正弦余弦正切
直角三角形的边角关系—正弦、余弦、正切
知识要点
1.正弦:在直角三角形中,一个锐角所对的直角边与斜边的比,叫做这个角的正弦. 即:c a A A =∠=
斜边的对边sin ； c
b
B B =∠=斜边的对边sin .
2．余弦：在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比，叫做这个角的余弦． 即:c b A A =∠=
斜边的邻边cos ； c
a
B B =∠=斜边的邻边cos
3.正切:在直角三角形中,一个锐角所对的直角边与邻边的比,叫做这个角的正切.
即:b a A A A =∠∠=
的邻边的对边tan ； a
b
B B B =∠∠=的邻边的对边tan .
4．特殊角的正弦，余弦值：
=?0sin 0；=
?30sin 2
1
；=?45sin 22；=?60sin 23；=?90sin 1；
=?0cos 1；=
?30cos 23；=?45cos 22；=?60cos 2
1
；=?90cos 0． =?0tan 0 ；=
?30tan 3
3
；=?45tan 1 ；=?60tan 3；?90tan 不存在 ； 5．正、余弦、正切值随锐角大小的变化（即增减性）：
正弦值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小，正切值随锐角的增大而增大。 6．互余两角的正弦，余弦间的关系：
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．
()ααcos 90sin =-?； ()ααsin 90cos =-?．
7．同角的正弦，余弦间的关系： （1）平方和的关系：1cos sin 22=+A A ．
（2）大小比较：当?<． 当?<
（3）正切、余切与正弦、余弦间的关系：α
α
αcos sin tan =
例题讲解
例1 根据下列图中给出的ABC Rt ?的数据，求A sin ，A cos ，B sin ，B cos ，tanA,tanB 的值．
B
A
2 C
B
3
A
B
例2 已知等腰梯形ABCD 中，上底CD=2cm,下底AB=5cm,腰AD=3cm ，试求A sin ，A cos ,tanA 的值．
例3 求下列各式的值．
(1)?+?-?60cos 45cos 30sin (2)???-?30cos 30sin 260sin (3)?+?+?50cos 50sin 45cos 222
(4)?+?60sin 30cos 22 (5)?-?60cos 445cos 2 (6)?-?
?
60cos 245cos 45sin
(7)?-??+?30sin 30cos 60sin 60cos (8)()2
60cos 60sin ?-? (9)?
??+?-?30tan 45tan 130tan 45tan
随堂练习： 一、选择题
1．在ABC Rt ?中，?=∠?=∠60,90A C ，BC=1，则AB=（ ） A ．2 B ．2 C ．
23 D ．33
2 2．在ABC Rt ?中，5
2
sin ,10,90=
=?=∠B AB C ，BC 的长是（ ） A ．212 B ．4 C ．21 D ．50
21 3．下列表达式正确的是（ ）
A ．?=?+?90cos 60cos 30cos
B ．145cos 45sin =???
C ．163cos 27cos 22=?+?
D ．3
360cos 30sin =?+? 4.当锐角?>∠60A 时,A ∠的余弦值( ) A.大于
23 B.小于23 C.大小21 D.小于2
1
5.已知α是锐角,
6.0sin =α,则( )
A.?<<300α
B.?<
C.?<
D.?<
﹡6．在ABC ?中，?=∠90C ，如果4
3
sin =A ，那么=B tan （ ）
A ．
4
3 B.
4
7 C.
7
3 D.
3
7 二、填空
1．用“<”号连接???44cos ,43cos ,41sin 是 .
2.在ABC Rt ?中,B A C ∠∠?=∠,,90和C ∠的对边分别是b a ,和c ,已知2
5
=
a ,215=
b ,则
c = ,A ∠= ,B ∠= ．
3．在ABC Rt ?中，33,30,90=?=∠?=∠AC A C ，则AB= ．
4．在ABC Rt ?中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8cm ，AC=cm 34，则AD= .
5.一梯形，它的两个下底角分别为?30和?45，较大的腰长为10cm ，则另一腰长为 cm ，两底之差为 .
6.???30cos ,45cos ,30sin 的大小关系是 .
7．在△ABC 中，若2
sin cos 0A B ?-+-=????
，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C= ．
8．在△ABC 中，∠C=90o ，若3AC =，则∠A= ，cos B = ． ﹡9.在ABC Rt ?中,?=∠90C ,若13
5
cos =
A ,则=A tan . 作业
一、填空
1．式子12sin30cos30-??= 。
2．已知Rt ABC ?中，90C ∠=?，5
sin 13
A =，则sin
B = 。
3．在Rt △ABC 中，∠C=90o ，4AB =，ABC S ?=，则tan tan A B += 4．等腰Rt △ABC 中，∠A=90o ，AB=AC ，D 为AC 上一点，AC AD 3
1
=，则DBC ∠tan = 。
5．在Rt △ABC 中，∠C=90o ，AB=2，BC =，则tan
2
A
= 。 6．在△ABC 中，∠B=30o ，tan 2,C =边AB=2，则BC= 。 二、选择
1．在△ABC 中，∠C=90°，则下列各式中不正确的是（ ）
A ．sin a c A =
B ．cos b c A =
C ．cos b c B =
D ．sin b
c B
=
2．在△ABC 中，∠C=90°，3
sin ,4
B c ==b 等于（ ）
A ．4
B ．
5 C ．2 D ．7
2
3．△ABC 中，若cos 2A =
，cos 2
B =，则此三角形是（ ）三角形。 A ．锐角 B ．直角
C ．钝角
D ．直角或钝角 4．等腰三角形的腰是底的2.5倍，则底角的余弦值等于（ ）
A B ．15 D ．2
5
三、计算
1．()0
32sin 451
π-+?+- 2．()sin 45cos30sin 601sin 3032cos60?+?
-?-?-?
3.?-???45tan 330cos 60tan
4.
()2
30cos 30sin 260sin 145cos 60sin 145sin ?-?+?
-?-?+?
5.()
2
22160sin 30tan 41
2160cos 2--
???+++?- 6．
?
-??
+
?+???30tan 60tan 60sin 60tan 145cos 30cos
四．在△ABC 中，已知02
1
cos 21sin =-+-
B A ，BC=1．
（1）试判断△ABC 的形状；（2）求AB 、AC 的长 ．