椭圆题型归纳大全

椭圆题型归纳大全

椭圆典型题型归纳

题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆2

2:(4)100

C x y ++=相内切，且

过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；

例2. 方程

2

x =++所表示的曲线是

练习： 1.方程

6

=对应的图形是

（ ）

A.直线

B. 线段

C. 椭圆

D. 圆

2.

10=对应的图形是（ ）

A.直线

B. 线段

C. 椭圆

D. 圆 3.方程

10

=成立的充要条件是

（ ）

A. 2

2

12516x y += B.2

2

1

259

x y += C.

22

11625

x y +=

D.

22

1925

x y +=

4.

1

m =+表示椭圆，则

m

的取值范围是

5.过椭圆2

2941

x

y +=的一个焦点1

F 的直线与椭圆相

交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2

F 构成的2

ABF ?的周长等于 ；

6.设圆2

2(1)

25

x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，

Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ

的连线交于点

M

，则点M 的轨迹方程

为 ；

题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例 1.方程

22

11625

x y +=的曲线是到定点 和

的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程

例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程

例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点

1

P 、2

(P ，求椭圆的方程；

例4.求经过点(2,3)-且与椭圆2

29436

x y +=有共同焦点

的椭圆方程；

注：一般地，与椭圆22

221x y a b

+=共焦点的椭圆可设其

方程为

22

22

21()x y k b a k b k

+=>-++；

（四）定义法求轨迹方程；

例 5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且

(1,0),(1,0)

B C -，求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A

的轨迹；

（五）相关点法求轨迹方程； 例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2

214

x y +=上任

一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；

（六）直接法求轨迹方程；

例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2

224

x

y +=交

于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB =g 的点，求点P

的轨迹方程；

（七）列方程组求方程 例8.中心在原点，一焦点为

F 的椭圆被直线

32

y x =-截得的弦的中点的横坐标为12

，求此椭圆的方程；

题型三.焦点三角形问题 例 1.已知椭圆

22

11625

x y +=上一点P 的纵坐标为53

，椭圆的上下两个焦点分别为2

F 、1

F ，求1

PF 、2

PF 及

12

cos F PF ∠；

题型四.椭圆的几何性质 例1.已知P 是椭圆

22

221x y a b

+=上的点，的纵坐标为53

，1

F 、2

F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，

则1

2

PF PF g 的最大值与最小值之差为

例 2.椭圆

22

22

1x y a b +=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若

四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ；

例 3.若椭圆

22

114

x y k +=+的离心率为

12

，则

k =

；

例4.若P 为椭圆

22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点，1

F 、2

F 为其

两个焦点，且0

1

2

15PF F ∠=，0

21

75PF F ∠=，则椭圆的离

心率为

题型五.求范围 例1.方程

22

221(1)

x y m m +=-表示准线平行于x 轴的椭圆，

求实数m 的取值范围；

题型六.椭圆的第二定义的应用 例1. 方程

2

x y =++所表示的曲线是

例2.求经过点(1,2)M ，以y 轴为准线，离心率为12的椭圆的左顶点的轨迹方程； 例3.椭圆

22

1259

x y +=上有一点P ，它到左准线的距离

等于52，那么P 到右焦点的距离为 例4．已知椭圆

13

42

2=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴

左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点1

2

,F F 距离的等比中项，若能找到，

求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。

例5．已知椭圆

15

92

2=+y x 内有一点)1,1(A ，1

F 、2

F 分别

是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．求

22

3

PF PA +

的最小值及对应的点P 的坐标．

题型七.求离心率 例1. 椭圆

22

221x y a b

+=(0)a b >>的左焦点为1

(,0)F c -，(,0)A a -，

(0,)

B b 是两个顶点，如果

1

F 到直线AB 的距离为

，

则椭圆的离心率e = 例2.若P 为椭圆

22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点，1

F 、2

F 为其

两个焦点，且12

PF F α

∠=，21

2PF F α∠=，则椭圆的离心

率为

例3. 1

F 、2

F 为椭圆的两个焦点，过2

F 的直线交椭

圆于,P Q 两点，1

PF PQ ⊥，且1

PF

PQ

=，则椭圆的离心

率为 ；

题型八.椭圆参数方程的应用 例1. 椭圆

22

143

x y +=上的点P 到直线270x y -+=的距离

最大时，点P 的坐标

例2.方程2

2sin cos 1

x y αα-=(0απ<<)表示焦点在y 轴上

的椭圆，求α的取值范围；

题型九.直线与椭圆的关系 （1）直线与椭圆的位置关系 例 1. 当

m

为何值时，直线:l y x m =+与椭圆

22916144

x y +=相切、相交、相离？

例2.曲线2

22

22x

y a +=（0a >）与连结(1,1)A -，(2,3)B 的线

段没有公共点，求a的取值范围。

例 3.

为(

k

y

0+

=

-x

不存在，

免讨论，我们可以设直线l的方程为3

x，这

-

=my

样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了

运算。

解：设1

1

2

2

(,),(,)A x y B x y ，l ：3-=my x

)(3|)||(|3||||2

1

||||21212121y y y y y OP y OP S AOB -=+=?+?=

?

把3

-=my x 代入椭圆方程得：

124)332(3222=-++-y my y m ，即

336)43(22=--+my y m ，4

336221+=

+m m

y y

，4

3322

1

+-

=m y

y

481444314312)43(108||2

2

222221++=+++=-x m m m m y y

3)13(1

33443133443394222222+++?=

++?=++=m m m m m m 23

23

41

33133422=≤++

+=

m m m

∴322

3

=?≤

S ，此时1

33132

2+=

+m m 3

6±

=m

令直线的倾角为α

，则tan 2α==±

即OAB ?面积的最大值为3，此时直线倾斜角的正切值为2

6

±

。

例 4.求直线cos sin 2x y θθ+=和椭圆2

236

x y +=有公共点

时，θ的取值范围(0)θπ≤≤。

（二）弦长问题 例1.已知椭圆2

2212

x

y +=，A 是x 轴正方向上的一定

点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦

长为3134，求点A 的坐标。

分析：若直线y kx b =+与圆锥曲线(,)0f x y =相交于两点1

1

(,)P x y 、2

2

(,)Q x y ，

则弦

PQ

的长度的计算公式为

||1

1||1||212

212y y k x x k PQ -+

=-+=，

而2

122121

4)(||x x x x x x

-+=-，因此只要把直线y kx b =+的方

程代入圆锥曲线(,)0f x y =方程，消去y （或x ），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。 解：设0

(,0)A x （0

x

>），则直线l 的方程为0

y x x =-，

设直线l 与椭圆相交于1

1

(,)P x y 、2

2

(,)Q x y ，由0

22

212

y x x x y =-??

+=?

，可得2

200342120

x

x x x -+-=， 3

40

21x

x x =+，

3

12

22

21-=?x x x ，则

2

2

02

0212

21212363

234889164)(||x x x x x x x x x -=--=-+=-

∴|

|13144212x x x -?+=，即2

02363

223144x -??

=

∴20

4

x

=，又00

x

>，∴0

2

x

=，∴(2,0)A ；

例2.椭圆2

21

ax

by +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，C

是AB 的中点，

若22||=AB ，O 为坐标原点，OC 的斜率为

2

2，求,a b 的

值。 例3.椭圆

120

452

2=+y x 的焦点分别是1

F 和2

F ，过中心O 作

直线与椭圆交于,A B 两点，若2

ABF ?的面积是20，

求直线方程。

（三）弦所在直线方程 例 1.已知椭圆

221164

x y +=，过点(2,0)P 能否作直线l 与

椭圆相交所成弦的中点恰好是P ；

例2.已知一直线与椭圆2

24936

x

y +=相交于,A B 两点，

弦AB 的中点坐标为(1,1)M ，求直线AB 的方程；

例3. 椭圆E 中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率3

2=

e ,过点(1,0)C -的直线l 与椭圆E 相交于,A B

两点，且C 分有向线段AB 的比为2. （1）用直线l 的斜率(0)k k ≠表示OAB ?的面积；

（2）当OAB ?的面积最大时，求椭圆E 的方程．

解：（1）设椭圆E 的方程为122

22=+b y a x ，由2

3

c e a ==，

∴a 2=3b 2

故椭圆方程2

22

33x

y b +=；

设1

1

2

2(,),(,)A x y B x y ，由于点(1,0)C -分有向线段AB 的比为2．

∴???

???

?=+-=+03213

2212

1y y x x ，即?

?

?-=+-=+2

12

1

2)

1(21y

y x

x

由

??

?+==+)

1(33222x k y b y x 消去y 整理并化简得

(3k 2+1)x 2+6k 2x+3k 2－3b 2=0

由直线l 与椭圆E 相交于1

1

2

2

(,),(,)A x y B x y 两点

???

?

?

?

???

+-=

+-=+>-+-=13331360)23)(13(436222212

2212224k b k x x k k x x b k k k Δ 而122222211333

|||2||||(1)||||1|22222

OAB S y y y y y k x k x ?=

-=--==+=+

⑥

由①④得:

22

2131

x k +=-

+，代入⑥得：

2

3||

(0)31

OAB k S k k ?=

≠+.

（2

）因23||313123||||

OAB

k S

k k k ?=

=≤=++当且仅当,3

3

±=k OAB S ?取得最大值．

此时12

1

x x

+=-，又∵1

2

21

3x x

+=-，∴1

21,2

x

x =-=-；

将1

2

,x x 及2

13

k

=

代入⑤得3b 2=5，∴椭圆方程

2235

x y +=．

例 4.已知1

1

2

2

(,),(1,),(,)A x y B y C x y 是椭圆

22

143

x y +=上的三

点，F 为椭圆的左焦点，且,,AF BF CF 成等差数列，则AC 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。

③

④

（四）关于直线对称问题 例1.已知椭圆

22

143

x y +=，试确定m 的取值范围，使

得椭圆上有两个不同的点关于直线4y x m =+对称；

例2.已知中心在原点，焦点在y 轴上，长轴长等于6，离心率322=e ，试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同两点,A B ，且线段AB 恰被直线21-=x 平分？若存在，求出直线l 倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。

题型十.最值问题 例1．

若(P -，2

F 为椭圆

1

252

2=+y x 的右焦点，点M

在椭圆上移动，求2

MP MF +分析：欲求2

MP MF +2

1

2MF a MF =-, 1

F 解：2

1

2MP MF MP a MF +=+-，连接1

PF ，延长1

PF 交椭圆

于点M 1,延长1

F P 交椭圆于点2

M 由三角形三边关系

知1

11PF

MP MF PF -≤-≤

当且仅当M 与1

M 重合时取右等号、M 与2

M 重合时取左等号。 因为1

210,2

a PF

==，所以2

max

()

12

MP MF +=,

2min ()8

MP MF +=；

结论1：设椭圆

122

22=+b

y a x 的左右焦点分别为

12,F F ,00(,)

P x y 为椭圆内一点，(,)M x y 为椭圆上任意一

点，则2

MP MF +的最大值为1

2a PF +,最小值为1

2a PF -； 例2．(2,6)P -,2

F 为椭圆

116

252

2=+y x 的右焦点，点M 在

椭圆上移动，求2

MP MF +的最大值和最小值。 分析：点P 在椭圆外，2

PF 交椭圆于M ，此点使

2

MP MF +值最小，求最大值方法同例1。

解：2

1

2MP MF

MP a MF +=+-，连接1

PF 并延长交椭圆于

点M 1，

则M 在M 1处时1

MP MF -取最大值1

PF ；

∴2

MP MF +最大值是10+

37

，最小值是

41

。

结论2设椭圆

122

22=+b

y a x 的左右焦点分别为1

2

,F F ，

00(,)

P x y 为椭圆外一点，(,)M x y 为椭圆上任意一点，

则2

MP MF +的最大值为1

2a PF +，最小值为2

PF ; 2.二次函数法

例3．求定点(,0)A a 到椭圆12

2

22=+b y a x 上的点之间的最

短距离。

分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示PA ，转化为,x y 的函数求最小值。 解：设(,)P x y 为椭圆上任意一点，

2222222

11()()1(2)122

PA x a y x a x x a a =-+=-+-=-+-

由椭圆方程知

x 的取值范围是[

（1）若

2a ≤，则2x a =时，min

PA

=

（2）若

2

a >

,则x =min

PA a =

（3）若

2

a <-

,则min

PA

a =+结论3：椭圆

122

22=+b

y a x 上的点(,)M x y 到定点A(m,0)

或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公

式表示︱MA ︱或︱MB ︱，通过动点在椭圆上消去y 或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。 3.三角函数法 例4．求椭圆

14

222

=+y x 上的点(,)M x y 到直线:24l x y +=的

距离的最值；

解：三角换元

d =

∵

14

222

=+y x ∴令

()R y x ∈??

?==θθ

θ

sin cos 2

则)2

4

d π

θ==+-

当sin()1

4π

θ+=时

min d =

；当

sin()1

4

π

θ+=-

时,max

5

d

=

结论4：若椭圆

122

22=+b

y a x 上的点到非

坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。 4.判别式法

例4的解决还可以用下面方法

把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。

解。令直线:20m x y c ++=将2x y c =--代入椭圆方程整理得

2

28440

y

cy c ++-=，由△=0解得c =±c =-时直

线

:20

m x y +-=与椭圆切于点P ，

则P 到直线l 的距离为最小值，且最小值就是两平行直线m 与l 的距离，

所以min

5

d

=

；

c =:20

m x y ++=与椭圆切于点Q ，则Q

到直线l 的距离为最大值，且最大值就是两平行

直线m 与l 的距离，所以max

5

d

=

。

结论5：椭圆上的点到定直线l 距离的最值问题,可转化为与l 平行的直线m 与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。 例 5.已知定点

(A -，点F 为椭圆

22

11612

x y +=的右焦

点，点M 在该椭圆上移动时，求2AM MF +的最小值，并求此时点M 的坐标；（第二定义的应用）

例3．已知1

F 、2

F 分别为椭圆

22

110064

x y +=的左、右焦

点，椭圆内一点M 的坐标为(2,6)-，P 为椭圆上的一个动点，试分别求：

（1）2

5

3

PM PF +的最小值； （2）2

PM PF +的

取值范围．

解：（1）443，此时点P 为过点M 且垂直于l 的线段与椭圆的交点；

（2）由椭圆的定义知

1220

PF PF +=，故

21

20PM PF PM PF +=+-， ①1

110

PM PF

MF -≤=，故2

30

PM PF

+≤

（当且仅当P 为有向线段1

MF 的延长线与椭圆的交点时取“=”）； ②1

1

10

PF PM MF

-≤=，故2

120()10

PM PF

PF PM +=--≥;

（当且仅当P 为有向线段1

MF 的反向延长线与椭圆的交点时取“=”）

综上可知，2

PM PF +的取值范围为[10,30];

题型十一.轨迹问题

例1．到两定点(2,1)，(2,2)--的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( ) A ．

椭圆 Ｂ．双曲线

Ｃ．直线

Ｄ．线段

例2．已知点(3,0)A ，点P 在圆2

21

x y +=的上半圆周上

(即y ＞0)，∠AOP 的平分线交PA 于Q ，求点Q

的轨迹方程。