高等数学作业下-2 (答案)
第八章 习题答案
8.1 多元函数基本概念
1.解:=),(y x f )225(9
1
22y x xy --。
2.解:).sin sin())(,(),sin sin(sin )],([x x x x f x g y x y x y x g f =?=
3.解:(1)0。(2)a
e 。(3)1。(4)0。(利用有界量乘以无穷小量仍为无穷小量。) (5)y x y x y x y x y x 1102222+≤++≤++≤
,且.0)11(lim =+∞
→∞→y x y x 从而.0lim 22=++∞
→∞→y
x y
x y x (6)22)21()(
022x x y
x xy ≤+≤ ,且0)21(lim 2=+∞→x x ,所以原式0=。 4.解:不存在。因沿不同路径趋近时极限值不同。 5.解:⑴),(y x f 的定义域为0≠+y x 。
)(a 当0≠+y x ,1≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数,故连续。 )(b 当100=+y x 时,=-++-+=→+→+211
)11ln(11lim
),(lim y x y x y x f y x y x =+→20)1ln(1
lim t t
t
),(200y x f =,即),(y x f 在 100=+y x 时也连续。故),(y x f 的间断线为0=+y x 。
⑵)(a 当02
2
≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数,故连续。
)(b 当02
2
=+y x 时,2222001)1(lim ),(lim k
k
x k kx y x f x kx
y x +=+=→=→,显然k 取不同值时得不同极限,即),(lim 0
0y x f y x →→不存在,故),(y x f 在)0,0(点不连续。
⑶)(a 当022≠+y x 时),(y x f 连续。)(b 当02
2=+y x 时,因y x y x f +≤),(,故
0),(lim 00
=→→y x f y x ,从而)0,0(0),(lim 0
f y x f y x ==→→,即),(y x f 处处连续。
8.2 偏导数与全微分
1.解:(1)
)2cos(4),2cos()2sin(2222222y x ye y
z
y x e y x xe x z x x x +=??+++=??。
(2)]2)ln([],2cos )ln([ln 222
2sin 2222sin y
x y y y x y y z y x x x y x y y x z x x +++==??+++?=??。 (3)
4
24222,y x y y
z
y x x y x z -=??--=??。 (4)
y
x e y z x y e x z xy xy
--=??=??21,21. (5))(a 当02
2
≠+y x 时,,1
cos 21sin
2'2
22222y
x y x x y x x z x ++-+= 2
222221
cos
21sin
2'y x y x y y x y z y ++-+=。 )(b 022=+y x 时,0)0,0(')0,0('==y x f f 。
2.证:
,ln ,ln 11x y x x xy y
z y y x y yx x z x y y x x y x y +=??+=??--代入即得。 3.证:,0)
0,0()0,(lim
)0,0('0
=-=→x
f x f f x x 同理0)0,0('=y f ,而由前次习题4(2)知
),(y x f 在)0,0(不连续。
4.证:+?+-?+?+=-?+?+=?),(),(),(),(00000000y y x f y y x x f y x f y y x x f f y y y x f x y y x x f y x f y y x f y x ??++??+?+=-?+),('),(')),(),((2000100000θθ,其中0<1θ<1,0<2θ<1,由题设当2
2
)
()(y x ?+?足够小时,
M y y x x f x ≤?+?+),('010θ,M y y x f y ≤?+),('200θ, ,0)(lim 0
0=?+?→?→?y x M y x 故
,0),(),(lim 00000
=-?+?+→?→?y x f y y x x f y x 即),(y x f 在点)(0,0y x 连续。
5.解:(1)dy y x y dx y x x dz 4
33
43
243+++=; (2))1()(1122
dy y
x
dx y y
x
dz --=; (3)
xdy yx dx x y dz y y ln 2221
2
+=-; (4)
)32(223323
2dz z xy dy xyz dx z y e du z xy ++=。
6.解:(1)取,01.0,01.0),1,1(),(),ln(),(004
3
-=?=?=+=y x y x y x y x f 则+3
01.1ln(
005.02ln )01.0(2
4
01.0232ln )99.04-=-+?+
≈。
(2)取,02.0,01.0),2,1(),(,arcsin
),(00=?-=?==y x y x y x y x f 则≈)02
.299.0arcsin( 3
02
.06)02.041)01.0(21(3221arcsin -
=?--+π。
8.3 多元函数微分法
1.解:(1))ln sin cos )(ln cos(cos )ln 1)(ln sin(cos 21
21
t t t
t
t t t t t t t t dt du t t -?+-?=; (2)
])
()(')()()('2[])()()(')(')()()([2221t t t t t t f t t t t t t t t f dt du ψψ?ψ??ψ?ψ??ψ-++-+=; 2.解:(1)
)('2)(),(')(2222232xy f y x xy xf y
z
xy f xy xy yf x z +=??+=??; (2)
))((),(),)((),(2121xf f y x xy y x f y z yf f y x xy y x f x z ++++=??++++=??; (3)
))('1(1)(')),('())(('21221y x f x x y f y z y x f x
y x y f x z --+=??--+-=??ψ?ψ?; (4)
2321312,2??F yF y
z xF F x z +=??+=??。 3.证:(1),],1[,),(1212221f y x z u f x f y
z x y u yf x x y y z f kx x u k k
k k =??+-=??-=??-- =??+??+??∴z u z y u y x u x
ku f y z x f x y f y z x yf x x y y z f kx k k
k k =++-+-1212][),(。 (2)2523)(3,)(222222222222z y x x z y x x u z y x x x u ++-++=??++-=??,同理可得=??22y u
2
525)(3,)(32222222222222222z y x z z y x z u z y x y z y x ++-++=??++-++,故0222222=??+??+??z u
y u x u 。 4.解:恒等式0)),(),,((≡+y x z y y x xz f 两端微分0)),(()),((21≡++y x z y d f y x xz d f ,即0)),(()),(),((21≡+++y x dz dy f y x xdz dx y x z f ,故)(1
212
1dy f dx zf f xf dz ++-
=。
5.解:(1)),(''1
),('1),
,('),(),('122y x f y y x f y y x u y x xf y x f y x f y x u xy x x x +-=???++=?? ),(''),('y x xf y x f xy y +。
(2))(')()('x y
f x y x y f xy f x z -+=??,
)('')(''22x y f x y xy xf y x z -=???。 (3)21)('f x f x
z
+=???,
2212112)(']1)(')('[)('f y f y x f x y x z ψψ??+-+-=???。 (4)0.0)0,0()0,(lim
)0,0('0
≠=-=→y x f x f f x x 时,=-=→x
y f y x f y f x x )
,0(),(lim ),0('0
,)0)
((1lim 22220y y x y x xy x x -=-+-→故:,1)0,0('),0('lim )0,0(''0-=-=→y f y f f x x y xy 同理0,0)0,0('≠=x f y 时x x f y =)0,('。故:1)
0,0(')0,('lim
)0,0(''0
=-=→x
f x f f y y x yx 。
6.解:dt f dx f dy 21+= (1)
在0),
,(=++t x
y
xy y x F 中视),(y x t t =而得一恒等式,
微分得:+++)()(21xy d F y x d F 0)(3≡+t x y d F ,
即0132332211=+-++++dt F dx x
y
F dy x F ydx F xdy F dy F dx F , (2) 由(1),(2)消去dt 整理得:)
1()(213232132213xF F F x
f F yF F F x y
f f F dx
dy +++--+=
。 7.证:由隐函数求导法则:0)'1('1221
=-+x
z
z x F z y F x x , (1) 0'1
)1'1(221=+-y y z x F z y
z y F , (2)
因,021≠=F F (1),(2)式均消去21F F =,且同乘以xy 并相加得:
z y
x
x y z z y z z x y x y x )()''()''(+=+++。
8. 解:
+=++=??+=??x v w f v f u f y
w v u f y x y z y x f y y y z )]10ln(10[''')
,,(,10100),,(103213
0)10100
(33?++f z v u
w ,故
=???=??=)
1,10,100(),,(3)1,10,100(),,(,102),,(z y x y w v u f y z y x f 44410)10ln 2995(9951010ln 102?+=?+?。
8.4 空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线
1. 解:点)22,1,12
(
-π
对应参数2
π
=
t ,所以切线方程:
2
2
2111
12-=
-=
+-
z y x π
,法平面方程:042
2=--
+
+π
z y x 。
2. 解:将x 看成参数。在点),,(000z y x 切线方程:
000211
z z z y m y y x x --=-=-,法平面方
程:0)(21
)()(00
00=---+
-z z z y y y m x x 。 3. 解:由,0
'5'3203'2'22??
?=+-=-++z y zz yy x 得z y y
x z z y z x y 610469',61041015'+--=
++-=。在点)1,1,1(M 处:161',169'-==
M M z y 。于是切线方程:1
1
91161--=
-=-z y x 。法平面方程: 24916=-+z y x 。
4. 解:)27,9,3(及)27
1,91
,31(-
-。 5. 解:由上题可知有两点)1,1,1(--和)271
,9
1,31(-
-的切线平行于平面42=++z y x 。
在点)1,1,1(--切线方程:312
1
11+=
--=+z y x 。在点)27
1
,91,31(--切线方程:3
127132911
31+=--=+z y x 。
6. 解:切平面方程为 012=+-+z y x ,法线方程为:
2
1
21
1
111-
=+=-z y x 。
7. 解:令}1,2,2{,),,(2
2-=-+=y x n z y x z y x F 。由条件2
12212-=
-=y x ,解得
41-=x ,
21=y ,代入0),,(=z y x F 中,165=
z ,于是在点)16
5
,21,41(-切平面方程为: 08
5
22=++-z y x 。
8. 解:令}1,,{,),,(-=-=x y z xy z y x F ,而平面093=+++z y x 的法向量为}1,3,1{,
由条件
1
1
31-=
=x y 得1,3-=-=y x ,代入0),,(=z y x F ,3=z 。于是在点)3,1,3(--法线方程为1
3
3113--=
-+=-+z y x 。 9. 解:令14
4),,(2
22
-++=z y x z y x F ,
设在点),,(0000z y x M 的法线与三坐标轴成等角。 在点0M 的法线方向数为:2
,2
,20
00
z F y F x F M z M y
M x
=
=
=,因法线与三坐标轴正向成等角,故有222000z y x ==,又1442
02
02
0=++z y x ,由两方程解得两组解为)3
4,34,31(及
)3
4
,34,31(---,即为所求。 10.
解:令a z y x z y x F -++=
),,(,z
F y F x
F z y x 21,21,21=
=
=
。
在曲面上任一点),,(0000z y x M 的切平面方程为:
+-+
-)(21
)(2100
00
y y y x x x
0)(2100
=-z z z ,切平面在三坐标轴上的截距分别为000,,az ay ax ,其和为
a a a z y x a ==++)(000。
8.5 方向导数与梯度
1. 解:
ααsin cos 22x xy l
z
+=??。
(1)5
4)
1,1(=
??l z 。
(2)
ααsin cos 2|)1,1(+=??l z ,αααcos sin 2][+-=??l z d d 。令0][=??l z d d α,
得2
1
=αtg ,故,51sin ,52cos ,45sec ===
a αα于是最大值=??)max(l z
55
1522=+?。
或求梯度j x i xy gradz 2
2+=,从而512)max (22=+==??gradz l
z
。 2. 解:向径}3,2,1{=r ,
=
??M
r
u 14
22。
3. 解:(1)}1,1{;(2)}1,1{--;(3)}1,1{-,}1,1{-;(4)}1,1{。
4. 解:
b y
z a x
z P
P
2,
2-=??-=??,曲线122
22=+b
y a x 在P 处的切线斜率为=-P
y a x b 2
2
a b
-
,故法线斜率为b a 。内法线方向22cos b a b +-=α, =αsin 22b
a a +-,于是
)(21)(2)(2222
222b a ab b a a b b a b a z
P
+=+--+--
=??α
。 5. 解:gradf gradf 36)1,1,1(,623)0,0,0(+=--=。 6.解:gradu r
r f k r z r f j r y r f i r x r f )(')(')(')('=+++=→→→。
8.6 多元函数的极值
1. 解:驻点)2,2(-,函数有极大值8)2,2(=-f 。
2.解:驻点)1,21
(-,函数有极小值2)1,2
1(e f -
=-。 3.解:令)1(),(-++=y x xy y x F λ,得驻点)2
1
,21(,由于极大值一定存在,且驻点唯
一,故函数有极大值:4
1
)21,21(=z 。
4.解:设三个正数为:z
y x z y x f a z y x z y x 1
11),,(,,,,+
+=
=++。令=
),,(z y x F )(111a z y x z y x -+++++λ,得驻点)3
,3,3(a
a a ,由问题的性质及驻点唯一知3
a
z y x =
==时,它们的倒数之和最小。 5。解:设直角三角形的二直角边分别为x 和y ,则周长y x l p ++=,但满足条件:+2
x
22l y =,0<x <l ,0<y <l 。令)(),(222l y x y x l y x F -++++=λ。可得
l l y x 21,21,21,2122±
=∴-=-=-=λλλλ,但只能取=λl 21
-,从而得唯一驻点)2
,
2
(l l ,由实际问题最大周界存在,且驻点唯一,故,2l x =
,2
l y =
即为等腰直角
三角形时有最大周界。
6.解:设椭球和长方体在第Ⅰ卦限的交点为),,(z y x ,则xyz V 8=。
令)1(8)),,(22
2222-+++=c z b y a x xyz z y x F λ,得驻点)3
,3,3(c b a ,由于最大体积的长
方体一定存在,且驻点唯一,故当3
,3
,3
c z b y a x =
=
=
时长方体体积最大,此时
abc xyz V 9
3
88=
=。 7.解:设所求点为),(y x ,则它到三已知直线的距离分别为5
6
2,
,-+y x y x ,令
222)62(51-+++=y x y x u 。得驻点为)
(516
,58,此时u 取极小值,且驻点唯一,从而为最小值,点)
(5
16
,58即为所求。 8.解:交线上的点),,(z y x 到原点的距离为222),,(z y x z y x d ++=
,令2),,(d z y x F =
)
1()(22-+++-++z y x z y x μλ。得驻点
)32,2
3
1,231(
-+-+-及
)32,23
1,231(+--,故最长距离=),,(222z y x d 359+,最短距离
359),,(111-=z y x d 。
9.解:令,21,21,21,01),,(z
F y
F x
F z y x z y x F z y x =
=
=
=-++=
故曲面
0=F 上任一点),,(c b a P 处的切平面方程为:
0)(1)(1)(1=-+
-+
-c z c
b y b
a x a
该平面在三坐标轴上的截距分别为 c z b y a x ===
000,,,于是截距之积为
abc f =,其中1=++c b a 。作)1(),,(-+++=c b a abc c b a G λ,得驻点
)91,91,91(,由问题的性质及驻点唯一知91
===c b a 时,曲面S 的切平面1333=++z y x ,使其截距之积最大。
兰州大学高等数学课程作业题及答案
兰州大学高等数学课程作业题及答案一单选题 1. 图片3-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值: 4.0 用户得分: 4.0 用户解答: (D) 标准答案: (D)
2. 图片443 (A) (B) (C) (D) 本题分值: 4.0 用户得分: 0.0 用户解答: (D) 标准答案: (B) 3. 图片363 (A) (B) (C) (D) 本题分值: 4.0 用户得分: 4.0 用户解答: (D) 标准答案: (D)
4. 图片2-9 (A) (B) (C) (D) 本题分值: 4.0 用户得分: 4.0 用户解答: (C) 标准答案: (C) 5. 图片1-4 (A) (B) (C) (D) 本题分值: 4.0 用户得分: 4.0 用户解答: (B) 标准答案: (B) 6. 图片3-14 (A) (B) (C) (D) 本题分值: 4.0
用户得分: 0.0 用户解答: (A) 标准答案: (B) 7. 图片4-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值: 4.0 用户得分: 0.0 用户解答: (B) 标准答案: (A) 8. 图片2-1 (A) (B) (C) (D) 本题分值: 4.0 用户得分: 4.0 用户解答: (A) 标准答案: (A) 9. 图片4-9 (A) (B) (C)
(D) 本题分值: 4.0 用户得分: 0.0 用户解答: (C) 标准答案: (D) 10. 图片238 (A) (B) (C) (D) 本题分值: 4.0 用户得分: 0.0 用户解答: (C) 标准答案: (D) 11. 图片241 (A) (B) (C) (D) 本题分值: 4.0 用户得分: 0.0
高等数学作业上-1 (答案)
第一章函数 极限 连续 §1函数 1. 解:(1) 要使24sin x -有意义,必须.2,042≤≥-x x 即使所以定义域为[-2,2]. (2)当时,且1 3≠≠x x 3 41 2+-x x 有意义;而要使2+x 有意义,必须,2-≥x 故函数 的定义域为:).,3()3,1()1,2[+∞-、、 (3),1010.101110ln 110ln arccos e x e e x e x x ≤≤∴≤≤≤≤-,即有意义,则使要使即 定义域为].10,10 [ e e (4)要使)1(+x tg 有意义,则必有.,2,1,0,2 1 ±±=+≠ +k k x ππ ;即函数定义域为 .,2,1,0,12? ?? ?? ?±±=-+≠∈ k k x R x x ππ且 (5)当有意义,时有意义;又当时x arctg x x x 1 033≠-≤故函数的定义域为: ].3,0()0(、,-∞ (6)x k k x k sin )2,1,0()12(2时当 ±±=+≤≤ππ有意义;有要使216x -有意义, 必须有.44≤≤-x 所以函数的定义域为:].,0[],4[ππ、 -- 2. .2)2 1(,2)21 (,2)0(,1)2(,2)3(2 1-=-====f f f f f 3. 解:3134,34)]([22≤≤-+--+-= x x x x x x g f 有意义;必须因此要使, 即[])(x g f 的定义域为[1,3]。 4.解? ?? ??>-=<=???? ???>-=<=; 0,1,0,0,0, 1,1, 1,1, 0, 1,1)]([x x x e e e x g f x x x ?????????>=<==, 1,1,1,1,1,)]([) (x e x x e e x f g x f 。 5.有意义,时当)(sin 1sin 0x f x ≤≤故其定义域为).2,1,0]()12(,2[ ±±=+k k k ππ。 6.???-<++-≥+=+?? ?<+-≥-=-; 1,52, 1,32)1(;1,52, 1,12)1(2 2 x x x x x x f x x x x x x f
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第八章 习题答案 8.1 多元函数基本概念 1.解:=),(y x f )225(9 1 22y x xy --。 2.解:).sin sin())(,(),sin sin(sin )],([x x x x f x g y x y x y x g f =?= 3.解:(1)0。(2)a e 。(3)1。(4)0。(利用有界量乘以无穷小量仍为无穷小量。) (5)y x y x y x y x y x 1102222+≤++≤++≤ ,且.0)11(lim =+∞ →∞→y x y x 从而.0lim 22=++∞ →∞→y x y x y x (6)22)21()( 022x x y x xy ≤+≤ ,且0)21(lim 2=+∞→x x ,所以原式0=。 4.解:不存在。因沿不同路径趋近时极限值不同。 5.解:⑴),(y x f 的定义域为0≠+y x 。 )(a 当0≠+y x ,1≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数,故连续。 )(b 当100=+y x 时,=-++-+=→+→+211 )11ln(11lim ),(lim y x y x y x f y x y x =+→20)1ln(1 lim t t t ),(200y x f =,即),(y x f 在 100=+y x 时也连续。故),(y x f 的间断线为0=+y x 。 ⑵)(a 当02 2 ≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数,故连续。 )(b 当02 2 =+y x 时,2222001)1(lim ),(lim k k x k kx y x f x kx y x +=+=→=→,显然k 取不同值时得不同极限,即),(lim 0 0y x f y x →→不存在,故),(y x f 在)0,0(点不连续。 ⑶)(a 当022≠+y x 时),(y x f 连续。)(b 当02 2=+y x 时,因y x y x f +≤),(,故 0),(lim 00 =→→y x f y x ,从而)0,0(0),(lim 0 f y x f y x ==→→,即),(y x f 处处连续。 8.2 偏导数与全微分 1.解:(1) )2cos(4),2cos()2sin(2222222y x ye y z y x e y x xe x z x x x +=??+++=??。
(完整)同济版高等数学下册练习题(附答案)
第八章 测 验 题 一、选择题: 1、若a → ,b → 为共线的单位向量,则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1; (B)-1; (C) 0; (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面; (B)共线; (C) 垂直; (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ,当 cos 0β=时,有( ) ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面; 面面面 5、2 ()αβ→ → ±=( ) (A)22αβ→→±; (B)2 2 2ααββ→→→ →±+; (C)2 2 ααββ→→→ →±+; (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=,且,,0B C D ≠, 则 平面( ). (A) 平行于轴;x ;(B) y 平行于轴; (C) y 经过轴;(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点; (B)x 平行于轴; (C)y 平行于轴; (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--;(B)(1,2,3); (C)(2,3,4); (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?,则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=; (B)222 160x y z z ++-=; (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=; (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=; (B)22 4x y z +=; (C)22 2 14y x z -+=; (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ,且2,5a b →→==,求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-,求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量,求证: ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半,试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L :31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122 232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .
高等数学基础作业答案
高等数学基础第一次作业点评1 第1章 函数 第2章 极限与连续 (一)单项选择题 ⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等. A 、 2 )()(x x f =,x x g =)( B 、 2)(x x f = ,x x g =)( C 、 3 ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D 、 1)(+=x x f ,1 1)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于( C )对称. A 、 坐标原点 B 、 x 轴 C 、 y 轴 D 、 x y = ⒊下列函数中为奇函数就是( B ). A 、 )1ln(2 x y += B 、 x x y cos = C 、 2 x x a a y -+= D 、 )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数就是( C ). A 、 1+=x y B 、 x y -= C 、 2 x y = D 、 ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的就是( D ). A 、 12lim 2 2 =+∞→x x x B 、 0)1ln(lim 0 =+→x x C 、 0sin lim =∞→x x x D 、 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时,变量( C )就是无穷小量. A 、 x x sin B 、 x 1 C 、 x x 1 sin D 、 2)ln(+x 点评:无穷小量乘以有界变量为无穷小量 ⒎若函数)(x f 在点0x 满足( A ),则)(x f 在点0x 连续。 A 、 )()(lim 00 x f x f x x =→ B 、 )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C 、 )()(lim 00 x f x f x x =+→ D 、 )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= 二、填空题 ⒈函数)1ln(3 9 )(2x x x x f ++--= 的定义域就是 .}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(,则=)(x f .x x -2 ⒊=+ ∞→x x x )211(lim .21 e
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1(上) 一.选择题 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? - + ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 10.设()f x 为连续函数,则()10 2f x dx '?等于( ). (A )()()20f f - (B )()()11102f f -????(C )()()1 202f f -??? ?(D )()()10f f - 二.填空题 1.设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续,则a = . 2.已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π,则()2f '=. 3. ()21ln dx x x = +?. 三.计算 1.求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2.求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3.求不定积分x xe dx -?
高等数学同济第七版7版下册习题 全解
数,故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称,被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数,故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1): 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意: 如果积分区域关于^轴对称,而被积函数/(x,y)关于y是奇函数,即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0; D 如果积分区域D关于:K轴对称,而被积函数/(x,y)关于:c是奇函数,即/(~x,y)=-/(太,y),则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明: (1)jj da=(其中(7为的面积); IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:,y)do■(其中A:为常数); o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2,,A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的W K域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ; 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ; 3、设xy z 3=, x z ??= ; 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=,求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ,()00,y x f y 存在,则()y x f ,在该点( ) A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P (1,1,1)的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知 ,其中为可微函数,y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定,求x z ??,y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱,问长、宽、高如何选取,才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分,其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成,下列各式 中正确的是( )A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域,则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=( ) 第十一章 习题答案 1. 1常数项级数的概念及基本性质 1.解:(1) +?+?+ ?+?+ ?6515 414 31321211 (2) -+ -+ -5 14 13 12 11 (3) +++ ++5 4 3 2 5 !54 ! 43 !32 !21!1 (4) +????????+ ??????+ ????+??+ 10 8642975318 64275316 425314 2312 1 2. 解:(1)1 21-= n u n (2)1 2+-= n n u n (3)) 2(6422 n x u n n ??= (4)1 2) 1(1 1 +-=++n a u n n n 3. 解:(1)013 1lim lim ≠==∞→∞ →n n n n u ,∴级数发散(不满足级数收敛的必要条件) 。 (2)原级数可写为 )4 13 12 11(3 1 +++ + 。∵括号内级数为调和级数发散,∴原级数发散。 (3)原级数为公比等于2 3的几何级数,∵ 123>,∴原级数发散。 (4)原级数为发散的调和级数 +++++ 5 14 13 12 11去掉前三项,∴原级数发散。 (5)原级数为公比等于9 8-的几何级数,19 8<- ,∴原级数收敛。 (6)∵级数 ++ + 3 2 2 12 12 1收敛(公比 12 1<的几何级数) ,级数 ++ + 3 2 3 13 13 1收敛 (公比 13 1<的几何级数) ,∴原级数收敛(收敛级数可以逐项相加减)。 4. 解:(1)a a a a a a a a a a S n n n n -= - ++- +- +-=+-+1 21 2125 73 53)()()()( , a a a S n n n n -=-=+∞ →∞ →1)(lim lim 12,∴此级数收敛。 (2)]) 2)(1(1) 1(1 [ 21 ) 2)(1(1 ++- += ++= n n n n n n n u n +?- ?+ ?- ?+ ?- ?= ∴)5 414 31 (21 )4 31321 ( 21)3 212 11 ( 21 n S ])2)(1(1 ) 1(1 [ 21 ++- ++ n n n n =]) 2)(1(1 21[21++-n n , 4 1 ])2)(1(121[21lim =++-= ∞ →n n S n n ,∴此级数收敛。 习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数: (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: 2(1)2,5xy y y x '==; 解:由2 5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?= 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解:3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解:2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+ 解:12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++= 故是方程的解. 3. 在下列各题中,验证所给二元方程为所给微分方程的解: 22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+= 证:方程 22x xy y C -+=两端对x 求导: 220x y xy yy ''--+= 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程,等式恒成立.故是微分方程的解. 2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-== 证:方程ln()y xy =两端对x 求导: 11y y x y '' = + (*) 得 (1)y y x y '= -. (*)式两端对x 再求导得 第9章(之1) (总第44次) 教学内容:§微分方程基本概念 *1. 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 ( ) (A )3; (B )4; (C )6; (D )7. 答案(A ) 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数. *2. 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数,这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 ( ) ( (A )x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=; (B ))2sin 1(2cos x x C y λ+=; (C )x C k x kC y 2sin 12cos 22++=; (D ))2cos(α+=x C y . 答案 (D ) 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数. (A )中的函数只有一个任意常数C ; (B )中的函数虽然有两个独立的任意常数,但经验算它不是方程的解; (C )中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ,但当令kC C =时,函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=,实质上只有一个任意常数; (D )中的函数确实有两个独立的任意常数,而且经验算它也确实是方程的解. *3.在曲线族 x x e c e c y -+=21中,求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线. : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y , 由x x e c e c y -+=21, x x e c e c y --='21,可得1,02121=-=+c c c c , 故21,2121-==c c ,这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=,即x y sinh =. *4.证明:函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解. 高等数学(下) 习题七 1. 在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置: A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解:点A在第Ⅰ卦限;点B在第Ⅱ卦限;点C在第Ⅷ卦限; 点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点?yOz面上的呢?zOx面上的呢? 答: 在xOy面上的点,z=0; 在yOz面上的点,x=0; 在zOx面上的点,y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点?y轴上的点呢?z轴上的点呢? 答:x轴上的点,y=z=0; y轴上的点,x=z=0; z轴上的点,x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离: (1)(0,0,0),(2,3,4);(2)(0,0,0),(2,-3,-4); (3)(-2,3,-4),(1,0,3);(4)(4,-2,3),(-2,1,3). 解:(1)s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点(4,-3,5)到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解:点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5). 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上,求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点. 解:设此点为M(0,0,z),则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M(0,0, 14 9 ). 7. 试证:以三点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明:因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证:()() ++=++ a b c a b c. 证明:利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解: 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份,设分点依次为D 1,D2,D3,D4,再把各分点与A连接, 试以AB=c,BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解: 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4,它与投影轴的夹角是60°,求这向量在该轴上的投影. 解:设M的投影为M',则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B(2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次是4,-4和7,求这向量 大学答案 --- 中学答案 --- 考研答案 --- 考试答案最全最多的课后习题参 考答案,尽在课后答案网()! Khdaw团队一直秉承用心为大家服务的宗旨, 以关注学生的学习生活为出发点,旨在为广大学生朋友的自主学习提供一个分享和交流的平台。爱校园()课后答案网()淘答案() 习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线密度为 μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达: (1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds . L L ww w. kh d ∫L ∫L 和L2, 则 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1 ∫L f (x, y)ds =∫L n 课 x= M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds 后 曲线 L 的重心坐标为 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ→0 λ→0 lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw i = n1 +1 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为 案 ∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi , n 高等数学基础 形成性考核册 专业:建筑 学号: 姓名:牛萌 河北广播电视大学开放教育学院 (请按照顺序打印,并左侧装订) 高等数学基础形考作业1: 第1章 函数 第2章 极限与连续 (一)单项选择题 ⒈下列各函数对中,( C )中的两个函数相等. A. 2 )()(x x f =,x x g =)( B. 2)(x x f = ,x x g =)( C. 3 ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ,1 1 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于( C )对称. A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是( B ). A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是( C ). A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ?? ?≥<-=0, 10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是( D ). A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时,变量( C )是无穷小量. A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足( A ),则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 第 11 章(之1)(总第59次) 教材内容:§11.1多元函数 1.解下列各题: **(1). 函数连续区域是 ??????? . 答: **(2). 函数 , 则( ) (A) 处处连续 (B) 处处有极限,但不连续 (C) 仅在(0,0)点连续 (D) 除(0,0)点外处处连续 答:(A ) **2. 画出下列二元函数的定义域: (1)= u y x -; 解:定义域为:{ } x y y x ≤) ,(,见图示阴影部分: (2))1ln(),(xy y x f +=; 解:{} 1),(->xy y x ,第二象限双曲线1-=xy 的上方,第四象限双曲线1-=xy 的下方(不包括边界,双曲线1-=xy 用虚线表示). (3)y x y x z +-= . 解:()()? ? ?-≠≥????≠+≥+-?≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000. ***3. 求出满足2 2, y x x y y x f -=?? ? ??+的函数()y x f ,. 解:令?? ? ??=+=x y t y x s , ∴?? ???+=+=t st y t s x 11 ∴()() ()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22 222, 即 ()()y y x y x f +-=11,2. ***4. 求极限: ()() 2 2 0,0,11lim y x xy y x +-+→. 解:()( )( ) ( )( ) 2 222 2 22 2 112111110y x xy y x y x xy xy y x xy ++++≤ +++= +-+≤ () 01 122 2→+++= xy y x (()()0,0,→y x ) ∴ ()() 011lim 2 2 0,0,=+-+→y x xy y x . **5. 说明极限()()2 22 20,0, lim y x y x y x +-→不存在. 解:我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时,极限不同. 首先,0=x 时,极限为()()1lim 22 22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x , 其次,0=y 时,极限为()()1lim 22 22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y , 故极限()()2 22 20,0,y y lim +-→x x y x 不存在. **6. 设1 12sin ),(-+= xy x y y x f ,试问极限 ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →是否存在?为什么? 解:不存在,因为不符合极限存在的前提,在)0,0(点的任一去心邻域内函数 1 12sin ),(-+= xy x y y x f 并不总有定义的,x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义. 高等数学(2)课程作业_A 一、单选题 1.(4分)图2 ? A.A ? B.B ? C.C ? D.D 知识点:高等数学/基础知识/微积分 收起解析 答案D 2.(4分)图19-13 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点:多元函数微分 收起解析 答案B 3.(4分)图14-27 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点:曲线积分及其应用收起解析 答案C 4.(4分)图14-24 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点:曲线积分及其应用收起解析 答案C 5. (4分)图20-43 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点:空间解析几何与向量代数收起解析 答案D 6.(4分)图19-15 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) 知识点:多元函数微分收起解析 答案A 7.(4分)图23-18 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D)知识点:重积分 收起解析 答案D 8.(4分)图17-104 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) 知识点:无穷级数 收起解析 答案B 9.(4分)图20-83 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点:空间解析几何与向量代数收起解析 答案A 10.(4分)图14-26 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点:曲线积分及其应用 答案C 11.(4分)图12 ? A.A ? B.B ? C.C ? D.D 知识点:高等数学/基础知识/微积分收起解析 答案D 12. (4分)图18-44 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点:常微分方程 《 高等数学B (下) 》练习题 提交作业要求: 1、在规定的时间内,按下列格式要求准确上传作业!(不要上传别的科目作业, 也不要上传其他学期的作业,本次作业题与其他学期作业题有很大变化) 2、必须提交word 文档! (1)不按要求提交,会极大影响作业分数(上学期很多同学直接在网页上答题,结果只能显示文本,无法显示公式,这样得分会受很大影响) (2)若是图片,请将图片大小缩小后插入到一个word 文件中。 (3)图片缩小方式:鼠标指向图片,右键,打开方式,画图,ctrl w ,调整大小和扭曲,依据(百分比),将水平和垂直的原始数值100都改为40,另存为jpg 格式。这样处理后,一个大约3M 的照片会缩小至几百K ,也不影响在word 中的清晰度。 网上上传也快! 3、直接上传单个的word 文件!(不要若干张图片压缩成一个文件) 一、判断题 1. 设函数(,)f x y 在00(,)x y 点的偏导数连续,则(,)f x y 在00(,)x y 点可微. 答:对 2. 设函数(,)f x y 在00(,)x y 点可微,则(,)f x y 在00(,)x y 点的偏导数连续. 答:错 3. 二重积分(,)d D f x y σ??表示以曲面(,)z f x y =为顶,以区域D 为底的曲顶柱体的体积. 答:错 4. (,)0f x y ≥若, 二重积分(,)d D f x y σ??表示以曲面(,)z f x y =为顶,以区域D 为底的曲 顶柱体的体积. 答:对 5. 若积分区域D 关于y 轴对称,则32sin()d 0.D x y σ=?? 答:对 6. 微分方程4()1y y y ''''-=-是四阶微分方程. 答:错 7. 微分方程cos sin sin cos x ydx y xdy =是变量可分离微分方程. 答:对 8. 微分方程cos sin sin cos x ydx y xdy =是一阶线性微分方程. 答:错 一、解答下列各题(本大题共3小题,总计15分) 1、( 本 大 题5分 ) 设L 由y =x 2及y =1所围成的区域D 的正向边界, 求 ?+++L dy y x x dx y x xy )()(2 4233 2、(本小题5分) 设f (x ,y )是连续函数,交换二次积分??2 3 ),(10x x dy y x f dx 的积分次序。 3、(本小题5分) 设()f x 是以2π为周期的函数,当 x ∈-?? ?? ?ππ232, 时, ()f x x =。又设()S x 是()f x 的 以2π为周期的Fourier 级数之和函数。试写出()S x 在 []-ππ,内的表达式。 二、解答下列各题(本大题共7小题,总计42分) 1、(本小题6分) 设z=z(x,y)由方程x 2 +y 2 +z 2 =ln(y z )确定,求z z x y ,。 2、(本小题6分) 设z y xy x =++232 (),求z z x y ,。 3、(本小题6分) 设f x y (,)有连续偏导数,u f e e x y =(,),求d u 。 利用极坐标计算二次积分 5、(本小题6分) 求微分方程''-'+=y y y x e x 22的一个特解。 6、(本小题6分) 求幂级数n n x n )3 2(11 -∑ ∞ =的收敛域。 7、(本小题6分) 求微分方程0)42()2(32=-+++dy y x y x dx y y 的通解。 三、解答下列各题 (本大题共2小题,总计13分) 1、(本小题7分) 求曲面x xy xyz ++=9在点(,,)123处的切平面和法线方程 。 2、(本小题6分) 试求由x 2+y 2+z 2≤4与x 2+y 2≤3z 所确定的立体的体积。 四、解答下列各题 (本大题共2小题,总计13分)高数下典型习题及参考答案
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