高中数学必修一对数函数

高中数学必修一对数函数

卷I（选择题）

一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分，）

1. 若对数式log

（t?2）

3有意义，则实数t的取值范围是（）

$

A.[2,?+∞)

B.(2,?3)∪(3,?+∞)

C.(?∞,?2)

D.(2,?+∞)

2. 函数t(t)=log t(t2?tt)(t>0,?t≠1)在[2,?3]为增函数，则t的取值范围是（）

A.(1,?+∞)

B.(0,?1)

C.(0,?1)∪(1,?2)

D.(1,?2)

#

3. 已知2t=3t，则t

t

=()

A.lg2

lg3B.lg3

lg2

C.lg2

3

D.lg3

2

4. 若log t(2t?1)>log t(t?1)，则有（）

A.00

B.01

C.t>1，t>0

D.t>1，t>1—

5. 对数式log t t=t化为指数式为（）

A.t t=t

B.t t=t

C.t t=t

D.t t=t

6. 已知函数t(t)=log2(t2?2t?3)，则使t(t)为减函数的区间是（）

]

A.(?∞,??1)

B.(?1,?0)

C.(1,?2)

D.(?3,??1)

7. 对数式log

（t?2）

(5?t)中实数t的取值范围是()

A.(?∞,?5)

B.(2,?5)

C.(2,?3)∪(3,?5)

D.(2,+∞)

.

8. 已知函数t(t)=log t?1?tt

t?1

(t>0，且t≠1)在其定义域上是奇函数，则t=()

A.1?3

2B.?1 C.?2

3

D.?3

2

9. 设t>0，则lg100t?lg t

100

()

A.1

B.2

C.3

D.4

]

10. 三个数0.76，60.7，log0

.7

6的大小关系为( )

A.0.76

B.0.76<60.7

C.log0

.7

6<60.7<0.76 D.log0.76<0.76<60.7

11. 已知t(t)=log2t，函数t=t(t)是它的反函数，则函数t=t(1?t)的大致图象是．（）@

A. B.

C. D.

12. 据资料显示，可观测宇宙中普通物质的原子总数t≈1080，某两状态空间复杂度的上限分别为t= 1016，t=2480，则（参考数据：lg2≈0.3)()

A.tt=1

2

t B.tt=2t C.tt=t2 D.tt=√t

卷II（非选择题）

￥

二、填空题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分，）

13. 若3t=2，t=log23，则tt=________，2t+2?t=________.

14. 比较大小：21

2_______log32(填">"或"<").

]

15. 对数函数t(t)的图象经过点(1

4

,?2)，则t(t)=________．

16. 完成下列空格：

；

17. 函数t(t)=log1

2

(?t2+4t?3)的定义域为________．

18. 设函数t(t)、t(t)的定义域分别为t，t，且t?t，若对任意的t∈t，都有t(t)=

t(t)，则称t(t)是t(t)的“拓展函数”．已知函数t(t)=1

3

log2t，若t(t)是t(t)的“拓展函数”，且t(t)是偶函数，则符合条件的一个t(t)的解析式是________．

三、解答题（本题共计 5 小题，每题 12 分，共计60分，）

、

19. 函数t=1tt t t在t∈[1,?16]的最大值比最小值大4，求t的值．

20. 设t(t)=(log2t)2?2t log2t+t(t>0)．当t=1

时，t(t)有最小值?1．

4

：

(1)求t与t的值；

(2)求满足t(t)<0的t的取值范围．

<

21. （1）求值：lg2?lg50+lg5?lg20?lg100?lg5?lg2； 21.

（2）已知log73=t，log74=t，求log4948．

22. 设t>0且t≠1，函数t(t)=log t(t?2t)+log t(t?3t)的定义域为[t+3,?t+4]．（1）讨论函数t(t)的单凋性；

（2）若t(t)≤1恒成立，求实数t的取值范围．

)

23. 已知函数t(t)=log4(tt2+2t+3)．

(1)若t(t)的定义域为t，求实数t的取值范围；

￥

(2)若t(1)=1，求函数t(t)的单调区间；

(3)是否存在实数t，使得函数t(t)的最小值为0若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

高中数学必修一对数函数

参考答案与试题解析

一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.

【考点】 ·

对数及其运算 【解答】

解：要使对数式log （t ?2）3有意义，

须{t ?2>0

t ?2≠1

；

解得t >2且t ≠3，

∴ 实数t 的取值范围是(2,?3)∪(3,?+∞)． 故选：t ．

2. 【考点】 "

对数函数的单调性与特殊点 【解答】

解：t 2?tt 的对称轴为t =t 2，由题意可得，当t >1时，t

2≤2，且4?2t >0，∴ 1t >0时，t 2

≥3，且9?3t >0，故t 无解． 综上，1

换底公式的应用

指数式与对数式的互化 【解答】

解：2t =3t ，

可得t lg 2=t lg 3， ∴ t t =lg 3

lg 2． 故选：t ． 4.

|

对数函数的单调性与特殊点 【解答】

解：当t >1时，由log t (2t ?1)>log t (t ?1)，可得{2t ?1>t ?1

t ?1>0

，求得t >1；

当0log t (t ?1)，可得{2t ?1

2t ?1>0

，求得t 无解．

故选：t ． 5.

~

【考点】

指数式与对数式的互化 【解答】

解：对数式log t t =t 化为指数式为：t t =t ， 故选t .

】

6.

【考点】

对数函数的单调区间 【解答】

解：由t 2?2t ?3>0解得，t >3或t

令t =t 2?2t ?3=(t ?1)2?4，即函数t 在(?∞,??1)是减函数，在(3,?+∞)是增函数， ∵ 函数t =log 2t 在定义域上是增函数， ∴ 函数t (t )的减区间是(?∞,??1)． 故选t ． [ 7.

【考点】

对数函数的定义 【解答】

解：由log （t ?2）(5?t )可得

{5?t >0,t ?2>0,t ?2≠1, 解得 {t <5,

t >2,t ≠3,

即实数t 的取值范围是2

/

8.

【考点】

对数函数图象与性质的综合应用

【解答】

解：∵ 函数t(t)=log t?1?tt

t?1

(t>0，且t≠1)在其定义域上是奇函数，

∴ t(?t)+t(t)=0，即log t?1+tt

?t?1+log t?1?tt

t?1

=0

∴ 1+tt

?t?1×1?tt

t?1

=1

∴ 1?t2t2=1?t2∴ t2=1

∴ t=±1

当t=1时，1?tt

t?1=?1，不合题意；当t=?1时，t(t)=log t?1+t

t?1

，符合题意

故选t．

"

9.

【考点】

对数的运算性质

【解答】

解：∵ t>0，∴ lg100t?lg t

100

=lg100+lg t?lg t+lg100=2lg100=4．故选t．

！

10.

【考点】

指数函数与对数函数的关系

【解答】

解：由对数函数t=log0

.7

t的图象和性质,

可知：log0

.7

6<0.

由指数函数t=0.7t，t=6t的图象和性质,

可知0<0.76<1，60.7>1.

∴ log0

.7

6<0.76<60.7.

故选t.

@

11.

【考点】

对数函数的图象与性质

解：由于函数t=t(t)是t(t)=log2t的反函数，故t(t)=2t，可得t(1?t)=21?t，故选t．

;

12.

【考点】

对数及其运算

【解答】

解：由恒等式10lg2=2可得，

tt=1016×2480=1016×(10lg2)480

=1016×(100.3)480=10160=t2 .

故选t.

^

二、填空题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）

13.

【考点】

换底公式的应用

指数式与对数式的互化

，

【解答】

解：由题意得t=log32，t=log23，

tt=log

32?log

2

3=1，

2t+2?t=2log23+1

2log23=3+1

3

=10

3

.

故答案为：1，10

3

.

14.

【考点】

指数式、对数式的综合比较，

【解答】

解：21

2=√2.

1<√2<2. log32<1,

故21

2>log32.

故答案为：>.

15.

【考点】

。

【解答】

解：设数函数t (t )=ttt t t (t >0且t ≠1), ∵ 图象经过点(1

4,?2)， ∴ ttt t 1

4=2, 得t =12

,

∴ t (t )=ttt 12

t ,

故答案为ttt 12

t .

16. 【考点】 反函数 … 【解答】

解：①由t =3t 解得t =1

3t ，再将t 与t 互换即可得出反函数t =1

3t ．可知定义域与值域都为t ． ②由t =2t

3t ?1解得t =t

3t ?2，再将t 与t 互换即可得出原函数t =t

3t ?2．可知定义域与值域分别为反函数的值域与定义域．故答案为如下表格：

17.

【考点】

对数函数的定义域 【解答】

解：由函数t (t )=log 12

(?t 2+4t ?3)可得?t 2+4t ?3>0，

即 t 2?4t +3<0，解得 1

【解答】

解：t(t)=1

3

log2t的定义域t=(0,?+∞)，

t(t)=1

3

log2|t|的定义域t=(?∞,?0)∪(0,?+∞)，满足t?t，

又当t>0时，t(t)=1

3log2|t|=1

3

log2t=t(t)，

故t(t)=1

3

log2|t|是t(t)的“拓展函数”，

故答案为：t(t)=1

3

log2|t|．

三、解答题（本题共计 5 小题，每题 12 分，共计60分）

19.

【考点】

对数函数的值域与最值

【解答】

解：当t>1时，t=log t t在[1,?16]上最大值为log t16，最小值为log t1，由log t16=4log t2=4，得t=2；

当0

由log t16=4log t2=?4，得t=1

2

．

所以t的值为1

2

或2．

20.

【考点】

对数函数的单调区间

对数及其运算

【解答】

解：(1)t(t)=(log2t)2?2t log2t+t

=(log2t?t)2+t?t2(t>0)，

当t=1

4

时，t(t)有最小值?1，

∴ {log21

4

=t

t?t2=?1，解得：{

t=?2

t=3

；

(2)由(1)得：t(t)=(log2t)2+4log2t+3，

t(t)<0即(log

2t+3)(log

2

t+1)<0，

解得：1

8

2

．

21.

【考点】

对数的运算性质

解：（1）原式=lg 2?(lg 5+1)+lg 5?(lg 2+1)?2?lg 5?lg 2 =lg 2+lg 5 =1

（2）∵ log 73=t ，log 74=t ，

∴ log 4948=1

2log 7(3×16)=1

2(log 73+log 716)=1

2(log 73+2log 74) =12

(t +2t ) 22.

【考点】

对数函数的图象与性质 【解答】 解：（1）∵ 设t >0且t ≠1，函数t (t )=log t (t ?2t )+log t (t ?3t ) ∴ t >2t ，且t >3t ， 即t >3t ，

∵ 定义域为[t +3,?t +4]． ∴ t +3>3t ，

t <3

2，

当1

2时，函数t (t )=log t (t ?2t )+log t (t ?3t )单调递增， 当0

∴ {1

2

t (t +4)≤1

①或{0

即{1

2

(4?t )(4?2t )≤t

①或{0

13?√41

4

13+√41

4， ∵ 13?√414

>32

∴ ①无解；

∵ (3?t )(3?2t )≥t 即t ≥

5+√7

2

或t ≤

5?√7

2

∴ ②的解集为：0

综上：实数t 的取值范围0

【考点】

对数函数图象与性质的综合应用

解：(1)因为t(t)的定义域为t，所以tt2+2t+3>0对任意t∈t恒成立，

显然t=0时不合题意，从而必有{t>0

△=4?12t<0，解得t>1

3，

即t的取值范围是(1

3

,?+∞)．

(2)因为t(1)=1，所以log4(t+5)=1，因此t+5=4，t=?1，

这时t(t)=log4(?t2+2t+3)．

由?t2+2t+3>0得?1

令t(t)=?t2+2t+3．

则t(t)在(?1,?1)上单调递增，在(1,?3)上单调递减，

又t=log4t在(0,?+∞)上单调递增，

所以t(t)的单调递增区间是(?1,?1)，单调递减区间是(1,?3)．

(3)假设存在实数t使t(t)的最小值为0，则t(t)=tt2+2t+3应有最小值1，

因此应有{

t>0

3t?1

t

=1，解得t=

1

2

．

故存在实数t=1

2

，使t(t)的最小值为0．