中考数学中考数学压轴题 复习专题强化试卷学能测试试卷(1)

一、中考数学压轴题

1．如图，射线AM 上有一点B ，AB ＝6．点C 是射线AM 上异于B 的一点，过C 作CD ⊥AM ，且CD ＝

4

3

AC ．过D 点作DE ⊥AD ，交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ，使得CF ＝CB ，连接AF 并延长，交DE 于点G ．设AC ＝3x ．

（1） 当C 在B 点右侧时，求AD 、DF 的长．(用关于x 的代数式表示) （2）当x 为何值时，△AFD 是等腰三角形．

（3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为 （直接写出答案）

2．如图，已知抛物线()2

y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，

直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；

（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

3．在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题．

(1)（课本习题）如图①，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE=CD ． 求证：DB=DE

(2)（尝试变式）如图②，△ABC 是等边三角形，D 是AC 边上任意一点，延长BC 至E ，使CE=AD ． 求证：DB=DE ．

(3)（拓展延伸）如图③，△ABC 是等边三角形，D 是AC 延长线上任意一点，延长BC 至E ，使CE=AD 请问DB 与DE 是否相等? 并证明你的结论．

4．如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，E 是BC 边的中点，点P 在线段AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ，设PA =x ． （1）求证：△PFA ∽△ABE ；

（2）当点P 在线段AD 上运动时，是否存在实数x ，使得以点P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由；

（3）探究：当以D 为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点时，请直接写出DP 满足的条件： ．

5．如图，90EOF ∠=?，矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上，4AB =，

3BC =，矩形ABCD 沿射线OD 方向，以每秒1个单位长度的速度运动．同时点P 从点

A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 也停止运动，设点P 的运动时间为()t s ，PDO △的面积为S ．

（1）分别写出点B 到OF 、OE 的距离（用含t 的代数式表示）； （2）当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时，求S 与t 之间的函数关系式；

（3）设点P 到BD 的距离为h ，当1

5

h OD =

时，求t 的值； （4）若在点P 出发的同时，点Q 从点B 以每秒4

3

个单位长度的速度向终点A 运动，当点

Q 停止运动时，点P 与矩形ABCD 也停止运动，设点A 关于PQ 的对称点为E ，当

PQE 的一边与CDB △的一边平行时，直接写出线段OD 的长．

6．已知：如图，二次函数213

222

y x x =-

++的图象交x 轴于A 点和B 点（A 点在B 点左则），交y 轴于E 点，作直线,EB D 是直线EB 上方抛物线上的一个动点．过D 点作 直

线l 平行于直线.EB M 是直线 EB 上的任意点，N 是直线l 上的任意点，连接,MO NO ，始终保持MON ∠为90?，以MO 和ON 边，作矩形MONC ．

（1）在D 点移动过程中，求出当DEB ?的面积最大时点D 的坐标；在DEB ?的面积最大 时，求矩形MONC 的面积的最小值．

（2）在DEB ?的面积最大时，线段ON 交直线EB 于点G ，当点,,,D N G B 四个点组成平行 四边形时，求此时线段ON 与抛物线的交点坐标．

7．如图，在ABC ?中，14AB =，45B ∠=?，4

tan 3

A =

，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．

（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．

（2）设正方形PQMN 与ABC ?重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ?内部时，求S 关于

t 的函数关系式．

（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ?的分为面积相等的两部分时，直接写出

t 的值．

8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A （﹣3，0）、B （2，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）点E （m ，2）是直线AC 上方的抛物线上一点，连接EA 、EB 、EC ，EB 与y 轴交于D ．

①点F 是x 轴上一动点，连接EF ，当以A 、E 、F 为顶点的三角形与△BOD 相似时，求出线段EF 的长；

②点G 为y 轴左侧抛物线上一点，过点G 作直线CE 的垂线，垂足为H ，若∠GCH ＝∠EBA ，请直接写出点H 的坐标．

9．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；

（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若

161A E EC

=-，求n

m 的值．

（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持

BE n

BG m

=，设AB=33，试探究点E 移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

10．如图，在正方形ABCD 中，DC=8，现将四边形BEGC 沿折痕EG(G ，E 分别在DC ，AB 边上)折叠，其顶点B ，C 分别落在边AD 上和边DC 的上部，其对应点设为F ，N 点，且FN 交

DC 于M ． 特例体验：

(1)当FD=AF 时，△FDM 的周长是多少? 类比探究：

(2)当FD≠AF≠0时，△FDM 的周长会发生变化吗?请证明你的猜想． 拓展延伸：

(3)同样在FD≠AF≠0的条件下，设AF 为x ，被折起部分(即：四边形FEGN)的面积为S ，试用含x 的代数式表示S ，并问：当x 为何值时，S=26?

11．定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在ABC ?与AED ?中，,BA BC EA ED == ，且

,ABC

AED ??所以称ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接

,EB DC ，则称

DC

EB

会为“关联比"． 下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题： [特例感知]

()1当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”，且90α?

=时，

①在图1中，若点E 落在AB 上，则“关联比”

DC

EB

=

②在图2中，探究ABE ?与ACD ?的关系，并求出“关联比”

DC

EB

的值．

[类比探究]

()2如图3，

①当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”，且120a ?=时，“关联比”

DC

EB

= ②猜想：当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”，且n α=?时，“关联比”DC

EB

= (直接写出结果，用含n 的式子表示) [迁移运用]

()3如图4， ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”．若90,4,ABC AED AC ?∠=∠==点

P 为AC 边上一点，且1PA =，点E 为PB 上一动点，求点E 自点B 运动至点P 时，点

D 所经过的路径长．

12．已知：如图，AB 为

O 的直径，弦CD AB ⊥垂足为E ，点H 为弧AC 上一点．连接

DH 交AB 于点F ，连接HA 、BD ，点G 为DH 上一点，连接AG ，HAG BDC ∠=∠． （1）如图1，求证：AG HD ⊥；

（2）如图2，连接HC ，若HC HF =，求证：HC HA =；

（3）如图3，连接HO 交AG 于点K ，若点F 为DG 的中点，HC 2HG =，求

KG

AK

的值．

13．如图，在ABC 中，90ABC ∠=?，AB BC <，O 为AC 中点，点D 在BO 延长线上，CD BC =，AE BC ∥，CE CA =，AE 交BD 于点G ． （1）若28DCE ∠=?，求AOB ∠的度数； （2）求证：AG GE =； （3）设DC 交GE 于点M ．

①若3AB =，4BC =，求::AG GM ME 的值；

②连结DE ，分别记ABG ，DGM ，DME 的面积为1S ，2S ，3S ，当AC DE

时，123::S S S = ．（直接写出答案）

14．在ABC ?中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ?为n 倍角三角形．例如，在ABC ?中，80A ∠=?，75B ∠=?，

25C ∠=?，可知3∠=∠B C ，所以ABC ?为3倍角三角形．

（1）在ABC ?中，55A ∠=?，25B ∠=?，则ABC ?为________倍角三角形；

（2）若DEF ?是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的1

3

，求DEF ?的最小内角． （3）若MNP ?是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠

15．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转

()0180a a ?<

180a β+=?时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是

他的研究过程：

特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为

AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=?，8BC =时，则AD 长为________． 猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并

给予证明．

拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=?，120A B ∠+∠=?，

3BC =6CD =，3DA =P ，使PDC △与PAB △之

间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由． 16．已知四边形ABCD 是正方形，点P 在直线BC 上，点G 在直线AD 上（P ，G 不与正方形顶点重合，且在CD 的同侧），PD =PG ，DF ⊥PG 于点H ，交直线AB 于点F ，将线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，连结EF ．

（1）如图1，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 上时． ①求证：DF =PG ；

②若AB =3，PC =1，求四边形PEFD 的面积；

（2）如图2，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 的延长线上时，请猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

17．如图，抛物线2

14

y x bx c =

++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，5

2

-

）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．

(1) 求抛物线2

14

y x bx c =

++与直线32y kx =+的解析式；

(2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点. ①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;

②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．

18．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC △的斜边在AB 在x 轴上，点C 在y 轴上

90ACB ∠=?，OC 、OB 的长分别是一元二次方程2680x x -+=的两个根，且

OC OB <．

（1）求点A 的坐标；

（2）D 是线段AB 上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合），过点D 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边AC 或边BC 于点P ，设点D 的横坐标为t ，线段DP 的长为d ，求d 关于

t 的函数解析式；

（3）在（2）的条件下，当1

2

d =

时，请你直接写出点P 的坐标．

19．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点,A D 在坐标轴上，两点的坐标分别是点()0,,A m 点(),0,D m 且m 满足：322m m -+62=边AB 与x 轴交于点,E 点

F 是边AD 上一动点，连接FB ，分别与x 轴，y 轴交于点,P 点,H 且FD BE =．

（1）求m 的值；

（2）若45,APF ∠=?求证：AHF HFA ∠=∠；

（3）若点F 的纵坐标为,n 则线段HF 的长为 ．(用含n 的代数式表示) 20． 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝﹣x+4与x 轴交于点A ，过点A 的

抛物线y ＝ax 2+bx 与直线y ＝﹣x+4交于另一点B ，且点B 的横坐标为1．

（1）该抛物线的解析式为；

（2）如图1，Q 为抛物线上位于直线AB 上方的一动点（不与B 、A 重合），过Q 作QP ⊥x 轴，交x 轴于P ，连接AQ ，M 为AQ 中点，连接PM ，过M 作MN ⊥PM 交直线AB 于N ，若点P 的横坐标为t ，点N 的横坐标为n ，求n 与t 的函数关系式；在此条件下，如图2，连接QN 并延长，交y 轴于E ，连接AE ，求t 为何值时，MN ∥AE ．

（3）如图3，将直线AB 绕点A 顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C ，点T 为线段OA 上的一动点（不与O 、A 重合），以点O 为圆心、以OT 为半径的圆弧与线段OC 交于点

D ，以点A 为圆心、以AT 为半径的圆弧与线段AC 交于点F ，连接DF ．在点T 运动的过程中，四边形ODFA 的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．

21．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF ＝（ ） A ．180° B ．270° C ．360° D ．540° （1）请写出这道题的正确选项；

（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB ∥EF ，请直接写出∠BAD ，∠ADE ，∠DEF 之间的数量关系．

（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD ，ED 分别平分∠BAC ，∠CEF 时，∠ACE 与∠ADE 之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．

（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB ∥EF ，当∠ACD=90°时，∠BAC 、∠CDE 和∠DEF 之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．

22．问题提出

（1）如图1，已知三角形ABC ，请在BC 边上确定一点D ，使得AD 的值最小． 问题探究

（2）如图2，在等腰ABC 中，AB AC =，点P 是AC 边上一动点，分别过点A ，点

C 作线段BP 所在直线的垂线，垂足为点,

D

E ，若5,6AB BC ==，求线段BP 的取值范围，并求AD CE +的最大值．

问题解决

（3）如图3，正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E F 、之间的某点

P 建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨

道，分别为BB '、CC '、DD '．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和(

)

BB CC DD '''

++最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．

23．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4

x 0x

y =>的图像上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将()4

x 0x

y =

>的图像绕原点O 顺时针旋转90°，A 点

的对应点为A’，B 点的对应点为B’．

（1）点A’的坐标是 ，点B’的坐标是 ；

（2）在x 轴上取一点P ，使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标． 此时在反比例函数()4

x 0x

y =

>的图像上是否存在一点Q ，使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等，若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AB’，动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．

24．问题一：如图①，已知AC ＝160km ，甲，乙两人分别从相距30km 的A ，B 两地同时出发到C 地．若甲的速度为80km /h ，乙的速度为60km /h ，设乙行驶时间为x （h ），两车之间距离为y （km ）．

（1）当甲追上乙时，x ＝ ． （2）请用x 的代数式表示y ．

问题二：如图②，若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB 正好对应钟表上的弧AB （1小时的间隔），易知∠AOB ＝30°．

（3）分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 km ，时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 °；

（4）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？

25．平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，AO =BO ，△ABO 的面积为8.

（1）求点A 的坐标；

（2）点C 、D 分别在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（D 在B 点上方），AB ⊥CD 于E ，设点D 纵坐标为t ，△BCE 的面积为S ，求S 与t 的函数关系；

（3）在（2）的条件下，点F 为BE 中点，连接OF 交BC 于G ，当∠FOB +∠DAE =45°时，求点E 坐标.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题 1．A

解析：（1）5AD x =，6DF x =+；（2）△ADF 为等腰三角形，x 的取值可以是

4817

，4831，12

； （3）4或43

【解析】 【分析】

（1）由已知条件可得：CD=4x ，根据勾股定理得：AD=5x ，由AB=6且C 在B 点右侧，可以依次表示BC 、CF 、DF 的长；（2）分两种情况：①当C 在B 点的右侧时，AF=DF ，②当C 在线段AB 上时，又分两种情况：i ）当CF ＜CD 时，如图3，ii ）当CF ＞CD 时，如图4，由AF=DF ，作等腰三角形的高线FN ，由等腰三角形三线合一得：AN=ND=2.5x ，利用同角的三角函数列比例式可求得x 的值；（3）由翻折性质得到DG='GD ，'DGF FGD ∠=∠，从而证出'ADG AGD △≌△，从而推出∠FAC=∠DAG ，即AF 平分∠DAC ，过F 作FN ⊥AD 于N ，分两种情况：当C 在AB 的延长线上时，当C 在AB 边上时，根据35

sin CDA ∠＝可列出关于x 的比例式，即可求解. 【详解】 ⑴∵CD＝

4

3

AC ，AC=3x ， ∴CD=4x， ∵CD⊥AM， ∴∠ACD=90°， 由勾股定理得：AD=5x ， ∵AB=6，C 在B 点右侧，

∴BC=AC-AB=3x-6，

∵BC=FC=3x-6，

∴DF=CD-FC=4x-（3x-6）=x+6；

（2）分两种情况：

①当C在B点的右侧时，

∴AC＞AB，

∴F必在线段CD上，

∵∠ACD=90°，

∴∠AFD是钝角，若△ADF为等腰三角形，只可能AF=DF，过F作FN⊥AD于N，如图，

∴AN=ND=2.5x，

∴

DN DC cos ADC

DF AD ∠==，

即2.54

65

x x

x x +

＝，

解得，

48

17

x=；

②当C在线段AB上时，同理可知若△ADF为等腰三角形，只可能AF=DF， i）当CF＜CD时，过F作FN⊥AD于N，如图，

x的取值可以是48

17

，

48

31

，

1

2

；

∵AB=6，AC=3x，

∴BC=CF=6-3x，

∴DF=4x-（6-3x）=7x-6，

∵

DN DC cos ADC

DF AD ∠==，

∴

2.54765x x

x x

-＝， 解得4831

x =

； ii ）当CF ＞CD 时，如图4，

BC=CF=6-3x ，

∴FD=AD=6-3x-4x=6-7x ， 则6-7x=5x ，x=

12

， 综上所述，x 的取值可以是

4817，4831，12

； （3）∵△DFG 沿FG 翻折得到'

FDG △

∴DG='GD ，'DGF FGD ∠=∠ 又∵AG=AG， ∴'ADG AGD △≌△ ∴∠FAC=∠DAG， 即AF 平分∠D AC ，

如图， 当C 在AB 的延长线上时，过F 作FN⊥AD 于N ， FN=FC=3x-6，DF=x+6，

363

65

x x -+＝， 解得：x=4；

当C 在AB 边上时，如图，

∵FN=FC=6-3x ， DF=7x-6， ∴633

765

x sin CDA x -∠=-＝， 解得43

x =

； 综上所述，x 的值是4或43

. 【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、同角的三角函数以及动点问题，采用分类讨论的思想，并参考数形结合解决问题．

2．B

解析：（1）213

y x x 222

=+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】 【分析】

()1根据题意将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

()2由题意设点M 的坐标为2

13x,x x 222??+- ??

?

，则点1

K x,x 22

??-- ??

?

，BMC

1

S

MK OB 2

=

??，即可求解； ()3由题意和如图所示可知，1tan QHN 2

∠=，在Rt

QNH 中，QH m 6=+，

2

2

2

QN OQ (2)m m 4==-+=+2QN m 4

sin QHN QH

5∠+=

==，进行分析计算即可求解． 【详解】

解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：4223

16420a b a b +-=??--=?

，解得：

1

232

a b ?

=????=??

，

则抛物线的解析式为：21

3

y x x 222

=

+-； ()2过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，

将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04''

'2k b b =-+??

=-?

，解得：

1'2'2

k b ?

=-

??

?=-?， 则直线BC 的表达式为：1

y x 22

=--， 设点M 的坐标为213x,

x x 222??+- ???，则点1K x,x 22??-- ???

， 22BMC

1113S

MK OB 2x 2x x 2x 4x 2222??

=

??=----+=-- ???

， a 10=-<，BMC S

∴有最大值，

当b

x 22a

=-

=-时， BMC

S

最大值为4，

点M 的坐标为()2,3--；

()3如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ，

过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，

点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -， 点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1

tan OCA OC 2

∠=

=， QH //y 轴， QHN OCA ∠∠∴=， 1

tan QHN 2∠∴=

，则sin QHN 5

∠= 将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：0

2m n n +=??=-?

，

则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-， 则点()H 2,6--，

在Rt QNH 中，QH m 6=+，222QN OQ (2)m m 4==-+=

+

2QN m 4

sin QHN QH m 65

∠+===

+， 解得：m 4=或1-，

即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--． 【点睛】

本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是()3，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强．

3．D

解析：（1）见详解；（2）见详解；（3）DB=DE 成立，证明见详解 【解析】 【分析】

（1）由等边三角形的性质，得到∠CBD=30°，∠ACB=60°，由CD=CE ，则∠E=∠CDE=30°，得到∠E=∠CBD=30°，即可得到DB=DE ；

（2）过点D 作DG ∥AB ，交BC 于点G ，证明△BDC ≌△EDG ，根据全等三角形的性质证明结论；

（3）过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ，由“SAS ”可证△BCD ≌△EFD ，可得DB=DE ． 【详解】

证明：（1）∵△ABC 是等边三角形 ∴∠ABC=∠BCA=60°， ∵点D 为线段AC 的中点， ∴BD 平分∠ABC ，AD=CD ， ∴∠CBD=30°， ∵CD=CE ， ∴∠CDE=∠CED ， 又∵∠CDE+∠CED=∠BCD ， ∴2∠CED=60°， ∴∠CED=30°=∠CBD ， ∴DB=DE ；

（2）过点D 作DG ∥AB ，交BC 于点G ，如图，

∴∠DGC=∠ABC=60°，又∠DCG=60°， ∴△DGC 为等边三角形， ∴DG=GC=CD ，

∴BC-GC=AC-CD ，即AD=BG ， ∵AD=CE ， ∴BG=CE ， ∴BC=GE ，

在△BDC 和△EDG 中，

60DC DG BCD EGD BC EG =?

?

∠=∠=???=?

， ∴△BDC ≌△EDG （SAS ） ∴BD=DE ； （3）DB=DE 成立，

理由如下：过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ，

∴∠CDF=∠A，∠CFD=∠ABC，

∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°，BC=AC=AB，

∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF，

∴△CDF为等边三角形

∴CD=DF=CF，

又AD=CE，

∴AD-CD=CE-CF，

∴BC=AC=EF，

∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°，

∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°，

∴∠BCD=∠DFE，且BC=EF，CD=DF，

∴△BCD≌△EFD（SAS）

∴DB=DE．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，以及平行线的性质，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

4．D

解析：（1）见解析；（2）存在，满足条件的x的值为6或25

3

；（3）DP=

48

5

或10＜

DP≤12

【解析】

【分析】

（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：①当∠PEF=∠EAB 时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；②当∠PEF=∠AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．

（3）首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围,从而得出DP的范围．

【详解】

（1）证明：∵矩形ABCD，

∴∠ABE=90°，AD∥BC，

∴∠PAF =∠AEB ， 又∵PF ⊥AE ， ∴∠PFA =90°=∠ABE ， ∴△PFA ∽△ABE ． （2）解：分二种情况： ①若△EFP ∽△ABE ，如图1，

则∠PEF =∠EAB ， ∴PE ∥AB ，

∴四边形ABEP 为矩形， ∴PA =EB =6，即x =6． ②如图2，若△PFE ∽△ABE ，

则∠PEF =∠AEB ， ∵AD ∥BC ∴∠PAF =∠AEB ， ∴∠PEF =∠PAF ． ∴PE =PA ． ∵PF ⊥AE ， ∴点F 为AE 的中点， Rt △ABE 中，AB =8，BE =6， ∴AE 22AB BE +2286+， ∴EF =

1

52

AE =， ∵△PFE ∽△ABE ， ∴

PE EF

AE BE

=，