第7章 热力学基础
第7章 热力学基础
7.16 一摩尔单原子理想气体从270C 开始加热至770C （1）容积保持不变；（2）压强保持不变；
问这两过程中各吸收了多少热量？增加了多少内能？对外做了多少功？(摩尔热容
11,11,78.20,46.12----?=?=K mol J C K mol J C m P m V )
解（１）是等体过程，对外做功A ＝０。J T C U Q m V 623)2777(46.12,=-?=?=?= （２）是等压过程，吸收的热量J T C Q m p 1039)2777(78.20,=-?=?=
J T C U m V 623)2777(46.12,=-?=?=?
J U Q A 4166231039=-=?-=
7.17 一系统由如图所示的a 状态沿acb 到达状态b ，有334J 热量传入系统，而系统做功126J 。
（1）若沿adb 时系统做功42J ，问有多少热量传入系统？
（2）当系统由状态b 沿曲线ba 返回态a 时，外界对系统做功84J ，
试问系统是吸热还是放热？传递热量是多少？ （3）若态d 与态a 内能之差为167J ，试问沿ad 及db 各自吸收的热量是多少？ 解：已知J A J Q acb acb 126.334== 据热力学第一定律得内能
增量为
J A Q U acb acb ab 208126334=-=-=?
(1) 沿曲线adb 过程，系统吸收的热量
J A U Q adb ab adb 25042208=+=+?=
(2) 沿曲线ba
J A U A U Q ba ab ba ba ba 292)84(208-=-+-=+?-=+?=, 即系统放热292J
(3) J A A A adb ad db 420
=== J A U Q ad ad ad 20942167=+=+?=
J U U A U Q ad ab db db db 41167208=-=?-?=+?=，即在db 过程中吸热41J.
7.18 8g 氧在温度为270C 时体积为34101.4m -?，试计算下列各情形中气体所做的功。
（1）气体绝热地膨胀到33101.4m -?；
（2）气体等温地膨胀到33101.4m -?；
再等容地冷却到温度等于绝热膨胀最后所达到的温
7.17题示图
度。已知氧的R
C m V 5,=。 解：已知 K T 300273270=+=,340101.4m V -?=,kg g M 31088-?== 由理想气体状态方程RT M
pV μ
=
得
Pa V RT M
P 640001052.110
1.4300
31.8328/?=???=
=
-μ
(1) 绝热膨胀到 331101.4m V -?= ， 由绝热过程方程 γγ00V P PV = 得
γγ
V V P P 100= 而 4.1,,,,=+==m
V m V m m p C C R C C γγ 则气体所做功
??-===-1
01
1
1110
0001V V V V V V V V P dV V V P PdV A γ
γ
γγγ
)(11
101100γγγγ
----=
V V V P []
J 938)101.4()101.4()101.4(1052.14
.111
4.044.034.146=?-?????-=
----- （2）气体等温膨胀后等容的冷却到 332101.4m V -?=
??=?????====---2
02
1435101.4101.4ln 101.41052.1ln 14
34
60200002V V V V J V V V P dV V V P PdV A
7.19 为了测定气体的γ值，有时用下面的方法，一定量的气体，初始温度、压强和体积分
别为T 0、P 0和V 0，用通有电流的铂丝加热。设两次加热相等，第一次使体积V 0不变，而T 0、P 0分别变为T 1、P 1；第二次使压强P 0不变，而T 0、V 0分别变至T 2、V 2，试证明
02001)()(P V V V P P --=
γ 证明：)(),(02,201,1T T C Q T T C Q m P m V -=-=νν 由题知21Q Q =
)()(02,01,T T C T T C m P m V -=-∴有
则 0
201,,T T T T C C m
V m P --=
=
γ 又2121P P T T =
（等体）， 0202V V T T = （等压）。 0
0200100020001
)()()/()(
P V V V P P T T V V T T P P --=--=∴γ有 7.20 如图表示理想气体的某一过程曲线，当气体自态1过渡到态2时气体的P 、T 如何
随V 变化？在此过程中气体的摩尔热容C m 怎样计算？
解：由图知，P =kV (k 是常数,此过程也是1-=n 的多方过程) 由理想气体状态方程可得
2V R
k
R PV T ==
（1摩尔气体） VdV R k C dT C dQ m m m 2==， VdV R
k
C dT C dU m V m V 2,,==
kVdV PdV dA == 由热力学第一定律得：
kVdV VdV R k C VdV R
k
C m V m
+=22, 由此得 2
/21
2
,,R C R C R C m V m V m +=+= 7.21一用绝热壁做成的圆柱形容器，在容器中间放置一无摩擦的绝热可动活塞，活塞两
侧各有ν摩尔理想气体，开始状态均为P 0、V 0、T 0，今将一通电线圈放到活塞左侧气体中，对气体缓慢加热，左侧气体膨胀，同时右侧气体被压缩，最后使右方气体的压强增加为
08
27
P 。设气体的定容摩尔热容C v ，m 为常数，γ=1.5。求
（1）对活塞右侧气体做了多少功；（2）右侧气体的终温是多少；（3）左侧气体的终温是多少；（4）左侧气体吸收了多少热量。
解：两边压强相等为0218
27
P P P ==
（1）右侧是一绝热压缩过程，满足γγ00V P PV =
由此得01
0)(V P P V γ= ，dP P V P dV )11
(0101+--=γγ
γ
∴ 对活塞右侧气体所做的功 ??
--
-==
-=20
2
1101
0101
0/111
1
1
P P P P P V P dP P V P PdV A γ
γ
γγ
γγγ
00/1100/110/110/100
1)827(11)827(11V P V P P P P V =??
????--=??????--=---γγγγγγ （2）由绝热过程方程γγγγ--=100122P T P T 得 右侧气体的终温 005.1/)5.11(0/)1(2025.1)27
8
()(
T T T P P T ===--γγ （3）由（1）中05
.1/10)(V P
P V = 得右侧终态体积为 005
.1/10/1202
9
4278V V V P P V =???
??=?
??
? ??=γ
7.20题示图
则左侧终态体积 02020019
142)(V V V V V V V =-=-+= 由理想气体状态方程
1
1
1000T V P T V P =
得 00000111421914827T T T V P V P T =?== （4）由（1）知 00V P A =
0,01,4
17
)(T C T T C U m V m V νν=
-=? 由热力学第一定律得左侧气体所吸收的热量
00,000,4
17
417RT T C V P T C A U Q m V m V ννν+=+=
+?= m V m V m P C C C ,,,5.1==ν R C C C m V m V m P ==-,,,5.0 R C m V 2,=∴
0002
19
217RT RT RT Q ννν=+=
∴ 7.22 如图所示的是一理想气体循环过程图，其中d c b a →→和为绝热过程，c b →为等压过程，a d →为等容过程，已知T a 、T b 、T c 和T d 及气体的热容比γ，求循环过程的效率。
解：在该理想气体循环过程的ab 和cd 分过程是绝热过程，与外界不交换热量，而在bc 过程中放热)(,2c b m P T T C Q -=ν 在da 过程吸热 )(,1d a m V T T C Q -=ν 则此循环过程的效率为
d
a c b
d a m V c b m P T T T T T T C T T C Q Q Q Q Q Q A ---=---=-=-==γννη1)()(11,,1212
11 7.23设有以理想气体为工质的热机，其循环如图所示，试证明其效率。
?
??
? ??-????
??--=1/1121
21P P V V γη 证明：在等体过程ab 中，从外界吸收热量
)(1
)(2221,,1V P V P C R
T T C U Q m V a b m V -=-=?=ν
在绝热过程bc 中与外界不交换热量。在等压过程ca 中放出热量
)(1
)(212,,2V V P R
C T T C Q m
P a c m P -=-=ν
7.22题示图
7.23题示图
则效率 )1/()1(1)()(1)()
(1
112121212212212,21,212---=---=---=-=P P V V P P V V V P P P V C R
V V C P R Q Q m V m P γγη
7.24理想气体做卡诺循环，设热源温度为1000C ，冷却器温度为０0C 时，每一循环做净功8kJ ，今维持冷凝器温度不变，提高热源温度，使净功增为10kJ ，若两个循环都工作于相同的两条绝热线之间，求（１）此时热源温度应为多少？（２）这时效率为多少？
解：（1）在两个等温线间的绝热过程做功大小相等，故在卡诺循环过程中系统对外所做的功等于两等温过程系统对外所做的功即：
)ln ln
(4
3212
1V V T V V T R A -=ν 由绝热过程方程可得
4
312V V V V =
4321ln )(V V
T T R A -=∴ν 由题知 810212'1=--T T T T 125)(810
212'1=-?=-T T T T K
3981252751252'1=+=+=∴T T K
（2） %4.31398273
111'
1
2'12=-=-=-
=T T Q Q η 7.25从锅炉进入蒸汽机的蒸气温度C t 01210=，冷却器温度C t 0240=，问消耗4.18kJ 的热以产生蒸气，可得到的最大功为多少？
解：在相同的高温热源的低温热源间的所有热机以卡诺热机的效率最大为
%2.35483
3131112=-=-
=T T η 则 kJ Q A 47.118.4%2.351=?=≤η。即得到的最大功为1.47kJ
7.26（１）在夏季为使室内保持凉爽，须将热量以s J /2000的散热率排至室外，此冷却
用致冷机完成，设室温为270C ，室外为370C ，求致冷机所需要的最小功率。
（２）冬天将上述致冷机用做热泵，使它从室外取热传至室内，而保持室内温度。设冬天室外温度为-30C ，室内温度保持270C ，仍用（１）中所给的功率，则每秒传给室内的最大热量是多少？
解：（1）卡诺致冷机的致冷系数 30300
310300
212=-=-=
T T T ε
则每秒至少需做功为 J Q A 7.6630
2000
2
==
=
ε
。即致冷机所需要的最小功率为66.7W （2）将上述致冷机用做热泵时，上述致冷机的致冷系数为
9270
300270
212=-=-=
T T T ε
若仍用（１）中所给的功率，则 J A 7.66=，J A Q 6007.6692=?==ε
J Q A Q 7.6666007.6621=+=+=，即每秒传给室内的最大热量为666.7J 。
7.27 有一动力暖气装置如图所示，热机从温度为1t 的锅炉内吸热，对外做功带动一致冷机，致冷机自温度为t 3的水池中吸热传给供暖系统t 2，此暖气系统也是热机的冷却器。若
C t C t C t 03020115,60,210===，煤的燃烧值为kg kJ H /1009.24?=，问AA 锅炉每燃
烧1kg 的煤，暖气中的水得到的热量Ｑ是多少？（设两部机器都做可逆卡诺循环）。
解：k t T 48327311=+= ，k t T 33327322=+=，k t T 28827333=+=
kg J kg kJ H /1009.2/1009.274?=?=，J mH Q 7711009.21009.21?=??==
1
212131.0483333
11Q Q T T -==-=-
=η J Q Q 77121044.11009.2)31.01()1(?=??-=-=∴η
又21'
2'2''23234.6288333288Q Q Q A Q A
Q T T T -====-=-=ε J Q Q Q 7721'21016.410)44.109.2(4.6)(?=?-?=-=∴ε
则锅炉煤燃烧1kg 煤，暖气中水得到的热量为
J Q Q Q 777'
22106.51016.41044.1?=?+?=+=
7.28如图所示为某理想气体的两条熵线S 1和S 2，若气体从状态
１沿等温线（温度为Ｔ）准静态地膨胀到状态２，则气体对外做了多少功？
解：沿等温线从状态1到状态2的熵变为
??===-T
Q
dQ T T dQ S S 112
锅炉
水池 暖
气系统
7.27题示图
7.28题示图
所以在此过程中吸热为 )(12S S T Q -=
在等温过程中，内能不变，利用热力学第一定律便得过程所做的功
A =)(12S S T Q -=
7.29 有一块质量为1kg 、温度为-100C 的冰块，将其放入温度为150C 的湖水中，达到热平衡时，整个系统的熵变为多少（冰的熔解热为334kJ/kg ，比热为1kg kJ 09.2-?） 解：由于湖水的质量可看成是无限大。则将1kg 冰放入其内达平衡时的温度仍保持原湖水的温度150C 。可将冰块吸热和湖水放热看成可逆等压准静态过程。冰吸热的熵变
??
++=?200
1
1T T T T T Q T dT C T dT
mC S 溶水冰
133
3
Jk 1525122322478273
10334273288ln 1018.4263273ln 1009.2-=++=?+?+?=
湖水放热的熵变
2
021002)()(T Q T T m C T T m C T Q
S 溶水冰
+-+--=-
=? 288
10334)273288(1018.4)263273(1009.23
33?+-?+-?-
=1Jk 1450--= 所以系统的熔变为121Jk 7514501525-=-=?+?=?S S S
7.30 有一体积为3
2100.2m -?的绝热容器，用一隔板将其分为两部分，开始时左边一侧充有1mol 理想气体（体积为331100.5m V -?=），右边一侧为真空。现抽掉隔板让气体自由膨胀充满整个容器，求熵变。
解：自由膨胀可看成等温膨胀（即选从态1→态2的可逆等温过程来计算）
???=??→?=-2112V V V dV R T PdV T dQ S S 等温11
2Jk 52.114ln 31.8ln -=?==V V
R
第七章、统计热力学基础习题和答案
统计热力学基础 一、选择题 1. 下面有关统计热力学的描述，正确的是：( ) A. 统计热力学研究的是大量分子的微观平衡体系 B. 统计热力学研究的是大量分子的宏观平衡体系 C. 统计热力学是热力学的理论基础 D. 统计热力学和热力学是相互独立互不相关的两门学科B 2. 在研究N、V、U有确定值的粒子体系的统计分布时，令刀n i = N,刀n i & i = U , 这是因为所研究的体系是：( ) A. 体系是封闭的，粒子是独立的 B 体系是孤立的，粒子是相依的 C. 体系是孤立的，粒子是独立的 D. 体系是封闭的，粒子是相依的C 3. 假定某种分子的许可能级是0、&、2 ￡和3 &,简并度分别为1、1、2、3四个这样的分子构成的定域体系，其总能量为3￡时，体系的微观状态数为：() A. 40 B. 24 C. 20 D. 28 A 4. 使用麦克斯韦-波尔兹曼分布定律，要求粒子数N 很大，这是因为在推出该定律时：( ) . 假定粒子是可别的 B. 应用了斯特林近似公式 C. 忽略了粒子之间的相互作用 D. 应用拉氏待定乘因子法A 5. 对于玻尔兹曼分布定律n i =(N/q) ? g i ? exp( - ￡ i/kT)的说法：(1) n i是第i能级上的粒子分布数; (2) 随着能级升高，￡ i 增大，n i 总是减少的; (3) 它只适用于可区分的独立粒子体系; (4) 它适用于任何的大量粒子体系其中正确的是：( ) A. (1)(3) B. (3)(4) C. (1)(2) D. (2)(4) C 6. 对于分布在某一能级￡ i上的粒子数n i，下列说法中正确是：() A. n i 与能级的简并度无关 B. ￡ i 值越小，n i 值就越大 C. n i 称为一种分布 D. 任何分布的n i 都可以用波尔兹曼分布公式求出B 7. 15?在已知温度T时，某种粒子的能级￡ j = 2 ￡ i，简并度g i = 2g j，则「和￡ i上 分布的粒子数之比为：( ) A. 0.5exp( j/2￡kT) B. 2exp(- ￡j/2kT) C. 0.5exp( -￡j/kT) D. 2exp( 2 j/k￡T) C 8. I2的振动特征温度? v= 307K，相邻两振动能级上粒子数之n(v + 1)/n(v) = 1/2的温度是：( ) A. 306 K B. 443 K C. 760 K D. 556 K B 9. 下面哪组热力学性质的配分函数表达式与体系中粒子的可别与否无关：( ) A. S、G、F、C v B. U、H、P、C v C. G、F、H、U D. S、U、H、G B 10. 分子运动的振动特征温度?v是物质的重要性质之一，下列正确的说法是： ( ) A. ? v越高，表示温度越高 B. ?v越高，表示分子振动能越小 C. ?越高，表示分子处于激发态的百分数越小 D. ?越高，表示分子处于基态的百分数越小 C 11. 下列几种运动中哪些运动对热力学函数G与
第七章、统计热力学基础习题和答案
统计热力学基础 题 择 一、选 1. 下面有关统计热力学的描述，正确的是：( ) A. 统计热力学研究的是大量分子的微观平衡体系 B. 统计热力学研究的是大量分子的宏观平衡体系 C. 统计热力学是热力学的理论基础 D. 统计热力学和热力学是相互独立互不相关的两门学科B 2.在研究N、V、U 有确定值的粒子体系的统计分布时，令∑n i = N，∑n iεi = U， 3.这是因为所研究的体系是：( ) A. 体系是封闭的，粒子是独立的 B 体系是孤立的，粒子是相依的 C. 体系是孤立的，粒子是独立的 D. 体系是封闭的，粒子是相依的 C 4.假定某种分子的许可能级是0、ε、2ε和3ε，简并度分别为1、1、2、3 四个这样的分子构成的定域体系，其总能量为3ε时，体系的微观状态数为：( ) A. 40 B. 24 C. 20 D. 28 A 5. 使用麦克斯韦-波尔兹曼分布定律，要求粒子数N 很大，这是因为在推出该定律 6.时：( ) . 假定粒子是可别的 B. 应用了斯特林近似公式 C. 忽略了粒子之间的相互作用 D. 应用拉氏待定乘因子法 A 7.对于玻尔兹曼分布定律n i =(N/q) ·g i·exp( -εi/kT)的说法：(1) n i 是第i 能级上的 粒子分布数; (2) 随着能级升高，εi 增大，n i 总是减少的; (3) 它只适用于可区分的独 8.立粒子体系; (4) 它适用于任何的大量粒子体系其中正确的是：( ) A. (1)(3) B. (3)(4) C. (1)(2) D. (2)(4) C 9.对于分布在某一能级εi 上的粒子数n i ，下列说法中正确是：( ) 10.A. n i 与能级的简并度无关 B. εi 值越小，n i 值就越大 C. n i 称为一种分布 D.任何分布的n i 都可以用波尔兹曼分布公式求出 B 11. 15．在已知温度T 时，某种粒子的能级εj = 2εi，简并度g i = 2g j，则εj 和εi 上分布的粒子数之比为：( ) A. 0.5exp( j/2εk T) B. 2exp(- εj/2kT) C. 0.5exp( -εj/kT) D. 2exp( 2 j/kεT) C 12. I2 的振动特征温度Θv= 307K，相邻两振动能级上粒子数之n(v + 1)/n(v) = 1/2 的温度 13.是：( ) A. 306 K B. 443 K C. 760 K D. 556 K B 14.下面哪组热力学性质的配分函数表达式与体系中粒子的可别与否无关：( ) A. S、G、F、C v B. U、H、P、C v C. G、F、H、U D. S、U、H、G B 15. 分子运动的振动特征温度Θv 是物质的重要性质之一，下列正确的说法是： ( ) A.Θv 越高，表示温度越高 B.Θv 越高，表示分子振动能越小 C. Θv 越高，表示分子处于激发态的百分数越小 D. Θv 越高，表示分子处于基态的百分数越小 C 16.下列几种运动中哪些运动对热力学函数G 与A 贡献是不同的：( ) A. 转动运动 B. 电子运动 C. 振动运动 D. 平动运动 D 17.三维平动子的平动能为εt = 7h 2 /(4mV2/ 3 )，能级的简并度为：( )
第七章 统计热力学基础
第七章统计热力学基础 一、选择题 1、统计热力学主要研究（）。 (A) 平衡体系(B)单个粒子的行为案(C) 非平衡体系(D) 耗散结构 2、能量零点的不同选择，在下面诸结论中哪一种说法是错误的：( ) (A) 影响配分函数的计算数值(B) 影响U，H，F，G 的数值 (C) 影响Boltzmann分布数N 的数值(D) 影响能级能量εi的计算数值 3、最低能量零点选择不同，对哪些热力学函数值无影响：( ) (A) U (B) S (C) G (D) H 4、统计热力学研究的主要对象是：（） (A) 微观粒子的各种变化规律 (B) 宏观体系的各种性质 (C) 微观粒子的运动规律 (D) 宏观系统的平衡性质 5、对于一个U,N,V确定的体系，其微观状态数最大的分布就是最可几分布，得出这一结论的理论依据是：（） (A) 玻兹曼分布定律(B) 等几率假设(C) 分子运动论(D) 统计学原理 6、以0到9这十个数字组成不重复的三位数共有（） (A) 648个(B) 720个(C) 504个(D) 495个 7、各种不同运动状态的能级间隔是不同的，对于同一种气体分子，其平动、转动、振动和电子运动的能级间隔的大小顺序是：（） (A) t > r > v > e(B) t < r < v < e (C) e > v > t > r(D) v > e > t > r 8、在统计热力学中，对物系的分类按其组成的粒子能否被分辨来进行，按此原则：（） (A) 气体和晶体皆属定域子体系 (B) 气体和晶体皆属离域子体系 (C) 气体属离域子体系而晶体属定域子体系 (D) 气体属定域子体系而晶体属离域子体系 9、对于定域子体系分布X所拥有的微观状态t x为：（） (A) (B)
07第7章 热力学基础
105 第7章 热力学基础 7.1 结构要点 一、知识结构 本章介绍由观察和实验总结出来的热现象的基本规律． 二、基本要求 1．理解平衡态、准静态过程、可逆过程、不可逆过程的涵义， 2．掌握描述热力学过程的三个主要物理量：内能、功、热量； 3．掌握热力学第一定律及在各种等值过程中的运用； 4．理解热力学第二定律的两种表述，能够计算循环热机效率(或制冷系数)； 5．掌握熵的概念、性质和物理本质，了解熵增原理的物理意义． 热力学过程 准静态过程 等值过程 热力学第一定律 热力学第二定律 热力学第三定律 热力学第零定律 2 2 11T p T p =2 2 11T V T V =2 211V p V p =γ γ 2 211V p V p =A E Q +?=?=pdV A )(2 12T T iR M E -= ?μ) (12T T C M Q -= μ R i C V 2 = R C C V p +=V p C C = γRT M pV μ = 主要物理量 内能 功 热量
106 7.2 学习指南 一、内能、功、热量 1．内能 系统内分子运动的动能、分子间相互作用的势能及分子内原子等运动的动能的总和，称为系统的内能． 内能是状态的单值函数，简称为态函数． 理想气体的内能指系统内所有分子各种动能的总和．对于质量为M 、摩尔质量为μ的理想气体，其内能为RT i M E 2 μ=。 (7—1) 理想气体的内能是温度的单值函数，即内能只与温度有关．如果温度的变化量为△T ，则其内能变化量为T R i M E ?= ?2 μ。 (7—2) 2．功 由于体积变化，理想气体组成的系统对外界在无限小的准静态过程中所作的功为 pdV dA =，当系统体积膨胀时，d V ＞0，系统对 外作正功，即d A ＞0，当系统被压缩时，d V ＜0，系统对外作负功，即d A ＜0． 在一个有限的准静态过程中，系统的体积由V 1变为V 2时，系统对外界所作的总功为 ? = 2 1 V V p d V A (7—3) 在p －V 图上，过程曲线下面所围成的面积代 表功的大小，如图7－1示．系统从同一初态经历不同准静态过程到达同一终态，对外所作的功不同．因此，功是一个过程量．不能离开系统的变化过程谈功． 3．热量 热量是指系统与外界发生的热交换的能量，是过程量。如果系统原来的温度为T 1，传入热量Q 后的温度为T 2，则吸收的热量为)(12T T Mc Q -=。 (7—4) 式中M 是系统的质量，c 是物质的比热．Mc 为系统温度升高（或降低）1℃所吸收（或放出）的热量，称为该系统的热容量．一摩尔物质温度升高（或降低）1℃所吸收（或放出）的热量叫该物质的摩尔热容量．如果物质的摩尔质量为μ，则摩尔热容量为 Ｖ 图7－1 p V 1 V 2 V V +d V
07章统计热力学基础(1)
第七章统计热力学基础 1. 设有一个体系,由三个定位的单维简谐振子所组成,体系能量为11/2 hν,这三个振子在三个固定的位置上振动,试求体系全部的微观状态数。 2. 当热力学体系的熵函数S增加0.418 J/K时，则体系的微观状态数增加多少？用ΔΩ/Ω1表示。 3. 对于双原子分子，证明： U r=NkT U v=NkT 设基态振动能为零，≈1+x 。 4．将N2气在电弧中加热，从光谱中观察到处于第一激发态的相对分子数 N(v=1)/N(v=0)=0.26,式中ν为振动量子数N(v=0)为基态占有的分子数，N(v=1)为第一激发振动态占有的分子数，已知N2的振动频率ν= 6.99×, (1) 计算气体温度。 (2) 计算振动能量在总能量（包括平动，转动和振动）中所占的百分数。 5．设某理想气体A,其分子的最低能级是非简并的,取分子的基态作为能量零点,相邻能级的能量为ε，其简并度为2，忽略更高能级。 （1）写出A分子的总配分函数的表达式。 （2）设ε=kT，求出相邻两能级上最概然分子数之比n1/n0。 （3）设ε=kT，试计算1 摩尔该气体的平均能量是多少？ 6．某气体的第一电子激发态比基态能量高400 kJ/mol,试计算 （1）在300 K时，第一激发态分子所占的百分数？ （2）若要使激发态的分子数占10%，则需多少温度？ 7．零族元素氩（Ar）可看作理想气体，相对分子量为40，取分子的基态（设其简并度为1）作为能量零点，第一激发态（设其简并度为2）与基态能量差为ε，忽略其它高能级。 （1）写出氩分子的总的配分函数表达式。 （2）设ε=5kT，求在第一激发态上最可几分布的分子数占总分子数的百分数。
第七章 统计热力学基础
第七章统计热力学基础 一、单选题 1．统计热力学主要研究（）。 (A) 平衡体系(B) 近平衡体系(C) 非平衡体系 (D) 耗散结构(E) 单个粒子的行为 2．体系的微观性质和宏观性质是通过（）联系起来的。 (A) 热力学(B) 化学动力学(C) 统计力学(D) 经典力学(E) 量子力学 3．统计热力学研究的主要对象是：（） (A) 微观粒子的各种变化规律(B) 宏观体系的各种性质 (C) 微观粒子的运动规律(D) 宏观系统的平衡性质 (E) 体系的宏观性质与微观结构的关系 4．下述诸体系中，属独粒子体系的是：（） (A) 纯液体(B) 理想液态溶液(C) 理想的原子晶体 (D) 理想气体(E) 真实气体 5．对于一个U，N，V确定的体系，其微观状态数最大的分布就是最可几分布，得出这一结论的理论依据是：（） (A) 玻兹曼分布定律(B) 等几率假设(C) 分子运动论 (D) 统计学原理(E) 能量均分原理
6．在台称上有7个砝码，质量分别为1g、2g、5g、10g、50g、100g，则能够称量的质量共有：（） (A) 5040 种(B) 127 种(C) 106 种(D) 126 种 7．在节目单上共有20个节目序号，只知其中独唱节目和独舞节目各占10个，每人可以在节目单上任意挑选两个不同的节目序号，则两次都选上独唱节目的几率是：（） (A) 9/38 (B) 1/4 (C) 1/180 (D) 10/38 8．以0到9这十个数字组成不重复的三位数共有（） (A) 648个(B) 720个(C) 504个(D) 495个 9．各种不同运动状态的能级间隔是不同的，对于同一种气体分子，其平动、转动、振动和电子运动的能级间隔的大小顺序是：（） (A)△e t >△e r >△e v >△e e(B)△e t <△e r <△e v <△e e (C) △e e >△e v >△e t >△e r(D)△e v >△e e >△e t >△e r (E)△e r >△e t >△e e >△e v 10．在统计热力学中，对物系的分类按其组成的粒子能否被分辨来进行，按此原则：（） (A) 气体和晶体皆属定域子体系(C) 气体属离域子体系而晶体属定域子体系 (B) 气体和晶体皆属离域子体系(D) 气体属定域子体系而晶体属离域子体系 11．对于定位系统分布X所拥有的微观状态t x为：（B） (A)(B)
第七章 统计热力学习题解答
第七章 习题及解答 1. 设有一个体系，由三个定位的一维简谐振子所组成，体系能量为νh 2 11，这三个振子在三个固定的位置上振动， 试求体系全部的微观状态数。 解 对振动 ν υεν h )2 1 (+=，在总能量 νεν h 2 11= 时，三个一维简谐振子可能有以下四种分布方式： （1） N 0=2, N 4=1, ν εν h 2 1 20?=, νεν h 2 94 =, 3! 2!1! 31==t （2） N 0=1, N 2=2, νεν h 2 1 10 ?=, ν εν h 2 5 22?=, 3! 2!1! 32== t （3） N 0=1, N 1=1, N 3=1, ν εν h 2 1 0=, νενh 2 31 =, νεν h 2 7 3= , 6!1!1!1!33==t （4） N 1=2, N 2=1, νεν h 2 3 21 ?=, νεν h 2 52=, 3! 2!1! 34==t Ω= t 1+t 2+t 3+t 4=3+3+6+3=15 2. 当热力学体系的熵函数S 增加0.418J ·K -1时，体系的微观状态数增加多少？用1/?ΩΩ表示。 解 S 1=kln Ω1， S 2=kln Ω2, S 2-S 1=kln(Ω2/Ω1) ln(Ω2/Ω1)=(S 2-S 1)/k =(0.418J·K -1)/(1.38×10-23J ·K -1)=3.03×1022 1/Ω?Ω=(Ω2 -Ω1 )/Ω1 =(Ω2 /Ω1 )-1≈Ω2 /Ω1 = exp(3.03×1022) 3. 在海平面上大气的组成用体积百分数可表示为：N 2(g)为0.78，O 2(g)为0.21，其他气体为0.01。设大气中各种气体都符合Bolzenmann 分布，假设大气柱在整个高度内的平均温度为220K 。试求：这三类气体分别在海拔10km ，60km 和500km 处的分压。已知重力加速度为9.8m·s -2。 解 所用公式为p=p 0e -Mgh/RT ，其中M(空气) =29g·mol -1， M(N 2)=28g·mol -1， M(O 2)=32g·mol -1， M(其它)=[M(空气)-0.78M(N 2)-0.21M(O 2)]/0.01
统计热力学
第七章统计热力学基础 热力学： 基础：三大定律 研究对象：（大量粒子构成的）宏观平衡体系 研究方法：状态函数法 手段：利用可测量量p-T-V+C p,m和状态方程 结果：求状态函数（U,H,S,G,等）的改变值，以确定变化过程所涉及的能量和方向。 但是，热力学本身无法确定体系的状态方程，需借助实验。很显然，体系的宏观热力学性质取决于其微观运动状态，是大量粒子微观运动的统计平均结果。 热力学宏观性质体系的微观运动状态 统计热力学 统计热力学： 基础：微观粒子普遍遵循的（量子）力学定律 对象：大量粒子所构成的体系的微观运动状态 工具：统计力学原理 目的：大量粒子某一性质的微观统计平均的结果（值）与系统的热力学宏观性质相关联。 7.1概述 统计热力学是宏观热力学与量子化学相关联的桥梁。通过系统粒子的微观性质（分子质量、分子几何构型、分子内及分子间作用力等），利用分子的配分函数计算系统的宏观
性质。 微观运动状态有多种描述方法： 经典力学方法是用粒子的空间位置（三维坐标）和表示能量的动量（三维动量）描述； 量子力学用代表能量的能级和波函数描述。 由于统计热力学研究的是热力学平衡系统，不考虑粒子在空间的速率分布，只考虑粒子的能量分布。这样，宏观状态和微观状态的关联就转化为一种能级分布（宏观状态）与多少微观状态相对应的问题，即几率问题。 Boltzmann给出了宏观性质—熵(S)与微观性质—热力学几率(Ω)之间的定量关系：=Ω。 S k ln 热力学平衡系统熵值最大，但是通过概率理论计算一个平衡系统的无法做到，也没有必要。因为在一个热力学平衡系统中，存在一个微观状态数最大的分布（最概然分布），摘取最大项法及其原理可以证明，最概然分布即是平衡分布，可以用最概然分布代替一切分布。因此，有了数学上完全容许的ln ln W D,max。 所以，S=k ln W D,max 这样，求所有分布的微观状态数—热力学几率的问题转化为求一种分布—最概然分布的微观状态数的问题。 波尔兹曼分布就是一种最概然分布，该分布公式中包含重要概念—配分函数。用波尔兹曼分布求任何宏观状态函数时，最后都转化为宏观状态函数与配分函数之间的定量关系。
第七章、统计热力学基础习题和答案
统计热力学基础 一、 选择题 1. 下面有关统计热力学的描述，正确的是： ( ) A. 统计热力学研究的是大量分子的微观平衡体系 B. 统计热力学研究的是大量分子的宏观平衡体系 C. 统计热力学是热力学的理论基础 D. 统计热力学和热力学是相互独立互不相关的两门学科 B 2.在研究 N 、 V 、U 有确定值的粒子体系的统计分布时，令∑ ni = N ，∑ ni εi = U ， 这是因为所研究的体系是： ( ) A. 体系是封闭的，粒子是独立的 B 体系是孤立的，粒子是相依的 C. 体系是孤立的，粒子是独立的 D. 体系是封闭的，粒子是相依的 C 3.假定某种分子的许可能级是 0、 ε、2ε 和 3ε ，简并度分别为 1、 1、 2、 3 这样的分子构成的定域体系，其总能量为 3ε 时，体系的微观状态数为： ( 四个 ) A. 40 B. 24 C. 20 D. 28 A 4. 使用麦克斯韦 -波尔兹曼分布定律，要求粒子数N 很大，这是因为在推出该定律 时： () . 假定粒子 是可别的 B. 应用了斯特林近似公式 C. 忽略了粒子之间的相互作用 D. 应用拉氏待定乘因子法 A 5.对于玻尔兹曼分布定律 ni =(N/q) ·gi ·exp( -ε i /kT) 的说法： (1) n i 是 第 i 能级上的 粒子分布数 ; (2) 随着能级升高， εi 增大，ni 总是减少的 ; (3) 它只适用于可区分的独 立粒子体系 ; (4) 它适用于任何的大量粒子体系其中正确的是： ( ) A. (1)(3) B. (3)(4) C. (1)(2) D . (2)(4) C 6.对于分布在某一能级 εi 上的粒子数 ni ，下列说法中正确是： ( ) A. n i 与能级的简并度无关 B. ε i 值越小， i 值就越大 D.任何分布的 ni n C. n i 称为一种分布 都可以用波尔兹曼分布公式求出 B 7. 15．在已知温度 T 时，某种粒子的能级 εj = 2εi ，简并度 gi = 2gj ，则 ε j 和εi 上 分布的粒子数之比为： () A. 0.5exp( j /2kT)ε B. 2exp(- ε/2kT) j C. 0.5exp( -εj/kT) D. 2exp( 2 j /kT)ε C 2 的振动特征温度 Θv = 307K ，相邻两振动能级上粒子数之 n(v + 1)/n(v) = 1/2 的温度 8. I 是： () A. 306 K B. 443 K C. 760 K D. 556 K B 9.下面哪组热力学性质的配分函数表达式与体系中粒子的可别与否无关： () A. S 、G 、F 、Cv B. U 、 H 、 P 、C v C. G 、F 、H 、U D. S 、U 、H 、 G B 10. 分子运动的振动特征温度 Θ v 是物质的重要性质之一，下列正确的说法是：
第七章热力学基础
第七部分热力学基础 §7-1 热力学第一定律 【基本内容】 一、热力学系统与热力学过程 热力学系统分类： 孤立系统：与外界没有任何相互作用的系统。 封闭系统：与外界没有物质交换，但有能量交换的系统。 开放系统：与外界即有物质交换又有能量交换的系统。 准静态过程（平衡过程）：在热力学过程中的所有中间状态都无限接近于平衡态的过程。实际过程中， 进行得无限缓慢的过程，可视为准静态过程；反之，若过程进行较快，则视为非准静态过程。 二、热量、内能、功 1、热能和热量 热能：是系统内分子无规则运动的总动能，是状态量。 热量Q ：是热能的改变量，是过程量。 规定：Q>0表示系统从外界吸收热量。Q ?0表示系统向外界放出热量。 3、功 ? = 2 1 V V PdV W 功是过程量，在P —V 图下的意义：? ==V V PdV W 1 P —V 图中，相应过程曲线下的面积。 4、系统状态变化的原因 作功：是通过物体的宏观位移完成的，宏观有序能量→微观无序能量。 传热：是通过分子之间的相互完成的，微观无序能量→微观无序能量。 三、热力学第一定律 表述一、系统从外吸收的热量等于系统内能的增量与系统对外作功之和。 dW dE dQ W E E Q +=+-=12
表述二、第一类永动机是不可能制成的。 第一类永动机是不消耗任何形式的能量（Q=0），而能循环地（ΔE=0）对外作功（W>0）的机器。 四、热容量 1、热容量 热容量C / 的定义：一个系统所吸收的热量与温升的比值，称为该系统的热容量。 dT dQ C = / 单位：J/K （1）比热：若系统的质量为单位质量，则称系统的热量为比热容，简称比热。 dT dQ M c 1= 单位：J/Kg.K ，显然：Mc C =/ （2）摩尔热容量：若系统的质量为一摩尔，则称系统的热量为摩尔热容量 。 dT dQ C ν1= 单位：J/mol.K ，显然：C C ν=/ 2、理想气体的定容、定压摩尔热容 （1）定容摩尔热容量 定义：dT dQ C V V )(1ν=，对理想气体：R i C V 2= （2）定压摩尔热量 定义：dT dQ C P P )(1ν=，对理想气体：R C C V P += （3）比热比：i i C C V P +==2γ 3、几个重要公式： dT C dQ dT C dE V V V νν==)( 1、 （1
第7章 热力学基础答案
第7章 热力学基础 7.16 一摩尔单原子理想气体从270C 开始加热至770C （1）容积保持不变；（2）压强保持不变； 问这两过程中各吸收了多少热量？增加了多少内能？对外做了多少功？(摩尔热容 11,11,78.20,46.12----?=?=K mol J C K mol J C m P m V ) 解（１）是等体过程，对外做功A ＝０。J T C U Q m V 623)2777(46.12,=-?=?=?= （２）是等压过程，吸收的热量J T C Q m p 1039)2777(78.20,=-?=?= J T C U m V 623)2777(46.12,=-?=?=? J U Q A 4166231039=-=?-= 7.17 一系统由如图所示的a 状态沿acb 到达状态b ，有334J 热量传入系统，而系统做功126J 。 （1）若沿adb 时系统做功42J ，问有多少热量传入系统？ （2）当系统由状态b 沿曲线ba 返回态a 时，外界对系统做功84J ， 试问系统是吸热还是放热？传递热量是多少？ （3）若态d 与态a 内能之差为167J ，试问沿ad 及db 各自吸收的热量是多少？ 解：已知J A J Q acb acb 126.334== 据热力学第一定律得内能 增量为 J A Q U acb acb ab 208126334=-=-=? (1) 沿曲线adb 过程，系统吸收的热量 J A U Q adb ab adb 25042208=+=+?= (2) 沿曲线ba J A U A U Q ba ab ba ba ba 292)84(208-=-+-=+?-=+?=, 即系统放热292J (3) J A A A adb ad db 420 === J A U Q ad ad ad 20942167=+=+?= J U U A U Q ad ab db db db 41167208=-=?-?=+?=，即在db 过程中吸热41J. 7.18 8g 氧在温度为270C 时体积为34101.4m -?，试计算下列各情形中气体所做的功。 （1）气体绝热地膨胀到33101.4m -?； （2）气体等温地膨胀到33101.4m -?； 再等容地冷却到温度等于绝热膨胀最后所达到的温 7.17题示图
大学物理各章练习题：第七章 热力学基础
第七章 热力学基础 7-1 假设火箭中的气体为单原子理想气体，温度为2000 K ，当气体离开喷口时，温度为1000 K ，（1）设气体原子质量为4个原子质量单位，求气体分子原来的方均根速率2v ．已知一个原子质量单位=1.6605×10-27 kg ；（2）假设气体离开喷口时的流速（即分子定向运动速度）大小相等，均沿同一方向，求这速度的大小，已知气体总的能量不变． 分析 气体动理论的能量公式表明，气体的温度是气体分子平均平动动能的量度．当气体的内能转化为定向运动的动能时，即表现为平均平动动能的减少，也就是温度的降低． 解 （1）由气体动理论的能量公式kT m 2 3 212=v ，得 m/s 3530.7m/s 106605.142000 1038.13327 232 =?????== --m kT v （2）气体总的能量不变，气体内能的减少应等于定向运动动能的增量，就气体分子而言，即分子的平均平动动能的减少应等于定向运动动能的增量．若分子定向运动速度为d v ，则有 212 d 2 32321kT kT m -=v m/s 2496.6m/s 106605.14) 10002000(1038.13)(327 2321d =??-???=-=--m T T k v 7-2 单原子理想气体从状态a 经过程abcd 到状态d ，如图7-2所示．已知 Pa 10013.15?==d a p p ，Pa 10026.25?==c b p p ，L 1=a V ，L 5.1=b V ，L 3=c V ， （1）试计算气体在abcd 过程中作的功，内能的变化和吸收的热量；（2）如果气 体从状态d 保持压强不变到a 状态，如图中虚线所示，问以上三项计算变成多少？（3）若过程沿曲线从a 到c 状态，已知该过程吸热257 cal ，求该过程中气体所作的功． 分析 理想气体从体积1V 膨胀到体积2V 的过程中所作的功为?2 1d )(V V V V p ，其量值为V p -图上 过程曲线下的面积．如果过程曲线下是规则的几何图形，通常可以直接计算面积获得该过程中气体所作的功． 解 （1）气体在abcd 过程中作的功应等于过程曲线下的面积，得 Pa 531.8 Pa 10)5.13(1001312 1 103100131 353514=?+???+???=+=--..S S W adcb da abcd 图7-2
第七章 统计热力学基础.(试题及答案)
第七章统计热力学基础 统计热力学：研究微观粒子运动规律与热力学宏观性质（体系中 大量微观粒子行为的统计结果或总体表现）之间联 系的科学。因为在研究中运用了普遍的力学运动定 律，也称“统计力学”。 Boltzmann 统计：适用粒子间相互作用可以忽略的体系经典统计 Gibbs统计：考虑粒子间的相互作用 统计方法 Bose-Einstein统计 量子统计 Fermi-Dirac统计 这里只介绍Boltzmann 统计方法。
§7.1 基本概念 （1）统计物系分类 1、独立子物系与相依子物系 独立子物系：粒子的相互作用可以忽略的物系，也称“独立子系”， 如理想气体。 内能：∑==N j j U 1ε N — 物系中粒子的个数 j ε — 第j 个粒子的各种运动能 相依子物系：粒子的相互作用不能忽略的物系，也称“非独立子 系”，如真实气体、液体。 内能：p N j j U U +∑==1ε P U — 粒子相互作用的总位能 注意：以上是根据粒子的相互作用情况不同来划分粒子物系。 2、离域子物系与定域子物系 离域子物系：粒子运动状态混乱，无固定位置，也称“等同粒子 物系”。由于各粒子彼此无法分辨，可视为“等同”。理想气体可视为“独立离域子物系”。
定域子物系：粒子运动定域化的物系，也称“可别粒子物系”， 因为粒子由于定域而可分辨。如晶体中的各粒子是在固定的点阵点附近振动，可以认为晶体就是“定域子物系”。 若将晶体中各粒子看成彼此独立作简谐运动，则晶 体就属于“独立定域子物系”。 注意：以上是根据粒子运动情况不同来划分粒子物系。 （2）粒子的运动形式及能级公式 1、粒子的运动形式（分子视为粒子） 分子整体在空间的移动（称平动） 分子围绕通过质心的轴的转动 粒子运动 原子在平衡位置附近的振动 原子内部的电子运动 原子内部的核运动等等 假定粒子只有以上五种运动形式，且彼此独立，则： 核电振转平εεεεεε++++=j 即：n e v r t j εεεεεε++++=
第七章 统计热力学基础
第七章统计热力学基础
第七章统计热力学基础 统计热力学：研究微观粒子运动规律与热力学宏观性质（体 系中大量微观粒子行为的统计结果或总体表 现）之间联系的科学。因为在研究中运用了普 遍的力学运动定律，也称“统计力学”。 Boltzmann 统计：适用粒子间相互作用可以忽略的体系经典统计 Gibbs统计：考虑粒子间的相互作用 统计方法 Bose-Einstein统计 量子统计 Fermi-Dirac统计 这里只介绍Boltzmann 统计方法。
§7.1 基本概念 （1）统计物系分类 1、独立子物系与相依子物系 独立子物系：粒子的相互作用可以忽略的物系，也称“独立 子系”，如理想气体。 内能：∑==N j j U 1ε N — 物系中粒子的个数 j ε — 第j 个粒子的各种运动能 相依子物系：粒子的相互作用不能忽略的物系，也称“非独 立子系”，如真实气体、液体。 内能：p N j j U U +∑==1ε P U — 粒子相互作用的总位能 注意：以上是根据粒子的相互作用情况不同来划分粒子物系。 2、离域子物系与定域子物系 离域子物系：粒子运动状态混乱，无固定位置，也称“等同粒子 物系”。由于各粒子彼此无法分辨，可视为“等同”。理想气体可视为“独立离域子物系”。
定域子物系：粒子运动定域化的物系，也称“可别粒子物系”， 因为粒子由于定域而可分辨。如晶体中的各粒子是在固定的点阵点附近振动，可以认为晶体就是“定域子物系”。 若将晶体中各粒子看成彼此独立作简谐运动，则晶 体就属于“独立定域子物系”。 注意：以上是根据粒子运动情况不同来划分粒子物系。 （2）粒子的运动形式及能级公式 1、粒子的运动形式（分子视为粒子） 分子整体在空间的移动（称平动） 分子围绕通过质心的轴的转动 粒子运动 原子在平衡位置附近的振动 原子内部的电子运动 原子内部的核运动等等 假定粒子只有以上五种运动形式，且彼此独立，则： 核电振转平εεεεεε++++=j 即：n e v r t j εεεεεε++++=
10-热力学基础习题解答讲课教案
10-热力学基础习题 解答
本 章 要 点 1．体积功 2 1d V V W p V =? 2．热力学第一定律 21Q E E W E W =-+=?+ d d d Q E W =+ 3. 气体的摩尔热容 定容摩尔热容 2 V i C R = 定压摩尔热容 (1)2P i C R =+ 迈耶公式 C P =R+C V 4．循环过程 热机效率 211 1Q W Q Q η= =- 制冷系数 2212 Q T e W T T = =- 5. 卡诺循环 卡诺热机效率 2111T W Q T η= =- 卡诺制冷机制冷系数 22 12 Q T e W T T = =- 6. 热力学第二定律定性表述：开尔文表述、克劳修斯表述；热力学第二定律的统计意义； 7. 熵与熵增原理 S=klnW 1 2ln W W k S =?≥0 2 211 d ( )Q S S S T ?=-= ? 可逆 习题10 一、选择题 1.B 2.C 3.B 4.C 5.B 6.B 7.C 8.B 9.C 10. A 二、填空题 1. 15J 2. 2/5 3. 41.610J ? 4. ||1W -； ||2W -
5. 124.7 J ；-84.3 J 6. 500 ；700 7. W /R ； W 2 7 8. 1123 V p ；0 9. 22+i ; 2 +i i 10. 8.31 J ; 29.09 J 三、计算题 1. -700J 2. （1）T C =100 K; T B = 300 K ． (2) 400J AB W =; W BC = -200 J; W CA =0 (3)循环中气体总吸热 Q = 200 J ． 3. (1) W da =－5.065×103J ; (2) ΔE ab =3.039×104 J ； (3) 净功 W = 5.47×103 J ； (4)η= 13％ 4. （1）10%η= ；（2）4310bc W J =? 习题10 一 选择题 1. 1摩尔氧气和1摩尔水蒸气（均视为刚性分子理想气体），在体积不变的情况下吸收相等的热量，则它们的： （A ）温度升高相同，压强增加相同。 （B ）温度升高不同，压强增加不同。 （C ）温度升高相同，压强增加不同。 （D ）温度升高不同，压强增加相同 。 [ ] 2. 一定量理想气体，从状态A 开始，分别经历等压、等温、绝热三种过程 （AB 、AC 、AD ），其容积由V 1都膨胀到2V 1，其中 。 (A) 气体内能增加的是等压过程，气体内能减少的的是等温过程。 (B) 气体内能增加的是绝热过程，气体内能减少的的是等压过程。