华师大版解直角三角形教案
第19章 解直角三角形
第1课时 §19.1 测 量
【教学目标】本节主要研究如何利用已学知识尤其是相似三角形的相关知识解
决生活中某些测量问题。
【教学重点】探究和解决生活中的某些测量问题。 【教学难点】探究解决生活中的某些测量问题的方法。 【教学方法】探究法
【教具准备】皮尺、测角仪 【教学过程】 一、问题引入
1．测量操场旗杆有多高？
如图19.1.1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。
图19.1.1
2．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识。 二、试一试
如图19.1.2所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．
你知道计算的方法吗？（请你量一量、算一算。）
实际上，我们利用图19.1.2（1）中
已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及到直角三角
图19.1.2
形中的边角关系．直角三角形中，三条边有什么关系？它的边与角又有什么关系？这一切都是本章要探究的内容。
三、归纳小结：
两种测量的方法：
方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长；
方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度。
四、课堂练习
1．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图所示），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A到竹竿顶部E处恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高。你认为这种测量方法是否可行？请说明理由。
2．请你与你的同学一起设计两种方案，测量你们学校楼房的高度。
五．课后作业P99（习题19.1）
第2课时§19.2勾股定理（1）
【教学目标】1.研究直角三角形的特殊性质：勾股定理；
2．运用勾股定理进行简单的计算。
【教学重点】运用勾股定理进行简单的计算。 【教学难点】理解勾股定理。 【教学方法】探究法
【教具准备】直尺、电脑、实物投影 【教学过程】 一、问题引入
现在先让我们一起来看看，直角三角形的三条边之间有什么关系.
1．观察图19.2.1三个正方形的面积之间的关系
AC 2＋BC 2＝AB 2
2．AC 、BC 、AB 又恰好是Rt △ABC 的三条边。这说明 。 二、试一试
观察图19.2.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：
正方形P 的面积＝______________平方厘米；
正方形Q 的面积＝_______________平方厘米.
正方形R 的面积＝______________平方厘米. 我们发现，正方形P 、Q 、R 的面积之间的关
系是_________________________________
由此，我们得出直角三角形ABC 的三边的长度之间存在关系______________________ 三、做一做
在图19.2.3的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm 、12cm 的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
四、勾股定理
数学上可以说明：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有
a 2+
b 2=
c 2
这种关系我们称为勾股定理.
勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
图19.2.1
（每一小格代表1平方厘米） 图19.2.3
（每一格表示1平方厘米）
图19.2.2
五、运用实例
例1如图19.2.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.（精确到0.01米）
解在Rt△ABC中,∠ABC=90゜,
BC=2.16,CA=5.41,
根据勾股定理得
2
2
2
216
.2
41
.5-
=
-
=BC
AC
AB
≈4.96（米）
六、课堂练习
①．P102：练习1～2
②．补充：
1．在Rt△ABC中，AB＝c,BC＝a，AC＝b, ∠A=90゜.
(1) 已知a=15,b=12,求c；
(2) 已知b=8,c=15,求a。
2．在Rt△ABC中，∠C=90゜，∠A=30゜，AB＝6，求：
(1) △ABC的面积；
(2) AB边上的高CD。
七、课后作业：
P104（习题19.2）：1～3题
第3课时§19.2勾股定理（2）
【教学目标】运用勾股定理进行简单的计算。
【教学重点】运用勾股定理进行简单的计算。
【教学难点】理解勾股定理。
【教学方法】探究法
【教具准备】直尺、电脑、实物投影
【教学过程】
一、复习提问
1．复述勾股定理的内容
2．在Rt△ABC中，AB＝c,BC＝a，AC＝b, ∠C=90゜.
(1) 已知a=12,b=9,求c；
(2) 已知b=8,c=17,求a。
3．在Rt△ABC中，∠C=90゜，∠A=30゜，AB＝6，求：图19.2.4
(1) △ABC 的面积； (2) AB 边上的高CD 。 二、讲述新课 1． 试一试
用你的方法说明勾股定理的正确性。 方法一：
()2
2
142
a
b a b
c +-?
=
方法二：
()2
2
142
b a a b
c -+?
=
2．例题讲解
例2 如图19.2.9，为了求出湖两岸的A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形.通过测量，得到AC 长160米，BC 长128米.问从点A 穿过湖到点B 有多远？
解 在直角三角形ABC 中， AC ＝160，BC ＝128，
根据勾股定理可得
2
2
BC
AC
AB -=
2
2
128
160
-=
= 96（米）
答：从点A 穿过湖到点B 有96米. 三、课堂练习
1． P104：1、2
图19.2.6
图19.2.7
图19.2.9
2．正方形的面积是
23
，它的对角线的平方是（ ）
A ．43
B ．49
C ．169
D ．23
3．等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则三角形的面积为（ ） A ．32 B ．40 C ．48 D ．56
4．把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边（ ） A ．扩大到原来的2倍 B ．扩大到原来的4倍
C ．不变
D ．减小到原来的
12
5．A 、B 两点在同一直角坐标系中的坐标分别为（2，2）和（5，-2），求A 、B 间的距离。
6．如右图，居民楼与马路是平行的，相距9米，在距离载重汽车41处就可受到噪音影响，试求在马路上以40km/h 速度行驶的载重汽车，给一楼的居民带来多长时间的噪音影响？
四、课后作业
P104（习题19.2）：4、5 第4课时 §19.3.1 锐角三角函数
【教学目标】1．了解锐角三角函数的定义；
2．初步掌握三角函数的性质；
3．知道几种特殊角的三角函数值；
4．掌握定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
【教学重点】掌握几种特殊角的三角函数值和定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半”。 【教学难点】掌握三角函数的性质 【教学方法】探究法
【教具准备】直尺、电脑、实物投影
马路
【教学过程】
一．复习引入
1．已知Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝∠A ′，问两个三角形的三组边是否成比例？
2．观察图19.3.2中的Rt △AB 1C 1、Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C 3中，
1
11AC
C B ＝__________=__________
1
11AB
C B ＝__________=__________
（可以使用几何画板演示）
结论：当Rt △ABC 中，∠A 的大小不变时，三条边的比例也不变（即为一个固定值）。
二．讲述新课
1．三角函数
对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的.
因此这几个比值都是锐角∠A 的函数，记作sin A 、cos A 、tan A 、cot A ，即
sin A =
斜边的对边
A ∠, cos A =
斜边的邻边
A ∠,
tan A =的邻边
的对边A A ∠∠, cot A = 的对边
的邻边A A ∠∠
分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数. 2．锐角三角函数的特征与性质：
（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1 （2）tan A ?cot A =1
（3）若∠A ＋∠B ＝90°，则sin A ＝cos B 、cos A ＝sin B 、tan A ＝cot B 、cot A ＝tan B 。 （4）补充：sin ta n
c o s A A A
=
，c o s c o t
sin A A A
=
（视情况定）
（5）补充：已知锐角∠A ，则22
sin c o s 1A A +=（视情况定）
图19.3.2
图19.3.1
3．例题讲解
例1 求出图19.3.3所示的Rt △ABC 中∠A 的四个三角函数值.
解 172892
2
==+=AC
BC
AB
sin A =178=AB BC cos A =1715=AB AC tan A =
15
8=AC
BC cot A =
8
15=BC
AC
4．探索：sin30゜＝？
5．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
6．做一做：请填出空白处的值
三．课堂练习
P109（练习）：1～4 四．课后作业
P111（习题19.3）：1～3
第5课时 §19.3.2 用计算器求锐角三角函数值
【教学目标】1．会使用计算器求锐角三角函数的值；
2．会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角。 【教学重点】会使用计算器求锐角三角函数的值
【教学难点】会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角 【教学方法】探究法
【教具准备】计算器、电脑、实物投影 【教学过程】
一．讲述新课
1．如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角.
（1） 求已知锐角的三角函数值.
例2 求sin63゜52′41″的值.（精确到0.0001）
图19.3.3
15
解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
显示
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.897 859 012.
所以 sin63゜52′41″≈0.8979
例3 求cot70゜45′的值.（精确到0.0001）
解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序
依次按键：
显示结果为0.349 215 633.
所以 cot70゜45′≈0.3492. （2） 由锐角三角函数值求锐角
例4 已知tan x =0.7410,求锐角x .（精确到1′） 解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序
依次按键：
显示结果为36.538 445 77. 再按键：
显示结果为36゜32′18.4.
所以，x ≈36゜32′.
例5 已知cot x =0.1950,求锐角x .（精确到1′） 分析 根据tan x ＝
x
cot 1，可以求出tan x 的值，然后根据例4的方法就可
以求出锐角x 的值.
二．课堂练习 1．P111（练习）：1～2 2．P111（习题19.3）：4～5
3． 《黄冈新思维》P96：第二课时1～5题
三．课后作业：
《黄冈新思维》P97：第二课时6～10题
第6课时 §19.4.1 解直角三角形（1）
【教学目标】1．会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题； 2．会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题。
【教学重点】会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题
【教学难点】会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题
【教学方法】探究法
【教具准备】计算器、电脑、实物投影 【教学过程】 一．复习提问
1．复述勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2．锐角三角函数的定义：sin A =
斜边
的对边
A ∠, cos A =
斜边
的邻边
A ∠,
tan A =
的邻边
的对边A A ∠∠, cot A =
的对边
的邻边A A ∠∠。
3．锐角三角函数的特征与性质：
（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1 （2）tan A ?cot A =1
（3）若∠A ＋∠B ＝90°，则sin A ＝cos B 、cos A ＝sin B 、tan A ＝cot B 、cot A ＝tan B 。 （4）补充：sin ta n
c o s A A A
=
，c o s c o t
sin A A A
=
（视情况定）
（5）补充：已知锐角∠A ，则22
sin c o s 1A A +=（视情况定）
二．讲述新课
1．解直角三角形：在直角三角形中，除一个直角外，还有2个角和3条边共5个元素，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。 2．例题讲解
例1（P116习题19.4：1（1）） 在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，
已知a
=
，
b =，解直角三角形。
分析：先根据条件画出三角形，可由勾股定理求出c ，再由三角函数求锐角的度数。 [
答案：1c
=A ＝60°，∠B ＝30°]
例2（P112例1） 如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
分析： 利用勾股定理求出折断倒下部分的长度，再求大树在折断前的高度。
[答案：36米]
三．归纳： 1．解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
2．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.
图19.4.1
四．课堂练习
1．P116（习题19.4）： 1 （2）
2．P113（练习）：1
3．《黄冈新思维》P98：1～4
五．课后作业：
P116（习题19.4）： 1 （3）～（4）【改为“解这个直角三角形”】
第7课时§19.4.2解直角三角形（2）
【教学目标】1．会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题；
2．会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题。
【教学重点】会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题
【教学难点】会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题
【教学方法】探究法
【教具准备】计算器、电脑、实物投影
【教学过程】
一．复习提问
1．解直角三角形：在直角三角形中，除一个直角外，还有2个角和3条边共5个元素，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2．解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
3．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边
长保留四个有效数字，角度精确到1′。
二．例题讲解
例2 如图19.4.2，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40゜的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
分析：分析题目所给条件，找出未知量与已知量间的关系。计算方法不止一种，可选择适当的方法。 解： 在Rt △ABC 中，
∠CAB ＝90゜－∠DAC ＝50゜，
AB
BC ＝tan ∠CAB ,
∴BC ＝AB ?tan ∠CAB =2000×tan50゜≈2384(米). 又∵
?=50cos AC
AB ， ∴AC ＝
)(311150cos 200050cos 米≈?
=
?
AB
答：敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米。 三．课堂练习 1．P113（练习）：2 2．《黄冈新思维》P99：5～8
四．课后作业 P116（习题19.4）：2
图19.4.2
第8课时§19.4.3解直角三角形（3）
【教学目标】1．会运用解直角三角形有关知识解决有关仰角俯角的实际问题；
2．会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题。
【教学重点】会运用解直角三角形有关知识解决有关仰角俯角的实际问题
【教学难点】会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题
【教学方法】探究法
【教具准备】计算器、电脑、实物投影
【教学过程】
一．新知识点提
读一读
如图19.4.3，在进行测量时，从下向上看，
视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视
线与水平线的夹角叫做俯角.
二．例题讲解
例3如图19.4.4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测图19.4.3
得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）解在Rt△BDE中，
BE＝DE×tan a
＝AC×tan a
＝22.7×tan 22°
≈9.17，
所以AB＝BE＋AE
＝BE＋CD
＝9.17＋1.20≈10.4（米）．
答：电线杆的高度约为10.4米．
[注意：]当题目中要求取近似值时，计算过程应比题目要求多取一位近似值。如该例题中要求精确到0.1米，则在计算过程中应先精确到0.01米。
三．课堂练习
1．P114（练习）：1、2
2．《黄冈新思维》P101：1～8
四．课后作业
P116（习题19.4）：3
第9课时 §19.4.4 解直角三角形（4）
【教学目标】1．会运用解直角三角形有关知识解决有关仰角俯角的实际问题； 2．会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题。
【教学重点】会运用解直角三角形有关知识解决有关仰角俯角的实际问题 【教学难点】会综合运用勾股定理、直角三角形的边角关系和角角关系，解决简单的实际问题
【教学方法】探究法
【教具准备】计算器、电脑、实物投影 【教学过程】 一．新知识点提
读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 如图19.4.5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i ,即i =l h
.
坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6. 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有
i ＝
l
h =tan a
显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡.
图19.4.5
二．例题讲解
例4 如图19.4.6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到 0.1米）
解 作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ．由题意可知
DE ＝CF ＝4.2（米）， CD ＝EF ＝12.51（米）． 在Rt △ADE 中，∵?
===32tan 2.4AE
AE
DE i
∴
)
(72.632tan 2.4米≈?
=
AE
在Rt △BCF 中，同理可得)
(90.728tan 2.4米≈?
=
BF
∴ AB ＝AE ＋EF ＋BF
≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）． 答： 路基下底的宽约为27.13米．
三．课堂练习 1．P116（练习） 2．《黄冈新思维》P103：1～8 四．课后作业 P116（习题19.4）：4
图19.4.6
第10课时小结与复习（1）
【教学目标】1．复习本章知识结构；
2．巩固勾股定理、三角函数和解直角三角形的相关知识；【教学重点】勾股定理、锐角三角函数和解直角三角形的应用
【教学难点】锐角三角函数的概念
【教学方法】探究法
【教具准备】计算器、电脑、实物投影
【教学过程】
一．知识结构
二．概括
1. 了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；
2. 理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；
3. 能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．
三．例题讲解
1．如图，以Rt △ABC 的三边向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．
（第2题）
2．计算： 2cos 30°＋cot 60°－2tan 45° 3．求下列直角三角形中字母的值：
4．如图，在直角坐标平面中，P 是第一象限的点，其坐标是（3，y ），且OP 与x 轴的正半轴的夹角a 的正切值是34
，求：
（1） y 的值； （2） 角a 的正弦值．
5．如图，一个古代棺木被探明位于A 点地下24米处．由于A 点地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距A 点8米的B 点挖掘．考古人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长的距离？
（第9题）
（第11题）
四．课堂练习
P119（复习题）
A组：1、3、4（2）（3）、5（2）（3）、10
五．课后作业：
P119（复习题）
A组：6、7、8
第11课时小结与复习（2）
【教学目标】1．进一步巩固勾股定理、三角函数和解直角三角形的相关知识；
2．熟练掌握运用解直角三角形的相关知识解决实际问题，增强应用数学的意识。
【教学重点】解直角三角形的应用
【教学难点】解直角三角形的应用
【教学方法】探究法
【教具准备】计算器、电脑、实物投影
【教学过程】
一．例题讲解
例1（P120：12）一架25米的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物7米．如果梯子的顶部滑下4米，梯子的底部滑开多远？
例2（P121：14）如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D 的俯角a＝30°，测得点C的俯角b＝60°，求AB和CD
两座建筑物的高．（结果保留根号）
（第14题）
解直角三角形教案(完美版)
在线分享文档地提升自我 By ：麦群超 解直角三角形 一、教育目标 (一)知识与技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的 两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角 三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感态度与价值观 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、重、难点 重点：直角三角形的解法． 难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 三、教学过程 (一)明确目标 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sin ;cos ;t an ;cot b a b a B B B B c c a b ====； sin ;cos ;tan ;cot a b a b A A A A c c b a ==== 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． (二)整体感知 教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数知识，对其加以复习巩固．同时，本课又为以后的应用举例打下基础，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的．综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课．
华师大版解直角三角形教案
第19章 解直角三角形 第1课时 §19.1 测 量 【教学目标】本节主要研究如何利用已学知识尤其是相似三角形的相关知识解 决生活中某些测量问题。 【教学重点】探究和解决生活中的某些测量问题。 【教学难点】探究解决生活中的某些测量问题的方法。 【教学方法】探究法 【教具准备】皮尺、测角仪 【教学过程】 一、问题引入 1．测量操场旗杆有多高？ 如图19.1.1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。 图19.1.1 2．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识。 二、试一试 如图19.1.2所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？（请你量一量、算一算。） 实际上，我们利用图19.1.2（1）中 已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及到直角三角 图19.1.2
形中的边角关系．直角三角形中，三条边有什么关系？它的边与角又有什么关系？这一切都是本章要探究的内容。 三、归纳小结： 两种测量的方法： 方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长； 方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度。 四、课堂练习 1．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图所示），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A到竹竿顶部E处恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高。你认为这种测量方法是否可行？请说明理由。 2．请你与你的同学一起设计两种方案，测量你们学校楼房的高度。 五．课后作业P99（习题19.1） 第2课时§19.2勾股定理（1） 【教学目标】1.研究直角三角形的特殊性质：勾股定理； 2．运用勾股定理进行简单的计算。
《解直角三角形及其应用》 word版 公开课一等奖教案1
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本课教学反思 英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。写作是综合性较强的语言运用形式 , 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。因此 , 写作教案具有重要地位。然而 , 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题 , 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣 , 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。 在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。 在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。 课堂设计 一、目标展示 ⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、预习检测 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B = ===cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 三、质疑探究 例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形． 例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形． 四、精讲点拨 已知一边一角，如何解直角三角形？ 五、当堂检测 1、Rt △ABC 中，若sinA= 4 5 ，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 2、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________． 3、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=3 5 ，则cos A 的值是（ ） A ．35 B ．45 C ．916 .2525 D 六、作业布置 板 书 设 计 28.2解直角三角形及其应用1 边角之间关系 例1. 三边之间关系 例2 锐角之间关系 教学反思
华东师大版九年级上册数学第24章《解直角三角形》分课时练习题及答案
数学九年级上册第24章解直角三角形 24.1 测量同步练习题 1．如图，一场暴风雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为( ) A. 5 米 B. 3 米 C．(5＋1)米 D．3米 2. 如图，李光用长为 3.2m的竹竿DE为测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿顶端、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距(AE)8m，与旗杆相距(BE)22 m，则旗杆的高为() A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m 3. 身高为1.5米的小华在打高尔夫球，她在阳光下的影长为2.1米，此时她身后一棵树的影长为10.5米，则这棵树高为() A．7.5米B．8米 C．14.7米 D．15.75米 4. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为()
A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 5. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行______米． 6. 如图，B，C是河岸上两点，A是对岸岸边上一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米． 7. 如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2 m，长臂长为8 m，当短臂端点下降0.6 m时，长臂端点升高______m .(杆的粗细忽略不计) 8. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7米的亮区，已知亮区一边到窗口下的墙脚距离EC＝8.7 米，窗口高AB＝1.8米，那么窗口底边离地面的高BC＝ ________米． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝_______．
解直角三角形复习公开课教案
2. 熟记30°, 45 ° , 60°角的三角函数值.会计算含有特殊角的三角函数的值， 会由一个特殊锐角的 三角函数值，求出它的对应的角度 . 3.掌握直角三角形的边角关系， 会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三 角形. 从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化。 运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题。 1. 锐角三角函数的定义 在 Rt △ ABC 中，/C=90°/A,/ B,/C 的对边分别为 a,b,c. 2、特殊角的三角函数值 '■三角函数 sin a cos a tan a 30° 45° 60° 单位：泸县一中 年级: 【学习目标】： 1.巩固三角函数的概念 《解直角三角形复习》教案 九学科：数学设计者: 时间：2015年4月14日 ,巩固用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数 4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题 【教学重点】： 【教学难点】： 【教学过程】： 一、考点梳理： 1、正弦函数: 2、余弦函数: 3、正切函数: sin A cosA tan A A 的 ___ A 的—A 的— A
1.如图，在Rt △ ABC 中, C=90°,BC=3,AC=4,那么 cos A 的值等于( 3 4 A.3 B.- 4 3 2.河堤横断面如图所示，堤高BC=6 m,迎水坡AB 的坡度为 A -12m B.^/sm C.^/sm 3、解直角三角形的定义及类型 (1)定义：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有 5个元素，即_ 直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 条边和 个锐角.由 4、解直角三角形的应用 (1)仰角和俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线 在水平线 的叫做俯角. 水平线 (2)方位角 一般以观察者的位置为中心，南北方向线与目标方向线之间 的夹角叫方位角。如下图: OA 方向用方位角表示为 ；OB 方向用方位角 表示为 (3)坡角、坡度 坡角：指坡面与水平线的夹角，如图中的 坡度：指坡面的垂直高度与水平距离的比，如图中的 i=1:1.5表示AF 与BF 的比 坡角与坡度的关系: 二、基础巩固: D.4 1:73 ，则AB 的长为( ) D.673m 的叫做仰角， F E
解直角三角形教案设计
解直角三角形教案设计 教学建议 1.知识结构： 本小节主要学习解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法. 2.重点和难点分析： 教学重点和难点：直角三角形的解法. 本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键. 3. 深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化. 锐角三角函数的定义： 实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中. 当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素. 由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求
边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具. 4. 直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下： 5. 注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化 由上述(3)可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过解直角三角形而获得解决.请看下例. 例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角(如图) 这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高(想一想：作其它边上的高为什么不好.)，问题就转化为两个解直角三角形的问题. 在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了. 掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法 是十分重要的，如 (1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角
华师大版-数学-九年级上册-25.3 解直角三角形-4 同步作业
华师大版九年级（上）《第二十五章·解直角三角形》第三节 25.3 解直角三角形—4 作业 一、积累·整合 1. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村 庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。 2. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带， 该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。 （1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）。 （2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）。 3. 某一时刻，一架飞机在海面上空C点处观测到一人在海岸A点处钓鱼。从C点处测得A 的 俯角为45o；同一时刻，从A点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。已知海岸的高度为 4 米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离（结果保留整数）。 A B H C
4. 在?ABC 中，∠=?=C A 901，tan ，那么cotB 等于（ ） A B C D .... 32133 5． 已知α为锐角，下列结论： <>+=11sin cos αα <2>如果α>?45，那么sin cos αα> <3>如果cos α> 1 2 ，那么α(sin )sin αα-=-112 正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. （1）计算：sin cos cot tan tan 3060456030?+?-?-??? （2）计算：22459044211 (cos sin )()()?-?+-?+--π 二、拓展·应用 7． 如图1，在?ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan cos B DAC =∠。 （1）求证：AC ＝BD （2）若sinC BC = =12 13 12，，求AD 的长。 图1 8. 如图2，已知?ABC 中∠=∠C Rt ，AC m BAC =∠=，α，求?ABC 的面积（用α的三角函数及m 表示） 图2 9. 如图3，沿AC 方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从AC 上的一点B ，取∠=?=ABD BD 145500，米，∠=?D 55。要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A. 50055sin ?米 B. 50055cos ?米
公开课--解直角三角形的方法和技巧
教师 学生 公开课 时间和时段 年 月 日 （ ： — ： ） 学科 数学 年级 九年级 教材名称 北师大版 授课题目 解直角三角形的方法和技巧 课 次 第（ 1 ）次课 锐角三角函数揭示了直角三角形中锐角与边之间的关系，运用锐角三角函数可以解决许多与直角三角形有关的问题，下面就如何运用三角函数解决问题的方法与策略 一、寻找直角三角形 图形中往往会有众多的图形存在，首先我们要找到所求元素所在的直角三角形，然后分析这个直角三角形已具备那些已知条件，还需要哪些条件，需不需要别的直角三角形为其提供条件。 例1、如图，∠B=90°，∠CDB=40°，DB=5，EC=2，求ED 的长。 分析：首先寻找直角三角形，其次是在直角三角形中求解。本题图中有三个三角形， 直角三角形有两个，而根据条件，Rt △BCD 可以先直接解，然后为解Rt △BDE 提供条件。 解：在Rt △BCD 中，∵BD=5, ∴BC=5 40tg ≈4.20. 在Rt △BDE 中，BE=BC+CE= 6.20, ∴ DE=22DB BE +=2544.38+ =44.63≈7.96 二. 借助代数方程 这些题型中的有些条件,不能直接代入直角三角形中边与边、边与角、角与角之间的公式进行求解，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后列方程求解。 例1、如图，已知∠Ｃ=90°,ＡＢ＝26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求ＢＣ的长． 分析:图形中有 Rt △DAC 和Rt △DBC ，但是没有一个直角三角形条件够用，原因是AB=32不属于任一个直角三角形，可以通过设BC=x ，则AC=x+26，让字母参与运算, 最后立方程求解。 解：设BC=x ∵∠CBD=45°，∠Ｃ=90° ∴BC=CD=x 在Rt △DAC 中，∠DAC=30°，AC=x+26 tan30°=26+x x ，3x= 3 （x+26），x=3 3326-, x=13（ 3 +1）∴BC=13（ 3 +1）. 三、构造直角三角形
解直角三角形教学设计及反思.doc
解直角三角形教学设计及反思 教学内容分析: 本节内容是在学习了“锐角三角函数” “勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形。通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。将为一般性地学习三角形的知识及进一步学习其他数学知识奠定基础。对部分学生来说，有一定的难度。 教学目标： 1、知识技能：使学生掌握直角三角形的边角关系，会选用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2、过程与方法：经历探求直角三角形边角关系的过程，体会三角函数在解决问题过程中的作用，感受理论来源于实践又反作用于实践的唯物主义思想。 3、情感态度与价值观：形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系。从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难。通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心, 养成良好的学习习惯。 教学课时：一课时教学重难点:
创设情境: 2.4米时，梯子与地面所称的角a 等于多少（精 重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系。 难点：从条件出发，正确选用适当的边角关系解题。 教学过程： 问题1:如图所示，一棵大树在一次强大台风中折断倒下，树干折断处距 地面3米，且树干与地面的夹角是30° ,大树折断之前高多少米？ 问题2：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角Q —般要满足50° W a W 75。（如图）,现有一个长6米的梯 子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位） 确到1。）？这时人是否能够安全使用这个梯子 ? （2）当梯子底端距离墙
解直角三角形的应用教案
解直角三角形的应用教案
解直角三角形的应用教案 ―－俯角仰角问题教学目标： 1、了解仰角、俯角的概念。 2、能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际 问题。 3、能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合的思想方 法。 教学重点： 解直角三角形在实际中的应用。 教学难点： 将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。 教学方法：三疑三探 教学过程： 一、复习引入新课 如图：在△ABC中，∠C=90°， ∠A、∠B、∠C的对边分别为 a,b,c. 则三边之间关系为； 锐角之间关系为；边角之间关系(以锐角A为例)为。 看来大家对基础知识掌握得还是比较牢固的。下面我们来看这样一个问题： 问题：小玲家对面新造 了一幢图书大厦，小玲心想： “站在地面上可以利用解直角 三角形测得图书大厦的高，站 在自家窗口能利用解直角三角 形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线与水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？ ο 46A B C Cο 29 A
AE ＝DE ×tan a ＝BC ×tan a ＝22.7×tan 22° ≈9.17 AB ＝BE ＋AE ＝AE ＋CD ＝9.17＋1.20 ≈10.4（米） 答:旗杆的高度约为10.4米． 2、解：在ΔABC 中，∠ACB =90° ∵ ∠CAB =46° AC=32m tan ∠CAB= ∴BC=AC ·tan46° ≈33.1 在ΔADC 中，∠ACD=90° ∵ ∠CAD=29° AC=32m tan ∠CAD= ∴DC=AC ·tan29° ≈17.7 ∴BD=BC+CD=33.1+17.7=50.8≈51 答：大厦高BD 约为51m. 二、 质疑再探 在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题？请大胆提出来，大家共同解决。 三、 运用拓展 １、 生自编题 ２、 师补充题 1、一架飞机以300角俯冲400米,则飞机的高度变化情况是( c ) C ο29D A BC AC DC AC ο46A B C
九年级数学解直角三角形的总复习华东师大版
九年级数学解直角三角形的总复习华东师大版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 解直角三角形的总复习 二. 教学目标： 1. 掌握锐角三角函数的概念及性质。 2. 提高学生灵活应用锐角三角函数知识解直角三角形。 3. 提高学生解直角三角形的知识与方法在实际问题如，航海、测量等方面的应用，培养学生空间想象能力、作图能力、分析能力和计算能力。 三. 教学过程： （一）知识的回顾： 1. 锐角三角函数的概念：在Rt ABC ?中，∠=?C 90， 则sin cos tan cot A BC A AC A BC A AC = === ，，， 注意的问题： （1）锐角α，应满足0101<<< 答案：A （2）在?ABC 中，AB AC BC ===32，，则6cos B 等于（ ） A. 3 B. 2 C. 33 D. 23 点拨：在?ABC 中，AB AC =，过A 点作AD BC ⊥于D 则BD CD B BD AB ==∴==11 3 ，cos 答案：B （3）在四边形ABCD 中，∠=?∠=∠=?==A B D BC AD 13590232，，，，则四边形ABCD 的面积是（ ） 点拨：延长BA 、CD 交于E ，得Rt EAD ?和Rt EBC ? ∠=?∴∠=?-∠-∠-∠=?A C A B D 13536045， ∴?BEC 和?EAD 均为等腰直角三角形 S S EBC EAD ??= ??==??=122323612 222 ∴=-=-=S S S ABCD EBC EAD 四边形??624 答案：C （4）已知圆O 的半径为5，AB 是弦，P 是直线AB 上的一点，PB AB ==38，，则 tan ∠OPA 的值为（ ） A. 3 B. 3 7 C. 13或73 D. 3或 37 28．2解直角三角形及其应用 28．2.1解直角三角形 教学目标： 1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2．渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 直角三角形的解法． 三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 一、创设情景明确目标 如何用我们学过的三角函数关系式来解决引言提出的有关比萨斜塔问题呢？ 二、自主学习指向目标 1．自主学习教材第72至74页． 2．学习至此，请完成学生用书相应部分． 三、合作探究达成目标 探究点一解直角三角形 活动一：1.直角三角形ABC中，∠C＝90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sin A＝；cos A＝；tan A＝； sin B＝；cos B＝；tan B＝； 如果用∠α表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成． sinα＝；cosα＝；tanα＝；cotα＝ (2)三边之间关系a2＋b2＝c2(勾股定理)． (3)锐角之间关系∠A＋∠B＝90°. 展示点评：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．阅读教材73页例1和例2 解：例1∵tanA＝＝＝， ∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°，∴c＝2b＝2 例2∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°， ∵tanB＝，∴a＝＝≈28.6 ∵sinB＝，∴c＝＝≈34.9 小组讨论1：在例1和例2中，除直角外，分别已知几个元素？要求哪些元 28．2．1 解直角三角形 教学目标 1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点) 教学过程 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数． 在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形． (1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长； (2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c ，即c ＝a cos B ＝363 2 ＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝33 ，∴∠A ＝30°， ∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，试求CD 的长． 解析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可． 解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝122，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝sin45°BC ＝122×22＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BM tan60°＝43，∴CD ＝CM －MD ＝12－4 3. 方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答． 【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题 如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝3 7，D 为边AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积． 解析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解． 解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37 ，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°， 28.2．1 解直角三角形 活动一：复习引入 设计说明：通过复习直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系，启发学生积极思考并解决问题 1、在三角形中共有几个元素？ 2、直角三角形ABC中，? ∴90 C,那么他们的边角关系、三边关系、角角之间 ∠ = 有哪些等量关系呢？ 活动二探究新知 1.定义：一般地，在直角三角形中,除直角外,共有5个元素，分别是三条边和两个锐角，由直角三角形中,除直角外的已知元素求出其余未知元素的过程叫 解直角三角形. 注：已知的两元素中必有一边 探究：为什么两个已知元素中至少有一条边 （1）在直角三角形中的五个元素中知道一个元素能求出其余元素吗？ （2）在直角三角形中的五个元素中知道一个元素能求出其余元素吗？ 追问①：在直角三角形中已知两个锐角能求出其余元素吗？ 追问②：在直角三角形中已知一个锐角一条边能求出其余元素吗？ 追问③：在直角三角形中已知两条边能求出其余元素吗？ （教学说明：老师提出思考问题，积极思考，踊跃回答。通过复习直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系，启发学生积极思考并解决问题。以上三点正是解直角三角形的依据。引出下面的问题） 2.解直角三角形的依据 (1)三边之间的关系：2 2c 2 + a= b (2)两锐角之间的关系:?=∠+∠90B A (3)边角之间的关系:SinA=c a cosA ＝ c b tanA ＝b a 3、解直角三角形有两种情况： (1)已知两条边，求其他边和角。 (2)已知一条边和一个锐角，求其他边角 活动三：例题讲解 解： ()()632342222=-=- =AC AB BC 设计意图：本题知道一边以锐角，算其他知识点，学生很容易得出知道一角算另一角较简单，解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。因此在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想。其次，组织学生比较各种方法中那些较好，选一种板演 解： 方法1、 326tan ===AC BC A 60=∠∴A 30609090=-=∠-=∠A B 2 22==AC AB 30609090=-=∠-=∠A B 3221==AB AC 华师大版解直角三角形 教案 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8- 解直角三角形 测量 教学目标：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方 法，初步接触直角三角形的边角关系。 教学重点：探索测量距离的几种方法。 教学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。 教学过程： 一。复习引入： 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗 二。新课探究： 例1. 书.试一试. 如图所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD 为1米。现在请你按1：500的比例得△ABC 画在纸上，并记为△A 1B 1C 1,用刻度尺量出纸上B 1C 1 的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计算的方 法吗 解：∵△ABC ∽△A 1B 2C 3, ∴AC:A 1C 1=BC:B 1C 1=500:1 ∴只要用刻度尺量出纸上B 1C 1的长度，就可以计算出BC 的长度，加上AD 长即为旗杆的高度。若量得B 1C 1=a ㎝，则BC=500a ㎝=5a ㎝。故旗杆高(1+5a)m. 说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。 例2.为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m 图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m 图(c)中BD=9m,EF=；此人的臂长为0.6m 。 （1） 说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。 （a ） （b ） （c ） O D C B A F E D C B A F E B C D A E D C B A 1 1 1 C B A 《解直角三角形复习》教案 单位：泸县一中 年级： 九 学科： 数 学 设计者：_______ 时间：2015年 4月14日 【学习目标】： 1. 巩固三角函数的概念,巩固用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数. 2. 熟记30°，45°, 60°角的三角函数值.会计算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它的对应的角度. 3.掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 【教学重点】：从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化。 【教学难点】：运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题。 【教学过程】： 一、考点梳理： 1.锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c. 2、特殊角的三角函数值 三角函数 角α sin α cos α tan α 30° 45° 60° 1sin =A A A ∠=∠———— ——— ————的、正弦函数：的=A A A ∠= ∠———— ——— ———— 的2、余弦函数：cos 的=A A A ∠=∠———— ——— ———— 的3、正切函数：tan 的 3、解直角三角形的定义及类型 (1)定义：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素，即______条边和______个锐角．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 4、解直角三角形的应用 （1）仰角和俯角 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线 的叫做仰角,在水平线 的叫做俯角. (2）方位角 一般以观察者的位置为中心，南北方向线与目标方向线之间的夹角叫方位角。如下图： OA 方向用方位角表示为 ；OB 方向用方位角表示为 。 （3）坡角、坡度 坡角：指坡面与水平线的夹角，如图中的 坡度：指坡面的垂直高度与水平距离的比，如图中的i =1:表示AF 与BF 的比 坡角与坡度的关系： 二、基础巩固： 1. 如图,在Rt △ABC 中, ∠ C=90°,BC=3,AC=4,那么cos A 的值等于( ) 2.河堤横断面如图所示,堤高BC=6 m,迎水坡AB 的坡度为 ,则AB 的长为( ) 3 . 4A 4. 3B 3. 5 C 4. 5 D 3.12A m .43B m .53C m .63D m 第一章直角三角形的边角关系 《解直角三角形》教学设计 一、教材分析 在此之前，学生已经具备了勾股定理、锐角三角函数的基本知识，会求任意一个锐角的三角函数值.本节课是三角函数应用之前的准备课，旨在建立好解直角三角形的数学模型，以便有效的为现实生活服务?培养学生解答实际应用题的技能，掌握如何构建解直角三角形的思想方法、技巧?把勾股定理和锐角三角函数的询期准备知识有机的组织起来，使学生能承前启后、有思想性和可操作性. 因此，本节课在教材教学计划中起着一发牵制全局的重要作用. 二.学情分析 1、九年级学生已经掌握了勾股定理，刚刚学习过锐角三角函数，能够用定义法求三角函数sina、cos a tana值. 2、在计算器的使用上，学生学习了用计算器求任意锐角的三角函数值，并对计算器的二次功能有所了解?有上述知识技能作基础为学生进一步学习“解直角三角形”创造了必要条件. 3、但锐角三角函数的运用不一定熟练，综合运用所学知识解决问题，将实际问题抽象为数学问题的能力都比较差，因此要在本节课进行有意识的培养. 三、教学任务分析 本节内容是在学习了“锐角三角函数”“勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形?所以教学U标如下: 知识技自出初步理解解直角三角形的含义，掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素. 数学思考：在研究问题中思考如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化. 解决问题？解直角三角形的对象是什么？在解决与直角三角形有关的实际问题中如何把问题数学模型化?通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力 解直角三角形复习课教案 教学目标: 1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三 角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数 解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯 思想方法： 1、数形结合思想：用锐角三角函数解直角三角形，主要是从“数”上去研 究的.在具体解题时，要画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之 间的关系去进行数的运算. 2、方程的思想：在解直角三角形时，常常通过设未知数列方程求解，使 问题变得清楚明了. 3、转化的思想：在求三角函数值和解直角三角形时，常利用三角函数的 意义，可以实现边和角的互化，利用互余角的三角函数关系可以实现“正弦”与“余弦”的互化. 教学重点： 1、锐角三角函数 2、特殊角的三角函数值 3、直角三角形的解法． 教学难点： 三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 四、考题透视 锐角三角函数在中考中考查的难度不大，分数约4-6分，主要以填空题、选择题出现；解直角三角形方面的应用题历来都是中考的重点和热点内容之一，分数达到8～12分不等，分值占的比例较大，应引起足够的重视。 考点一：锐角三角函数的概念 例1（郴州市2007年）如图1在直角三角形 B 3 ABC 中，则______． 考点二：特殊角的三角函数值的计算 例2：计算 考点三：解非直角三角形 例3 ：如图所示，已知:在△ABC中，∠A=60,∠B=45,AB=8.求△ABC的面积（结果可保留根号）。 考点四：解直角三角形的实际问题 例4、一高速铁路即将动工，工程需要测量某一段河的宽度。如图1，一测量员在河岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°. （参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）； 1）求所测之河的宽度 2）除图1的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图2中画出图形。 解直角三角形教学设计及反思 教学目标： 1、知识技能： 使学生掌握直角三角形的边角关系，会选用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2、数学思维： 经历探求直角三角形边角关系的过程，体会三角函数在解决问题过程中的作用，感受理论来源于实践又反作用于实践的唯物主义思想。 3、解决问题： 通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力 4、情感态度和价值观 形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系。从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难。通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，养成良好的学习习惯。教学课时：一课时 教学重难点： 重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系。 难点：从条件出发，正确选用适当的边角关系解题。 教学过程： 一、创设情境： 问题1：如图所示，一棵大树在一次强大台风中折断倒下，树干折断处距地面3米，且树干与地面的夹角是30°，大树折断之前高多少米？ 问题2：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤ α ≤ 75°（如图），现有一个长6米的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）（2）当梯子底端距离墙面2.4米时，梯子与地面所称的角α等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ 二、知识回顾： 如图，已知：在ΔＡＢＣ中，∠C=90°，你能说出这个图形有哪些性质吗？ 1、在一个三角形中，共有几条边？几个角？（引出“元素”这个词语） 2、在RtΔABC中，∠C=90°。a、b、c、∠A、∠B这些元素间有哪些等量关系呢？ 讨论复习： RtΔABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？ 总结：直角三角形的边角关系 （1）两锐角互余：∠A+∠B=90° （2）三边满足勾股定理：a2+b2=c2 （3）边与角的关系：部编人教版数学九年级下册《解直角三角形》省优质课一等奖教案
初中数学九年级下册解直角三角形(教案)教学设计
部编人教版数学九年级下册《解直角三角形》省优质课一等奖教案
华师大版解直角三角形教案
《解直角三角形复习》公开课教案
解直角三角形优秀教学设计(1)
公开课教案解直角三角形
解直角三角形教学设计及反思 (2)