泛函分析习题标准答案

第二章 度量空间

作业题答案提示 1、

试问在R 上,()()2,x y x y ρ=-

能定义度量不？

答:不能,因为三角不等式不成立。如取

则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=,(),1z x ρ= 2、

试证明:(1)()12

,x y x y ρ=

-;(2)(),1x y x y x y

ρ-=

+-在R 上都定义了

度量。

证:(1)仅证明三角不等式。注意到

2

11

22x y x z z y x z z y ??

-≤-+-≤-+- ?

??

故有1

112

22

x y

x z z y

-≤-+-

(2)仅证明三角不等式 易证函数()1x

x x

?=+在R +上就是单调增加的, 所

以

有

()()

a b a b ??+≤+,从而有

1111a b a b a b

a b a b a b

++≤≤+

++++++

令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即

111y x z x y z

y x z x y z

---≤+

+-+-+-

4、试证明在[]b a C ,1上,)12.3.2()()(),(?-=b a

dt t y t x y x ρ 定义了度量。

证:(1)0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ(因为x,y 就是连续函数) 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。

[])

,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt

t y t z dt t z t x dt

t y t z dt t z t x dt

t y t x y x b

a

b a

b a

b

a

ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=????

5、试由Cauchy-Schwarz 不等式证明

∑∑==≤??

?

??n

i i

n i i x n x 12

2

1

证:∑∑∑∑=====?≤??

? ??n

i i

n i n i i n i i x n x x 12

12

122

11

8、试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 与()21,R R 的Descartes 积

21R R R ?=上定义了度量

{}2

12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证:仅证三角不等式。(1)略。 (2) 设12(,)x x x =,12(,)y y y =12R R ∈?,则

{

}

12

22

1

112

2212

22

2222

111111222222112

2222

2

1111

112222

2211222211(,)[(,)(,)]

(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)

n n i i i i i i x y x y x y x z z y x z z y x z z y x z z y x z z y ρρρρρρρρρρρρρξηξη===+????≤+++????

????≤+++????????=++≤+ ? ?????∑∑%%%1

221n i =???? ? ? ??? ???

∑

(3)111222(,)max{(,),(,)}x y x y x y ρρρ=%%

111111222222111111222222max{(,)(,),(,)(,)}max[(,)(,)]max[(,)(,)](,)(,)

x z z y x z x z x z z y x z x z x z z y ρρρρρρρρρρ≤++≤+++=+%%%%

9、试问在[,]C a b 上的0(;1)B x 就是什么？

[,]C a b 上图像以0x 为中心铅直高为

2的开带中的连续函数的集

合。

10、试考虑[0,2]C π并确定使得(,)y B x r ∈的最小r ,其中

sin ,cos x t y t ==。

[0,2]

[0,2(,)sup sin cos sup

)4

t t x y t t t πππ

ρ∈∈=-=-=