运筹学 (1)
期末考试《运筹学》B 卷
一、单项选择题（在下列每题的四个选项中，只有一个选项是符合试题要求的。请把答案填入答题框中相应的题号下。每小题2分，共20分） 1．单纯形迭代中，出基变量在紧接着的下一次迭代中（ ）立即进基。 A ．会 B ．不会 C ．有可能 D ．不一定
2．线性规划的约束条件为 X 1 + X 2 + X 3 = 3 ，2X 1+ 2X 2+ X 4= 4，X i ≥0（i=1-4）,则基本可行解是（ ）
A ．（0，0，4， 3）
B ．（0，0，3，4）
C ．（2，1，0，-2）
D ．（3，0，0，-2）
3．普通单纯形法的最小比值定理的应用是为了保证（ ） A ．使原问题保持可行 B ．使对偶问题保持可行 C ．逐步消除原问题不可行性 D ．逐步消除对偶问题的不可行性 4. 原问题与对偶问题都有可行解，则有（ ） A ．原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解
B ．原问题与对偶问题可能都没有最优解
C ．可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解
D ．原问题与对偶问题都具有最优解
5. 求解整数规划问题的分支定界法中，有（ ） A ．最大值问题的目标值是各分支的上界 B ．最大值问题的目标值是各分支的下界
C ．最小值问题的目标值是各分支的上界
D ．以上结论都不对
6．在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目 （ ） A ．等于 m+n B ．等于m+n-1 C ．小于m+n-1 D ．大于m+n-1
7．若运输问题的单位运价表的某一行元素分别加上一个常数k ，最优调运方案将（ ）。
A ．发生变化
B ．不发生变化
C ．A 、B 都有可能 D. 都不对 8．在产销平衡运输问题中，设产地为m 个，销地为n 个，那么解中非零
变量的个数（ ）。
A ．不能大于(m+n-1)
B ．不能小于(m+n-1)
C ．等于(m+n-1)
D ．不确定
9．在运输问题中，每次迭代时，如果有某非基变量的检验数等于零，则该运输问题（ ）。
A ．无最优解
B ．有无穷最优解
C ．有唯一最优解
D ．出现退化解 10．动态规划问题中最优策略具有性质：（ ）。
A ．每个阶段的决策都是最优的
B ．当前阶段以前的各阶段决策是最优的
C ．无论初始状态与初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策应构成最优策略
D ．它与初始状态无关
二、判断题（每题1分,共10分）
1．图解法提供求解线性规划问题的通用方法。 ( ) 2．用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函数求最小值时，若所有的
检验数Cj-Zj ≥0，则问题达到最优。 ( ) 3．在单纯形表中，基变量对应的系数矩阵往往为单位矩阵。 ( ) 4．满足线性规划问题所有约束条件的解称为基本可行解。 ( ) 5．在线性规划问题求解过程中，基变量和非基变量个数是固定的。（ ) 6．对偶问题的目标函数总是与原问题目标函数相等。 ( ) 7．原问题与对偶问题一一对应。 ( ) 8． 运输问题可行解中基变量个数一定遵循m ＋n －1规则。 ( ) 9．指派问题的解中基变量的个数为m ＋n 。 ( ) 10．网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权和最小的路线。 ( )
三、填空题（每空1分,共10分）
Consider the following problem Maximize Z=6x 1+x 2+2x 3
Let x 4, x 5, and x 6 denote apply the simplex method, the slack variables for the respective constraints. After you a portion of the final simplex tableau is as follows:
Use the fundamental insight to identify the missing numbers in the final
simplex tableau.
四、建模题（每题15分,共15分）
福安商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析如下表所示，为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问该如何安排售货人员的休息，既满足了工作需要，又使配备的售货人员的人数最少，请列出此问题的数学模型。
时间 所需售货人员数
时间 所需售货人员数
星期一 28 星期五 19 星期二 15 星期六 3l 星期三 24 星期日 28 星期四
25
得 分 评卷人
得 分
评卷人
五、计算题（每题15分,共45分）
1．Three research teams are currently trying three different approaches for solving the problem that fly safely to Mars. The estimate has been made that the probability that the respective teams—call them 1, 2, and 3—will not succeed is 0.40, 0.60, and 0.80, respectively. Because two more top scientists have been assigned to the project. Table gives the estimated probability that the respective teams will fail when 0, 1, or 2 additional scientists are added to that team. The problem is to determine how to allocate the two additional scientists to minimize the probability that all
three teams will fail.
运筹学1
班级姓名学号 一、选择题（每题1分，共8分） 1、线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（）上找到 A．内点B．外点 C．顶点D．几何点 2、下列哪一种方法是运输问题表上作业法中求初始基本可行解的方法（）A．西北角法B．差值法 C．闭回路法D．位势法 3、满足线性规划问题全部约束条件的解称为（） A．最优解B．基本可行解 C．无界解D．多重解 4、下述选项中不属于订货费用的支出是( ) A.采购人员的工资 B.采购存货台套或存货单元时发生的运输费用 C.向驻在外地的采购机构发电报、发传真采购单的费用 D.采购机构向供应方付款及结账的费用 5、从教材列举的实例中可以归纳出求最短路线问题应从( )开始推算。 A.终点 B.起点 C.中间点 D.终点和起点 6、只有一部分变量限制为整数的线性规划称为（） A．混合整数规划B．局部整数规划 C．部分整数规划D．0—1规划正确答案： 7、线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是（） A．正数B．非负数 C．无约束D．非零的 8、化一般规划模型为标准型时，可能引入的变量有（） A．松弛变量B．多余变量 C．自由变量D．非正变量 二、名词解释（每题3分，共9分） 1、灵敏度分析 2、连通图
3、可行域 三、简答题（共12分） 某公司受委托，准备把120万元投资基金A和B，其中基金A 的单位投资额为50元，年回报率为10%，基金B的单位投资额为100元，年回报率为4%，委托人要求在每年的年回报金额至少达到6万元的基础上投资风险最少，据测定，单位基金A的投资风险指数为8，单位基金B的投资风险指数为3，风险指数越大表明投资风险越大，委托人要求至少在基金B中的投资额不少于30万。 问：为了使总的投资风险指数最小，该公司应该在基金A和B中各投资多少？这时每年的回报金额多少？ 现设x1为购买基金A的数量，x2为购买基金B的数量，可以建立下面的线性规划模型： Min f =8 x1+3 x2 约束条件： 5 0x1+100 x2≤1200000 5 x1+4 x2≥60000 100 x2≥300000 x1，x2≥0 使用“管理运筹学软件”求的计算机解如下图所示：
运筹学作业王程
运筹学作业 王程 信管1302 130404026
目录 运筹学作业 (1) 第一章线性规划及单纯形法 (3) 第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析 (24) 第三章运输问题 (53) 第四章目标规划 (63) 第五章整数规划 (73) 第六章非线性规划 (85) 第七章动态规划 (94) 第八章图与网络分析 (97) 第九章网络计划 (99)
第一章 线性规划及单纯形法 1.1分别用图解法和单纯形法求下列线性规划问题，⑴指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解；⑵当具有限最优解时，指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。 12 1212121min 23466 s.t.324,0z x x x x x x x x =++≥??+≥??≥?（） 12 12121,22max 3222 s.t.34120z x x x x x x x x =++≤?? +≥??≥? （） 12 1212123max 105349 s.t.528 ,0 z x x x x x x x x =++≤?? +≤??≥?（） 12 1212124max 5622 s.t.232,0 z x x x x x x x x =+-≥??-+≤??≥?（） 解：⑴图解法： 当212133 x x z = -经过点61 55（，）时，z 最小，且有无穷多个最优解。 ⑵图解法：
1 x 该问题无可行解。 ⑶图解法： 当21125 x x z =-+经过点3 12（，）时，z 取得唯一最优解。 单纯形法： 在上述问题的约束条件中分别加入松弛变量34,x x ， 化为标准型：
运筹学大作业
大连科技学院运筹学(Z)大作业LINGO软件在函数最大值中的运用 学院名称 专业班级 学生组号 学生姓名 指导教师 二〇一八年五月
实验LINGO软件在函数最大值中的运用 大作业目的 掌握LINGO软件求解函数最大值的基本步骤，了解LINGO软件解决函数最大值的基本原理，熟悉常用的函数最大值计算代码，理解函数最大值的迭代关系。 仪器、设备或软件 电脑，LINGO软件 大作业内容 1．LINGO软件求解函数最大值的基本原理； 2．编写并调试LINGO软件求解函数最大值的计算代码； 实施步骤 1．使用LINGO计算并求解函数最大值问题； 2．写出实验报告，并浅谈学习心得体会(选址问题的基本求解思路与方法及求解过程中出现的问题及解决方法)。 实施过程 有一艘货轮，分为前、中、后三个舱位，它们的容积与允许载重量如下表所示。现有三种商品待运，已知有关数据列于下表中。又为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。具体要求前、后舱分别与中舱之间的载重量比例偏差不超过15%，前、后舱之间不超过10%。问货轮应装载A、B、C各多少件，运费收入为最大？试建立这个问题的线性规 首先分析问题，建立数学模型： 确定决策变量 假设i=1,2,3分别代表商品A、B、C，8用j=1,2,3分别代表前、中、后舱，设决策变量x ij为装于j舱位的第i种商品的数量（件）。 确定目标函数
商品A 的件数为： 商品B 的件数为： 商品A 的件数为： 为使运费最高，目标函数为： 确定约束条件 前、中、后舱位载重限制为： 前、中、后舱位体积限制为： A 、 B 、 C 三种商品数量的限制条件： 各舱最大允许载重量的比例关系构成的约束条件： 且决策变量要求非负，即x ij ≥0,i=1,2,3；j=1,2,3。 综上所述，此问题的线性规划数学模型为： 111213x x x ++212223x x x ++313233x x x ++()()()111213212223313233 1000700600Max Z x x x x x x x x x =++++++++112131122232132333865200086530008651500 x x x x x x x x x ++≤++≤++≤112131122232132333105740001057540010571500 x x x x x x x x x ++≤++≤++≤1112132122233132336001000800 x x x x x x x x x ++≤++≤++≤1121311222321323331222321121311323338x 6x 5x 2 2(10.15)(1+0.15)38x 6x 5x 3 8x 6x 5x 11(10.15)(1+0.15)28x 6x 5x 2 8x 6x 5x 4 4(10.10)(1+0.10)38x 6x 5x 3++-≤≤++++-≤≤++++-≤≤++()()() 111213212223313233112131122232132333112131122232132333 1000700600865200086530008651500105740001057540010571500 Max Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++++≤++≤++≤++≤++≤++≤
运筹学1
运筹学》期末试卷（B）参考答案 一、单选题(共10分，每小题 1 分,将你认为正确的选择填入下表的相应空格中) 1、长度分别为20，12，30，8分钟的四段乐曲A,B,C,D，存入一盒磁带，使平均收听每段乐曲时间最短的次序是 (1) 。 A. D,B,A,C B. B,D,C,A C. A,B,C,D D. D,C,B,A 2、线性规划问题：Min S = 6x 1+4x 2 ,两个不等式约束是：2x 1 +x 2 ≥1, 3x 1 +4x 2 ≥3, 两个决策变量都有非负约束的最优解是 (2) 。 A.x 1=-1,x 2 =3 B. x 1 =0.5, x 2 =0 C. x 1 =0 , x 2 =1 D. x 1 =0.2, x 2 =0.6 3、“OR”是 (3) 的缩写。 A.线性规划 B.运筹学 C.对策论 D.开放系统研究所 4、下列关于图的最短路(SP)问题的以下叙述中 (4) 是错误的。 A.SP一定存在 B.SP一定唯一的 C. SP上无圈 D.SP可能有一条以上 5、在最短路问题中，为了求出某结点到终点的最短路，必须知道它可直接到达的（5）的最短路 A、下一个结点到终点 B、所有的结点到终点 C、上一个结点到起点 D、所有的结点到起点 6、求一个带权连通图的最小生成树的常用方法有普莱姆算法和 (6) 算法。 A. 单纯形 B.丹希格 C.避圈 D.欧拉
7、对产量大于销量的运输问题，以下关于虚设销地的说法不正确的是 (7) 。 A.可以虚设一个销地来求解 B.它的销量=总产量-总销量 C.它和某一个产地的单位运价可能为正 D.它和任一个产地的单位运价为0 8、一个有p个节点,q条边的带权连通图的最小生成树为T,T有 (8) 条边。 A.p B.p-1 C.p-1 D.q+1 9、“线性规划”问题要求： (9) 是线性的。 A.目标函数 B.约束 C.约束、目标函数都 D.决策变量 10、我国 (10) 代著名的“丁渭修皇宫”和“沈括运粮”都是体现我国古代朴素运筹思想的范例。 A.唐 B.明 C.清 D.宋 二、判断题(共10分，每小题1分，选择“√”或“×”填入下表的相应空格中) 1、单纯形法解线性规划问题时值为0的变量未必是非基变量。 2、所有决策变量都有非负约束的线性规划问题的最优值Min Z≥0。 3、产销平衡而且产销量都是非负整数的运输问题中用最小元素法求出的初始基可行解未必是整数解。 4、最短路问题中如各边的长的最小值为M，边长为M的边有2条，则最短路中必含这两条。 5、决策变量都有非负约束的线性规划问题的对偶规划的约束一定都是“≤”的。
运筹学作业汇总
作业一： （1） Minf(X)=x 12+x 22+8 x 12-x 2≤0 -x 1- x 22+2=0 x 1, x 2≥0 解：该非线性规划转化为标准型为： Minf(X)=x 12+x 22+8 g 1(X)= x 2- x 12≥0 g 2(X)= -x 1- x 22+2≥0 g 3(X)= x 1+x 22-2≥0 g 4(X)= x 1≥0 g 5(X)= x 2≥0 f(X)， g 1 2 0 ∣H ∣= = =4>0 0 2 -2 0 ∣g 1∣= = =0≥0 0 0 0 0 ∣g 2∣= = =0 x 2 2 x 1x 2 x 1x 2 x 12 2f(X) 2 f(X) 2f(X) 2f(X) x 22 x 1x 2 x 1x 2 x 12 2g 1(X) 2g 1(X) 2 g 1(X) 2 g 1(X) x 22 x 1x 2 x 1x 2 x 12 2 g 2(X) 2g 2(X) 2g 2(X) 2g 2(X)
0-2 设数（0<<1），令C(x)=x2，指定任意两点a和b，则 C(a+(1-)b)= 2a2+(1-)2b2+2(1-)ab (1) C(a)+(1-)C(b)= a2+(1-)b2 (2) 于是C(a+(1-)b)- (C(a)+(1-)C(b))=a2(2-)-b2(1-)+2(1-)ab =(2-)(a-b)2≤0 所以C(a+(1-)b)≤C(a)+(1-)C(b) 故C(x)=x2为凸函数，从而g3(X)=x1+x22-2为凸函数。 从而可知f(X)为严格凸函数，约束条件g3(X)为凸函数，所以该非线性规划不是凸规划。 （2）Minf(X)=2x12+x22+x32-x1x2 x12+x22≤4 5 x1+ x3=10 x1, x2, x3≥0 解：该非线性规划转化为标准型为： Minf(X)=2x12+x22+x32-x1x2 g1(X)=4- x12-x22≥0 g2(X)= 5 x1+ x3-10=0 g3(X)= x1≥0 g4(X)=X2≥0
浙大远程运筹学作业
《运筹学》作业 第2章 1．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润， 产品利润=40X+50Y 约束条件： X+2Y<=30 3X+2Y<=60 2Y<=24 X,Y>=0 用图解法得出安排生产产品1为15件，产品2为7.5件时工厂的获利最多，最大利润为975。 2．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的两种原材料的消耗和人员需要及所获的利润，如下表所示。问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解 产品利润=300X+500Y 约束条件： X<=4 2Y<=12 3X+2Y<=24 X,Y>=0 用图解法得出，该公司安排生产产品1为4件，产品2为6件时该工厂获利最大，最大利润为4200。 3. 下表是一个线性规划模型的敏感性报告，根据其结果，回答下列问题： 1）是否愿意付出11元的加班费，让工人加班； 答：不愿意付出11元加班费让工人加班。 2）如果工人的劳动时间变为402小时，日利润怎样变化？ 答：日利润增加2×8=16
3）如果第二种家具的单位利润增加5元，生产计划如何变化？ 答：因为允许的增加量是10，所以生产计划不变 Microsoft Excel 9.0 敏感性报告 工作表 [ex2-6.xls]Sheet1 报告的建立: 2001-8-6 11:04:02 可变单元 格 终递减目标式允许的允许的单元格名字值成本系数增量减量 $B$15 日产量（件）100 20 60 1E+30 20 $C$15 日产量（件）80 0 20 10 2.5 $D$15 日产量（件）40 0 40 20 5.0 $E$15 日产量（件）0 -2.0 30 2.0 1E+30 约束 终阴影约束允许的允许的单元格名字值价格限制值增量减量 $G$6 劳动时间（小时/件）400 8 400 25 100 $G$7 木材（单位/件）600 4 600 200 50 $G$8 玻璃（单位/件）800 0 1000 1E+30 200 4某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如 解：设生产产品1为X件，生产产品2为Y件时，工厂获利最多 产品利润=25X+10Y 约束条件： 0.6X+0.5Y<=12000 0.4X+0.1Y<=4000 0.4Y<=6000 X，Y>=0
运筹学1
《运筹学参考综合习题》 （我站搜集信息自编，非南邮综合练习题，仅供参考） 资料加工、整理人——杨峰（函授总站高级讲师） 可能出现的考试方式（题型） 第一部分填空题（考试中可能有5个小题，每小题2分，共10分） ——考查知识点：几个基本、重要的概念 第二部分分步设问题（即是我们平常说的“大题”，共90分） ——参考范围： 1、考两变量线性规划问题的图解法（目标函数为max z和min z的各1题） 2、考线性规划问题的单纯形解法（可能2个题目：①给出问题，要求建立线性规划模型，再用单纯形迭代表求解；②考查对偶问题，要求写出原问题的线性规划模型之后写出其对偶问题的线性规划模型，然后用大M法求解其对偶问题，从而也得到原问题的最优解） 3、必考任务分配（即工作指派）问题，用匈牙利法求解。 4、考最短路问题（如果是“动态规划”的类型，则用图上标号法；如果是网络分析的类型，用TP标号法，注意不要混淆） 5、考寻求网络最大流（用寻求网络最大流的标号法） 6、考存储论中的“报童问题”（用概率论算法模型解决） ——未知是否必考的范围： 1、运输规划问题（用表上作业法，包括先求初始方案的最小元素法和将初始方案调整至最优的表上闭回路法）； 2、求某图的最小生成树（用破圈法，非常简单） ※考试提示：可带计算器，另外建议带上铅笔、直尺、橡皮，方便绘图或分析。
第一部分 填空题复习参考 一、线性规划部分： ㈠基本概念：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。 定义：达到目标的可行解为最优解。 由图解法得到的三个结论：①线性规划模型的可行解域是凸集； ②如果线性规划模型有唯一的最优解的话，则最优解一定是凸集（可行解域）的角顶； ③任何一个凸集，其角顶个数是有限的。 ㈡有关运输规划问题的概念：设有m 个产地A i （i=1，2，…，m ），n 个销地B j （j=1，2，…，n ）, A i 产量（供应量）S i ，B j 销量（需求量）d i ，若产、销平衡， 则：∑∑=== n j j m i i d s 1 1 二、网络分析中的一些常用名词： 定义：无方向的边称为边；有方向的边称为弧。 定义：赋“权”图称为网络。 定义：有向图中，若链中每一条弧的走向一致，如此的链称为路。闭链称为圈。闭回路又称为回路。 定义：在图G 中任两点间均可找到一条链，则称此图为连通图。无重复边与自环的图称为连通图。 定义：树是无圈的连通图。 树的基本性质：①树的任两点之间有且只有一条链； ②若图的任两点之间有且只有一条链，则此图必为树；
运筹学作业3(第二章部分习题)答案
运筹学作业2（第二章部分习题）答案 2．4 给出线性规划问题 123412341234min 2356232.. 2330,1,2,3,4 j z x x x x x x x x s t x x x x x j =+++?+++≥? -+-+≤-??≥=? （1）写出其对偶问题；（2）用图解法解对偶问题；（3）利用（2）的结果及根据对偶问 题性质写出原问题的最优解。 解：（1）原问题的对偶问题为： 12 12121212 12max 2322 23.. 35 36 0,0 w y y y y y y s t y y y y y y =--≤??+≤?? -≤??+≤??≥≤? 或者等价变形为： 12 12121212 12max 232223..3536 0,0 w y y y y y y s t y y y y y y =++≤??-≤?? +≤??-≤??≥≥? （2）用图解法求解对偶问题 12 12121212 max 2322 23.. 3536 w y y y y y y s t y y y y =++≤??-≤?? +≤??-≤ 如图示，可行区域为四边形OABC ，最优顶点为B 点，即(1.6,0.2)y * =， 3.8w * =
（3）利用互补松紧定理及（2）的结果求解原问题： 设原问题的最优解为( )1 23 4x x x x x ** ***=。 由于121.60, 0.20y y * * =>=>，故在最优解()12 3 4x x x x x ** * **=处有： 1234 1234232 2330,1,2,3,4j x x x x x x x x x j ******** * ?+++=??-+-+=-??≥=?? 又因对偶问题第4个约束方程为：1.6-0.6=1<6，故40x * =，代入上式得到： 123 123232 230,1,2,3,4j x x x x x x x j ****** * ?++=??-+-=-??≥=?? 原问题有无穷多个最优解。令30x *=得到解为1 1.6x *=，20.2x *= 即()1.60.200x * =， 3.8z * = 2．8题解答见课堂讲解。 2．9 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题： （2） 123 123123123min 524324 .. 63510,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≥?? ++≥??≥? , 解：先将原问题进行标准形化： 1231234123512345max()524324 .. 63510,,,,0 z x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=---++-=?? ++-=??≥? 选45,x x 为基变量，并将问题化为： 1231234123512345max()524324 .. 63510,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=------+=-?? ---+=-??≥? 列表计算如下：
运筹学1
管理运筹学模拟试题一 一 判断下列说法是否正确，并对错误加以改正。（每题2分，合计10分） 1. 图解法可以求解包含5个变量的LP 问题。 2. 当线性规划问题的一个基解满足所有的x i ≤ 0时，称此基解为一个可 行基解。 3. 根据对偶问题的性质，当对偶问题无可行解时，其原问题无最优解。 4. 用表上作业法求解运输问题时，产、销可能不平衡。 5. 输入过程是泊松流，则顾客相继到达的间隔时间服从负指数分布。 二 填空题（每空2分，合计40分） 1. 一个线性规划问题包含一组 变量，一组 条件和一个 函数。 2. 线型规划的系数矩阵B 为m ×n 阶，其基可行解的个数不超过 。 3. 标准LP 问题 的检验数σ＝ 4. 若原问题有有最优解，则其对偶问题是否有最优解 ，若存在最优解，则目标函数值之间存在什么关系 z ω。 5. 对偶单纯形法求解LP 问题，若换入变量x j 所在行的各系数a ij ≥0，则该问题 。 6. 在运输问题中，通常以达到___________或获得___________为目标，来选择最佳运输方案。 7. 为求解需要量大于供应量的运输问题，可虚设一个供应点，该点的供应量等于_____________。 8. 整数规划中如果所有变量都限制为（非负）整数，就称为 。 1 1max ,.. , 0,1,2,,.n j j j n j j j j z c x s t P x b x j n ====≥=∑ ∑
9. 要求恰好达到目标值的目标规划，其目标函数为 。 10. 分支定界法用于求解 和 。 11. 图( ,)G V E =是一个树，则G 中任意两点间 。 12. 排队系统的三个基本组成部分 、 和 。 13. 泊松分布的期望E[N(t)]= 。 三 按要求做出模型，不需计算（每题10分，合计20分） 1．利民服装厂生产男式童装和女式童装。产品的销路很好，但有三种工序即裁剪、缝纫和检验限制了生产的发展。已知制作一件童装需要这三道工序的工时数、预计下个月内各工序所拥有的工时数以及每件童装所提供 该厂生产部经理希望知道下个月内使利润最大的生产计划。试建立该问题的LP 模型。 2. 写出下面线性规划问题的对偶问题：（10分） 123123123123123min z 25,.. 258, 23 3, 4 26, ,,0. x x x s t x x x x x x x x x x x x =++-+≤++=-+≤≥
运筹学大作业 哈工大
课程名称：对偶单纯形法 一、教学目标 在对偶单纯形法的学习过程中，理解和掌握对偶问题；综合运用线性规划和对偶原理知识对对偶单纯形法与单纯形法进行对比分析，了解单纯形法和对偶单纯形法的相同点和不同点，总结出各自的适用范围；掌握对偶单纯形法的求解过程；并能运用对偶单纯形法独立解决一些运筹学问题。 二、教学内容 1) 对偶单纯形法的思想来源(5min) 2) 对偶单纯形法原理(5min) 3) 总结对偶单纯形法的优点及适用情况(5min) 4) 对偶单纯形法的求解过程(10min) 5) 对偶单纯形法例题(15min) 6) 对比分析单纯形法和对偶单纯形法(10min) 三、教学进程： 1）讲述对偶单纯形法思想的来源： 1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法（Dual Simplex Method ）。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。 2）讲述对偶单纯形法的原理 A.对偶问题的基本性质 依照书第58页，我们先介绍一下对偶问题的六个基本性质： 性质一：弱对偶性 性质二：最优性。如果 x j （j=1...n)原问题的可行解，y j 是其对偶问题可 行解，且有 ∑=n j j j x c 1 =∑=m i i i y b 1 ，则x j 是原问题的最优解，y j 是其对偶问题的最
优解。 性质三：无界性。如果原问题（对偶问题）具有无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。 性质四：强对偶性。如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有最优解。 性质五：互补松弛型。在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为零，则该约束条件取严格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。 性质六：线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w. B.对偶单纯形法（参考书p64页） 设某标准形式的线性规划问题，对偶单纯形表中必须有c j -z j ≤0（j=1...n),但b i (i=1...m)的值不一定为正，当对i=1...m ，都有b i ≥0时，表中原问题和对偶问题均为最优解，否则通过变换一个基变量，找出原问题的一个目标函数值较小的相邻的基解。 3）为什么要引入对偶单纯形法 从理论上说原始单纯形法可以解决一切线性规划问题，然而实际问题中，由于考虑问题的角度不同，变量设置的不同，便产生了原问题及其对偶问题，对偶问题是原问题从另外一个角度考虑的结果。用对偶单纯形法求解线性规划问题时，当约束条件为“≥”时，不必引入人工变量，使计算简化。 例如，有一线性规划问题： min ω =12 y 1 +16y 2 +15 y 3 约束条件 ?? ?? ???≥=≥+≥+0)3,2,1(3522 423121 i y y y y y i
运筹学(1)
第一章导论 实践能力考核选例 根据本章学习的内容，结合实际例子，说明在应用运筹学进行决策过程中的六个步骤有哪些？ 答： （1）观察待决策问题所处的环境；（2）分析和定义待决策的问题；（3）拟定模型；（4）选择输入资料；（5）提出解并验证它的合理性；（6）实施最优解。 第二章预测 实践能力考核选例 应用简单滑动平均预测法，加权滑动平均预测法，指数平滑预测法，来预测中国2012年的居民消费指数（CPI）水平。（资料可由历年中国统计年鉴获得） （1）滑动平均预测法：（1270.8+1191.8+1239.9+1265）/4=1241.875 （2）加权滑动平均预测法：（1270.8*1+1191.8*2+1239.9*3+1265*4）/（1+2+3+4）=1243.41 第三章决测 实践能力考核选例 根据亲身体验，举出自己经历过的一个实际决策案例，并分析此决策属于那种类型，结合本章决策方法进行科学地决策。 答： 某城市繁华地段有一个食品厂，因经营不善长期亏损，该市政府领导拟将其改造成一个副食品批发市场，这样既可以解决企业破产后下岗职工的安置问题，又方便了附近居民。为此进行了一系列前期准备，包括项目审批、征地拆迁、建筑规划设计等。不曾想，外地一开发商已在离此地不远的地方率先投资兴建了一个综合市场，而综合市场中就有一个相当规模的副食品批发场区，足以满足附近居民和零售商的需求。 面对这种情况，市政府领导陷入了两难境地：如果继续进行副食品批发市场建设，必然亏损；如果就此停建，则前期投入将全部泡汤。在这种情况下，该市政府盲目做出决定，将该食品厂厂房所在地建成一居民小区，由开发商进行开发，但对原食品厂职工没能作出有效的赔偿，使该厂职工陷入困境，该厂职工长期上访不能解决赔偿问题，对该市的稳定造成了隐患。案例分析： 该市领导解决问题时是出于好心，既要解决企业生产不景气的问题，又要为城市居民解决购物问题，对企业职工也有一个比较好的安排，但作出决策比较仓促，没能充分考虑清楚问题涉及的各种因素，在决策失误时又进一步决策失误，造成了非常被动的工作局面，也给企业
运筹学作业习题
线性规划建模及单纯形法 思考题 主要概念及内容： 线性规划模型结构（决策变量，约束不等式、等式，目标函数）；线性规划标准形式； 可行解、可行集（可行域、约束集），最优解；基、基变量、非基变量、基向量、非基 向量；基本解、基本可行解、可行基、最优基。 复习思考题： 1、线性规划问题的一般形式有何特征？ 2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 4、求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果反映建模时有错误？ 5、什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 6、试述线性规划问题的可行解、基本解、基本可行解、最优解、最优基本解的概念及它 们之间的相互关系。 7、试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个 最优解、无界解或无可行解。 8、在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 9、大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什 么？最大化问题呢？ 10、什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情 况下，继续第二阶段？ 作业习题 1、将下列线性规划问题化为标准型 （1）???????≥=--+-≥-+-≤+-++-+=0,,953413223183622453max 4214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （2）???????≤≥=+-+-≥-+--≤--++++=0 ,0,15 2342722351232243min 4214321432143214 321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 2、（1）求出下列不等式组所定义的多面体的所有基本解和基本可行解（极点）： ?????≥≤++-≤++0,,1243263323 21321321x x x x x x x x x （2）对下述线性规划问题找出所有基本解,指出哪些是基本可行解,并确定最优解. ??? ????≥=-=+-+=+++++=)6,,1(00 31024893631223max 61532143213 21K K j x x x x x x x x x x x x x x z j 3、用图解法求解下列线性规划问题
运筹学作业28272
第一章 导论 1.简述运筹学的定义。 运筹学利用计划方法和有关多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据。 2. 决策方法可以分为哪几类。 定性决策，定量决策，混合性决策。 3. 应用运筹学进行决策过程的步骤有哪些。 （1）观察待决策问题所处的环境；（2）分析和定义待决策的问题；（3）拟定模型；（4）选择输入资料；（5）提出解并验证它的合理性；（6）实施最优解。 实践能力考核选例 根据本章学习的内容，结合实际例子，说明在应用运筹学进行决策过程中的六个步骤有哪些？ （1）观察待决策问题所处的环境；（2）分析和定义待决策的问题；（3）拟定模型；（4）选择输入资料；（5）提出解并验证它的合理性；（6）实施最优解。 第二章 预测 1.比较特尔斐法和专家小组法这两种定性预测法的特点。 特尔斐法的特点是：第一，专家发表意见是匿名的；第二，进行多次信息反馈；第三，由调研人员整理并归纳专家们的总结意见，将比较统一的意见和比较特殊的意见一起交给有关部门，以供他们决策。 专家小组法的优点是可以做到相互协商、相互补充；但当小组会议组织得不好时，也可能会使权威人士左右会场或多数人的意见湮没了少数人的创新见解。 2.简述指数平滑预测法的原理。 1()t t t t F F x F α+=+-，其中1t F +、t F 是1t +期、t 期的预测值，t x 是t 期的实际值，α是 平滑系数。 3.简述一元线性回归模型预测的过程。 先根据x 、y 的历史数据，求出a 和b 的值，建立起回归模型，再运用模型计算出不同的x 所相对的不同的y 值。 实践能力考核选例 应用简单滑动平均预测法，加权滑动平均预测法，指数平滑预测法，来预测中国2012年的居民消费指数（CPI ）水平。（资料可由历年中国统计年鉴获得） （1）滑 动平均预测法：（1270.8+1191.8+1239.9+1265）/4=1241.875
运筹学第一次作业
练习一 1.某厂接到生产A 、B 两种产品的合同，产品A 需200件，产品B 需300件。这两种 产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。在毛坯制造阶段，产品 A 每件需要2小时，产品B 每件需要4小时。机械加工阶段又分粗加工和精加工两道 工序，每件产品A 需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B 需粗加工7小时，精 加工12小时。若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时, 精加工设备拥有能力为3000小时。又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为 每小时3元、3元、2元。此外在粗加工阶段允许设备可进行 500小时的加班生产, 但加班生产时间内每小时增加额外成本元。 试根据以上资料，为该厂制订一个成 本最低的生产计划。 解：设正常生产A,B 产品数X 1,X 2，加班生产A,B 产品数X 3,X 4 min z 3(2x 1 2X 3 4X 2 4X 4 4X 1 4X 3 7X 2 7&) 7.5(4X 3 7X 4) 2(10X 1 10X 3 12X 2 12X 4) X 3 200 X 4 300 4x 2 1700 7x 2 1000 12x 2 3000 7x 2 500 0且为整数，i=1,2,3,4 2.对某厂I ,n,m 三种产品下一年各季度的合同预订数如下表所示。 该三种产品I 季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。已知该厂每季度生产 工时为15000小时，生产I 、n 、m 产品每件分别需时2、4、3小时。因更换工艺装备, 产品I 在2季度无法生产。规定当产品不能按期交货时， 产品I , n 每件每迟交一个季 度赔偿20元，产品m 赔偿10元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的 库存费用为5元。问：该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小 （要求 建立数学模型，不需求解）。 解：设X ij 为第j 季度产品i 的产量，S ij 为第j 季度末产品i 的库存量，d ij 为第j 季度 X 1 X 2 2为 s.t 4x , 10x 1 4X 1 X i 量,
运筹学第一次作业
练习一 1. 某厂接到生产A 、B 两种产品的合同，产品A 需200件，产品B 需300件。这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。在毛坯制造阶段，产品A 每件需要2小时，产品B 每件需要4小时。机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A 需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B 需粗加工7小时，精加工12小时。若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本4.5元。试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。 解：设正常生产A,B 产品数12,x x ，加班生产A,B 产品数34,x x 13241324341324min 3(22444477)7.5(47)2(10101212)z x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++.s t 132412121 2 12200300241700471000 10123000 475000i x x x x x x x x x x x x x +≥?? +≥??+≤? +≤??+≤?+≤?? ≥?且为整数，i=1,2,3,4 2. 对某厂I ，Ⅱ，Ⅲ三种产品下一年各季度的合同预订数如下表所示。 工时为15000小时，生产I 、Ⅱ、Ⅲ产品每件分别需时2、4、3小时。因更换工艺装备，产品I 在2季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品I ，Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿20元，产品Ⅲ赔偿10元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5元。问：该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小(要求建立数学模型，不需求解)。 解：设x ij 为第j 季度产品i 的产量，s ij 为第j 季度末产品i 的库存量，d ij 为第j 季度产品
运筹学1-1
《物流运筹学》教案 （2014～2015学年第二学期） 适用物流管理专业 院系（部）______经管系______ 班级____ _15物流1/2班___ 教师______ _________
教案首页
教学设计
教学内容 【复习导入】 思考导入：在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。如何解决这类问题？ 【告知目的】 能力目标：1.让学生掌握线性规划的基本概念 2．掌握线性规划模型的建立 知识目标：1.线性规划模型的基本形式 2.如何根据实际问题建立相应的数学模型 【任务导入】 1. 线性规划（Linear Programming） 2. 目标规划（Goal Programming） 3. 整数规划（Integer Programming） 4. 非线性规划（Nonlinear Programming） 5. 动态规划（Dynamic Programming） 6. 图论与网络分析（Graph Theory and Network Analysis） 7. 排队论（Queuing Theory） 8. 存贮论（Inventory Theory） 9. 对策论（Game Theory） 10. 决策论（Decision Theory） 例1.2 有A、B、C三个工地，每天A工地需要水泥17百袋，B工地需要水泥18百袋，C 工地需要水泥15百袋。 ?为此，甲、乙两个水泥厂每天生产23百袋水泥和27百袋水泥专门供应3个工地。 两个水泥厂至工地的单位运价如表1.2所示。 ?问：如何组织调运使总运费最省。
运筹学部分课后习题解答_1
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 min z=23 466 ..424 ,0 x x x x s t x x x x + +≥ ? ? +≥ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都 为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为 min 3 z=2303 2 ?+?= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 max z=10x5x 349 ..528 ,0 x x s t x x x x + +≤ ? ? +≤ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点， 即 1 12 122 1 349 3 528 2 x x x x x x = ? += ?? ? ?? +== ?? ? ，即最优解为* 3 1, 2 T x ?? = ? ?? 这时的最优值为 max 335 z=1015 22 ?+?=
单纯形法： 原问题化成标准型为 121231241234 max z=10x 5x 349 ..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=?? ++=??≥? j c → 10 5 B C B X b 1x 2x 3x 4x 0 3x 9 3 4 1 0 0 4x 8 [5] 2 0 1 j j C Z - 10 5 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 10 1x 8/5 1 2/5 0 1/5 j j C Z - 1 0 - 2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 10 1x 1 1 0 -1/7 2/7 j j C Z - -5/14 -25/14
运筹学作业
No .1 线性规划 1、某织带厂生产A 、B 两种纱线和C 、D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而成。 工厂有供纺纱的总工时7200h ，织带的总工时1200h 。 (1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最大； (2) 如果组织这次生产具有一次性的投入20万元，模型有什么变化？对模型的 解是否有影响？（所谓一次性投入就是与产量无关的初始投资） 2、将下列线性规划化为极大化的标准形式 3、用单纯形法解下面的线性规划 ??? ??? ?≥≤++-≤++-≤-+++= ,0,,4205.021********* ..352)(m ax 3213213213213 21x x x x x x x x x x x x t s x x x x f No .2 两阶段法和大M 法 2、用大M 法解下面问题，并讨论问题的解。 ??? ??? ?≥≥++≤++-≤++++= ,0,,52151565935 ..121510)(max 3213213213213 21x x x x x x x x x x x x t s x x x x f 1、用两阶段法解下面问题： ??? ??≥≥+≥++=0,75 3802 ..64)(min 2 121212 1x x x x x x t s x x x f ?????? ?±≥≤+-=-+--≥-+++=不限 321321321321321 ,0,13|5719|169765 ..532)(m in x x x x x x x x x x x x t s x x x x f
No .3 线性规划的对偶问题 ?????-≤≤-≤≤≤≤-+-=8121446 2 ..834)(min 3213 21x x x t s x x x x f 2、写出下问题的对偶问题，解对偶问题，并证明原问题无可行解 3、用对偶单纯形法求下面问题 ??? ??≥≥+≥++=0,75 3802 ..64)(min 2 121212 1x x x x x x t s x x x f No .4 线性规划的灵敏度分析 原问题为max 型，x 4，x 5为松驰变量，x 6为剩余变量，回答下列问题： (1)资源1、2、3的边际值各是多少？(x 4，x 5是资源1、2的松驰变量，x 6是资 源3的剩余变量) (2)求C 1, C 2 和C 3的灵敏度范围； (3)求?b 1，?b 2的灵敏度范围。 1、写出下列线性规划问题的对偶问题： (1) ???????±≥≤=++≤+≥+-+-+=不限 432143231 4321321 ,0,,06 4 2 5 ..532)(max x x x x x x x x x x x x x t s x x x x f (2) ?????? ?≥≤+--≤-≤+--= ,0, 121 1 ..34)(m ax 212122121x x x x x x x t s x x x f