湖南高一数学上学期期末考试试题

湖南师大附中2016－2017学年度高一第一学期期末考试

数 学

时量：120分钟 满分：150分

得分：____________

第Ⅰ卷(满分100分)

一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知两点A(a ，3)，B(1，－2)，若直线AB 的倾斜角为135°，则a 的值为

A ．6

B ．－6

C ．4

D ．－4

2．对于给定的直线l 和平面a ，在平面a 内总存在直线m 与直线l

A ．平行

B ．相交

C ．垂直

D ．异面

之间的

2l 与1l 则，2l ∥1l 若，0＝4－6y ＋mx ：2l 和0＝2＋m －3my ＋2x ：1l 已知直线．3距离为 2105

.D 255.C 105.B 55.A PC

，3＝PB ，2＝PA 且，两两互相垂直PC 、PB 、PA 的三条侧棱ABC －P 已知三棱锥．4＝3，则这个三棱锥的外接球的表面积为

A ．16π

B ．32π

C ．36π

D ．64π

的位置关系是

0＝16＋6y －8x －2y ＋2x ：2C 与圆0＝12＋6y －4x －2y ＋2x ：1C 圆．5 A ．内含 B ．相交 C ．内切 D ．外切

6．设α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是

A ．若m∥n，m ?β，则n∥β

B ．若m∥α，α∩β＝n ，则m∥n

C ．若m⊥β，α⊥β，则m∥α

D ．若m⊥α，m ⊥β，则α∥β

7．在空间直角坐标系O －xyz 中，一个四面体的四个顶点坐标分别为A(0，0，2)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(2，2，2)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz 平面为投

影面，则四面体ABCD 的正视图为

的方程为

AB 则直线，的中点AB 的弦16＝2

y ＋22)－(x 为圆)1，P(3．若点8 A ．x －3y ＝0 B ．2x －y －5＝0

C ．x ＋y －4＝0

D ．x －2y －1＝0

9．已知四棱锥P －ABCD 的底面为菱形，∠BAD ＝60°，侧面PAD 为正三角形，且平面

PAD⊥平面ABCD ，则下列说法中错误的是

A ．异面直线PA 与BC 的夹角为60°

B ．若M 为AD 的中点，则AD⊥平面PMB

C ．二面角P －BC －A 的大小为45°

D ．BD ⊥平面PAC

的方程为

l 则直线，相切4＝2y ＋2x ：O 且与圆，)4，P(2过点l 已知直线．10 A ．x ＝2或3x －4y ＋10＝0

B ．x ＝2或x ＋2y －10＝0

C ．y ＝4或3x －4y ＋10＝0

D ．y ＝4或x ＋2y －10＝0

11．在直角梯形BCEF 中，∠CBF ＝∠BCE＝90°，A 、D 分别是BF 、CE 上的，AD ∥BC ，且AB ＝DE ＝2BC ＝2AF ，如图1.将四边形ADEF 沿AD 折起，连结BE 、BF 、CE ，如图2.则在折

起的过程中，下列说法中错误的是

A ．AC ∥平面BEF

B ．直线B

C 与EF 是异面直线

C ．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD

D ．平面BC

E 与平面BE

F 可能垂直

答题卡 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答 案

二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．

的取值范围是

a 则实数，有公共点2＝2y ＋2a)－(x ：C 与圆0＝1＋y －x ：l 若直线．12____________．

球的体

，1V 记圆柱的体积为，已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径．13．________＝V1V2

则，2V 积为 14．已知三棱锥P －ABC 的体积为10，其三视图如图所示，则这个三棱锥最长的一条侧

棱长等于________．

三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤．

15．(本小题满分8分)

已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(3，0)，B(4，6)，C(0，8)．

(1)求BC 边上的高所在直线l 的方程；

(2)求△ABC 的面积．

16.(本小题满分10分)

已知圆C经过A(－2，1)，B(5，0)两点，且圆心C在直线y＝2x上．

(1)求圆C的标准方程；

(2)设动直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y－7m－8＝0与圆C相交于P，Q两点，求|PQ|的最

小值．

17．(本小题满分12分)

的中

BC 为D ，1AA ＝AC ＝AB ，AC ⊥AB ，ABC 平面⊥A 1A ，中1C 1B 1A －ABC 在三棱柱，如图点．

C;

1AB 平面⊥B 1A 证明：(1) 所成的角的大小．

C 1AB 与平面

D 1A 求直线(2)

第Ⅱ卷(满分50分)

一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．

．______＝M R N∩?则，1)}＋2(x lg ＝{y|y ＝N ，????

??x|2x <1＝M 已知集合．18 19．已知函数f (x )在定义域R 上单调递减，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点A (1，0)

) (的取值范围是t －1t －3

则，3)>0－(f ＋)t 2－2t (f 满足t 对称．若实数 ?

????－∞，12B. ? ????12，＋∞A. ∞)＋，(1∪? ??

??12，1D. ? ????0，23C. 二、本大题共3个大题，共38分．

20．(本小题满分12分)

为侧

P ，倍2每条侧棱的长都是底面边长的，的底面是正方形ABCD －S 四棱锥，如图棱SD 上的点．

(1)求证：AC⊥SD；

(2)若SD⊥平面PAC ，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE∥平面P AC ？若存在，求

SE∶EC 的值；若不存在，试说明理由．

.f （x ）x －1

＝(x)g ，1－mx －2mx ＝f(x)设函数 (1)若对任意x∈[1，3]，不等式f(x)<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围；

上的单调性．∞)＋，(3在区间g(x)确定函数，时14

＝－m 当(2)

为实常数．

a 其中，9＝22)－a －(y ＋2

a)－(x ：C 已知圆 (1)若直线l ：x ＋y －4＝0被圆C 截得的弦长为2，求a 的值；

(2)设点A(3，0)，O 为坐标原点，若圆C 上存在点M ，使|MA|＝2|MO|，求a 的取值范

围．

湖南师大附中2016－2017学年度高一第一学期期末考试数学参考答案－(这是边文，

请据需要手工删加)

湖南师大附中2016－2017学年度高一第一学期期末考试

数学参考答案

第Ⅰ卷(满分100分) 一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分. 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

答 案 D C B A C D B C D A D

二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．

3414. 32

13. ]1，3－[．12 三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤．

)分.(112

＝－8－60－4＝BC k 则，)8，(0C ，6)，B(4因为点(1)【解析】．15 因为l⊥BC，则l 的斜率为2.(2分)

又直线l 过点A ，所以直线l 的方程为y ＝2(x －3)，即2x －y －6＝0.(4分)

)

分.(573＝9＋64＝|AC|则，)8，(0C ，)0，A(3因为点(2) )分(6，0＝24－3y ＋8x 即，1＝y 8

＋x 3的方程为AC 又直线 )分.(72673

＝32＋18－2464＋9＝d 的距离AC 到直线B 则点 )分13. (8＝|AC|×d 12

＝S 的面积△ABC 所以 的垂直平AB 则线段，17＝－AB k ，? ??

??32，12的中点为AB 方法一：因为线段(1)【解析】．16)分10. (2－7x ＝y 即，? ??

??x －327＝12－y 分线方程为 联立y ＝2x ，得x ＝2，y ＝4.所以圆心C(2，4)，

)

分5.(4＝16＋9＝|AC|＝r 半径 )

分25.(5＝24)－y (＋22)－(x 的标准方程是C 所以圆 则

，0＝F ＋Ey ＋Dx ＋2y ＋2x 的方程为C 方法二：设圆 ?

???

?

－2D ＋E ＋F ＋5＝0，5D ＋F ＋25＝0，E ＝2D ，)

分5.(3＝－F ，8＝－E ，4＝－D 解得 ，

0＝5－8y －4x －2y ＋2x 的方程是C 所以圆 )

分25.(5＝24)－(y ＋22)－(x 即 (2)直线l 的方程化为(2x ＋y －8)＋m(x ＋2y －7)＝0.

)分(7．)2，M(3过定点l 所以直线?????x ＝3，y ＝2，得?

????2x ＋y －8＝0，x ＋2y －7＝0，令 由圆的几何性质可知，当l⊥CM 时，弦长|PQ|最短．

，

5＝（3－2）2＋（2－4）2＝|CM|因为 )

分.(1054＝25－52＝r2－||CM 2

2＝min |PQ|则 AC.

⊥A 1A 则，ABC 平面⊥A 1A 因为(1)【解析】．17 )

分(3B.1AC⊥A 所以，B 1B 1A A 平面AC⊥则，AC⊥AB 又 B.

1A ⊥1AB 则，是正方形B 1B 1AA 侧面，知由已 )分(5C.1AB 平面⊥B 1A 所以，A ＝AC ∩1AB 因为

G.

于D 1A 交，CO 连，O ＝B 1A ∩1AB 设，C 1A ：连结方法一(2) 的重心．

BC 1△A 为G 则，的中点BC 为D ，的中点B 1A 为O 因为 )分(8所成的角．C 1AB 与平面D 1A 是GO 1∠A 则，C 1AB 平面⊥O 1A 因为 .

2＝C 1A ＝BC ＝B 1A 则，1＝1AA ＝AC ＝AB 设 .63

＝°60 sin 2×23＝D 1A 23＝G 1A ，22＝O 1A 得 .°60＝GO 1∠A 则，32

＝A1O A1G ＝GO 1A ∠sin ，中OG 1A △Rt 在 )

分(12.°06所成的角为C 1AB 与平面D 1A 所以直线

，

DF ，EF ，DE 连，F ，E 的中点B 1B ，AB 方法二：分别取 ，

1AB ∥EF ，ED∥AC 则 C.

1AB 平面DEF∥所以平面 DEF.

平面⊥B 1A 则，C 1AB 平面⊥B 1A 因为 ，

DG 连，G 的交点为EF 与B 1A 设 )

分. (8所成的角DEF 与平面D 1A 是直线DG 1∠A 则 .

2＝C 1A ＝BC ＝B 1A 则，1＝1AA ＝AC ＝AB 设 .62

＝°60 sin 2＝D 1A ，324＝B 1A 34＝G 1A 得 .°60＝DG 1∠A 则，32

＝A1G A1D ＝

DG 1A ∠sin ，中GD 1A △Rt 在 )

分(12 .°60为所成的角C 1AB 与平面D 1A 所以直线 第Ⅱ卷(满分50分)

一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．

18．[0，2]

【解析】M ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，N ＝[0，＋∞)，所以N∩?R M ＝[0，2]．

19．B 【解析】因为y ＝f (x －1)的图象关于点A (1，0)对称，则y ＝f (x )的图象关于

原点对称，即f (x )为奇函数．

，

(3)f ＝3)－(f －)>t 2－2t (f 得，3)>0－(f ＋)t 2－2t (f 由 因为f (x )在R 上是减函数，

3. ＜t ＜1得－，3<0－t 2－2t 即，<3t 2－2t 则 B.选，12

20．【解析】(1)连接BD ，设AC 交BD 于点O ，连接SO ，

由题意得SO⊥AC，

又因为正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，

所以AC⊥平面SBD,

∵SD ?平面SBD ，所以AC⊥SD. (6分)

(2)在棱SC 上存在一点E ，使得BE∥平面PAC.

a.

2＝SD 则，a 设正方形边长为 ，2a 4

＝PD 得PAC 平面SD⊥由 故可在SP 上取一点N ，使PN ＝PD.

过点N 作PC 的平行线与SC 的交点为E ，连接BN ，

在△BDN 中，易得BN∥PO，又因为NE∥PC，

所以平面BEN∥平面PAC ，所以BE∥平面PAC.

因为SN∶NP＝2∶1，所以SE∶EC＝2∶1. (12分)

1)<6.

＋x －2m(x 即，m －1<5－mx －2mx 得，m －f(x)<5由(1)【解析】．21 )分.(36x2－x ＋1m<则，>034

＋2? ????x －12＝1＋x －2x 因为 恒成立．h(x)＜m ，时]3，1x∈[则当，6x2－x ＋1

＝h(x)设 min

(x)h ，上是减函数]3，[1在区间h(x)则，上是增函数]3，[1在区间1＋x －2x ＝y 因为.67

＝h(3)＝ )分(6 .?

????－∞，67的取值范围是m 所以 .1x －1

－mx ＝g(x)则，1－1)－mx(x ＝f(x)因为(2) )分.(7? ??

??x 4＋1x －1＝－(x)g ，时14＝－m 当 ＝? ??

??x14＋1x1－1－? ????x24＋1x2－1＝)2g(x －)1g(x 则，>32>x 1x 设 x24

＝x1－x2（x1－1）（x2－1）＋x2－x14＝1x1－1－1x2－1＋x14－ )分.(10????

??1（x1－1）（x2－1）－14)2x －1(x ，

1)>4－21)(x －1(x 则，1>2－21>x －1x 因为 ，)<02g(x －)1g(x 则，>02x －1x 又，14

<1（x1－1）（x2－1）得 )

分13(上是减函数．∞)＋，(3在区间g(x)所以，)2)

设圆心C 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 截得的弦长为2，则

)

分.(422＝d 即，9＝1＋2d

)分3.(6＝a 或1＝－a 所以，2＝1|－|a 即，22＝|a ＋（a ＋2）－4|2

所以 3

－2x ＋2

y ＋2x 即，x2＋y22＝（x －3）2＋y2得，2|MO|＝|MA|由，)y ，M(x 设点(2)＝0.

)

分2.(8半径为，)0，1－D(上．其圆心为4＝2y ＋21)＋(x ：D 在圆M 所以点 因为点M 在圆C 上，则圆C 与圆D 有公共点，即1≤|CD|≤5.(9分)

?????a2＋3a ＋2≥0，a2＋3a －10≤0，

即，5≤（a ＋1）2＋（a ＋2）21≤所以 )分(11?

????（a ＋2）（a ＋1）≥0，（a －2）（a ＋5）≤0，即 1≤a≤2. 或－2－5≤a≤即－?

????a≤－2或a≥－1，－5≤a≤2，解得 故a 的取值范围是[－5，－2]∪[－1，2]．(13分)