第十二讲 求图形面积的几种常用方法

a

b

第十二讲 求图形面积的几种常用方法

在组合图形中，求阴影部分的面积的常用方法是：割补法、加减法、旋转法、构造法、等积的变换，抓不变量、等分、一半的应用、代换、比例等。

A 、割补法：对于一些求不在一起的几块阴影面积的和，往往需要把它们通过剪割、拼补在一起，才便于计算，在剪割、拼补过程中，一定要注意割下来的图形和补上去的图形的形状、大小必须完全一样。

【例1】如图，每个小圆的半径是2厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【分析与解】如图，通过剪割、拼补，阴影部分的面积就变成了圆的面积减去正方形的面积，则阴影部分面积为：S

阴影

=S 圆－S

正方形

=π×42－4×4÷2×4=50.24－32=18.24(平方

厘米)

【例2】右图中三个圆的半径都是4厘米，三个圆两两交于圆心。求阴影部分的面积是多少平方厘米？

【分析与解】如图，三个阴影部分的面积都相等，只需要求出其中一个面积即可，但非常困难。这时我们可以考虑采用割补的方法，同时利用对称性，将其个半圆形，则阴影部分的面积=3。14×4×4÷2=25。12（平方厘米）

B 、加减法：注意观察，所求阴影部分的面积看是由哪几个图形相加，再减去哪个图形变可以得到。我们把这种通过加、减就能求出它的面积的方法，我们的把它称为“加减法”。

【例3】如图，正方形的边长为4厘米，求阴影部分的面积是多少？

【分析与解】如图，显然阴影部分的面积=扇形的面积 －空白c 的面积，而空白c 的面积=正方形的面积－扇形的面积，即

S 阴影=S 扇－（S 正－S 扇）= S 扇－S 正＋S 扇= S 扇＋S 扇－S 正即S 扇＋S 扇比S 正的面积多了b 那部分的面积，即b= [(b ＋c)＋(b ＋a)]－(a ＋b ＋c)阴影部分的面积，S 阴=π×42÷4×2－4×4=25.12－16=9.12(平方厘米)。

【例4】如图，长方形的长为12厘米，宽为8厘米，求阴影部分的面积是多少？

【分析与解】如图，S 阴影= S 大扇－S a = S 大扇－(S 长－S 小扇) = S 大扇＋S

小扇

－S 长=π×122÷4＋π×82

÷4－12×8=163.28－96=67.28（平方厘米）

C 、旋转法：在求一些面积时，有时需要把某个图形进行一定方向的旋转，使之拼在一起，变成另一个比较方便求的图形。 【例5】如图，梯形ABC

D 的上底是3厘米，下底是5厘米，高是4厘米，

E 是梯形的中点。求阴影部分的面积是多少？

【分析与解】如图，由于E 是梯形的中点，若以E 为圆心，将三角形BEC 绕反时针方向放置，使C 点与D 点重合，显然可得，阴影部分的面积 与三角形ABE 的面积相等，所以阴影部分的面积=

梯形

A D E

B

C

面积的一半=（3＋4）×4÷2÷2=8（平方厘米）。

D 、等分法：就是将整个图形，平均分成若干份，再看所求的图形的面积占多少份，从而求得阴影部分的面积。

【例6】将三角形ABC 的三条边分别向外延长一倍，得到一个大的六边形，已知三角形ABC 的面积是6平方厘米，求大六边形的面积。

【分析与解】要求六边形的面积，似乎很困难，但通过三角形的顶点A 、B 、C 的三条边对六边形进行等分，就很容易得出，六边形的面积是三角形面积的13倍，故所求面积为：6×13=78（平方厘米）

【例7】如图，在正方形中，放置了两个小正方形，大正方形的面积是

180平方厘米，求甲乙两个小正方形有面积各是多少？

【分析与解】经过等分，可以得到，甲的面积占正方形面积的一半的1

2即甲的面积为180÷2÷2=45（平方厘米）；乙的面积占正方形面积的一半的4

9

，即乙的面积=180÷2÷9×4=40（平方厘米）。

E 、抓不变量：若甲比乙的面积大a ，则甲和乙同时加上或减去相同的数，它们的大小不变，而图形发生变化，再通过变化后的图形进行求解，就可以使问题得到简便；若两个面积相等的图形，同时加上或差动相同的面积，则剩下的面积仍然相等。

【例8】如图，已知半圆的AB=20（厘米），阴影①比阴影②面积大57平方厘米，求直角三角形的高BC 的长？

【分析与解】根据条件，可以求得半圆的面积为：3.14×10×10÷2=157（平方厘米），又“阴影①比阴影②面积大57平方厘米”，若阴影①和阴影②都加上空白部分，则半圆的面积比三角形的面积大57平方厘米，因此可求得三角形面积是157－57=100（平方厘米），高BC 为：100×2÷20=10（厘米）

F 、“一半”的应用：在正方形、长方形、平行四边形中，以其中一条边为底，在它的对边上任意取一点，所得的三角形的面积等于整个面积的一半。

【例9】一个长方形长边为12厘米，宽AB=8厘米，E 是BC 上一点，AE 长10厘米，AE 和DF 互相垂直，DF 长是多少厘米？ 【分析与解】如图，如果连接DE ，则可得三角形ADE 的面积是长方形面积的一半，由“AE 和DF 互相垂直”，可知DF 是三角形ADE 的高，则DF=12×8÷2×2÷10=9.6(厘米)

A

B

C

A B

D

F

【例10】如图，在长方形中，四条直线把长方形分成了八部分，

已知其中的三部分的面积分别是17、45、34平方厘米，则阴影部分的

面积是多少平方厘米？

【分析与解】首先可得，两个大三角形的面积都是长方形面积的

一半，所剩下的部分也是长方形的一半，为了能比较清楚的表示它们之间的关系，不妨用字

母a 、b 、c 来表示其余部分的面积。显然有a ＋b ＋c=a ＋17＋45＋c ＋34，所以阴影部分的面积b=17＋45＋34=96（平方厘米）

【另解】也可根据覆盖原理，当覆盖部分面积之和等于总面积时，必有重叠面积等于外露面积。b 是重叠面积，17、45、34都是外露面积，所以有b=17＋45＋34=96（平方厘米）

G 、等积变换：根据图形的特点，由面积与面积之间的相等关系，进行一些转化，从而使问题解决得到简便。

【例11】如图，由大、小两个正方形组成的图形中，小正方形的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

【分析与解】根据已知条件，要求阴影部分的面积是比较难的。但是，如果我们连接BD ，再仔细观察三角形ACD 与三角形ABC ，不难得出它们都是以小正方形的对角线AC 为底，以梯形ABDC 的高为高，所以三角形ACD 的面积=三角形ABC 的面积=小正方形面积的一半，所以阴影部分的面积=6×6÷2=18（平方厘米）。

【例12】三角形ABC 的面积为60平方厘米，AE=ED ，BD=2

3

BC ，

求阴影部分的面积是多少平方厘米？

【分析与解】BC 看成3份，DC 就是1份，由“AE=ED ”可得三角形ABE 的面积=三角形BDE 的面积。又以BD 为底的三角形在

图上有三角形BDE 和三角形BDF ，所以需要连接的线有EC 或DF ，

如果连接EC ，则会发现三角形AEF 与三角形BED 的联系不大；如

果连接DF ，则有三角形AEF 与三角形EFD 的面积相等，阴影部分的面积变变成为三角形BFD 的面积。这时我们把三角形FDC 的面积看作1份，三角形BDF 的面积就是2份，三角形ABF 的面积=三角形BDF 的面积，所以三角形ABF 的面积也为2份，三角形ABC 的面积就被平分成了1＋2＋2=5（份），阴影部分的面积为：60÷5×2=24（平方厘米）。

H 、构造法：就是根据已知数据的特殊性，构造出一个我们比较熟悉的图形来进行解答。这种方法在以后的学习中应用得更加广泛，在这里我们主要讲如何将直角三角形构造成正方形来计算的题型。

【例13】一个等腰直角三角形的斜边长6厘米，求它的面积？ 【分析与解】如果我们用四个同样的等腰直角三角形就可以构造成

一个正方形，这个正方形的边长就是这个三角形的斜边长度，面积是这个三角形的4

倍。所求直角三角形的面积是6×6÷4=9（平方厘米）。

17

45 c

34 a

b C

B

D

A B

D C

F

E

6

6

【例14】一个直角三角形的斜边长10厘米，两直角边相差6厘米，求它的面积？ 【分析与解】

方形，正方形中阴影部分的面积=大正方形的面积－小正方形的面积，小正方形的边长恰好是两条直角边的差，所以直角三角形的面积=

（10×10－6×6）÷4=16（平方厘米）。

I 、比例法：如果两个三角形的高相等，则它们面积的比等于它们底的比；如果两个三角形的底相等，则它们面积的比等于它们高的比；如果两个长方形的宽相等，则它们面积的比就等于长的比。

【例15】如图，在梯形ABCD ，两条对角线相交于O ，下底是上底的3倍，三角形AOD 的面积是12平方厘米，那么梯形的面积为多少平方厘米？

【分析与解】在梯形ABCD 中，容易得出三角形AOB 的面积=三角形DOC 的面积=12平方厘米；又AO ：OC=OB ：OD=AB ：DC=1：3，12:a=3:1,a=4,12:b=1:3,b=36,则梯形的面积为：12＋12＋4＋36=64（平方厘

米）。

【例16】如图，长方形被两条直线分成了四个小长方形，已知其中三个长方形的面积分别是：4、6、21平方厘米，那么阴影部分的面积是多少？

【分析与解】设阴影部分的面积是x 平方厘米，则有4：6=x ：21，则阴影部分x 的面积=21×4÷6=14（平方厘米）。

J 、利用r 2和r 3代换：有解有关圆和圆柱的题目时，如果没有告诉半径以及没有给出求半径的条件，直接给出图形的面积时，往往不需要求半径，只需求出r 2和r 3即可。

【例17】如图，阴影部分的面积为20平方厘米，求圆环的面积是多少？ 【分析与解】圆环的面积=大圆面积－小圆面积=πR 2－πr 2=π(R 2－r 2);而R 2所表示的意义为大正方形的面积，r 2

所表示的意义为小正方形的面积，(R 2－r 2)恰好表示阴影部分的面积，所以圆环的面积=π(R 2－r 2)=3.14×20=62.8（平方厘米）。

【例18】一个正方体的体积50立方厘米，一个圆柱体的底面半径、高与正方体的棱长都相等，求这个圆柱体的体积？

【分析与解】设正方体的棱长为a,圆柱体的底面半径为r ，高为h ，则有a 3=50,r=h=a,V=∏r 2h=∏a 3=3.14×50=157（立方厘米）

C C

4 6 21

x

解法练习题12

A 、割补法：

1、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）

图1一2

图1—1

图1—

3

6

6 图1—5

4

4

图1--6

图1--7 6

6

4

8

图1--8

图1--9

16

2

2 2

图1--10

a

b

图1--11

小圆半径为2 图1--12

B 、加减法：

2、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 、

图

1--13

10

图

1--14

6

4

图

2--4

6

45

4 5

3 图2--6

8 8

图2--9

4

4

图2--10

5

4

图2--12

A

B

C

D AC=2

图2--13

4

4 图2--14

图2--8

5 6

C 、旋转法：

3、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）

图

2--15

图2--16

O 1

O 2

A

B

AB=17 O 1 O

2=10

=

10

10

图3--1 图3--2

图3--3

2

12

12

13

13

图3--4

D 、等分法：

4、下列每个正六边形的面积都是36平方厘米，求图形中阴影部分的面积。

5、四个相同的正六边形，每个面积都是6平方厘米，求图形中三角形的面积。

6、如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形拼成一个长方形，已知正方形的面积是5平方厘米，求长方形的面积。

7、E 是长方形的中点，求阴影部分的面积与长方形的面积的比。 8、长方形ABCD 的长是15厘米，宽是8厘米，E 、F 是中点，求阴影部分的面积。

图

4--1

图

4--2

图

4--3

A

D

D C

E F

A B

C

E

F

D

9、正方形ABCD 的面积是12平方厘米， E 、F 、G 、H 分别是中点，求阴影部分的面积。

10、下面是两个等腰直角三角形组成的图形，求阴影部分的面积占整个图形的几分之

E 、抓不变量：

11、正方形ABCD 的边长为5厘米，△CEF 的面积比△ABE 的面积大

5平方厘米，求CE 的长。

12、已知长方形ABCD ，长是8厘米，宽是6厘米，阴影①比阴影②面积小10.5平方厘米，求线段CE 的长？

13、在平行四边形BCDG 中，BC 长10厘米，直角三角形ABC 的直角边AB 的长是8厘米，已知阴影部分的面积比△AEF 的面积大10平方厘米。求BF 的长？

A H

D

G

C

F

B E A D

C E F

B E

G

14、已知半圆的半径是4，阴影部分①比阴影部分②面积大4.44平方厘米，求BC 的长？

15、如图三角形ABC 与三角形DEF 是两个完全一样的三角形，已知AB=12，BE=5，DG=4，求阴影部分的面积？

16、如图，OB 把半径为6厘米，圆心角为900的扇形分成两部分，扇形OBC 的面积是扇形OAB 面积的2

倍。ODBE 是长方形，那么图中甲的面积比乙的面积大多少？

F 、“一半”的应用：

17、已知长方形的长为8厘米，宽为6厘米，求阴影部分的面积？

18、已知平行四边形被分为4个三角形，已知其中3个三角形有面积分别为11、30、43平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？

19、如图所示，已知平行四边形中的3个三角形的面积分别为7、

2、9平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？

②

①

C

A

F

6 11

43 30

20、如图所示，已知正方形图中的五块面积分别为65、20、50、15、70平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？

21、在平行四边形ABCD 中，三角形ABP 的面积为15，三角形PBC 的面积为34，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？

22、ABCD 是正方形，EDGF 是长方形，CD=4厘米，DG=5厘米，求宽DE=？

23、在长方形ABCD 中，三角形ABP 的面积为12，三角形PBC 的面积为21，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？

24、平行四边形ABCD 中，被两条直线分成四个平行四边形，已知平行四边形PFBG=26平方厘米，平行四边形DHPE=16平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？

25、正方形外面有A 、B 两点，图形内所标数据分别为各小三角形的面积，那么阴影部

分的面积为多少平方厘米？

65

20

50

15

70

A B D

P C

B A D

C

E F A B C

D

P B

3

2

0.8

0.5

1.5

0.6

A

B

26、如图，ABCD 为平行四边形，三角形DCE 的面积是97平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？

27、如图，在四边形ABCD 中，DCFG 为正方形，ADEB 为梯形，DE=30厘米，DG=24厘米，AB=39厘米，求梯形ABED 的面积？

28、如图，长方形被分成四个小三角形，其中一个三角形占长方形面积的21%，另一个面积为

87平方厘米，求长方形的面积？

29、在四边形ABCD

中，AB=BC=10厘米，BE=8厘米，求AD 的长？

30、在正方形ABCD 中，AB=8厘米，AF=10厘米，求DE 的长？

31、BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米，绿色四边形的面积是多少平方厘米？

A B

F

E C D 21%

87

A B

C

D

F E

绿色

红色 黄色

32、AED 和BFC 是两个相等的等腰直角三角形，面积都是2003平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积？

33、AE ：ED=9：5，BF ：FC=7：4。比较红色与蓝色面积的大小。

G 、等积变换：

34、三角形ABC 的面积为1，AE=ED ，BD=2

3

BC ，求阴影部分的面积。

35、如图所示，BD=2

3 BC ，AE=ED ，若三角形ABC 的面积是14平方厘米，求阴影部

分的面

积。

36、三角形ABC 的面积是40平方厘米，AE=ED ，DC=2DB ，则阴影部分的面积是多少平方厘

米？

37、三角形ABC 的面积是12平方厘米， EC=2AE ，F 是中点，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

A B

E

F

红

蓝 A B F C D

E

红 蓝 A

B

D

C

F E

A

B

D C

F E A

B

D

C

E

F A B

C

D

E

F

38、由大小两个正方形组成的图形中，小正方形的边长是6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

39、由大小两个正方形的边长分别是10厘米、6厘米，则阴影部分的面积是多少平方

厘

米？

40、已知长方形的长是15厘米，宽是8厘米，四边形EFGH 的面积是12平方厘米，求空白部分的面积？

41、已知长方形的长是8厘米，宽是6厘米，四边形EFGH 的面积是

3平方厘米，求

阴影部分的面积？

H 、构造法：

43、一个等腰直角三角形的斜边长6厘米，求它的面积？

44、一个正方形的对角线长5厘米，求这个正方形的面积。

A

B C

D

E F G

H

H A

B

C

D

E F G 12 7

45、一个直角三角形的斜边长是10厘米，两直角边的差是3厘米，求这个直角三角形的面积？

46、一个直角三角形的斜边长是15厘米，两直角边的差是4厘米，求这个直角三角形的面积？

47、如图，小正方形的边长是3厘米，大正方形的边长是5厘米，求阴影部分的面积是多少？

I 、比例法：

48、四边形的两条对角线，将四边形分为四个小三角形，

已知其中三个三角形的面积分别是15平方米、75平方米、65平方米，求阴影部分的面积？

49、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积分别是20平方米、25平方米、30平方米，求阴影部分的面积？

50、一个长方形被四条直线分成九个长方形，其中五个的面积分别是1、2、3、4、5

51、如图所示，图形内所标数据分别为各小长方形的面积，那么大长方形的面积是多少？

36 16 20 30 12

52、如图所示，已知梯形中的两个小三角形的面积为3、9平方厘米，那么梯形的面积是多少？

53、如图所示，已知梯形ABCD 中，三角形CDE 的面积为20平方厘米，AE ：ED=2：5，那么梯形的面积是多少？

54、如图所示，已知梯形ABCD 中，三角形ADE 的面积为60平方厘米，AB ：CD=1：3，那么梯形的面积是多少？

55、如图，在正方形中，放了三个同样大的小正方形，已知绿色部分的面积是

20，蓝色部分的面积是14，红色部分的面积是10，求大正方形的面积？

56、如图所示，图中的数据为该三角形的面积，求阴影部分的面积？

57、如图所示，图中的数据为该三角形的面积，求阴影部分的面积？

58、如图所示，图中的数据为该三角形的面积，求阴影部分的面积？

3 9

A

B C

D E

20

A B C

D

E

60 5

10

8 2

4

3

7 8

6

5

A B

A

B

O

59、如图所示，图中的数据为所在小三角形的面积，求大三角形的面积？

J 、利用r 2

和r 3代换

60、正方形中，最大圆的面积占正方形面积的（—）≈（ ）%；圆中，最大正方形的面积占圆面积的（—）。

61、下图中，已知正方形的面积是20平方厘米，求图中阴影部分的面积。

157平方厘米，求图中阴影部分的面积。 63、如图，等腰直角三角形的面积是10平方厘米，求图中阴影部分的面积。

ABC 的面积是40平方厘米，求图中阴影部分的面积。

65、下图中，AOB 是等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是20平方厘米，求圆环的面积。

66、下图中，AOB 是等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是50平方厘米，求圆环的

面积。

84 35

40

30

40平方厘米，求圆环的面积。

20平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？

69、正方体的棱长与圆柱的底面半径、高都相等。已知正方体的体积是50立方厘米，那么圆柱的体积是多少立方厘米？

70、正方体的棱长与圆柱的底面半径、高都相等。已知圆柱的体积是157立方厘米，那么正方体的体积是多少立方厘米？

71、正方体的棱长与圆锥的底面半径、高都相等。已知正方体的体积是20立方厘米，那么圆柱的体积是多少立方厘米？