高中数学数列练习题及解析

数列练习题

一．选择题（共16小题）

1．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n =a n+1﹣a n （n ∈N *

），若b 3=﹣2，b 10=12，则a 8=（ ） A ． 0

B ． 3

C ． 8

D ． 11

2．在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=a n +ln （1+），则a n =（ ） A ． 2+lnn

B ． 2+（n ﹣1）lnn

C ． 2+nlnn

D ． 1+n+lnn

3．已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2

﹣9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于（ ） A ． 9

B ． 8

C ． 7

D ． 6

4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =2a n+1，则S n =（ ） A ． 2n ﹣1

B ．

C ．

D ．

5．已知数列{a n }满足a 1=1，且，且n ∈N *

），则数列{a n }的通项公式为（ ） A ．

a n =

B ． a n =

C ． a n =n+2

D ． a n =（n+2）3n

6．已知数列{a n }中，a 1=2，a n+1﹣2a n =0，b n =log 2a n ，那么数列{b n }的前10项和等于（ ） A ． 130

B ． 120

C ． 55

D ． 50

7．在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

8．在数列{a n }中，若a 1=1，a 2=，=+

（n ∈N *

），则该数列的通项公式为（ ）

A ．

a n =

B ． a n =

C ． a n =

D ． a n =

9．已知数列{a n }满足a n+1=a n ﹣a n ﹣1（n ≥2），a 1=1，a 2=3，记S n =a 1+a 2+…+a n ，则下列结论正确的是（ ） A ．

a 100=﹣1，S 100=5 B ． a 100=﹣3，S 100=5 C ．

a 100=﹣3，S 100=2

D ． a 100=﹣1，S 100=2

10．已知数列{a n }中，a 1=3，a n+1=2a n +1，则a 3=（ ） A ． 3

B ． 7

C ． 15

D ． 18

11．已知数列{a n }，满足a n+1=

，若a 1=，则a 2014=（ ）

A ．

B ． 2

C ． ﹣1

D ． 1

12．已知数列{}n a 中，651=a ,1

1)2

1(31+++=n n n a a ，，则n a =（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

13．已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b 。当2≥n 时，)2(3111--+=n n n b a a ,)2(3

1

11--+=n n n b a b ，

求n a ,n b .（ ）

14．已知：数列{a n }满足a 1=16，a n+1﹣a n =2n ，则的最小值为（ ）

A ． 8

B ． 7

C ． 6

D ． 5

15．已知数列{a n }中，a 1=2，na n+1=（n+1）a n +2，n ∈N +

，则a 11=（ ） A ． 36

B ． 38

C ． 40

D ． 42

16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，当n ≥2时，a n +2S n ﹣1=n ，则S 2015的值为（ ） A ． 2015

B ． 2013

C ． 1008

D ． 1007

二．填空题（共8小题） 17．已知无穷数列{a n }前n 项和

，则数列{a n }的各项和为

18．若数列{a n }中，a 1=3，且a n+1=a n 2

（n ∈N *

），则数列的通项a n = ． 19．数列{a n }满足a 1=3，

﹣

=5（n ∈N +），则a n = ．

20．已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2

﹣2n+2，则数列的通项a n = ． 21．已知数列{a n }中，

，则a 16= ．

22．已知数列{a n }的通项公式a n =

，若它的前n 项和为10，则项数n 为 ．

23．数列{a n }满足a n+1+（﹣1）n

a n =2n ﹣1，则{a n }的前60项和为 ． 24．已知数列{a n }，{

b n }满足a 1=，a n +b n =1，b n+1=（n ∈N *

），则b 2012= ．

三．解答题（共6小题）

25．设数列 {a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *

．已知a 1=1，a 2=，a 3=，且当a ≥2时，4S n+2+5S n =8S n+1+S n ﹣1． （1）求a 4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n }为等比数列； （3）求数列{a n }的通项公式．

26．数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．

（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；

（Ⅱ）求{a n}的通项公式．

27．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．

（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；

（2）求数列{a n}的前n项和S n．

28．（2015?琼海校级模拟）已知正项数列满足4S n=（a n+1）2．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．

29．已知{a n}是等差数列，公差为d，首项a1=3，前n项和为S n．令，{c n}的前20项和T20=330．数列{b n}满足b n=2（a﹣2）d n﹣2+2n﹣1，a∈R．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）若b n+1≤b n，n∈N*，求a的取值范围．

30．已知数列{a n}中，a1=3，前n和S n=（n+1）（a n+1）﹣1．

①求证：数列{a n}是等差数列

②求数列{a n}的通项公式

③设数列{}的前n项和为T n，是否存在实数M，使得T n≤M对一切正整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由．

2015年08月23日92的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共16小题）

1．（2014?湖北模拟）数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0B．3C．8D．11

(累加)

考点：数列递推式．

专题：计算题．

分析：先利用等差数列的通项公式分别表示出b

3和b10，联立方程求得b1和d，进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，最后利用等差数列的求和公式求得答案．

解答：

解：依题意可知求得b1=﹣6，d=2

∵b n=a n+1﹣a n，

∴b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，

∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3

故选B．

点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．

2．（2008?江西）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）

A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn

(累加)

考点：数列的概念及简单表示法．

专题：点列、递归数列与数学归纳法．

分析：把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．

解答：解：∵，

，

…

∴

=

故选：A．

点评：数列的通项a

n或前n项和S n中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n﹣1等，这种办法通常称迭代或递推．解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．

3．（2007?广东）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n，第k项满足5＜a k＜8，则k等于（）

A．9B．8C．7D．6数列递推式．

考

点：

专

计算题．

题：

分

先利用公式a n =求出a n，再由第k项满足5＜a k＜8，求出k．

析：

解

解：a n =

答：

=

∵n=1时适合a n=2n﹣10，∴a n=2n﹣10．

∵5＜a k＜8，∴5＜2k﹣10＜8，

∴＜k＜9，又∵k∈N+，∴k=8，

故选B．

点

本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n =的合理运用．评：

4．（2015?房山区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则S n=（）

A．2n﹣1B．C．D．数列递推式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．

考

点：

计算题．

专

题：

分

直接利用已知条件求出a2，通过S n=2a n+1，推出数列是等比数列，然后求出S n．

析：

解

解：因为数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，a2=

答：

所以S n﹣1=2a n，n≥2，可得a n=2a n+1﹣2a n ，即：，

所以数列{a n}从第2项起，是等比数列，所以S n =1+=，n∈N+．

故选：B．

点

评：

本题考查数列的递推关系式的应用，前n项和的求法，考查计算能力．

5．（2015?衡水四模）已知数列{a n}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）

A．a

n =B．a

n =

C．a

n=n+2

D．a

n=（n+2）3

n

考

点：

数列递推式．

分

析：

由题意及足a1=1，且，且n∈N*），则构造新的等差数列进而求解．

解

答：

解：因为，且n∈N*）?，

即，则数列{b n}为首项，公差为1的等差数列，

所以b n=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，

故答案为：B

点

评：

此题考查了构造新的等差数列，等差数列的通项公式．

6．（2015?江西一模）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1﹣2a n=0，b n=log2a n，那么数列{b n}的前10项和等于（）A．130 B．120 C．55 D．50

考

点：

数列递推式；数列的求和．

专等差数列与等比数列．

题： 分析：

由题意可得，可得数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得到a n ，

利用对数的运算法则即可得到b n ，再利用等差数列的前n 项公式即可得出． 解答：

解：在数列{a n }中，a 1=2，a n+1﹣2a n =0，即，

∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴=2n

．

∴

=n ．

∴数列{b n }的前10项和=1+2+…+10==55．

故选C ． 点评：

熟练掌握等比数列的定义、等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的前n 项公式即可得出．

7．在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

8．（2015?遵义校级二模）在数列{a n }中，若a 1=1，a 2=，=+（n ∈N *

），则该数列的通项公式为（ ）

A ．

a n = B ． a n =

C ． a n =

D ． a n =

考点： 数列递推式．

专题： 计算题；等差数列与等比数列． 分析： 由

=

+

，确定数列{

}是等差数列，即可求出数列的通项公式．

解答：

解：∵=

+

，

∴数列{

}是等差数列，

∵a 1=1，a 2=，

∴=n，

∴a n =，

故选：A．

点

评：

本题考查数列递推式，考查数列的通项公式，确定数列{}是等差数列是关键．

9．（2015?锦州一模）已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n，则下列结论正确的是（）

A．a

100=﹣1，S100=5 B．a

100=﹣3，S100=5

C．a

100=﹣3，S100=2 D．a

100=﹣1，S100=2

考点：数列递推式；数列的求和．

专题：等差数列与等比数列．

分析：由a

n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2）可推得该数列的周期为6，易求该数列的前6项，由此可求得答案．

解答：解：由a

n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），得

a n+6=a n+5﹣a n+4=a n+4﹣a n+3﹣a n+4=﹣a n+3=﹣（a n+2﹣a n+1）=﹣（a n+1﹣a n﹣a n+1）=a n，

所以6为数列{a n}的周期，

又a3=a2﹣a1=3﹣1=2，a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3，a6=a5﹣a4=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，所以a100=a96+4=a4=﹣1，

S100=16（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2+a3+a4=16×0+1+3+2﹣1=5，

故选A．

点评：本题考查数列递推式、数列求和，考查学生分析解决问题的能力．

10．（2015春?沧州期末）已知数列{a n}中，a1=3，a n+1=2a n+1，则a3=（）

A．3B．7C．15 D．18

考

点：

数列的概念及简单表示法．

专

题：

点列、递归数列与数学归纳法．

分

析：

根据数列的递推关系即可得到结论．

解答：解：∵a1=3，a n+1=2a n+1，∴a2=2a1+1=2×3+1=7，a3=2a2+1=2×7+1=15，

故选：C．

点

评：

本题主要考查数列的计算，利用数列的递推公式是解决本题的关键，比较基础．

11．（2015春?巴中校级期末）已知数列{a n}，满足a n+1=，若a1=，则a2014=（）

A．B．2C．﹣1 D．1

考

点：

数列递推式．

专

题：

等差数列与等比数列．

分

析：

由已知条件，分别令n=1，2，3，4，利用递推思想依次求出数列的前5项，由此得到数列{a n}是周期为3的周期数列，由此能求出a2014．

解

答：

解：∵数列{a n}，满足a n+1=，a1=，

∴a2==2，

a3==﹣1，

a4==，

，

∴数列{a n}是周期为3的周期数列，

∵2014÷3=671…1，

∴a 2014=a 1=． 故选：A ． 点评：

本题考查数列的第2014项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．

12．已知数列{}n a 中，651=a ,11)2

1(31+++=n n n a a ，，则n a =（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

13．已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b 。当2≥n 时，)2(3111--+=n n n b a a ,)2(3

1

11--+=n n n b a b ，

求n a ,n b .（ ） A ． C ．

B ．

解：因=

+n n b a ++--)2(3111n n b a )2(3

1

11--+n n b a 11--+=n n b a 所以=+n n b a 11--+n n b a 1112222=+=+=???=+=--b a b a b a n n 即1=+n n b a (1)

又因为=

-n n b a -+--)2(3111n n b a )2(3

111--+n n b a )(31

11---=n n b a

所以=-n n b a )(3

111---n n b a =-=--))31(222n n b a ……)()31(111

b a n -=-

1)31(-=n .即=-n n b a 1)3

1

(-=n ………………………（2） 由（1）、（2）得：])31(1[211-+=n n a ， ])3

1(1[211

--=n n b

14．（2014?通州区二模）已知：数列{a n }满足a 1=16，a n+1﹣a n =2n ，则的最小值为（ ）

A ． 8

B ． 7

C ． 6

D ． 5

考点： 数列递推式．

专题： 计算题；压轴题． 分析：

a 2﹣a 1=2，a 3﹣a 2=4，…，a n+1﹣a n =2n ，这n 个式子相加，就有a n+1=16+n （n+1），故

，由此能求

出的最小值．

解

解：a 2﹣a 1=2，

答：a

3﹣a2=4，

…

a n+1﹣a n=2n，

这n个式子相加，就有

a n+1=16+n（n+1），

即a n=n（n﹣1）+16=n2﹣n+16，

∴，

用均值不等式，知道它在n=4的时候取最小值7．

故选B．

本题考查数更列的性质和应用，解题时要注意递推公式的灵活运用．

点

评：

15．（2014?中山模拟）已知数列{a n}中，a1=2，na n+1=（n+1）a n+2，n∈N+，则a11=（）

A．36 B．38 C．40 D．42 数列递推式．

考

点：

综合题；等差数列与等比数列．

专

题：

分

在等式的两边同时除以n（n+1），得﹣=2（﹣），然后利用累加法求数列的通项公式即可．析：

解

解：因为na n+1=（n+1）a n+2（n∈N*），

答：

所以在等式的两边同时除以n（n+1），得﹣=2（﹣），

所以=+2[（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）]=

所以a11=42

故选D．

点

本题主要考查利用累加法求数列的通项公式，以及利用裂项法求数列的和，要使熟练掌握这些变形技巧．评：

16．（2015?绥化一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n+2S n﹣1=n，则S2015的值为（）

A．2015 B．2013 C．1008 D．1007 考

点：

数列递推式．

专

题：

点列、递归数列与数学归纳法．

分析：根据a n+2S n﹣1=n得到递推关系a n+1+a n=1，n≥2，从而得到当n是奇数时，a n=1，n是偶数时，a n=0，即可得到结论．

解答：解：∵当n≥2时，a n+2S n﹣1=n，

∴a n+1+2S n=n+1，两式相减得：

a n+1+2S n﹣（a n+2S n﹣1）=n+1﹣n，

即a n+1+a n=1，n≥2，

当n=2时，a2+2a1=2，解得a2=2﹣2a1=0，满足a n+1+a n=1，

则当n是奇数时，a n=1，

当n是偶数时，a n=0，

则S2015=1008，

故选：C

点

评：

本题主要考查数列和的计算，根据数列的递推关系求出数列项的特点是解决本题的关键．

二．填空题（共8小题）

17．（2008?上海）已知无穷数列{a n}前n 项和，则数列{a n}的各项和为﹣1

考点：数列递推式；极限及其运算．

专题：计算题．

分析：若想求数列的前N项和，则应先求数列的通项公式a

n，由已知条件，结合a n=S n﹣S n﹣1可得递推公式，因为是求无穷递缩等比数列的所有项的和，故由公式S=即得

解答：解：由可得：（n≥2），

两式相减得并化简：（n≥2），

又，

所以无穷数列{a n}是等比数列，且公比为﹣，

即无穷数列{a n}为递缩等比数列，

所以所有项的和S=

故答案是﹣1

点评：本题主要借助数列前N项和与项的关系，考查了数列的递推公式和无穷递缩等比数列所有项和公式，并检测了学生对求极限知识的掌握，属于一个比较综合的问题．

18．（2002?上海）若数列{a n}中，a1=3，且a n+1=a n2（n∈N*），则数列的通项a n= ．

考点：数列递推式．

专题：计算题；压轴题．

分析：由递推公式a

n+1=a n 2多次运用迭代可求出数列a

n=a n﹣1

2=a

n﹣2

4=…=a

1

2n﹣1

解答：解：因为a

1=3

多次运用迭代，可得a n=a n﹣12=a n﹣24=…=a12n﹣1=32n﹣1，

故答案为：

点评：本题主要考查利用迭代法求数列的通项公式，迭代中要注意规律，灵活运用公式，熟练变形是解题的关键19．（2015?张掖二模）数列{a n}满足a1=3，﹣=5（n∈N+），则a n= ．

考点：数列递推式；等差数列的通项公式．

专题：计算题．

分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．

解答：解：∵根据所给的数列的递推式

∴数列{}是一个公差是5的等差数列，

∵a1=3，

∴=，

∴数列的通项是

∴

故答案为：

点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目．

20．（2015?历下区校级四模）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n+2，则数列的通项a n= ．

考点：数列递推式．

专题：计算题．

分析：

由已知中数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n+2，我们可以根据a n=求出数列的通项公式，但最后要验证n=1时，是否满足n≥2时所得的式子，如果不满足，则写成分段函数的形式．

解答：解：∵S

2﹣2n+2，

n=n

∴当n≥2时，

a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣2n+2）﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）+2]=2n﹣3

又∵当n=1时

a1=S1=1≠2×1﹣3

故a n=

故答案为：

点评：

本题考查的知识点是由前n项和公式，求数列的通项公式，其中掌握a n=，及解答此类问题的步骤是关键．

21．（2015春?邢台校级月考）已知数列{a n}中，，则a16= ．

考点：数列递推式．

专题：计算题．

分析：由，可分别求a

2，a3，a4，从而可得数列的周期，可求

解答：解：∵，

则=﹣1

=2

=

∴数列{a n}是以3为周期的数列

∴a16=a1=

故答案为：

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，其中寻求数列的项的规律，找出数列的周期是求解的关键22．（2014春?库尔勒市校级期末）已知数列{a n}的通项公式a n=，若它的前n项和为10，则项数n为120 ．考点：数列递推式；数列的求和．

专题：计算题．

分析：由题意知a

n=，所以S n=（﹣）+（﹣）+（）=﹣1，再由﹣1=10，可得n=120．

解答：解：∵a

n==

∴S n=（﹣）+（﹣）+（）

=﹣1

∴﹣1=10，解得n=120

答案：120

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

23．（2012?黑龙江）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830 ．

考点：数列递推式；数列的求和．

专题：计算题；压轴题．

分析：令b

n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=b n+16可得数列{b n}是

以16为公差的等差数列，而{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和，由等差数列的求和公式可求

解答：解：∵，

∴

令b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2，

a4n+2+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，

则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=b n+16

∴数列{b n}是以16为公差的等差数列，{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和

∵b1=a1+a2+a3+a4=10

∴=1830

点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，等差数列的求和公式的应用，解题的关键是通过构造等差数列

24．（2012?浙江模拟）已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=（n∈N*），则b2012= ．

;

考点：数列递推式．

专题：综合题．

分析：

根据数列递推式，判断{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列，即可求得，故可求结论．

解答：

解：

∵a n+b n=1，b n+1=

∴b n+1==

∴b n+1﹣1=

∴﹣=﹣1

∵=﹣2

∴{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列

∴

∴

∴b2012=

故答案为：

点评：

本题考查数列递推式，解题的关键是判定{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列，属于中档题．三．解答题（共6小题）

25．（2015?广东）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当a≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1．（1）求a4的值；

（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；

（3）求数列{a n}的通项公式．

考点：数列递推式．

专题：等差数列与等比数列．

分析：（1）直接在数列递推式中取n=2，求得；

（2）由4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），变形得到4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），进一步得到，由此可得数列{}是以为首项，公比为的等比数列；

（3）由{}是以为首项，公比为的等比数列，可得．进一步得到，说明{}是以为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{a n}的

通项公式．

解答：（1）解：当n=2时，4S

4+5S2=8S3+S1，即，解得：；

（2）证明：∵4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），∴4S n+2﹣4S n+1+S n﹣S n﹣1=4S n+1﹣4S n（n≥2），

即4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），

∵，∴4a n+2+a n=4a n+1．

∵=．

∴数列{}是以为首项，公比为的等比数列；

（3）解：由（2）知，{}是以为首项，公比为的等比数列，

∴．

即，

∴{}是以为首项，4为公差的等差数列，

∴，即，

∴数列{a n}的通项公式是．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是中档题．

26．（2014?广西）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．

（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；

（Ⅱ）求{a n}的通项公式．

考点：数列递推式；等差数列的通项公式；等差关系的确定．

专题：等差数列与等比数列．

分析：（Ⅰ）将a

n+2=2a n+1﹣a n+2变形为：a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，再由条件得b n+1=b n+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{b n}是等差数列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出b n，代入b n=a n+1﹣a n并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{a n}的通项公式a n．

解答：解：（Ⅰ）由a

n+2=2a n+1﹣a n+2得，

a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，

由b n=a n+1﹣a n得，b n+1=b n+2，

即b n+1﹣b n=2，

又b1=a2﹣a1=1，

所以{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

由b n=a n+1﹣a n得，a n+1﹣a n=2n﹣1，

则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，a n﹣a n﹣1=2（n﹣1）﹣1，

所以，a n﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1

==（n﹣1）2，

又a1=1，

所以{a n}的通项公式a n=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．

点评：本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．27．（2012?碑林区校级模拟）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．

（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；

（2）求数列{a n}的前n项和S n．

考点：数列递推式；数列的求和．

专题：计算题；综合题．

分析：

（1）由已知得=+，即b n+1=b n+，由此能够推导出所求的通项公式．

（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设

T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．

解答：

解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，

即b n+1=b n+，从而b2=b1+，

b3=b2+，

b n=b n﹣1+（n≥2）．

于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．

又b1=1，

故所求的通项公式为b n=2﹣．