笔记排列组合C语言编程

排列组合

所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数

排列组合的基本公式

A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)

C(n,m)=A(n,m)/m!=n！/((n-m)!*m!)

C(n,m)=C（n-1,m-1）+C(n-1,m)

排列实现

1.回溯实现

1)算法设计

应用回溯法产生排列A(n,m).设置一维a数组，a(i)在1—n中取值，出现数字相同时返回。

当i

当a(i)

2)回溯实现A（n,m）的C程序设计

#include “stdio.h”

#define N 30

void main()

{

int n,m,a[N],i,j,t;

long s=0;

printf(“input n (n<10):”); scanf(“%d”,&n);

printf(“input m (1

i=1;a[i]=1;

while(1)

{

t=1;

for(j=1;j

if(a[j]==a[i]) {t=0;break;} //有两个值一样时返回if(t && i==m)

{ s++;

for(j=1;j<=m;j++) printf(“%d”,a[j]);

printf(“”);

if(s%10==0) printf(“\n”); //十个一行输出

}

if(t && i

if(i>0) a[i]++;

else break;

}

printf(“\n s=%ld\n”,s);

}

一类复杂排列探索

2.回溯探索比较复杂的排列

这里应用回溯法探索从n个不同元素中取m（约定1

1）算法设计

设n个不同元素为数字1—n，n-m个相同元素为n-m个数字0。

设置一维a数组，应用回溯法产生由数字0-n这n+1个元素取n 个数字组成的n元数组，检验每一个n元组，若非0元素（即数字1—n）有重复时舍去；引入了一个变量k来控制0的个数，使它不超过n-m。余下的即从数字1—n中取m个不同数字与n-m个0的排列，输出结果。同时设置变量s统计排列的个数。

2）复杂排列的C程序设计

#include “stdio.h”

#define N 30

void main()

{

int n,m,a[N],i,j,k,h,t;

long s=0;

printf(“ input n(n<10):”); scanf(“%d”,&n);

printf(“ input m(1

i=1;a[i]=0;k=1;

while(1)

{

t=1;

for(j=1;j

if(a[j] && a[j]==a[i]){t=0;break;}/*遇到除0以外的其他数字相同返回*/

if(t && k==n-m && i==n)

{s++;

for(j=1;j<=n;j++)printf(“%d”,a[j]);

printf(““);

if(s%10==0)printf(“\n”);

}

if(t && (k

{

i++;

if(k

else a[i]=1;//若0的个数已达到n-m，则不再取0了

continue;

}

while(a[i]==n) i--;//调整或回溯或终止

if(i>0)

{

if(a[i]==0) k--;/*改变取值为0的元素值前要先把0的个数k减少1*/

a[i]++;

}

else break;

}

printf(“\n s=%ld\n”,s);

}

组合实现

1.回溯法实现组合

1）算法设计

回溯法实现从1—n这n个数中每次取m个数的组合，设置a数组，i从1开始取值，a(i)从1开始到n取值。约定a(1)，…,a(i),…,a(m)

按递增顺序排列，a(i)后有m-i个大于a(i)的元素，其中最大取值为n，显然a(i)最多取n-m+i，即a(i)回溯的条件是a(i)=n-m+i。

当i

当a(i)=n-m+i时i=i-1回溯，直至i=0时结束。

2）从n个元素中取m个组合即C(n,m),回溯C程序设计

#include "stdio.h"

#define N 30

void main()

{

int n,m,a[N],i,j;

long c=0;

printf(" input n: ");scanf("%d",&n);

printf(" input m(1

i=1;a[i]=1;

while(1)

{

if(i==m)

{

c++;

for(j=1;j<=m;j++) printf("%d",a[j]);

printf(" ");

if(c%10==0) printf("\n");

}

else {i++;a[i]=a[i-1]+1;continue;}/*使后一项一直比前一项大，省略掉两组数相同顺序不同的烦恼*/

while(a[i]==n-m+i) i--;

if(i>0) a[i]++;

else break;

}

printf("\nc=%ld\n",c);

}

2.组合的递归实现

试实现在1—n这n个数字中取m(1

1）算法设计

应用递归设计，设comb(int n,int k)为从1—n这n个数中取k 个数的所有组合结果。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是余下的n-1个数中取k-1个数的组合。这就把从n个数中取k个数的组合问题转化为从n-1个数中取k-1个数的组合问题。设置数组a存放求出的组合数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在

a[k]中，当一个组合求出后，才将数组a中的一个组合输出。第一个数可以是n,n-1,…,k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种选择：还未确定组合的其余元素时，继续递归确定组合的其余元素；已确定组合的全部元素时，输出这个组合。

2）组合递归实现的程序

#include "stdio.h"

#define MAXN 100

int a[MAXN],s=0;

void main()

{

int ms,ns;

printf("input n,m:");

scanf("%d,%d",&ns,&ms);

a[0]=ms;comb(ns,ms);

printf("\n C(%d,%d)=%d \n",ns,ms,s);

}

comb(int n,int k)

{

int i,j;

for(i=n;i>=k;i--)

{

a[k]=i; //a[k]分别取n,n-1,…,k

if(k>1)

comb(i-1,k-1); //未确定组合的其余元素，输出结果else

{

s++;

for(j=a[0];j>0;j--)

printf("%d",a[j]);/*已确定组合的全部元素，输出结果*/

printf(" ");

if(s%10==0) printf("\n");

}

}

return (s);

}

3.允许重复的组合

在n个不同的元素中取m个允许重复的组合，其组合数为c(n+m-1,m),相当于m个无区别的球放进n个有标志的盒子，每个盒子放的球不加限制数的方案数。

1）算法设计

为实现可重复的组合，约定1<=a(1)<=a(i)<=a(m)<=n,即按不减顺序排列。在以上回溯实现基本组合基础上作两点修改：当i

当a(i)=n时i=i-1回溯(因为组合的每一位置最大都可以取n)，直至i=0时结束。

2）允许重复组合程序设计

#include "stdio.h"

#define N 30

void main()

{

int n,m,a[N],i,j;

long c=0;

printf("input n:");scanf("%d",&n);

printf("input m(1

i=1;a[i]=1;

while(1)

{

if(i==m)

{

c++;

for(j=1;j<=m;j++) printf("%d",a[j]);

printf(" ");

if(c%10==0) printf("\n");

}

else

{i++;a[i]=a[i-1];continue;}

while(a[i]==n) i--;

if(i>0) a[i]++;

else break;

}

printf("\nc=%ld\n",c);

}