静电场边界条件证明
采用基本方程的积分形式。
、分解为与分界面垂直和平行的两个分量：
2.请考虑一下，下面的证明应该采用哪个定律或方程：
电场的环流方程
高斯通量定律
在分界面上取一小的矩形闭合路径，两个边
与分界面平行并分居于分界面
的两侧，高h为无限小量（如下图所示）。对于此矩形回路，电场强度变量在此回路上的环量为零，可写作
是取矩形回路的边构成的矢量，其方向与介质1中绕行回路的方向一
取回路包围的矩形面积的法向单位矢量为，则有
，代入
得
或改写成
图1.6.2 边界条件的证明2
因回路是任取的，对于不同的取向上式总成立，表明有
，
即
或写成
所以，在不同的介质分界面上的电场强度变量的切向分量应该是连续的。电
场强度的切向分量连续的边界条件用电位函数表示时，可得到
表明
分界面上的电位函数也是连续的。
采用基本方程的积分形式。 、分解为与分界面垂直和平行的两个分量：
2.请考虑一下，下面的证明应该采用哪个定律或方程：
电场的环流方程
高斯通量定律
首先在分界面上取一个小的柱形
闭合面，其上、下底面与分界面
平行并分居于分界面两侧，高h
为无 限小量（如图所示）。对于
此闭合面，高斯通量定律写成
得
是分界面上的自由电荷密度。
当分界面上没有自由电荷时则有或
， 可得分界面上
的法向分量的边界
条件。
图1.6.1 边界条件的证明1
电磁场的边界条件
1)麦克斯韦方程组可以应用于任何连续的介质内部。 2)在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变。 3)分界面两边按照某种规律突变，称这种突变关系为电磁场的边值关系或边界条件。 4)推导边界条件的依据是麦克斯韦方程组的积分形式。 一、边界条件的一般形式 1、B 的边界条件: 2、D 的边界条件 结论：电位移矢量 在不同媒质分界面两侧的法向分量不连续，其差值等于分界面上自由电荷面密度。 3. H 的边界条件 h ?→S ?n -n 2 μ 1μ 2 B 1B n 11220 B dS B dS ??+?=120 B n B n ??-?=210 lim S h D H l H l J sl slh t →???-?=?-??2t t S H H J ?-=12()S n H H J ??-=21,S H l H l J s l n s ??-?=?=?()C s D H dl J dS t ?=+??? 2 μ1μ2H n 1H h ?→l s 12()S n H H J ?-=12()D D n σ -?=? 2ε 1ε 2 D 1 D n 0 h ?→S ?n -n 12n n D D σ ?-=0S B dS ?=? 12()0 n B B ?-=21n n B B ?=S D dS q =?? ? ?
式中： S J 为介质分界面上的自由电流面密度。 结论：磁场强度 D 在不同媒质分界面两侧的切向分量不连续，其差值等于分界面上的电流面密度S J 4.E 的边界条件 结论：电场强度E 在不同每只分界面两侧的切向分量连续。 二、理想介质是指电导率为零的媒质，0=γ 2)在理想介质内部和表面上，不存在自由电荷和自由电流。 结论：在理想介质分界面上，E 、H 矢量切向连续； 在理想介质分界面上，B 、D 矢量法向连续。 三、理想导体表面上的边界条件 1)理想介质是指电导率为无穷大的导体， 12t t E E ?=12()0 n E E ??-= 2ε 1 ε 2 E n 1E 2 θ 1θ 0h ?→l s l S B E dl d S t ??=-??? ?12()0 n E E ?-=?12t t E E =0 s J =0 ρ=12t t H H =? 12n n D D =12()0 n D D ?-=?12()0 n B B ?-=12n n B B =?12()0n H H ?-=
2.5 静电场的基本方程.分界面边界条件
2.5 静电场基本方程 分界面上的衔接条件 2.5.1 静电场的基本方程 总结静电场环量特性及闭合面通量特性，得到了反映静电场基本特性的方程 ?=?l 0d l E （2.5.1） ?=?S q S D d （2.5.2） 0=??E （2.5.3） ρ=??D （2.5.4） 称之为静电场的基本方程，方程（2.5.1）和（2.5.2）是基本方程的积分形式，它们从整体上以表明静电场的无旋性（守恒性）和静电场的有散性（有源性）这两个基本特征。方程（2.5.3）和（2.5.4）是以上两基本方程对应的微分形式，它们更为直接地描述静电场的无旋性和有散性的分布特性。 基本方程的微分形式显得更为重要。一方面，可以从散度和旋度角度描述静电场中各点场与源的关系；另一方面，在计算上反映静电场域空间各点场与源的变化情况。 从计算角度看：基本方程的积分形式适用于大范围的分析计算，它们在静电场的任何区域都成立；而微分形式适合于在同种介质中求解场量（指E 、D 、φ）的分布，在不同介质分界面上它不成立。由唯一性定理可知，散度和旋度再加上边界条件共同唯一地确定静电场，这边界条件还需要基本方程的积分来推求。 研究介质极化的影响，有 D = ε0 E + P （2.5.5a ） D = ε E （2.5.5b ） 方程（2.5.5a ）和（2.5.5b ）是联系D 、E 的媒质的构成方程，它们不是基本方程，但其重要性是不言而喻的。（2.5.5a ）对任何介质均成立，方程（2.5.5b ）只适用于各向同性线性介质。 2.5.2 介质分界面上的衔接条件 在不同介质的分界面上，可能存在极化电荷和自由电荷，它们使场量的大小和方向
第三章静电场边值问题
第三章 静电场边值问题 在上一章中，我们已经知道了几种从电荷分布求静电场的问题。一种是直接积分式(2-2-1)求得已知电荷分布情况下的电场；另一种是利用式(2-2-4)高斯定理求解某些具有对称性电荷分布的静电场问题；再一种就是由式(2-2-10)求出静电势，再利用关系式?=-?E 求出电场，这些问题一般都不存在边界。然而，对于许多实际静电问题，电荷的分布是复杂的，计算积分很困难，甚至是不能积分，有些静电问题只给出了边界上的面电荷或电势。在这种情况下，需有其它有效的方法求解静电问题，这种方法就是求解静电势所满足的偏微分方程。这偏微分方程就是由式(2-2-10)给出的方程： 20 ρ ?ε?=- 因此，对于有边界存在的情况下，我们不得不求解给定边界条件下静电势微分方程，然后求出静电场，这一问题称为静电场边值问题。即求出满足给定边界条件的泊松方程的解。 在这一章中，我们首先介绍静电唯一性定理，它是解决静电场边值问题的基础。基于静电唯一性定理，我们主要介绍两种求解静电场边值问题的方法：电像法和分离变量法。当然，求解边值问题还有其它的方法。 值得一提的是，本章所介绍的方法不仅仅适用于静电场，它同样适用于静磁场和时变电磁场。 3-1 静电唯一性定理 我们将证明，如果我们得到了满足给定边界条件的泊松方程的解，那么，这个解是唯一的。这就是静电唯一性定理。下面我们证明这一定理并初步介绍它的应用。 在由边界面s 包围的求解区域V 内，若： 1) 区域V 内的电荷分布给定； 2) 在边界面s 上各点，给定了电势s ?，或给定了电势法向偏导数s n ? ??， 则V 内的电势唯一确定。 以上的表述就是静电唯一性定理。下面，我们用反证法证明静电唯一性定理。 证: 假定在区域V 内的电荷密度分布为ρ(r )，且有两个不同的解φ1和φ2满足泊松方程及给定边界条件(给定的电势值s ?或电势法向偏导数 s n ? ??)。即：
2.9 电磁场的边界条件
2.9 电磁场的边界条件
自强●弘毅●求是●拓新
实际电磁场问题都是在一定的空间和时间范围内发 生的，它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状 态。 即使是无界空间中的电磁场问题，该无界空间也可 能是由多种不同介质组成的，不同介质的交界面和 无穷远界面上电磁场构成了边界条件。
边界条件： 即电磁场在不同介质的边界面上服从的条件，也可 以理解为界面两侧相邻点在无限趋近时所要满足的 约束条件。边界条件是完整的表示需要导出界面两 侧相邻点电磁场矢量所满足的约束关系。
由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界 面两侧也发生突变。所以Maxwell方程组的微分形式 在分界面两侧失去意义（因为微分方程要求场量连续 可微）。而积分方程则不要求电磁场量连续，从积分 形式的麦克斯韦方程组出发，导出电磁场的边界条件
把积分Maxwell方程组应用到图所表示的两媒质交界 面的扁平圆盘。根据Gauss定理，让h→0，场在扁平 圆盘壁上的通量为零，得到： ? ? ? n ? ? D ? ds ? D ? ( ? n ) ? S ? D ? ( n ? S ) D 1 2 ?S 2
? ( D2 n ? D1n )?S ? ? s ?S
? ? ?s (D2 ? D1 ) ? n ? ?0 (B 2 ? B1 ) ? n
h
?r2
D1
? ? r1
在介质分界面两侧，选取如图所示的积环路，应用安培环路积 分公式： ? ? ? ? ? ? ? ?D H ? dl ? H ? ? l ? H ? ( ? ? l ) ? ( H ? H ) ? t ? l ? ? ( J ? ) ? ds 1 2 1 2 ?l ??S ?t ?
? ? t ? N ?n
? ? ? ( H 2 ? H1 ) ? t ? ( H 2 ? H1 ) ? ( N ? n ) ? ? ? J ?N ? ? ? (H ? H ) ? N n
2 1 s
? ? ( H 2 ? H1 ) ? J s ?n
? ? ( E 2 ? E1 ) ? 0 n
电磁场的边界条件(一)
3.5 电磁场的边界条件（一） 1.电场法向分量的边界条件 2.电场切向分量的边界条件 3.标量电位的边界条件
决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。1. 电场法向分量的边界条件 如图所示，在柱形闭合面上应用电场的高斯定律 1122??d S S D S n D S n D S S ρ?=??+??=?? 故：1122??S n D n D ρ?+?=若规定 ?n 为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，则1??n n =2??n n =-12?()S n D D ρ?-=1n 2n S D D ρ-=因为：D E ε=11n 22n S E E εερ-=
2. 电场切向分量的边界条件 在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路abcd ,在此回路上应用法拉第电磁 感应定律d d l S B E l S t ??=-??? ? 因为： 1t 2t d l E l E l E l ?=?-??d 0S B B S l h t t ??-?=-??=???故： 1t 2t E E =12?()0n E E ?-=该式表明，在分界面上电场强度的切向分量总是连续的。或1t 2t 1 2 D D εε= 因为：D E ε=若媒质Ⅱ为理想导体时：1t 0 E =理想导体表面没有切向电场。
3. 标量电位的边界条件 在两种媒质分界面上取两点，分别为A 和B ，如图，从标量电位的物理意义出发 1n 2n d 22 B A B A h h E l E E φφ??-=?=+?0 A B φφ-=A B φφ=12S S φφ=该式表明：在两种媒质分界面处， 标量电位是连续的。 E φ =-?21 21S S S n n φφεερ??-=??故： 因为：1n 2n S D D ρ-=在理想导体表面上： S C φ=（常数） h ?=因：
第3讲：准静电场和准静磁场及其边界条件
6.641 电磁场、电磁力和电磁运动 Markus Zahn 教授 第3讲：准静电场和准静磁场及其边界条件 I. 准静电场的条件 A. 大小评价系数 [ 特征长度L ，特征时间τ ] 图3.3.1 包含一个典型长度的模型系统，（a）电动势源驱动一对半径和间距均为L量级的理想导体球的EQS系统。 Hermann A. Haus 和 James R. Melcher赠送，经过允许。 E L E E L ρρρεεε??=?=?= 2E H E EL L H H t L εερ ετττ??×=?=?==? 2 3 2E H H L E E t L L μμρμρμτττ??×=??==?=?误差误差 ( ) 3 222 2;E L L L C E L C μρμρετρττ====误差 11E L E C τ <
0Z Z V E i E i d == 000su E Z d E Z εσε?=?=?+=? 2 02022su su r r d d b b K b b K dt dt dt dE σσππε+=?=?=? ()20 022c S dE dE r H ds E da H r r H t dt φφεππε??=??=?=?∫∫ dt ε da t H ds E S c ????=?∫∫μ 图3.3.3 表示包含下方平板的体积和平板末梢处的径向面电流密度的图3.3.2平行板。 Hermann A. Haus 和 James R. Melcher赠送，经过允许。 图3.3.4 表示用于计算修正电场的表面和周线的图3.3.2所示子系统的截面。 Hermann A. Haus 和 James R. Melcher赠送，经过允许。 ()()[]() 2 22220242dt E d r b d dt E d d r d r d r E b E b r Z Z ?=′′+=?∫μεμε ()()22 20 02 4Z d E E r E r b dt εμ=+ ? 如果 ()0cos E t A t ω= ()()22 22 220 2 00144 E d E b r w b r E E dt εμεμ= ?=误差? 22 114 E b E ωεμ<