圆锥曲线的切点弦方程培训资料
2011年江西高考一道试题解法的推广──圆锥曲线的切点弦方程
圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。
背景知识
已知圆()222:0C x y r
r +=>,点()00,A x y 是圆C 上一点，求以点A 为切点的切线方程.
分析：易知以()00,A x y 为切点的直线方程为：()2000xx yy r
r +=>
（2011年江西高考理科第14题） 问题1：若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点11,2?? ???
作圆221x y +=的切线，切点分别为A B 、，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________. 解：设()()1122,,,A x y B x y
∵点A B 、在圆221x y +=上，则
过点()11,A x y 的切线方程为111:1L x x y y +=.
过点()22,B x y 的切线方程为222:1L x x y y +=.
由于12,L L 经过点11,2??
???则1122111,122
x y x y +=+=. 故()()1122,,,x y x y 均为方程112
x y +
=的解。 ∴经过A B 、两点的直线方程1:12AB x y +=. 设椭圆22
221x y a b
+=的右焦点为(),0c ,上顶点为()0,b . 由于直线AB 经过椭圆右焦点和上顶点。
1,12
b c ∴==即2b = 2225a b c ∴=+= 故椭圆方程为22
154
x y +=.
由此题的解题方法，可得到如下推广：
结论一：（圆的切点弦方程）
过圆()2220x y r r +=>，外一点(),P a b 作圆的两切线，切点为M N 、，则直
线MN 的方程为：2ax by r +=.
问题2：过椭圆22
143
x y +=外一点()1,2P 作椭圆的两切线，切点为M N 、求直线MN 的方程.
解：设()()1122,,,M x y N x y 则过M N 、的切线方程分别为；
11221,14343
x x y y x x y y +=+= 由于两切线都过()1,2P ，则11143x x y y +=① 22143
x x y y +=② 这两式表示直线2143x y +=经过M N 、，所以直线MN 的方程为：2143
x y +=。 结论二：（椭圆的切点弦方程） 过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>外一点()00,P x y 作椭圆的两切线，切点为M N 、则直线MN 的方程为：
00221x x y y a b += 问题3：过抛物线24y x =外一点()1,2P --作抛物线两切线，切点分别为M N 、，
求直线MN 的方程。
解：设()()1122,,,M x y N x y 则过M N 、的切线方程为()()11222,2y y x x y y x x =+=+
由于过M N 、的切线都经过()1,2P --则()()1122221,221y x y x -=--=- ∴直线MN 的方程为()221y x -=-即10x y +-=
结论三：（抛物线的切点弦方程）
过抛物线()2
20y px p =>外一点()00,P x y 作两切线，切点为M N 、，则直线MN 的方程为()00yy p x x =+.
问题4：过双曲线22
154
x y -=外一点()3,3P 作双曲线两切线，切点分别为M N 、，求直线MN 的方程。
解：设两切点的坐标为()()1122,,,M x y N x y 则两切线方程为
11221,15454
x x y y x x y y -=-=， 由于两切线均过()3,3P 则112233331,15454
x y x y -=-= 故()()1122,,,x y x y 均为方程33154
x y -=的解， 则过M N 、的直线方程为：33154
x y -= 结论四：（双曲线的切点弦方程） 过双曲线22
221x y a b
-=外一点()00,P x y 作双曲线两切线，切点分别为M N 、则直线MN 的方程为：
00221x x y y a b -=.
曲线的切线方程
导数的几何意义、曲线的切线方程： 一、框架 1.命题分析：本题型在高考解答题主要是在第(1)问中出现，也有可能在选择题或填空题中出现，若为解答题，主要考点为：(1)导数的几何意义;(2)直线与函数图象相切的条件。 2.几何意义：函数()x f 在0x 处的导数就是曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即斜率为()0'x f . 3.物理意义：函数()s f t =在0t 处的导数就是曲线()s f t =在0t 时刻的速度. 4.曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-. 5.切线方程的求解方程问题： 第一步：判切点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。切点已知直接求，切点未知设切点； 第二步：求斜率（导数）：通常若切点为())(,00x f x ，则在该点处曲线的斜率为()0'x f ； 第三步：用公式：所对应的曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-。 6.利用切线方程（或切线的性质）判断参数的值（或取值范围） 第一步：求斜率（导数）：求出函数()x f y =在0=x x 处的导数()0'x f ，即函数()x f y =的图象在点 ())(,00x f x 处切线的斜率； 第二步：列关系式：根据已知条件，列出关于参数的关系式； 第三步：求解即可得出结论。 7.注意点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。切点已知直接求，切点未知设切点。 二、方法诠释 类型一：在某点的切线方程 例1．求曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程。 解： y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3－2＝1，∴切线方程为y ＝x －1. 类型二：过某点(某点不在曲线上)的切线方程 例2．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程． 解：点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意， 所求直线方程的斜率k ＝x 3 0－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 2 0，即x 30x 0－2 ＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0. 综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0. 类型三：过某点(某点在曲线上)的切线方程,例如例3的第(2)问 例3．(1)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 在原点(0,0)处的切线方程。 (2)求过原点(0,0)且与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相切的切线方程． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，设切线的斜率为k ，k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x . (2)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x . 当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)(x 0≠0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 2 0－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0 ＝x 2 0－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝y 0x 0＝－14. 所以所求曲线的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x . 三、巩固训练
圆的切点弦方程
圆的切点弦方程 222001.,(,)x y r M x y +=已知圆的方程求经过圆上一点的切线方程。 22220000(,)x y r M x y xx yy r +=+=【结论1】过圆上一点的切线方程:。 【方法】1.设出直线，再求解； 2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。 【问题】对于坐标平面内任一点),(00y x M ，直线L ：200r y y x x =+与圆O ：222r y x =+究竟是什么关系呢下面我们进行探究： 一、当点M 在圆O 上时，直线L 是圆的切线。 二、当点M 在圆O 外时， 1.直线L 不是圆O 的切线，下面证明之： ∵圆心O 到L 的距离为2 22y x r d += ,由),(00y x M 在圆O 外,得r y x >+2 020 ∴ r d <，故直线L 与圆O 相交. 2.此时直线L 与过点M 的圆的切线又是什么关系呢 首先研究L 的特征： 易知：OM ⊥L 。 2 2 0r x = 2,OA ON OM ∴=?(N 为L 与OM 的交点) 从而OA ⊥MA ，MA 为圆的一条切线， 故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。 事实上（另证）， 如图1，设过点M 的圆O 的两条切线为L 1,L 2,切点分别为A 、B, 则直线MA:2 11r y y x x =+，直线MB:2 22r y y x x =+. ∵点M 的坐标),(00y x 满足直线MA 与MB 的方程,
∴?????=+=+2 01022 0101r y y x x r y y x x , 由此可见A 、B 的坐标均满足方程2 00r y y x x =+， 由于两点确定一条直线 ∴直线AB 的方程为2 00r y y x x =+。 所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。 【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。 特别的，当M 在圆上时，极线即为切线。 三、当点M 在圆O 内时， 1.直线L 也不是圆O 的切线。下面给出证明： ∵圆心O 到L 的距离为2 22y x r d += ，由),(00y x M 在圆O 内,得r y x <+2 020 ∴ r d > 故直线L 与圆O 相离. 2.此时直线L 与圆的切线的关系又如何呢 首先研究L 的特征： 由上述探讨过程易知， 直线L ⊥OM ， 此外，L 一定过点P （P 为两切线的交点，AB ⊥OM ）， 从而L 就在图2中过点P 且与AB 平行的位置处。 事实上（另证）， ∵直线L 的斜率00y x k l -=，而直线OM 的斜率0 0x y k om =， ∴OM L ⊥ 一方面，过点M 与OM 垂直的直线0L 方程为,0)()(0000=-+-y y y x x x 即2 02 000y x y y x x +=+
圆锥曲线的切点弦方程培训资料
2011年江西高考一道试题解法的推广──圆锥曲线的切点弦方程 圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。 背景知识 已知圆()222:0C x y r r +=>,点()00,A x y 是圆C 上一点，求以点A 为切点的切线方程. 分析：易知以()00,A x y 为切点的直线方程为：()2000xx yy r r +=> （2011年江西高考理科第14题） 问题1：若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点11,2?? ??? 作圆221x y +=的切线，切点分别为A B 、，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________. 解：设()()1122,,,A x y B x y ∵点A B 、在圆221x y +=上，则 过点()11,A x y 的切线方程为111:1L x x y y +=. 过点()22,B x y 的切线方程为222:1L x x y y +=. 由于12,L L 经过点11,2?? ???则1122111,122 x y x y +=+=. 故()()1122,,,x y x y 均为方程112 x y + =的解。 ∴经过A B 、两点的直线方程1:12AB x y +=. 设椭圆22 221x y a b +=的右焦点为(),0c ,上顶点为()0,b . 由于直线AB 经过椭圆右焦点和上顶点。 1,12 b c ∴==即2b = 2225a b c ∴=+= 故椭圆方程为22 154 x y +=.
切线方程与切点弦方程
切线方程与切点弦方程 一、圆的切线方程 一、圆的方程为:(x - a)2+ (y - b)2= r2 1. 已知：圆的方程为:(x - a)2+ (y - b)2= r2, 圆上一点P(x0, y0)。 求过点P的切线方程 解：圆心C(a, b)；直线CP的斜率：k1 = ( y0- b) / ( x0- a) 因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率：k2 = -1/k1 = - (x0 - a) / (y0 - b) 根据点斜式, 求得切线方程： y - y0 = k2 (x - x0) y - y0 = [- (x0 - a) / (y0 - b)] (x - x0) 整理得：(x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) = 0 (切线方程公式) 展开后: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 - x02- y02= 0 (1) 因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程： (x0 - a)2+ (y0 - b)2= r2 化简: x02- 2ax0 + a2+ y02- 2by0 + b2= r2 移项: - x02- y02= -2ax0 - 2by0 + a2+ b2- r2(2) 由(2)代入(1), 得：x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 - 2by0 + a2+ b2- r2) = 0 化简：(x0x - ax - ax0 + a2) + (y0y - yb- by0 + b2) = r2 整理：(x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r2 变式-1 已知:圆的方程为:(x - a)2+ (y - b)2= r2, 圆外一点P(x0, y0) 二、对于圆的一般方程:x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0, 过圆上的点的切线方程. 2.已知:圆的方程为:x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0, 圆上一点P(x0, y0) 解：圆心C( -D/2, -E/2 ) 直线CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / (x0 + D/2) 因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 + D/2) / (y0 + E/2) 根据点斜式, 求得切线方程： y - y0 = k2 (x - x0) y - y0 = [- (x0 + D/2) / (y0 + E/2)] (x - x0) 整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 -x02- y02= 0 (3) 因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程： x02+ y02+ Dx0 + Ey0 + F = 0 移项: - x02- y02= Dx0 + Ey0 + F (4)
高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题
与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件
9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型 浙江 曾安雄 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线 方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为 (1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --= 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴． 由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．
圆的切点弦方程的九种求法
圆的切点弦方程的解法探究 在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。 一、预备知识： 1、在标准方程 2 22)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为： 200))(())r b y b y a x a x =--+--（（ ； 在一般方程02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ） 下过圆上 一点),00y x P （的切线方程为： 02 20 000=++++++F y y E x x D yy xx 。 2、两相交圆01112 2=++++F y E x D y x （0412 12 1>-+F E D ）与 022222=++++F y E x D y x （0422 22 2>-+F E D ） 的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。 3、过圆02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ）外一点 ),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。 4、过圆02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ）外一点 ),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）； 0221 111=++++++F y y E x x D yy xx （在圆的一般方程下的形式） 。 二、题目 已知圆04422 2=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆 的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。 三、解法 解法一：用判别式法求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为k （当切线的斜率存在时），那么过点P （-4，-1）的切线方程为：)]4([)1(--=--x k y 即 014=-+-k y kx 由 ???=---+=-+-0 4420 142 2y x y x k y kx 消去y 并整 理得 0)12416()268()1(2222=+-+--++k k x k k x k ① 令 0)12416)(1(4)268(2 2 2 2 =+-+---=?k k k k k ② 解②得 0=k 或8 15= k
圆锥曲线的切点弦方程培训资料
2011年江西高考一道试题解法的推广一圆锥曲线的切点弦方程 圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。 背景知识 I I 2 2 2 已知圆C:x y r r 0 ,点A x o,y o是圆C上一点，求以点A为切点的切线方程. 分析：易知以A x o, y o为切点的直线方程为：xx o yy o r2r 0 （2oii年江西高考理科第14题） 2 2 i 问题1：若椭圆笃爲1的焦点在x轴上，过点1,丄作圆x2 y21的切线，切 a b 2 点分别为A B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___________ . 解：设A x1,y1 ,B x2, y2 ???点A B在圆x2 y21上,则 过点A为，屮的切线方程为L「X1X y1y 1. 过点B x2,y2的切线方程为L2: x2x y2y 1. 1 1 1 由于L1, L2经过点1, 则捲y1 1x y 1. 2 2 2 1 故刘，如,x2,y2均为方程x y 1的解。 1 经过A、B两点的直线方程AB : x — y 1 . 2 2 2 设椭圆务与1的右焦点为c,o，上顶点为o,b . a b 由于直线AB经过椭圆右焦点和上顶点。 K c 1,- 1 即b 2 2 2,22 a b c 5 2 2 故椭圆方程为—1. 5 4
由此题的解题方法，可得到如下推广: 结论一：（圆的切点弦方程） 线MN 的方程为：ax by r 2. x 2 问题2 :过椭圆一 4 2 y 1外一点P 1,2作椭圆的两切线，切点为M 、N 求直线MN 3 的方程. 1 a b 0外一点P X o ,y 0作椭圆的两切线，切点为 M 、N 则直线MN 的方程为：X o 2X 耳 1 a b 2 问题3：过抛物线y 4x 外一点P 1, 2作抛物线两切线，切点分别为 M 、N , 求直线MN 的方程。 解：设 M 为，％ , N x 2, y 2 贝U 过 M 、N 的 切线方 程为 %y 2 x X 1 ,y 2y 2 x x ? 由于过M 、N 的切线都经过P 1, 2则 2y 1 2 X 1 1 ,2y 2 2 X 2 1 ???直线MN 的方程为 2y 2 X 1即X y 1 结论三：（抛物线的切点弦方程） 过抛物线y 2px p 0外一点P x 0, y 0作两切线，切点为 M 、N ，则直 线MN 的方程为yy 0 p x x 0 x_j X %y 1,X 2X 1 4 3 4 3 由于两切线都过P 1,2， 则小 %y 1 ① X 2X y 2y 1 ② 2y . 4 3 4 3 x N ， 所以直线MN 的方程为: 这两式表示直线 — 1经过M 、 4 3 N 的切线方程分别为; 结论二：（椭圆的切点弦方 程） 过圆x y 2 r 2 r 0，外一点P a,b 作圆的两切线，切点为 M 、N ，则直 解：设 M ^,y 1 ,N x 2,y 2 则过 M 、 2 2 过椭圆冷厶 a 2 b 2
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用 张生 引例 给定圆2 22)()(r b y a x =-+-和点),(00y x P ，证明： （1）若点P 在圆上，则过点P 的圆的切线方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+--； （2）若点P 在圆外，设过点P 所作圆的两条切线的切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+--。 高考链接 3. (2011江西)若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12 ）作圆22 +=1x y 的切线， 切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 【答案】22 154 x y += （2013山东）过点(3,1)作圆 22 (1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为 （ ） A ．230x y +-= B ．230x y --= C ．430x y --= D ．430x y +-= 【答案】A 过点)4,3(P 作圆1:2 2 =+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，点)0,0)(,(>>b a b a M 在直线AB 上，则b a 2 1+的最小值为 。6411+ 过椭圆14 92 2=+y x 上点P 作圆2:22=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，过B A ,的直线l 与x 轴y 轴分别交于点Q P ,两点，则POQ ?的面积的最小值为 。 3 2 已知椭圆)1(12222>>=+b a b y a x ，圆2 22:b y x O =+，过椭圆上任一与顶点不重合的点P
高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版)
圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 /*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/ 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程： ② 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22=与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+= +b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式定理及应用(老师)
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用 如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。 （1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。 图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。
图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（） 解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离 心率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）
解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。 例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿
高考★圆锥曲线★的基本公式推导
圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2 换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程： 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22 =与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式， 再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+=+b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
圆锥曲线焦点弦问题
圆锥曲线焦点弦问题
θ2222 sin 2c a ab - 高考题：1.过抛物线)0(22 >=p py x 的焦点F 作倾斜角为300的直线与抛物线交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧），则 =FB AF 解:由公式：11cos +-= λλθe 得:11-21+=λλ，解得λ=3，∴=FB AF 3 1 2.双曲线122 22=-b y a x ，AB 过右焦点F 交双曲线与A 、B ，若直线AB 的斜率为3， 4=则双曲线的离心率e= 解：∵由已知tan θ=3∴θ=600, 由公式：11cos +-= λλθe 得：e 11-21+=λλ=1 41 -4+ ∴ e= 5 6 3.（2010高考全国卷）已知椭圆C ：12222=+b y a x （a>b>0）,离心率23 =e ，过右焦点且 斜率为k （k>0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若3=，则k=（ B ）
A 、1 B 、2 C 、3 D 、2 解：由公式：11 cos +-= λλθe 得cos θ=3 1∴ k=tan θ=2;故选B 。 4.2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为 ，过 且斜率为的直线交 于 两点。若 ，则 的离心率为（ ） 解 这里，所以，又，代入公式得，所 以 ，故选。 5.（08高考江西）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物 线交于 两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解 如图3，由题意知直线 与抛物线的地称轴的夹角 ，当点 在 轴左侧时， 设，又，代入公式得，解得，所以。
6.（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 7.已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。8.（2009年高考福建）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿ 解由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。 11.（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿ 解易知均在右支上，因为，离心率，点准距 ，因倾斜角为，所以。由焦半径公式得， 。
过一点求曲线的切线方程的三种类型
过一点求曲线的切线方程的三种类型 舒云水 过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒ 1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒ 这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒ 例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒ 解：由题设知点P 在曲线上， ∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒ 2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒ 这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程 )(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程
)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒ 例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒ 解：设切点为点)2,(0300x x x -，232-='x y ，切线斜率为2320-x ， 切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--﹒ 又知切线过点)1,1(-，把它代入上述方程，得 )1)(23()2(100030x x x x --=---﹒ 解得10=x ，或2 10-=x ﹒ 所求切线方程为)1)(23()21(--=--x y ，或)21)(243()181(+-=+--x y ，即02=--y x ，或0145=-+y x ﹒ 上面所求出的两条直线中，直线02=--y x 是以)1,1(-为切点的切线，而切线0145=-+y x 并不以)1,1(-为切点，实际上它是经过了点)1,1(-且以)87,21(-为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒ 3. 已知曲线)(x f y =外一点))(,(11x f x A ，求过点A 作的曲线的切线方程﹒ 这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒ 例3 过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编 ）
圆的切点弦方程
2 圆的切点弦方程 1已知圆的方程x 2 y 2 r 2,求经过圆上一点 M （x °,y °）的切线方程。 【方法】1.设出直线，再求解; 2. 利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。 究竟是什么关系呢下面我们进行探究: ???点M 的坐标（X o , y o ）满足直线MA 与 MB 的方程, 、当点M 在圆 O 上时，直线L 是圆的切线。 二、当点M 在圆 O 外时, 1.直线 L 不是圆 O 的切线, F 面证明之: ???圆心 O 到L 的距离为d .2 2 ,由M （X o , y o ）在圆O 外，得 一 x °2 X y 2 y o r ,故直线L 与圆0相交. 2.此时直线L 与过点M 的圆的切线又是什么关系呢 首先研究L 的特征: 易知: OM L 。 r 2 2 r 2 2 y o 2 OA ON OM ,（N 为 L 与 OM 的交点） 从而OA MA MA 为圆的一条切线, 故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。 事实上（另证）， 如图1,设过点M 的圆O 的两条切线为L i ,L 2,切点分别为 A B, 则直线MA IXM y^ r 2，直线 MB:X 2X y 2y r 2 【结论1】过圆x 2 y 2 r 2上一点M （X 。，y 。）的切线方程 :XX o yy o r 。 【问题】对于坐标平面内任一点 M （x o , y o ）,直线L : X o X y o y 2 2 r 与圆O ： x
2 X i X。y』o r … 2， X2X0 y i y o r 由此可见A B的坐标均满足方程x0x y0y r2, 由于两点确定一条直线 ???直线AB的方程为X o X y o y r2。 所以此时的直线L是经过点P的切点弦AB所在直线的方程，而不是圆0的切线。 【注】上述点M直线L实质上是射影几何中的极点和极线。 特别的，当M在圆上时，极线即为切线。 三、当点M在圆0内时， 1.直线L也不是圆0的切线。下面给出证明： 2 ___________________________________________________________ ???圆心0到L的距离为d , r，由M(X o,y°)在圆0内，得Jx°2 y。2 r ..X2 y2 d r故直线L与圆0相离. 丿 2.此时直线L与圆的切线的关系又如何呢y V L o 首先研究L的特征： 由上述探讨过程易知， 直线L 0M 图2 此外，L 一定过点P ( P为两切线的交点，AB 0M, 从而L就在图2中过点P且与AB平行的位置处。 事实上(另证)， ???直线L的斜率k i 匹，而直线0M勺斜率k om 山, y o X o ? L 0M 一方面，过点M与OM垂直的直线L0方程为(x x0)x0 (y y0)y0 0, 即X0X y°y X02y。2
圆锥曲线的切线问题
圆锥曲线的切线问题 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数)(x f y =，利用导数法求出函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程，特别是焦点在y 轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x （或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式0=?，即可解出切线方程，注意关于x （或y）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.类型一导数法求抛物线切线 例1【2017课表1，文20】设A ，B 为曲线C ：y A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率； （2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 类型二椭圆的切线问题
例2（2014广东20）（14 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程. 类型三直线与椭圆的一个交点 例3.【20134，且过点 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点,连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】 且222a b c =+
∴28 a =24 b =24 c =椭圆C （2）由题意，各点的坐标如上图所示，则QG 的直线方程：化简得2 0000(8)80 x y x x y y ---=又220028x y +=，所以00280x x y y +-=带入求得最后0 ?=所以直线QG 与椭圆只有一个公共点.类型四待定系数求抛物线的切线问题 例4【2013年高考广东卷】已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --= P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1)求抛物线C 的方程； (2)当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求
课题∶圆锥曲线的切线方程和切点弦方程
课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程 主讲人： 安庆一中 李治国 教学目标： （1）.掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。 （2）.会用切线方程及切点弦方程解决一些问题。 （3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。 (4) 掌握曲线与方程的关系。教学重点： 切线方程及切点弦方程的应用 教学难点： 如何恰当使用切线方程及切点弦方程 教学过程： 1. 引入： 通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。 2. 知识点回顾： 1. 2. 3. 4. 圆锥曲线切线的几个性质： 性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径．同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线交 于点P ，则P 点的轨迹是焦点 的对应的准线，并且 同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 3. 例题精讲： 练习1： 抛物线 与直线 围成的封闭的图形的面积为 ，若直线l 与抛物线相 切，且平行于直线 ，则直线l 的方程为 例1： 设抛物线 的焦点为F ，动点P 在直线 22200 (,)x y r M x y +=过圆 上一点 的切线方程:200xx yy r +=00221xx yy a b +=22 0022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：22 0022 (,)1x y P x y a b -=设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为：00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 上的点，则过该点的切线方程为：00() yy p x x =+1PF AB ⊥1F :20 l x y --=2:C y x =2(0)y ax a =>1x =43260x y -+=
高中数学《圆锥曲线方程》重要公式
高中数学《圆锥曲线方程》重要公式 1.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(2 2x c a e PF -= 2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=? . 3．椭圆的的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部22 00 221x y a b ? +<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部2200 22 1x y a b ? +>. 4. 椭圆的切线方程 (1)椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是 22222A a B b c +=. （3）过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y y a b +=. 5.双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，2 2|()|a PF e x c =-. 6.双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22 00 221x y a b ? ->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200 2 21x y a b ? -<. 7.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 8. 双曲线的切线方程 (1)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.