 C. A到B的双射都是可逆的 D. 时必不存在A到B的双射 知识点: 映射 学生答案: [C;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示 阶段作业二 判断题（共5道小题，共50.0分） 广东技术师范学院 模拟试题 科 目：离散数学 考试形式：闭卷 考试时间: 120 分钟 系别、班级： 姓名： 学号： 一．填空题（每小题2分，共10分） 1. 谓词公式)()(x xQ x xP ?→?的前束范式是__ ?x ?y?P(x)∨Q(y) __________。 2. 设全集{}{}{},5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A E 则A ∩B =__{2}__，=A _{4,5}____， =B A __ {1,3,4,5} _____ 3. 设{}{}b a B c b a A ,,,,==，则=-)()(B A ρρ__ {{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}} __________， =-)()(A B ρρ_____Φ_______。 4. 在代数系统（N ，+）中，其单位元是0，仅有 _1___ 有逆元。 5．如果连通平面图G 有n 个顶点，e 条边，则G 有___e+2-n ____个面。 二．选择题（每小题2分，共10分） 1. 与命题公式)(R Q P →→等价的公式是（ ） （A ）R Q P →∨)( （B ）R Q P →∧)( （C ）)(R Q P ∧→ （D ）)(R Q P ∨→ 2. 设集合{}c b a A ,,=,A 上的二元关系{}><><=b b a a R ,,,不具备关系( )性质 （A ） (A)传递性 (B)反对称性 (C)对称性 (D)自反性 3. 在图>=北邮离散数学第一次阶段作业
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