高三复习 高中数学复习讲义 第一课时函数概念及其性质

高中数学复习讲义 第一课时函数概念及其性质

第1课 函数的概念

【基础练习】

1． 设有函数组：①y x =

，y =

y x =

，y =

；③y

，y =

；④1(0),1

(0),

x y x >?=?-

y =．其中表示同一个函数的

有

2． 2.设集合{02}M x x =≤≤，{02}N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：

其中能表示为M 到N 的函数关系的有________． 3.写出下列函数定义域：

(1) ()13f x x =-的定义域为______________； (2) 2

1

()1

f x x =

-的定义_______； (3)

1

()f x x =的定义域为_________； (4)

0()f x =________．

4．已知三个函数:(1)()

()

P x y Q x =

；

(2)y =(*)n N ∈； (3)()log ()Q x y P x =．写出使各函数式有意义时，()P x ，()Q x 的约束条件：

(1)___________________(2)______________________(3)______________________________． 5.写出下列函数值域：

(1) 2

()f x x x =+，{1,2,3}x ∈；值域是{2,6,12}． (2) 2()22f x x x =-+； 值域是[1,)+∞．

①

②

③

④

(3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]．

【范例解析】

例 1.设有函数组：①21

()1

x f x x -=-，()1g x x =+；

②()f x =

，

()g x =

③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有 ． 例2.求下列函数的定义域：①

12y x =+- ②

()f x =

例3.求下列函数的值域：

（1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈；

（2）2

2

1

x y x =+()x R ∈； （3

）y x =-

【反馈演练】

1．函数f (x )＝x 21-的定义域是___________． 2．函数)

34(log 1

)(2

2-+-=

x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数2

1

()1y x R x =

∈+的值域为________________． 4.

函数23y x =-+_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -=

的定义域为_____________________．

6.记函数f (x )=1

3

2++-

x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ；

(2) 若B ?A ，求实数a 的取值范围．

第2课 函数的表示方法

【考点导读】

1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．

2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式． 【基础练习】

1.设函数()23f x x =+，()35g x x =-，则(())f g x =_________；(())g f x =__________．

2.设函数1

()1f x x

=

+，2()2g x x =+,则(1)g -=_________；[(2)]f g = ；[()]f g x = ．

3.已知函数()f x 是一次函数，且(3)7f =，(5)1f =-,则(1)f =_____．

4.设f (x )＝2

|1|2,||1,

1, ||11x x x x

--≤??

?>?+?，则f [f (21)]＝_____________．

5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________． 【范例解析】

例1.已知二次函数()y f x =的最小值等于4，且(0)(2)6f f ==，求()f x 的解析式．

例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km ，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y （km ）与时间x （分）的关系．试写出()y f x =的函数解析式．

第5题

【反馈演练】

1．若()2x x e e f x --=，()2

x x

e e g x -+=，则(2)

f x =（

）

Ａ． 2()f x Ｂ．2[()()]f x g x + Ｃ．2()g x Ｄ． 2[()()]f x g x ? 2．已知1(1)232

f x x -=+，且()6f m =，则m 等于________．

3. 已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2

＋2x ．求函数g (x )的解析式．

第3课 函数的单调性

【考点导读】

1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；

2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性． 【基础练习】 1.下列函数中： ①1()f x x

=

； ②()2

21f x x x =++； ③()f x x =-； ④()1f x x =-．

其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有______． 2.函数y x x =的递增区间是___ ___．

3.函数y =

的递减区间是__________．

4.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________．

5.已知下列命题：

①定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数；

②定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数；

③定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数；

④定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数．

其中正确命题的序号有___________． 【范例解析】

例 . 求证：（1）函数2

()231f x x x =-+-在区间3

(,]4

-∞上是单调递增函数；

（2）函数21

()1

x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数．

例2.确定函数()

f x =

【反馈演练】

1．已知函数1

()21

x

f x =

+，则该函数在R 上单调递__ __，（填“增”“减”）值域为_________． 2．已知函数2()45f x x mx =-+在(,2)-∞-上是减函数，在(2,)-+∞上是增函数，则(1)f =_____.

3. 函数y =的单调递增区间为 .

4. 函数2

()1f x x x =-+的单调递减区间为 ．

5. 已知函数1

()2

ax f x x +=

+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围．

第4课 函数的奇偶性

【考点导读】

1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；

2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数． 【基础练习】

1.给出4个函数：①5

()5f x x x =+；②42

1()x f x x -=；③()25f x x =-+；④

()x x f x e e -=-．

其中奇函数的有_____；偶函数的有_______；既不是奇函数也不是偶函数的有________． 2. 设函数()()()x

a x x x f ++=

1为奇函数，则实数

=a ．

3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）

A .R x x y ∈-=,3

B .R x x y ∈=,sin

C .R x x y ∈=,

D .R x x y ∈=,)2

1( 【范例解析】

例1.判断下列函数的奇偶性：

（1）2(12)()2

x x

f x +=； （2）()lg(f x x =；

（3）2

21()lg lg

f x x x =+； （4）()(1f x x =- （5）2

()11f x x x =+-+； （6）2

2(0),()(0).x x x f x x x x

?-+≥?=?<+??

例2. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当0x >时，2

()22f x x x =-+，求函数

()f x 的解析式，并指出它的单调区间．

【反馈演练】

1．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ ）

A ．()()76f f >

B ．()()96f f >

C ．()()97f f >

D ．()()107f f > 2. 在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ ）

A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数

B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数

C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数

D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数 3. 设?

??

???-∈3,21,

1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为_____．

4．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2

1

)1(f x f x f f +=+=

则=)5(f ________． 5．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得

0)(

6. 已知函数21

()ax f x bx c

+=

+(,,)a b c Z ∈是奇函数．又(1)2f =，(2)3f <,求a ，b ，c 的值；

【真题演练】

1（2012福建7）.设函数??

?=为无理数

为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）

A ．)(x D 的值域为}1,0{

B ．)(x D 是偶函数

C ．)(x

D 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数 2.（2012广东4）. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( )

()A ln(2)y x =+ ()B y = ()C ()x y 1

=2

()D y x x

1

=+

3.陕西2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）

A ．1y x =+

B ．3x y -=

C ．1

y x

=

D ．||y x x = 4.上海9．已知2

)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g .

5、（2012年高考江苏卷5） 函数()f x =的定义域为 ▲ ．

6、(2012年高考上海卷理科7)已知函数|

|)(a x e x f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上

是增函数，则a 的取值范围是 .

7．(2012年高考上海卷理科9)已知2

)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若

2)()(+=x f x g ，则=-)1(g .