吉林大学离散数学精品试卷
2006-2007学年第2学期
2005级《离散数学2》期末考试试题(A卷)
考试时间：2007年6月班级_______________________ 学号_____________________ 姓名_____________________
请将答案写在答题纸上，写明题号，不必抄题，字迹工整、清晰；
请在答题纸和试题纸上都写上你的班级，学号和姓名，交卷时请将试题纸、答题纸和草纸一并交上来。
一.综合体(30分，每题3分)
1. 求( 1 3 5 ) (2 5 4 ) (3 4 )
2. 只有两个生成元的循环群一定是有限循环群吗？并说明理由。
3. 有限循环群中是否一定存在周期与群的元数相等的元素？
4. 下面哪个是域GF( 16)的真子域
(A)GF (6) ;(B)GF ⑷;(C)GF(8);(D)GF(16)
5. 有限布尔代数的元素个数必定是如下哪个形式？
(A)2n;(B)n 2 ;(C)2 n;(D)4n.
6. 下列代数系统(S, *)中，哪个是群？
(A) S={0,1,3,5},* 是模7的乘法；(B) S是有理数集合，*运算是普通乘法；
(C) S是整数集合，*是普通乘法；(D) S={1,3,4,9},* 是模11的乘法。
7. 设A={0,1,2,3,4},运算为模5加法，请给出A的所有子群。
8. n元恒等置换是奇置换还是偶置换？对换呢？
9?请给出一个有余，但不是分配格的例子。
10.设R是模12的整数环，R={0,1,2,…,11},下面哪一个是极大理想：
(A) 6R; (B)2R; (C)4R; (D)8R
二.计算题(25分，每题5分)
1. 计算分圆多项式①24(X).
2. 设(Z,+)为整数加法群，(C*,??)为非零复数的乘法群，令
f: n -i n ,是Z到C*中的同态映射，请求出f的同态核。
3. 在R上求出x+2除2X5+4X3+3X2+1所得的商式和余式。
4. 设G是3次对称群，H是由I和(13)作成的子群，求H得所有右陪集。
5. 设A={0,1,2,3,4,5}, 运算为模6加法，请给出A中所有元素的周期。
三.(10分)证明或者反驳：f(x)=3x 5+5X2+1
四.(10分)设(G, *)是群，(A, *)和(B，*)是它的两个子群，C={a*b|a € A, b€ B}.证明：若*满足交换律，则(C, *)也是(G，*)的子群。
五.(10分)设Z是整数集合，X={(a,b)|a,b € Z},定义X上的二元运算①和。
如下：对任意(ab) ,(a 2,b2)€ X,有：
(a1b"e (a2,b2)= (a+a?,b1+b2), (a1bJ O (a2,b2)= (ax a2,b 1X b)，其中，+，x分别是整数加法与乘法。
证明：(X，?，O)是环，如果此环有零因子请给出它们
六.（10分）设（L,X, +）是一个格，其等价的半序格（L,三），S是L的非空子集，如果（1）任意a, b € S,有a+b€ S;（2）任意a € S,任意x € L,若x三a,则x € S;则称（S,X, +）是（L,x，+ ）的理想。求格（{1,2,3,6},D ）的所有子格和所有理想，其中D为整除关系。
七.（5分）设（G, *）是n元有限群，e为单位元，a i,a 2,…,a n是G的任意n个元素，不一定两两不同。试证：存在正整数p和q, 1 = p = q= n,使得a p*a p+1*…*a q=e.
离散数学(第五版)清华大学出版社第2章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令F(x):x是鸟 G(x):x会飞翔. 命题符号化为 ?x(F(x)→G(x)). (2)令F(x):x为人. G(x):x爱吃糖 命题符号化为 ??x(F(x)→G(x)) 或者 ?x(F(x)∧?G(x)) (3)令F(x):x为人. G(x):x爱看小说. 命题符号化为 ?x(F(x)∧G(x)). (4) F(x):x为人. G(x):x爱看电视. 命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)). 分析1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的F(x)都是特性谓词。 2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 27 ?x(F(x)∧G(x)) 即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。
3°（2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 ?xF(x) 其中F(x):(x+1)2=x2+2x+1,此命题在(a),(b),(c)中均为真命题。 （2）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xG(x) 其中G(x):x+2=0，此命题在（a）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。 （3）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xH(x) 其中H(x):5x=1.此命题在(a),(b)中均为假命题，在(c)中为真命题。 分析1°命题的真值与个体域有关。 2°有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时，应符号化为 ?xF(x) 这里，F(x):x呼吸，没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时，应符号化为 ?x(F(x)→G(x)) 这里，F(x):x为人，且F(x)为特性谓词。G(x):x呼吸。 28 2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。 （1）令：F(x):x是大学生，G(x):x是文科生，H(x):x是理科生，命题符号化为?x(F(x)→(G(x)∨H(x)) （2）令F(x):x是人，G(y):y是化，H(x):x喜欢，命题符号化为 ?x(F(x)∧?y(G(y)→H(x,y))) （3）令F(x):x是人，G(x):x犯错误，命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)), 或另一种等值的形式为 ?x(F(x)→G(x)
吉林大学离散数学精品试卷
2006-2007学年第2学期 2005级《离散数学2》期末考试试题(A卷) 考试时间：2007年6月班级_______________________ 学号_____________________ 姓名_____________________ 请将答案写在答题纸上，写明题号，不必抄题，字迹工整、清晰； 请在答题纸和试题纸上都写上你的班级，学号和姓名，交卷时请将试题纸、答题纸和草纸一并交上来。 一.综合体(30分，每题3分) 1. 求( 1 3 5 ) (2 5 4 ) (3 4 ) 2. 只有两个生成元的循环群一定是有限循环群吗？并说明理由。 3. 有限循环群中是否一定存在周期与群的元数相等的元素？ 4. 下面哪个是域GF( 16)的真子域 (A)GF (6) ;(B)GF ⑷;(C)GF(8);(D)GF(16) 5. 有限布尔代数的元素个数必定是如下哪个形式？ (A)2n;(B)n 2 ;(C)2 n;(D)4n. 6. 下列代数系统(S, *)中，哪个是群？ (A) S={0,1,3,5},* 是模7的乘法；(B) S是有理数集合，*运算是普通乘法； (C) S是整数集合，*是普通乘法；(D) S={1,3,4,9},* 是模11的乘法。 7. 设A={0,1,2,3,4},运算为模5加法，请给出A的所有子群。 8. n元恒等置换是奇置换还是偶置换？对换呢？ 9?请给出一个有余，但不是分配格的例子。 10.设R是模12的整数环，R={0,1,2,…,11},下面哪一个是极大理想： (A) 6R; (B)2R; (C)4R; (D)8R 二.计算题(25分，每题5分) 1. 计算分圆多项式①24(X). 2. 设(Z,+)为整数加法群，(C*,??)为非零复数的乘法群，令 f: n -i n ,是Z到C*中的同态映射，请求出f的同态核。 3. 在R上求出x+2除2X5+4X3+3X2+1所得的商式和余式。 4. 设G是3次对称群，H是由I和(13)作成的子群，求H得所有右陪集。 5. 设A={0,1,2,3,4,5}, 运算为模6加法，请给出A中所有元素的周期。 三.(10分)证明或者反驳：f(x)=3x 5+5X2+1 四.(10分)设(G, *)是群，(A, *)和(B，*)是它的两个子群，C={a*b|a € A, b€ B}.证明：若*满足交换律，则(C, *)也是(G，*)的子群。 五.(10分)设Z是整数集合，X={(a,b)|a,b € Z},定义X上的二元运算①和。 如下：对任意(ab) ,(a 2,b2)€ X,有： (a1b"e (a2,b2)= (a+a?,b1+b2), (a1bJ O (a2,b2)= (ax a2,b 1X b)，其中，+，x分别是整数加法与乘法。 证明：(X，?，O)是环，如果此环有零因子请给出它们
《离散数学》清华大学出版社 前四章小测验
一、判断题 (正确的在括号内填写“√”，错误的写“×”) （ ）1、“只有天下大雨，他才乘班车上班”与“除非天下大雨，否则他不乘班车上班”所表达的逻辑关系是一样的。 （ ）2、公式B A ,含相同的命题变项,若B A ∨是重言式,则A 与B 都是重言式。 （ ）3、在命题逻辑中，任何命题公式的主合取范式都是存在的，并且是惟一的。 （ ）4、永真式的主合取范式是1，矛盾式的主析取范式是0。 （ ）5、同一个谓词公式，在不同个体域中，真值不一定相同。 二、单项选择题 1、下列命题是复合命题的是（ ） A 、黄色和蓝色可以调配成绿色； B 、李辛与李未是兄弟； C 、黄色和蓝色都是常用颜色； D 、张辉与王力是同学 ； 2、设p:天下大雨，q:小王乘公共汽车上班，命题“只有天下大雨，小王才乘公共汽车上班”的符号化形式为（ ） A 、p →q ； B 、q →p ； C 、p →┐q ； D 、┐p →q ； 3、公式()p q r ∧?∨的公式类型为（ ） A 、重言式； B 、矛盾式； C 、非重言式的可满足式； 4、下列联结词集是联结词完备集的是（ ） A 、{,,}∧∨→； B 、{,}?→； C 、{,,}∨→?； D 、{,,,}∧∨→?； 5、设解释I 如下：个体域D={a,b},F(a,a)=(b,b)=0,F(a,b)=F(b,a)=1，在解释I 下，下列公式中真值为1的是（ ） A 、(,)x yF x y ??； B 、(,)x yF x y ??； C 、(,)x yF x y ??； D 、(,)y xF x y ??； 三、填空题 1、公式)(q p ??与)()(q p q p ∧?∨?∧共同的成真赋值为 。 2、设命题公式A 为含命题变项,p q r ,的重言式，则公式(())A p q r ∨∧→的类型为 。
离散数学期末试卷A卷及答案
《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???.
2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？
离散数学 第2章 习题解答
第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令x (是鸟 x F:) (会飞翔. G:) x x 命题符号化为 x F ?. G x→ ) ( )) ( (x (2)令x x (为人. F:) (爱吃糖 G:) x x 命题符号化为 x F x→ G ?? )) ( ) ( (x 或者 F x? x ∧ ? ) )) ( ( (x G (3)令x x (为人. F:) G:) (爱看小说. x x 命题符号化为 x F ?. G x∧ (x ( )) ( ) (4) x (为人. x F:) (爱看电视. G:) x x 命题符号化为 F x? ∧ ??. x G ( ) ( )) (x 分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的) F都是特性谓词。 (x 2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 F x ? G x∧ ( )) ( ) (x
即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。 3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 )(x xF ? 其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。 （2） 在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xG ? 其中02:)(=+x x G ，此命题在（a ）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。 （3）在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xH ? 其中.15:)(=x x H 此命题在)(),(b a 中均为假命题，在(c)中为真命题。 分析 1°命题的真值与个体域有关。 2° 有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时，应符号化为 )(x xF ? 这里，x x F :)(呼吸，没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时，应符号化为 ))()((x G x F x →? 这里，x x F :)(为人，且)(x F 为特性谓词。x x G :)(呼吸。 2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。
吉林大学离散数学课后习题答案
第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法： 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每
一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。 真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解：该公式的真值表如下： 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故
G恒真。 方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解：由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1，以及 ? (Q→P) ∧ P= ?（?Q∨ P）∧ P = Q∧? P∧ P=0 知，((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G
离散数学课后习题答案 (邱学绍)
第一章 命题逻辑 习题1.11．解 ⑴不是陈述句，所以不是命题。 ⑵x 取值不确定，所以不是命题。 ⑶问句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑷惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑸是命题，真值由具体情况确定。 ⑹是命题，真值由具体情况确定。 ⑺是真命题。 ⑻是悖论，所以不是命题。 ⑼是假命题。 2．解 ⑴是复合命题。设p ：他们明天去百货公司；q ：他们后天去百货公司。命题符号化为q p ∨。 ⑵是疑问句，所以不是命题。 ⑶是悖论，所以不是命题。 ⑷是原子命题。 ⑸是复合命题。设p ：王海在学习；q ：李春在学习。命题符号化为p ∧q 。 ⑹是复合命题。设p ：你努力学习；q ：你一定能取得优异成绩。p →q 。 ⑺不是命题。 ⑻不是命题 ⑼。是复合命题。设p ：王海是女孩子。命题符号化为：?p 。 3．解 ⑴如果李春迟到了，那么他错过考试。 ⑵要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。 ⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。 ⑷如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。 4．解 ⑴?p →(q ∨r )。⑵p →q 。⑶q →p 。⑷q → p 。 习题1.2 1．解 ⑴是1层公式。 ⑵不是公式。 ⑶一层： p ∨q ，?p 二层：?p ?q 所以，)()(q p q p ??→∨是3层公式。 ⑷不是公式。 ⑸(p →q )∧?(?q ?( q →?r ))是5层公式，这是因为 一层：p →q ，?q ，?r 二层：q →?r 三层：?q ?( q →?r ) 四层：?(?q ?( q →?r )) 2．解 ⑴A =(p ∨q )∧q 是2层公式。真值表如表2-1所示： 表2-1 ⑵p q p q A →→∧= )(是3层公式。真值表如表2-2所示：
安徽大学期末试卷离散数学上卷及参考答案.doc
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学（上）》考试试卷（A 卷） （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、单选题（每小题2分，共20分） 1. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( ) A.R ∪I A B.R C.R ∪{〈c,a 〉} D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等 价关系，R 应取( ) A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝ B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 4. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x 集合与关系《应用离散数学》 第3章 21世纪高等教育计算机规划教材 目录 3.1 集合及其运算 3.2 二元关系及其运算3.3 二元关系的性质与闭包3.4 等价关系与划分 3.5 偏序关系与拓扑排序3.6 函 数 3.7 集合的等势与基数3.8 多元关系及其应用 集合是现代数学中最重要的基本概念之一，数学概念的建立由于使用了集合而变得完善并且统一起来。集合论已成为现代各个数学分支的基础，同时还渗透到各个科学技术领域，成为不可缺少的数学工具和表达语言。对于计算机科学工作者来说，集合论也是必备的基础知识，它在开关理论、形式语言、编译原理等领域中有着广泛的应用。 本章首先介绍集合及其运算，然后介绍二元关系及其关系矩阵和关系图，二元关系的运算、二元关系的性质、二元关系的闭包，等价关系与划分、函数，最后介绍多元关系及其在数据库中的应用等。 3.1 集合及其运算 3.1.1 基本概念 集合是数学中最基本的概念之一，如同几何中的点、线、面等概念一样，是不能用其他概念精确定义的原始概念。集合是什么呢？直观地说，把一些东西汇集到一起组成一个整体就叫做集合，而这些东西就是这个集合的元素或叫成员。 例3.1 （1）一个班级里的全体学生构成一个集合。 （2）平面上的所有点构成一个集合。 （3）方程 的实数解构成一个集合。 （4）自然数的全体（包含0）构成一个集合，用N表示。 （5）整数的全体构成一个集合，用Z表示。 （6）有理数的全体构成一个集合，用Q表示。 （7）实数的全体构成一个集合，用R表示。 （8）复数的全体构成一个集合，用C表示。 （9）正整数集合Z+，正有理数集合Q+，正实数集合R+。（10）非零整数集合Z*，非零有理数集合Q*，非零实数集合R*。（11）所有n 阶(n≥2)实矩阵构成一个集合，用M n(R)表示，即 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (?p→q)→(?q∨p) 一、培养目标 信息科学技术学院(以下简称信息学院)本科培养方案面向电子信息科学与技术、计算机科学与技术、自动化、微电子学、示范性软件学院的计算机软件等五个专业，从2003级开始实行多学科交叉背景下、通识教育基础上的宽口径专业教育，构建具有各专业共性基础的学院平台课程体系以及具有一定特长的专业核心课程体系，强调对学生进行基本理论、基础知识、基本能力(技能)以及健全人格、综合素质和创新精神培养，为学生提供增强基础、选择专业的机制，培养基础厚、专业面宽、具有自主学习能力的复合型人才。 从2011级开始，信息学院对培养方案进行了全面修订，进一步将学科交叉范围扩大到专业核心课程体系，为学生提供更加灵活的选课机制和更加宽广的专业空间；并将继续深入研究和不断改进课程内容和教学方法，加强实践环节，更好地培养适应时代要求的信息科学技术专业人才。 信息学院致力于为学生全面参与教育教学、科学研究、文化艺术、社会服务等活动创造条件，提倡学生在参与中发现自己的能力和兴趣，最大限度地发展自己的智力和潜能，鼓励学生敢于面对挑战、不断探索、努力创造、追求卓越，并提供一种基础和环境，促使学生养成独立工作的能力和终身学习的习惯。 二、基本要求 信息学院各专业通过各种教育教学活动发展学生个性，培养学生具有健全人格；具有成为高素质、高层次、多样化、创造性人才所具备的人文精神以及人文、社科方面的背景知识；具有国际化视野；具有创新精神；具有提出、解决带有挑战性问题的能力。具有进行有效的交流与团队合作的能力；在信息科学技术领域掌握扎实的基础理论、相关领域基础理论和专门知识及基本技能，具有在相关领域跟踪、发展新理论、新知识、新技术的能力，能从事相关领域的科学研究、技术开发、教育和管理等工作。 电子信息科学与技术专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能，从事信号获取、处理和应用，通信及系统和网络，模拟及数字集成电路设计和应用，微波及电磁技术理论、信号与信息处理的新型电子材料、器件和系统，包括信息光电子和光子器件、微纳电子器件、微光机电系统、大规模集成电路和电子信息系统芯片的理论和应用等方面的科研、开发与教育工作。 微电子学专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能，从事大规模模拟及数字集成电路设计和应用，工艺开发，EDA工具开发，新型电子材料、微纳电子器件和系统，量子信息和电子信息系统的理论和应用等方面的科研、开发与教育工作。培养基础扎实，创新能力突出，有国际视野的微纳电子专业人才。 计算机科学与技术专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能，从事计算机科学理论、计算机系统结构、计算机网络、计算机软件及计算机应用技术等方面的科研、开发与教育工作。 自动化专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能，从事国民经济、国防和科研各部门的运动控制、过程控制、机器人智能控制、导航制导与控制，现代集成制造系统、模式识别与智能系统、生物信息学、人工智能与神经网络、系统工程理论与实践、新型传感器、电子与自动检测系统、复杂网络与计算机应用系统等领域的科学研究、技术开发、教育及管理等工作。 计算机软件专业的本科毕业生应该具备扎实的软件理论和软件工程专业基础知识，具有良好的工具使用与实验能力、软件分析与开发能力、过程控制与管理能力、团队协作与沟通能力。 三、学制与学位授予 习题 2.1 1．将下列命题符号化。 (1) 4不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：4。 “4不是奇数。”符号化为：?A(a) (2) 2是偶数且是质数。 解：设A(x)：x是偶数。B(x)：x是质数。a：2。 “2是偶数且是质数。”符号化为：A(a)∧B(a) (3) 老王是山东人或河北人。 解：设A(x)：x是山东人。B(x)：x是河北人。a：老王。 “老王是山东人或河北人。”符号化为：A(a)∨B(a) (4) 2与3都是偶数。 解：设A(x)：x是偶数。a：2，b：3。 “2与3都是偶数。”符号化为：A(a)∧A(b) (5) 5大于3。 解：设G(x,y)：x大于y。a：5。b：3。 “5大于3。”符号化为：G(a,b) (6) 若m是奇数，则2m不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：m。b：2m。 “若m是奇数，则2m不是奇数。”符号化为：A(a)→A(b) (7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。 解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。设D(x,y)：直线x相交于直线y。a：直线A。b：直线B。 “直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。”符号化为：C(a,b)??D(x,y) (8) 小王既聪明又用功，但身体不好。 解：设A(x)：x聪明。B(x)：x用功。C(x)：x身体好。a：小王。 “小王既聪明又用功，但身体不好。”符号化为：A(a)∧B(a)∧?C(a) (9) 秦岭隔开了渭水和汉水。 解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。a：秦岭。b：渭水。c：汉水。 “秦岭隔开了渭水和汉水。”符号化为：A(a,b,c) (10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。 解：设A(x)：x是东北人。B(x)：x怕冷。a：小李。 “除非小李是东北人，否则她一定怕冷。”符号化为：B(a)→?A(a) 2．将下列命题符号化。并讨论它们的真值。 (1) 有些实数是有理数。 解：设R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。 “有些实数是有理数。”符号化为：(?x)(R(x)∧Q(x)) 选择题 1.设P :他在听音乐，Q :他学习，将命题“他在学习或在听音乐”符号化正确的是（ ） A.P →Q B.P ∧Q C.P ∨Q D.Q →?P 2.下列命题公式不是．． 永真式的是( ) A.()P Q P →→ B.()P Q →∨P C.P ?∨()Q P → D.()P Q P →→ 3.下列等价式正确的是（ ） A.()()()()x A x x A x ????? B.()()()(())A x B x x A B x →???→ C.()(())()()x A x B x A x B ?→??→ D.()(())()()x A x B x A x B ?→??→ 4.设A(x):x 是鸟，B(x):x 会飞，命题“有的鸟不会飞”符号化为（ ） A.()(()x A x ??∧())B x B.()(()x A x ??∧())B x C.()(()())x A x B x ??→ D.()(()())x A x B x ??→ 5.设X ={,{},{,}}a a ??，则下列陈述正确的是（ ） A.a X ∈ B.{,}a X ?? C.{{,}}a X ?? D.{}X ?∈ 6.设A B B = ,则有（ ） A.A B A = B.A B -=? C.A B B = D.A B ? 7.设A =｛a ,{b , c }｝,则其幂集P （A ）的元素总个数为（ ） A.3 B.4 C.6 D.8 8.在整数集Z 上，下列定义的运算满足结合律的是（ ） A.1a b b *=+ B.1a b a *=- C.1a b ab *=- D.1a b a b *=++ 9.设 习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧?→?。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧?→?。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →?∧?。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧?→? (5)论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →?∧?。 2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），?（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化： (1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解 先引进一些谓词如下： x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =??。 x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =???。 x x E :)(是偶数，)(x E 可表示为)2(x v v =??。 x x P :)(是素数，)(x P 可表示为)1)(()1(x u u x u v v u x =∨=?=???∧=?。 安徽大学2006-2007学年第1学期 《离散数学》期末考试试卷（A卷） （时间120分钟） 开课院（系、部）姓名学号. 一、选择题（每小题2分，共20分）1．下列语句中，哪个是真命题（）A、 4 2= + x； B、我们要努力学习； C、如果ab为奇数，那么a是奇数，或b是偶数； D、如果时间流逝不止，你就可以长生不老。 2．下列命题公式中，永真式的是（） A、P Q P→ →) (； B、P P Q∧ → ?) (； C、Q P P? ? ∧) (； D、) (Q P P∨ →。3．在谓词逻辑中，令) (x F表示x是火车；) (y G表示y是汽车；) , (y x L表示x比y快。 命题“并不是所有的火车比所有的汽车快”的符号表示中哪些是正确的（） I.)),()()((y x L y G x F y x →∧??? II.)),()()((y x L y G x F y x ?∧∧?? III. )),()()((y x L y G x F y x ?→∧?? A 、仅I ； B 、仅III ； C 、I 和II ； D 、都不对。 4．下列结论正确的是：（ ） A 、若C A B A =，则 C B =； B 、若B A B A ?，则B A =； C 、若C A B A =，则C B =； D 、若B A ?且D C ?，则D B C A ?。 5．设φ=1A ，}{2φ=A ，})({3φρ=A ，)(4φρ=A ，以下命题为假的是（ ） A 、42A A ∈； B 、31A A ?； C 、24A A ?； D 、34A A ∈。 6．设R 是集合},,,{d c b a A =上的二元关系， },,,,,,,,,,,{><><><><><><=b d d b a c c a a d d a R 。下列哪些命题为真（ ） I.R R ?是对称的 II. R R ?是自反的 III. R R ?不是传递的 A 、仅I ； B 、仅II ； C 、I 和II ； D 、全真。 第二章 谓词逻辑 习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧?→?。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧?→?。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →?∧?。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧?→? (5)论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →?∧?。 2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），?（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化： (1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解 先引进一些谓词如下： x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =??。 x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =???。 x x E :)(是偶数，)(x E 可表示为)2(x v v =??。 清华大学计算机系培养方案一 信息科学技术学院 本科指导性教学计划 第一年 课程编号课程名称学分周学时考核方式说明及主要先修课 12090043 军事理论与技能训练3 3 考查 秋季学期 课程编号课程名称学分周学时考核方式说明及主要先修课 107 1 体育(1) 1 2 考查 10610183 思想道德修养与法律基础3 2 考查 10640532 英语（1） 2 2 考查 10420874 一元微积分 4 4 考试 10420904 几何与代数(1) 4 4 考试 0412 工程图学基础 2 2 考试 2选1 20240023 离散数学(2) 3 3 考试 程序设计课组 3 3 考试选１门，详见附录2 30210041 信息科学技术概论 1 1 考查 文化素质选修课≥1 1 合计≥21 注：计算机科学与技术专业必修“离散数学(2)”，其它专业必修“工程图学基础”。 春季学期 课程编号课程名称学分周学时考核方式说明及主要先修课 107 1 体育(2) 1 2 考查 10610193 中国近现代史纲要 3 2 考试 10640682 英语（2） 2 2 考查 10420884 多元微积分 4 4 考试先修一元微积分 10421002 几何与代数(2) 2 2 考试 大学物理课组1 4 4 考试先修一元微积分 20220214 电路原理 4 4 考试 20220221 电路原理实验 1 1 考查 合计≥21 夏季学期 课程编号课程名称学分周学时考核方式说明及 主要先修课 - 3 - - 4 - 21510192 电子工艺实习（集中） 2 考查 2周 程序训练课组 2 考查 3周 合计： 4 第二年 秋季学期 课程编号 课程名称 学分 周学时 考核方式 说明及 主要先修课 107 1 体育(3) 1 2 考查 10610204 马克思主义基本原理 4 3 考试 10420892 高等微积分B 2 2 考试 10420252 复变函数引论 2 2 考试 304 3 复分析 3 3 考试 大学物理课组2 4 4 考试 见附录2 10430782 物理实验A(1) 2 2 考查 10430801 物理实验B(1) 1 1 考查 电子基础课组１ 3 3 考试 电子基础课组２ 3 3 考试 21550012 电子技术实验 2 2 考查 文化素质选修课 ≥1 2 10420262 数理方程引论 2 2 考查 20240013 离散数学(1) 3 3 考试 3选1 选1门，详见2选1，大学 2选1，一元微 离散数学期末试卷(A) XXXX大学XX学院2007 ～2008学年第一学期《离散数学》期末试卷年级专业题号得分适用年级专业：2006级软件工程专业试卷说明：闭卷考试，考试时间120分钟一、单项选择题1．下列语句中只有不是命题。C A．今年元旦会下雪。B．1+1=10。C．嫦娥一号太棒了！D．嫦娥奔月的神话已成为现实。2．p?q 的主合取范式是。 B A．(p?q)?(p??q)B．(p??q)?(?p?q) C．(p?q)?(?p??q)D．(p?q)?(?p?q) 3．与p? q等值的命题公式是。D A．?p?q B．p??q C．p??q D．?p?q 4．在一阶逻辑中使用的量词只有个。B A．1B．2 C．3D．4 5．??xA(x)?。C A．??xA(x) B．?x?A(x) C．?x?A(x) D．?xA(x) 6．若|A|=4，则|P(A)|=。 C A．4B．8C．16 D．64 7．设A、B、C为任意集合，集合的对称差运算不具有的性质是。 D A．A?B = B?A B．(A?B)?C = B?(A?C) 班级学号一二三姓名____________ 四总分C．A?A = ?D．A?A = A 8．二元关系是。B A．两个集合的笛卡儿积B．序偶的集合C．映射的集合D．以上都不是9．下面关于函数的叙述中正确的是。D A．函数一定是满射B．函数一定是单射C．函数不是满射就单射D．函数是特殊的关系10．半群中的二元运算一定满足=。B A．交换律B．结合律C．分配律D．幂等律11．环中有个二元运算。 B A．一B．二C．三D．四12．群与独异点的区别是。 C A．满足交换律B．满足结 离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答 1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。 分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。 其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们 都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来 的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许 多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结 的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。 （2）p:5能被2整除，p为假命题。 （6）p→ｑ。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真 命题，因而p→ｑ为假命题。 （7）p→ｑ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命 题，q为真命题，因而p→ｑ为假命题。 （8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不 知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。 1 （10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。 （12）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。由于q是假命题，所以，q 为假命题，p∨q为真命题。应用离散数学-集合与关系
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