上海数学有理数单元测试卷(解析版)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选(难)
1.如图在数轴上A点表示数a,B点表示数b,a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0;
(1)点A表示的数为________;点B表示的数为________;
(2)若在原点O处放一挡板,一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动;同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动,设运动的时间为t(秒),
①当t=1时,甲小球到原点的距离=________;乙小球到原点的距离=________;
当t=3时,甲小球到原点的距离=________;乙小球到原点的距离=________;
②试探究:甲,乙两小球到原点的距离可能相等吗?若不能,请说明理由.若能,请直接写出甲,乙两小球到原点的距离相等时经历的时间.________
【答案】(1)-2
;4
(2)3
;2
;5
;2
;能.
理由:
当0<t≤2时,t+2=4-2t
解之:
当t>2时,t+2=2t-4
解之:t=6
∴当或6时,甲乙两小球到原点的距离相等.
【解析】【解答】解:(1)∵a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0,
∴a+2=0且b-4=0
解之:a=-2且b=4,
∵在数轴上A点表示数a,B点表示数b,
∴点A表示的数是-2,点B表示的数是4.
故答案为:-2,4.
(2)当0<t≤2时,甲小球距离原点为(t+2)个单位长度;乙小球距离原点为(4-2t)个单位长度;
当t>2时,甲小球距离原点为(t+2)个单位长度;乙小球距离原点为(2t-4)个单位长
度;
①当t=1时,甲小球到原点的距离为:1+2=3;乙小球到原点的距离为4-2×1=2;
当t=3时,甲小球到原点的距离为:3+2=5;乙小球到原点的距离为2×3-4=2;
故答案为:3,2;5,2
【分析】(1)利用几个非负数之和为0,则每一个数都是0,建立关于a,b的方程组,解方程组求出a,b的值,就可得到点A,B所表示的数。
(2)①根据两个小球的运动方向及速度,可以分别用含t的代数式表示出当0<t≤2时,甲小球距离原点的距离和乙小球离原点的距离,当t>2时,甲小球距离原点的距离和乙小球离原点的距离,然后将t=1和t=3分别代入相关的代数式,即可求解;②利用(2)中的结论,分情况分别根据甲,乙两小球到原点的距离相等时经历的时间,建立关于t的方程,解方程求出t的值。
2.如图,已知数轴上点表示的数为,是数轴上位于点左侧一点,且AB=20,动点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间t(t>0)秒.
(1)写出数轴上点表示的数________;点表示的数________(用含的代数式表示)(2)动点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若点、同时出发,问多少秒时、之间的距离恰好等于?
(3)动点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点、同时出发,问多少秒时、之间的距离恰好又等于?
(4)若为的中点,为的中点,在点运动的过程中,线段的长度是否发生变化?若变化,请说明理由,若不变,请画出图形,并求出线段的长.
【答案】(1);
(2)解:若点P、Q同时出发,设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2.分两种情况:
①点P、Q相遇之前,
由题意得3t+2+5t=20,解得t=2.25;
②点P、Q相遇之后,
由题意得3t-2+5t=20,解得t=2.75.
答:若点P、Q同时出发,2.25或2.75秒时P、Q之间的距离恰好等于2
(3)解:设点P运动x秒时,P、Q之间的距离恰好等于2.分两种情况:
①点P、Q相遇之前,
则5x-3x=20-2,
解得:x=9;
②点P、Q相遇之后,
则5x-3x=20+2
解得:x=11.
答:若点P、Q同时出发,9或11秒时P、Q之间的距离恰好又等于2
(4)解:线段MN的长度不发生变化,都等于10;理由如下:
①当点P在点A、B两点之间运动时:
MN=MP+NP= AP+ BP= (AP+BP)= AB= ×20=10,
②当点P运动到点B的左侧时:
MN=MP-NP= AP- BP= (AP-BP) AB=10,
则线段MN的长度不发生变化,其值为10
【解析】【解答】(1)∵点A表示的数为8,B在A点左边,AB=20,
∴点B表示的数是8-20=-12,
∵动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t (t>0)秒,
∴点P表示的数是8-5t.
故答案为-12,8-5t;
【分析】(1)根据已知可得B点表示的数为8-20;点P表示的数为8-5t;(2)设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2.分两种情况:①点P、Q相遇之前,②点P、Q相遇之后,列出方程求解即可;(3)设点P运动x秒时,P、Q之间的距离恰好等于2.分两种情况:①点P、Q相遇之前,②点P、Q相遇之后,列出方程求解即可;(4)分①当点P 在点A、B两点之间运动时,②当点P运动到点B的左侧时,利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可.
3.点A、B在数轴上表示的数如图所示,动点P从点A出发,沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动;同时,动点Q从点B出发,沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动,到点A停止运动设点P运动的时间为t秒,P、Q两点的距离为d(d≥0)个单位长度.
(1)当t=1时,d=________;
(2)当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时,求d的值;
(3)当点P运动到线段AB的3等分点时,直接写出d的值;
(4)当d=5时,直接写出t的值.
【答案】(1)3
(2)解:线段AB的中点表示的数是:=1.
①如果P点恰好运动到线段AB的中点,那么AP=AB=3,t==3,
BQ=2×3=6,即Q运动到A点,
此时d=PQ=PA=3;
②如果Q点恰好运动到线段AB的中点,那么BQ=AB=3,t=,
AP=1× =,
则d=PQ=AB﹣AP﹣BQ=6﹣﹣3=.
故d的值为3或
(3)解:当点P运动到线段AB的3等分点时,分两种情况:
①如果AP=AB=2,那么t==2,
此时BQ=2×2=4,P、Q重合于原点,
则d=PQ=0;
②如果AP=AB=4,那么t==4,
∵动点Q从点B出发,沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动,到点A停止运动,
∴此时BQ=6,即Q运动到A点,
∴d=PQ=AP=4.
故所求d的值为0或4
(4)解:当d=5时,分两种情况:
①P与Q相遇之前,
∵PQ=AB﹣AP﹣BQ,
∴6﹣t﹣2t=5,
解得t=;
②P与Q相遇之后,
∵P点运动到线段AB的中点时,t=3,此时Q运动到A点,停止运动,
∴d=AP=t=5.
故所求t的值为或5.
【解析】【分析】(1)当t=1时,求出AP=1,BQ=2,根据PQ=AB﹣AP﹣BQ即可求解;(2)分①P点恰好运动到线段AB的中点;②Q点恰好运动到线段AB的中点两种情
况进行讨论;(3)当点P运动到线段AB的3等分点时,分①AP=AB;②AP=AB两种情况进行讨论;(4)当d=5时,分①P与Q相遇之前;②P与Q相遇之后两种情况进行讨论.
4.已知,数轴上点A和点B所对应的数分别为,点P为数轴上一动点,其对应的数为.
(1)填空: ________ , ________ .
(2)若点 P到点 A、点 B 的距离相等,求点 P 对应的数.
(3)现在点 A、点 B分别以 2 个单位长度/秒和 0.5 个单位长度/秒的速度同时向右运动,点 P以 3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动.当点 A与点 B之间的距离为2个单位长度时,求点 P所对应的数是多少?
【答案】(1)-1;3
(2)解:依题可得:
PA=|x+1|,PB=|3-x|,
∵点P到点A、点B的距离相等,
∴PA=PB,
即|x+1|=|3-x|,
解得:x=1,
∴点P对应的数为1.
(3)解:∵点A、点B 速度分别以 2 个单位长度/秒、 0.5 个单位长度/秒的速度同时向右运动,
∴A点对应的数为2t-1,
点B对应的数为3+0.5t,
①当点A在点B左边时,
∵AB=2,
∴(3+0.5t)-(2t-1)=2,
解得:t=,
∵点P以 3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动,
∴×3=4,
∴P点对应的数为:-4.
②当点A在点B右边时,
∵AB=2,
∴(2t-1)-(3+0.5t)=2,
解得:t=4,
∵点P以 3 个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动,
∴4×3=12,
∴P点对应的数为:-12.
【解析】【解答】解:(1)∵(a+1)2+|b-3|=0,
∴,
解得:.
故答案为:-2;3.
【分析】(1)根据平方和绝对值的非负性列出方程,解之即可得出答案.
(2)根据题意可得PA=|x+1|,PB=|3-x|,再由PA=PB得|x+1|=|3-x|,解之即可得出点P对应的数.
(3)根据题意可得A点对应的数为2t-1,点B对应的数为3+0.5t,分情况讨论:①当点A 在点B左边时,②当点A在点B右边时,由AB=2分别列出方程,解之得出t值,再由P 点的速度得出点P对应的数.
5.已知:b是最小的正整数,且a、b满足,请回答问题:(1)请直接写出a、b、c的值: a=________; b=________; c=________.
(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C,若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB,试计算此时BC—AB的值.
(3)在(1)(2)的条件下,点A、B、C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒3个单位长度和x(x>3)个单位长度的速度向右运动,请问:是否存在x,使BC-AB的值随着时间t的变化而不变,若存在求出x;不存在请说明理由.
【答案】(1)-1;1;4
(2)解:BC-AB
=(4-1)-(1+1)
=3-2
=1.
故此时BC-AB的值是1
(3)解:t秒时,点A对应的数为-1-t,点B对应的数为3t+1,点C对应的数为xt+4.
∴BC=(xt+4)-(3t+1)=(x-3)t+3,AB=(3t+1)-(-1-t)=4t+2,
∴BC-AB=(x-3)t+3-(4t+2)=(x-7)t+1,
∴BC-AB的值不随着时间t的变化而改变时,其值为7
【解析】【解答】解:(1)∵b是最小的正整数,
∴b=1,
∵|c-4|+(a+b)2=0,
∴c-4=0,a+b=0,∴a=-1,c=4
【分析】(1)根据b是最小的正整数,即可确定b的值,然后根据非负数的性质,几个非负数的和是0,则每个数是0,即可求得a,b,c的值;(2)根据两点间的距离公式可求BC、AB的值,进一步得到BC-AB的值;(3)先求出BC=4t+3,AB=4t+2,从而得出BC-AB,从而求解.
6.如图:在数轴上点表示数,点表示数,点表示数,是最大的负整数,且、满足与互为相反数.
(1) ________, ________, ________.
(2)若将数轴折叠,使得点与点重合,则点与数________表示的点重合;
(3)点、、开始在数轴上运动,若点以每秒2个单位长度的速度向左运动,同时,点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动,假设秒钟过后,若点与点之间的距离表示为,点与点之间的距离表示为 .
①请问:的值是否随着时间变化而改变?若变化,说明理由;若不变,请求其值.
②探究:在(3)的情况下,若点、向右运动,点向左运动,速度保持不变,
值是否随着时间的变化而改变,若变化,请说明理由;若不变,请求其值.【答案】(1)解:-3;-1;5;(2)3;
(2)3
(3)解:① ,
,
.
故的值不随着时间的变化而改变;
② ,
,
.
当时,
原式,的值随着时间的变化而改变;
当时,
原式,的值不随着时间的变化而改变.
【解析】【解答】(1)∵,∴,,解得,,∵是最大的负整数,∴ .故答案为:-3,-1,5.
(2) ,对称点为, .故答案为:3.
【分析】(1)由非负数的性质可求出a、c,最大的负整数是-1,故b=-1;
(2)折叠后AC重合,A、C的中点即为对称点,再根据对称点求出跟B重合的数;(3)①用速度乘以时间表示出运动路程,可得到和的表达式,再判断
的值是否与t相关即可;②同理求出和的表达式,再计算,分情况讨论得出结果.
7.若有理数在数轴上的点位置如图所示:
(1)判断代数式的符号;
(2)化简:
【答案】(1)解:因为
所以
(2)解:因为
所以
原式
.
【解析】【分析】(1)根据有理数的加减法,可得答案;(2)根据绝对值的性质,可化简去掉绝对值,根据合并同类项,可得答案.
8.阅读材料:
在数轴上,点 A 在原点 0 的左边,距离原点 4 个单位长度,点 B 在原点的右边,点 A 和点B 之间的距离为 14个单位长度.
(1)点 A 表示的数是________,点 B 表示的数是________;
(2)点 A、B 同时出发沿数轴向左移动,速度分别为 1 个单位长度/秒,3 个单位长度/秒,经过多少秒,点 A 与点 B重合?
(3)点 M、N 分别从点 A、B 出发沿数轴向右移动,速度分别为 1 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒,点 P 为 ON 的中点,设 OP-AM 的值为 y,在移动过程中,y 值是否发生变化?若不变,求出 y 值;若变化,说明理由.
【答案】(1)-4;10
(2)解:由题意知,此时为速度问题里面的追击问题,则由速度差×相遇时间=相距距离可知:
设经过x秒后重合,即x秒后AB相遇.
则(3-1)x=14
解得:x=7
故7秒后点A,B重合.
(3)解:y不发生变化,理由如下:
设运动时间为x秒,则AM=x
而OP=
则y=OP-AM=
故y为定值,不发生变化.
【解析】【解答】解:(1)由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4,由B 在原点右边且与点A距离14个单位长度可知,-4+14=10,则B点表示的数是10.
【分析】(1)由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4,再根据B 在原点右边且与点A距离14个单位长度,可由-4+14=10可得B点表示的数.(2)把A,B看成距离为14个单位长度的追击问题,由速度差×相遇时间=相距距离列出等式求解.(3)设移动时间为x秒,用含有x的代数式表示出OP与AM的长度,然后根据y= OP-AM列出关系式判断,若式中不含x项则不发生变化,含x项则发生变化.
9.操作探究:小聪在一张长条形的纸面上画了一条数轴(如图所示),
(1)操作一:折叠纸面,使1表示的点与?1的点重合,则?3的点与________表示的点重合;
(2)操作二:折叠纸面,使?2表示的点与6表示的点重合,请你回答以下问题:
① ?5表示的点与数()表示的点重合;
② 若数轴上A、B两点之间距离为20,其中A在B的左侧,且A、B两点经折叠后重合,求A、B两点表示的数各是多少
③ 已知在数轴上点M表示的数是m,点M到第②题中的A、B两点的距离之和为30,求m的值。
【答案】(1)3
(2)9;
②若数轴上A、B两点之间的距离为20(A在B的左侧),
则点A表示的数是2-10=-8,点B表示的数是2+10=12.
③当点M在点A左侧时,则12-m+(-8-m)=30,
解得:m=-13;
当点M在点B右侧时,则m-(-8)+m-12=30,
解得:m=17;
综上,m=-13或17;
【解析】【解答】(1)解:折叠纸面,使1表示的点与-1表示的点重合,则对称中心是0,
∴-3表示的点与3表示的点重合,
故答案为:3;(2)①∵-2表示的点与6表示的点重合,
∴对称中心是数2表示的点,
①-5表示的点与数9表示的点重合;
故答案为:9.
【分析】(1)直接利用已知得出中点进而得出答案;(2)①利用-2表示的点与6表示的
点重合得出中点,进而得出答案;②利用数轴再结合A、B两点之间距离为20,即可得出两点表示出的数据;③利用②中A,B的位置,利用分类讨论进而得出m的值.
10.同学们都知道,|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索:
(1)求|5-(-2)|=________.
(2)找出所有符合条件的整数x,使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是________.
(3)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x-3|+|x-6|是否有最小值?如果有写出最小值,如果没有说明理由.
【答案】(1)7
(2)-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2
(3)解:|x﹣3|+|x﹣6|有最小值,最小值是3.理由如下:
当x>6时,|x﹣3|+|x﹣6|=x﹣3+x﹣6=2x﹣9>3;
当3≤x≤6时,|x﹣3|+|x﹣6|=x﹣3+6﹣x=3;
当x<3时,|x﹣3|+|x﹣6|=3﹣x+6﹣x=9﹣2x>3.
故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值,最小值是3
【解析】【解答】(1)|5﹣(﹣2)|=|5+2|=7.
故答案为:7;(2)当x>2时,|x+5|+|x﹣2|=x+5+x﹣2=7,解得:x=2与x>2矛盾,故此种情况不存在;
当﹣5≤x≤2时,|x+5|+|x﹣2|=x+5+2﹣x=7,故﹣5≤x≤2时,使得|x+5|+|x﹣2|=7,故使得|x+5|+|x﹣2|=7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2;
当x<﹣5时,|x+5|+|x﹣2|=﹣x﹣5+2﹣x=﹣2x+3=7,得x=﹣5与x<﹣5矛盾,故此种情况不存在.
故答案为:﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2;
【分析】(1)根据题目中的式子和绝对值可以解答本题;(2)利用分类讨论的数学思想可以解答本题;(3)根据题意,利用分类讨论的数学思想可以解答本题.
11.把几个数用大括号括起来,相邻两个数之间用逗号隔开,如:{2,3},{4,5,6},…,我们称之为集合,其中每一个数称为该集合的元素,如果一个所有元素均为有理数的集合满足:当有理数x是集合的一个元素时,2019?x也必是这个集合的元素,这样的集合我们又称为黄金集合,例如{0,2019}就是一个黄金集合,
(1)集合{2019}________黄金集合,集合{?1,2020}________黄金集合.(填“是”或“不是”) (2)若一个黄金集合中最大的一个元素为4019,则该集合是否存在最小的元素?如果存在,请求出这个最小元素,否则说明理由;
(3)若一个黄金集合中所有元素之和为整数M,且16150 【答案】(1)不是;是 (2)解:一个黄金集合中最大的一个元素为4019,则该集合存在最小的元素,该集合最小的元素是?2000. ∵2019?a中a的值越大,则2019?a的值越小, ∴一个黄金集合中最大的一个元素为4019,则最小的元素为:2019?4019=?2000. (3)解:该集合共有16个元素。 理由:∵在黄金集合中,如果一个元素为a,则另一个元素为2019?a, ∴黄金集合中的元素一定是偶数个. ∵黄金集合中的每一对对应元素的和为:a+2019?a=2019,2019×8=16152,2019×9=18171, 又∵一个黄金集合所有元素之和为整数M,且16150 ∴这个黄金集合中的元素个数为:8×2=16(个). 【解析】【解答】解:(1)根据题意可得,2019?2019=0,而集合{2019}中没有元素0,故{2019}不是黄金集合; ∵2019?2020=?1, ∴集合{?1,2020}是黄金集合。 故答案为:不是,是 【分析】(1)根据定义有理数2019是集合的元素时,2019-2019=0也必是这个集合的元素,而0不在集合内,当2019?2020=?1时可知,-1在集合内,则问题可解;(2)根据定义,集合中较小的数为2019-4019=-2000;(3)根据题意可知黄金集合都是成对出现的,并且这对对应元素的和为2019,然后通过估算即可解答本题. 12.在数轴上,点A,B分别表示数a,b,则线段AB的长表示为|a-b|,例如:在数轴上,点A表示5.点B表示2,则线段AB的长表示为|5-2|=3:回答下列问题: (1)数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________: (2)若AB=8,|b|=3|a|,求a,b的值. (3)若数轴上的任意一点P表示的数是x,且|x?a|+|x?b|的最小值为4,若a=3,求b的值 【答案】(1)4 (2)解:∵|b|=3|a| ∴b=±3a ∵AB=8 ∴|a-b|=8 当b=3a时,|a-b|=|-2a|=8 ∴a=4,b=12或a=-4,b=-12 当b=-3a时,|a-b|=|4a|=8 ∴a=2,b=-6或a=-2,b=6 综上所述:a=4,b=12或a=-4,b=-12或a=2,b=-6或a=-2,b=6. (3)解:由线段上的点到线段两端点的距离的和最小, ①当点b在a的右侧时, 得P在3点与b点的线段上,|x?3|+|x?b|的值最小为4, |x?3|+|x?b|最小=x?3+b?x=4, 解得:b=7; ②当点b在a的左侧时, 得P在3点与b点的线段上,|x?3|+|x?b|的值最小为4, |x?3|+|x?b|最小=3?x+x?b=4, 解得:b=?1; 故答案为:7或?1. 【解析】【解答】解:(1)1和-3两点之间的距离为|1-(-3)|=4 【分析】(1)根据数轴上两点间的距离公式即可求解;(2)根据|b|=3|a|,分类讨论b=3a和b=-3a时的情况,分别求解a、b即可;(3)根据|x?a|+|x?b|的最小值为4可知,a、b对应点在数轴上距离为4,再根据a的取值可解得b.