初中抛物线常见结论汇总(教师版)

初中抛物线常见结论汇总（教师版）

1. （唯一交点或最值）

（1）已知抛物线y=x 2－2x －3，过点D （0,-4）求与抛物线有且只有一个公共点的直线的解析式。 (判别式)

（2）已知抛物线y=x 2－2x －3，在第四象限的抛物线上求点P ，使四边形ACPB 的面积最大。

2. (焦点—准线：顶点上下14a 个单位)已知抛物线y ＝12

x 2－x ＋1，直线过点P （1，1）与抛物线交于A 、B 。过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N 。

（1）连PM 、PN ，求证：△PMN 为直角三角形；

（2）①求证：AB ＝AM+BN ；②求1AP ＋1BP

的值。 （3）已知点D （1，0），求证：DP 经过△AB D 的内心。

3. 如图，抛物线y ＝12x 2﹣x －32

顶点为D ，对称轴上有一点E （1，4），在抛物线上求点P ，使∠EPD=90°。

4. （定直角特殊点——特殊）已知抛物线y=12

x 2，过对称轴上P 点的任意一条直线与抛物线的两交点A 、B 和O 点构成以O 点为直角顶点的直角三角形，求P 点坐标。（定点：顶点向上平移1/a 个单位长度）

5. （定直角特殊点——半特殊）如图：抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，交点C 向上平移t

个单位长度到D ，过D 作EF ∥AB ，交抛物线于E 、F ，∠ECF＝90°。求t 与a 的关系。

6. （定直角特殊点——一般）如图：抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，点P （m,n ）为抛物线

上任意一点，过D （0，n+t ）作EF ∥AB ，交抛物线于E 、F ，∠EPF＝90°。求t 与a 的关系。

7. （纵向平分对称点——特殊）已知抛物线y=12

x 2，过对称轴上P 点的任意一条直线与抛物线的两交点为A 、B ，在对称轴负半轴上有点Q （0，-2），且∠AQB 被对称轴平分，求P 点坐标。

8. （纵向平分对称点——一般）如图，抛物线y ＝x 2-x －2与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，点D 和点C 关于对

称轴对称，MN ∥AD ，交抛物线于M 、N ，直线MD 、ND 分别交y 轴于E 、F 。求证：CF ＝CE 。