带电粒子在磁场中做匀速圆周运动题型归类

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动题型归类（2009、5）

带电粒子在有界磁场中运动的分析方法：

1．圆心的确定

因为洛伦兹力F 指向圆心，根据F ⊥v ，画出粒子运

动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作

出切线找出v 的方向再确定F 的方向，沿两个洛伦兹力F

的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆

心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如

图1所示。

2．半径的确定和计算

利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下

两个重要的几何特点：

①粒子速度的偏向角?等于转过的圆心角α，并等于AB 弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即?=α=2θ。

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。

3．粒子在磁场中运动时间的确定

若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所

对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，即Bq m

t α=，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T 即

为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t 越长，注意t 与运动轨迹的长短无关。

4．注意圆周运动的对称性与特殊性

（1）从一直线边界射入的粒子从同一直线边界射出时，速度与边界的夹角相等；

（2）在圆形磁场区域内，粒子射入时的速度方向过圆心，射出时的速度方向也过圆心；

（3）圆形磁场区域的半径与粒子轨道半径相等时，出射方向一定垂直入射点与磁场圆心的连线。（此结论解题很难想到，也较难证明，利用几何知识。）

问题一：磁场边界问题

有界磁场的两种典型模型：

1．穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。

（1）带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sin θ=L /R 求出；（θ、L 和R

见图标）

（2）带电粒子的侧移由R 2=L 2-（R-y ）2

解出；（y 见所图标）

（3）带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆

的圆心、连心线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由求出；（θ、r和R见图标）

b、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

1。矩形边界磁场

题型1-1-1：如图7所示，矩形匀强磁场区域的长为L，宽为L/2。磁感应强度为B，质量为m，电荷量为e的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v 的取值范围？

解析：（1）带电粒子射入磁场后，由于速率大小的变化，

导致粒子轨迹半径的改变，如图所示。当速率最小时，粒子恰

好从d点射出，由图可知其半径R1=L/4，再由R1=mv1/eB，得:

当速率最大时，粒子恰好从c点射出，由图可知其半径R2满足

，即R2=5L/4，再由R2=mv2/eB，得:

电子速率v的取值范围为：。

在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图，再根据几何关系确定对应的轨迹半径，最后求解临界状态的速率。

2．圆形边界磁场

题型1-2-1：在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，

存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图

10所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处

以速度v沿-x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处

沿+y方向飞出。

（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m；

（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的

大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁

场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？

解析：（1）由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子

带负电荷。

如图11所示，粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变

了90°，则粒子轨迹半径r=R，又

， 则粒子的荷质比为

。

（2）粒子从D 点飞出磁场速度方向改变了60°角，故AD 弧所对圆心角60°，粒子做圆周运动的半径，又，所以

，

粒子在磁场中飞行时间：。

在处理这类问题时重点是画出磁场发生改变后粒子运动的轨迹图，利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射点的位置，由于线速度的方向始终与半径垂直，线速度改变了60°角，故圆心角为60°，解题中充分应用这一特点是关键。

题型1-2-2：核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图9-19所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m ，外半径R2=1.0m ，磁场的磁感强度B=1.0T ，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×7

10C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算：

（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。

（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。

分析与解答：本题也属于极值类问题，寻求“临界轨迹”是解题的关键。要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切；要使所有粒子都不穿越磁场，应保证沿内圆切线方向射出的粒子不穿越磁场，即运动轨迹与内、外圆均相切。

（1）轨迹如图9-20所示

由图中知2122121)(r R R r -=+，解得m r 375.01= 由1211r V m BqV =得s m m Bqr V /105.1711?==

所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为 s m V /105.171?=。

（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图9-21所示。 由图中知m R R r 25.02122=-=

图9-21

图

9-20

由2222r V m BqV =得s m m Bqr V /100.1722?==

所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度

s m V /100.172?= 带电粒子在有界磁场中运动时，运动轨迹和磁场边界“相切”往往是临界状态，对于解题起到关键性作用。

3．组合边界磁场

题型1-3-1：如图9-24所示，空间分布着有理想边界的匀强电场

和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E 、方向水平向右，电场

宽度为L ；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向外。一个质量为m 、电量为q 、不计重力的带正电的粒子从电

场的左边缘的O 点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O 点，然后重复上述运动过程。求：

（1）中间磁场区域的宽度d;

（2）带电粒子从O 点开始运动到第一次回到O 点所用时间t.

分析与解答：带电粒子在电场中经过电场加速，进入中间区域磁场，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，又进入右侧磁场区域做

圆周运动，根据题意，粒子又回到O 点，所以粒子圆周运动的轨迹具有对称性，如图9-25画出粒子运动轨迹。

（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得： 221mV qEL = 带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得： R V m BqV 2

= 由以上两式，可得q mEL B R 21=

。 可见在两磁场区粒子运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R 。所以中间磁场区域的宽度为

q mEL

B R d 62160sin 0==

（2）在电场中qE mL qE mV a V t 22221===， 在中间磁场中运动时间

qB 3m 26T 2t 2π== 图

9-25

B B 图9-24

在右侧磁场中运动时间

qB m T t 35653π==， 则粒子第一次回到O 点的所用时间为qB m qE mL t t t t 3722

321π+=++=。

带电粒子从某一点出发，最终又回到该点，这样的运动轨迹往往具有对称性，由此画出运动的大概轨迹是解题的突破点。

题型1-3-2：如图所示，边长为L 的等边三角形ABC 为两有界匀强磁场的理想边界，三角形内的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B ，三角形外的磁场（足够大）方向垂直纸面向里，磁感应强度大小也为B 。把粒子源放在顶点A 处，它将沿∠A 的角平分线发射质量为m 、电荷量为q 、初速度为v 0的带电粒子（粒子重力不计）。若从A 射出的粒子 ①带负电，0qBL v m

=

，第一次到达C 点所用时间为t 1 ②带负电，02qBL v m

=，第一次到达C 点所用时间为t 2 ③带正电，0qBL v m

=，第一次到达C 点所用时间为t 3 ④带正电，02qBL v m =，第一次到达C 点所用时间为t 4 则下列判断正确的是（B ） A 、t 1= t 3< t 2= t 4 B 、t 1< t 2< t 4 < t 3 C 、t 1< t 2< t 3< t 4 D 、t 1< t 3< t 2< t 4

分析与解答：根据带电粒子在磁场中运动的半径公式：R ＝mv 0Bq 可知，当速度v 0＝BqL m

时，半径为L ，当速度v 0＝BqL 2m

时，半径为0.5L 。如图所示，分别为四种情况下粒子运动的轨迹。 ①：粒子从A 点经过60°的圆心角的圆弧向右偏转运动

到C 点，时间为t 1＝16

T ，其中T 为粒子在磁场中圆周运动的周期； ②：粒子从A 点经过60°的圆心角的圆弧后进入三角形

外面的磁场中，再经过60°的圆心角的圆弧到达C 点，时间为t 2

＝13

T ； ③：粒子从A 点经过60°的圆心角的圆弧向左偏转运动

到B 点，再从B 点经过300°的圆心角的圆弧到达C 点，总时间

为t 3＝T ；

④：粒子从A 点经过60°的圆心角的圆弧向左进入三角形外面的磁场中，再经过60°的圆心角的圆弧向右到达B 点，从B 点经过60°的圆心角的圆弧向上进入三角形内部

的磁场中，最后经过60°的圆心角的圆弧向下运动到C 点，总时间为t 4＝23

T 。 因此B 选项正确。

4．确定磁场的边界范围

题型1-4-1：如图12所示，一带电质点，质量为m ，电量为q ，以平行于Ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于Ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最

小半径。重力忽略不计。

解析：质点在磁场中作半径为R 的圆周运动，

qvB=（Mv 2

）/R ，得：R=（MV ）/（qB ）。

根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R 的圆上

的1/4圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度

相切。如图13所示，过a 点作平行于x 轴的直线，过b 点作平行于y 轴的直线，则与这两直线均相距R 的O ′点就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以O ′为圆心、R 为半径的圆（图中虚线圆）上的圆弧MN ，M 点和N 点应在所求圆形磁场区域的边界上。 在通过M 、N 两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN

连线为直径的圆周。所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径

为：

，

所求磁场区域如图13所示中实线圆所示。

处理这类问题时重点是画出粒子在磁场中运动的轨迹图，确定临界状态的粒子运动轨迹图，找到粒子进出磁场的两个点（即开始和结束弯曲点），再利用轨迹半径与几何关系确定对应的磁场区域的位置。

题型1-4-2：一质量m 、带电q 的粒子以速度V 0从A 点沿等边三角形ABC 的AB 方向射入强度为B 的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC 射出，求圆形磁场区域的最小面积。

分析与解答：由题中条件求出粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径为一定，故作出粒子沿AB 进入磁场而从BC 射出磁场的运动轨迹图中虚线圆所示，只要小的一段圆弧PQ 能处于磁场中即能完成题中要求；故由直径是圆的最大弦可得圆形磁场的最小区域必为以直线PQ 为直径的圆如图中实线圆所示。

由题意知，圆形磁场区域的最小面积为图中实线所示的圆的面积。

∵△ABC 为等边三角形，故图中α＝30°

则： qB mv 3

RCos 2PQ r 20=α==

故最小磁场区域的面积为222022B q 4v m 3r S π=

π=。

根据轨迹确定磁场区域，把握住“直径是圆中最大的弦”。

问题二：与带电粒子的速度大小、方向有关的问题

1、速度大小相同、方向不同的同种带电粒子

题型2-1-1：i 如图，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m 带电量为＋q 的粒子，以相同的速率v 沿位于纸面内的各个方向，由小孔O 射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R ＝mv/Bq 。哪个图是正确的？

本题的难点在于

不同方向的粒子运动的轨迹组成图案。画出若干个不同方向飞出的粒子的轨迹（如图所示），右侧是一个半径为R 的半圆，水平向右飞出的粒子的边界；左侧是一个半径为2R 的圆的1/4，它是大量不同方向粒子所到达的最远点的集合。故A 正确。

题型2-1-2：如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B =0.60T ，磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab 的距离16l cm =处，有一个点状的α放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是

63.010/v m s =?，已知α粒子的电荷与质量之比75.010/q C kg m

=?，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域的长度。

分析与解答：α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，

用R 表示轨道半径，有R

v m qvB 2= ① 由此得B

m q v R )/(= 代入数值得R =10cm 可见，2R >l >R . 因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S

，由此可知，某一圆

C

B

A

M 12712

t t T +=

N 图9-14

轨迹在图中N 左侧与ab 相切，则此切点P 1就是α粒子能打中的左侧最远点.为定出P 1点的位置，可作平行于ab 的直线cd ，cd 到ab 的距离为R ，以S 为圆心，R 为半径，作弧交cd 于Q 点，过Q 作ab 的垂线，它与ab 的交点即为P 1. 221)(R l R NP --= ②

再考虑N 的右侧。任何α粒子在运动中离S 的距离不可能超过2R ，以2R 为半径、S 为圆心作圆，交ab 于N 右侧的P 2点，此即右侧能打到的最远点.

由图中几何关系得 222)2(l R NP -= ③

所求长度为 2121NP NP P P += ④ 代入数值得 P 1P 2=20cm ⑤

2、方向相同、速度大小不同的同种带电粒子

题型2-2-1：如图9-8所示真空中宽为d 的区域内有强度为B 的匀强磁场方向如图，质量m 带电-q 的粒子以与CD 成θ角的速度V0垂直射入磁场中。要使粒子必能从EF 射出，则初速度V0应满足什么条件？EF 上有粒子射出的区域？

分析与解答：如图9-9所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可。

粒子从A 点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF 射出，则相应的临界轨迹必为过点A 并与EF 相切的轨迹如图9-10所示，作出A 、P 点速度的垂线相交于O/即为该临界轨迹的圆心。

临界半径R0由d Cos θR R 00=+ 有:

θ+=Cos 1d R 0； 故粒子必能穿出EF 的实际运动轨迹半径R ≥R0

即: θ+≥=

Cos 1d qB mv R 0 有: )Cos 1(m qBd v 0θ+≥ 。

由图知粒子不可能从P 点下方向射出EF ，即只能从P 点上方某一区域射出；

又由于粒子从点A 进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG 直线上方射出；由此可见EF 中有粒子射出的区域为PG ，

且由图知: θ+θ+θ=θ+θ=cot d Cos 1dSin cot d Sin R PG 0。

图9-8 图9-9 图9-10

带电粒子在磁场中以不同的速度大小运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解。

题型2-2-2：两屏幕荧光屏互相垂直放置，在两屏内分

别去垂直于两屏交线的直线为x 和y 轴，交点O 为原点，

如图所示。在y>0，0

磁场，在y>0，x>a 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，

两区域内的磁感应强度大小均为B 。在O 点出有一小孔，一

束质量为m 、带电量为q （q>0）的粒子沿x 周经小孔射入

磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射

粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速

度最大的粒子在0a 的区域中运动的时间之比为2︰5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T 为该粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中做圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。

y=2r=2a ; 所以在x 轴上的范围是：2a x 2(1+

3a ≤≤ （1）画出粒子的轨迹和可到达的区域是解决带电粒子在磁场中运动问题的关键。

（2）在有多种限制条件的情形下，可采用“控制变量”方法，先不考虑边界限制，画出可能轨迹图，再结合其他限制条件判断出其区域范围。

3、速度大小、方向均不同的同种带电粒子。

127t t T +=

题型2-3-1：磁谱仪是测量α能谱的重要仪器。磁谱仪的工作原理如图所示，放射源Ｓ发出质量为m 、电量为q 的粒子沿垂直磁场方向进入磁感应强度为Ｂ的匀强磁场，被限束光栏Ｑ限制在２?的小角度内，α粒子经磁场偏转后打到与束光栏平行的感光片Ｐ上。（重力影响不计）

（１）若能量在Ｅ∽Ｅ＋ΔＥ（ΔＥ>0，且ΔＥ<<Ｅ）范围内的α粒子均垂直于限束光栏的方向进入磁场。试求这些α粒子打在胶片上的范围Δx 1 .

（2）实际上，限束光栏有一定的宽度，α粒子将在２?角内进入磁场。试求能量均为Ｅ的α粒子打到感光胶片上的范围Δx 2

分析与解答：(1)设α粒子以速度v 进入磁场，打在胶片上

的位置距S 的距离为x （如图甲）,

圆周运动 R

v m Bqv 2

= ① 粒子的动能 22

1mv E = ○2 X =2R ○3

由①○2○3式可得qB

mE x 22= ○4 由○4可得 qB mE qB E E m x 22)(221-?+=?=)11(22-?+E

E qB mE ○5 当1≤α时，则

ααn n -=+1)1(1, 由于?E <

E E E ??+=?+2111,

由○5化简可得 E qBE

mE x ?≈?21. (2)动能为E 的α粒子沿?± 角入射（如图乙）.

轨道半径R 相同，qB

mE R 2=, 由几何关系得 2sin 24)cos 1(22cos 2222???qB mE qB mE R R x =-=

-=? 本题型可看作前面二个题型的组合，充分利用前面二个题型的结论（图形规律），画出本题中粒子的轨迹范围。

问题三：多解性问题

题型3-1-1：如图9-17甲所示，A 、B 为一对平行板，板长为L ，两板距离为d ，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里，一个质量为m ，带电量为+q 的带电粒子以初速，从A 、B 两板的中间，沿垂直于磁感线的方向射入磁场。求在什么范围内，粒子能从磁场内射出？

分析与解答：粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作

用，将做匀速圆周运动，圆周运动的圆心在入射点的

正上方。要想使粒子能射出磁场区，半径r 必须小于

d/4（粒子将在磁场中转半个圆周后从左方射出）或大

于某个数值（粒子将在磁场中运动一段圆弧后从右方

射出）

如图9-17乙所示，当粒子从左边射出时，若运动轨迹半径最大，则其圆心为图中O1点，半径

。因此粒子从左边射出必须满足。 由于r v m Bqv 200 所以 即

:

当粒子从右边射出时，若运动轨迹半径最小，则其圆心为图中O2点，半径为

。 由几何关系可得

:

因此粒子从右边射出必须满足的条件是

，即 所以当或时，粒子可以从磁场内射出。

易错点分析：本题很容易遗忘转过1800这种情况。

题型3-1-2如图9-15所示，第一象限范围内有垂直于xoy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B 。质量为m ，电量大小为q 的带电粒子在xoy 平面里经原点O 射入磁场中，初速度v0与x 轴夹角θ=60o ，试分析计算：

（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？

（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？

图9-15 图9-16

图

9-17

分析与解答：若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O1，粒子向x 轴偏转，并从A点离开磁场。若带电粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O2，粒子向y轴偏转，并从B点离开磁场。粒子速率一定，所以不论粒子带何种电荷，其运动轨道半径一定。只要确定粒子的运动轨迹，即可求解。

粒子运动半径：。如图9-16，有

带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为

（1）若粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生的偏转角

A点与O点相距

若粒子带正电，它将从y轴上B点离开磁场，运动方向发生的偏转角

B点与O点相距

（2）若粒子带负电，它从O到A所用的时间为

若粒子带正电，它从O到B所用的时间为