(完整版)初中数学竞赛相似三角形专题
初二竞赛专题：相似三角形
1.如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F ．证明：
111
AB CD EF
+=
．
2.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长．
3.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，，4CD =，若EF BC ∥，且
梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长．
两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点， 则
BD EG
DC FG
=
．
O
F
E D
C
B
A F
E
D
C
B
A F E D
C
B
A
G F
E D
C
B A B
D
A
E
G F
C
4.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求证：
5.如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．
6.如图，边长为1的等边ABC
△，BC边上有一点D，1
3
BD=，AC上有一点E ，60
ADE
∠=o，求EC的长．7.已知，B是AC中点，D、E在AC的同侧，且ADB EBC
∠=∠，DAB BCE
∠=∠，证明：BDE ADB
∠=∠．
E
D C
B
A
D
E
B C
A
8.如图，在ABC △中，60BAC ∠=o ，点P 是ABC △内一点，且APB BPC CPA ∠=∠=∠，若8PA =，6PC =，求PB 的长．
9.如图，在锐角ABC △中，AD 、CE 分别为BC 、AB 边上的高，ABC △和BDE △的面积分别等于18和2，
22DE =，求点B 到AC 的距离．
10.如图所示，已知3个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．
11.如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：
2FD FB FC =?．
E
D C
A
B
P
C
B
A
H
G
B
A
12.已知ABC △，向外作正方形ABPQ 和正方形ACMN ．若BC PM ∥，求证：AB AC =．
13.如图，在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=o ，AC BC =，BE ED CF ==，求CEF CAD ∠+∠．
14.已知，如图，锐角△ABC 中，AD△BC 于D ，H 为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD 上有一点P ，且△BPC 为直角。求证：HD AD PD ?=2
.
E
F
D C B A
F N
P Q
C
B
A E M
D
A
C
B E
(完整版)初中数学竞赛相似三角形专题
初二竞赛专题：相似三角形 1.如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F ．证明： 111 AB CD EF += ． 2.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长． 3.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，，4CD =，若EF BC ∥，且 梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点， 则 BD EG DC FG = ． O F E D C B A F E D C B A F E D C B A G F E D C B A B D A E G F C
4.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求证： 5.如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 6.如图，边长为1的等边ABC △，BC边上有一点D，1 3 BD=，AC上有一点E ，60 ADE ∠=o，求EC的长．7.已知，B是AC中点，D、E在AC的同侧，且ADB EBC ∠=∠，DAB BCE ∠=∠，证明：BDE ADB ∠=∠． E D C B A D E B C A
8.如图，在ABC △中，60BAC ∠=o ，点P 是ABC △内一点，且APB BPC CPA ∠=∠=∠，若8PA =，6PC =，求PB 的长． 9.如图，在锐角ABC △中，AD 、CE 分别为BC 、AB 边上的高，ABC △和BDE △的面积分别等于18和2， 22DE =，求点B 到AC 的距离． 10.如图所示，已知3个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠． 11.如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证： 2FD FB FC =?． E D C A B P C B A H G B A
上海市初三数学相似三角形经典题型
相似三角形的判定练习 例题分析： 例1：已知如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，连结CD ，∠ACD=∠B,求证：2 AE AD AC = 例2：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， (1)求证：△ACD ∽△ABC ∽△CBD (2)求证：222(1) (2) (3)AC AD AB CD AD DB BC BD AB === 例3：已知如图，点D 是AB 上的一点，CA ⊥AB,EB ⊥AB,CD ⊥DE,求证：△ACD ∽△BDE 例4：在△ABC 中，AB=6，AC=9，D 为AC 上的一点，AD=3，在AB 上找一点E ，使得△ADE 与△ABC 相似？并求出AE 的长。
两个三角形相似的六种图形： 1. 如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于点E，EC交AD于点F． 求证：△ABC∽△FCD； A E F B D C 2、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF 3. 如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． 4.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE·PF。
5.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB 6.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F． 求证：AB DF AC AF ． 7.已知如图，在平行四边形ABCD中，,求证：△AOB∽△ABC 8. 已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:(1)△AEC∽△AFB (2) △AEF∽△ACB
数学相似三角形竞赛辅导专项例题
第十五讲相似三角形(一) 两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形．对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比为1的两个相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处．因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法．当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用． 关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述．本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用． 例1 如图2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 分析由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF． 解在△ABC中，因为EF∥AB，所以
同样，在△DBC中有 ①＋②得 设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得 说明由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：“如本题 请同学自己证明． 例2如图2-65所示．ABCD的对角线交于O，OE交BC于E， 交AB的延长线于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．
分析本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O作OG∥BC，交AB于G，构造出△FEB∽△FOG，进而求解． 解过O作OG∥BC，交AB于G．显然，OG是△ABC的中位线，所以 在△FOG中，由于GO∥EB，所以 例3如图2-66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分 分析因为AD平分∠BAC(=120°)，所以∠BAD= ∠ EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标．
初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)
初中数学竞赛专题[配方法] 一、内容提要 1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2 ±2ab+b 2 写成完全平方式 （a ±b ）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种： ①由a 2 +b 2 配上2ab ， ②由 2 ab 配上a 2 +b 2 ， ③由a 2 ±2ab 配上b 2 . 2. 运用配方法解题，初中阶段主要有： ① 用完全平方式来因式分解 例如：把x 4 +4 因式分解. 原式＝x 4 +4＋4x 2 －4x 2 =(x 2 +2)2 －4x 2 ＝…… 这是由a 2 +b 2配上2ab. ② 二次根式化简常用公式：a a =2，这就需要把被开方数 写成完全平方式. 例如：化简6 25-. 我们把5－2 6写成 2－232＋3 ＝2)2(－232＋2)3( ＝（ 2－3） 2 . 这是由2 ab 配上a 2 +b 2 .
③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a 2 ≥0， ∴当a=0时， a 2 的值为0是最小值. 例如：求代数式a 2 +2a －2 的最值. ∵a 2 +2a －2= a 2 +2a+1－3=(a+1)2 －3 当a=－1时, a 2 +2a －2有最小值－3. 这是由a 2 ±2ab 配上b 2 ④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方. 例如:：求方程x 2 +y 2 +2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x 2 +y 2 +2x-4y+1＋4＝0. 配方的可化为 （x+1）2 +(y －2)2 =0. 要使等式成立，必须且只需? ??=-=+0201y x . 解得 ???=-=2 1 y x 此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.
初三数学《相似三角形》知识点归纳
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
初中数学竞赛专题辅导--函数图像
初中数学竞赛专题选讲 函数的图象 一、内容提要 1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵 坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象. 例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线 ① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y 0=kx ② 若y 1=kx 1+b ，则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上. 2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元 一次方程kx －y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标 的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象. 二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a ≠0,b ≠0) 叫做 直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的 点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如： 二元二次方程y=ax 2+bx+c(a ≠0) (即二次函数)的图象是抛物线； 二元分式方程y= x k (k ≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如： ① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值； ② 由图象的上升，下降反映函数 y 是随x 的增大而增大(或减小)； ③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应 的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解. ④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公 共解.等等 4. 画函数图象一般是： ①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界. ②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点). ③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式. 二、例题 例1. 右图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)， 试决定a, b, c 及b 2－4ac 的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a<0. ∵对称轴在原点右边，∴x=－ a b 2>0且a<0, ∴b>0. ∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上， ∴截距c>0. ∵抛物线与横轴有两个交点， ∴b 2－4ac>0. 例2. 已知：抛物线f ：y=－(x －2)2+5. 试写出把f 向左平行移动2个单位后，所得的曲线f 1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f 2 的方程. 画出f 1和f 2的略图，并求：
初中数学《相似三角形》优秀教案
相似三角形 一、知识概述 (一)相似三角形 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． 温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似． 温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（2）； ③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
人教版初中数学《第11章比例与相似》竞赛专题复习含答案
人教版初中数学《比例与相似》竞赛专题复习含答案 11．2．5★在锐角三角形ABC 中，E 是AD 是一点，满足::AE ED CD DB =，过D 作DF BE ⊥，F 为垂足，证明：90AFC ∠=?． A E F B D C 解析 由条件知BED △∽DEF △，且 A E E D E F C D D B F D ==，又90AEF EDF FDC ∠=?+∠=∠，故AEF △∽ CDF △，于是90AFC AFE EFC EFC CFD EFC EFD ∠=∠+∠+∠=∠+∠=∠=?． 11．2．6★已知正方形ABCD ，点P 和Q 分别在上，且BP BQ =，BH 与PC 垂直于H ，求DHQ ∠的 取值范围． A D P H C Q B 解析 易知PBH △∽BCH △，故有 BH BH CH CH BQ BP BC DC ===．又H B Q B P C H C D ∠=∠=∠，故H B Q △∽ HCD △，90DHQ DHC QHC BHQ QHC ∠=∠+∠=∠+∠=?． 11．2．7★在ABC △中，60ABC ∠=?，点P 是ABC △内的一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，且 8PA ∠=，6PC =，求PB ． A B C P 解析 由条件易知120APB BPC CPA ∠=∠=∠=?，又 18012060PAB PBA PBA PBC ∠=?-?-∠=?-∠=∠，故PAB △∽PBC △． PA PB PB PC = ． 因此，PB == 11．2．8★如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为35，有一个边长为12的正方形CDEF 内接
初中数学竞赛专题选讲《完全平方数和完全平方式》
初中数学竞赛专题选讲 完全平方数和完全平方式 一、内容提要 一定义 1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，25 4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方. 2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如： 在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式. 二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定 1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数. 2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除.. 若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数. 例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数. 三. 完全平方式的性质和判定 在实数范围内 如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0； 如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式. 在有理数范围内 当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式. 四. 完全平方式和完全平方数的关系 1. 完全平方式（ax+b ）2 中 当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数； 当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数. 2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数. 所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别. 五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系 1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中 ① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根； ② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数. 2. 在整系数方程x 2+px+q=0中 ① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根； ② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.
最新初中数学相似三角形-难题-易错题(附详解)
2013初中相似三角形难题易错题 一．填空题（共2小题） 1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 2．如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________． 二．解答题（共17小题） 3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：． 4．如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求 证：．
5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：． 6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．
8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：． 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN． 10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）． 求证：．
11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB． 12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F． 求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2． 13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．
初中数学竞赛专题选讲 一元二次方程的根(含答案)
初中数学竞赛专题选讲(初三.1) 一元二次方程的根 一 、内容提要 1.一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=a ac b b 242-±－. (b 2－4a c ≥0) 2.根的判别式 ①实系数方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是： b 2－4a c ≥0. ②有理系数方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是： b 2－4a c 是完全平方式?方程有有理数根. ③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根?p 2－4q 是整数的平方数. 3.设 x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么 ①ax 12 +bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)； ②x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=a ac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b － , x 1x 2= a c (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4.方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0?x 1=0 ， a+b+c=0?x 1=1 ， a －b+c=0?x 1=－1. 二、例题 例1.已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.
求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等 的实数根. 证明 （用反证法） 设 两个方程都没有两个不相等的实数根， 那么△1≤0和△2≤0. 即?? ? ??++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b 由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥4 5 ， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0， 即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的. 既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0. ∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. 本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数. 例2.已知首项系数不相等的两个方程： （a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数) 有一个公共根. 求a, b 的值. 解：用因式分解法求得： 方程①的两个根是 a 和 12-+a a ； 方程②两根是b 和1 2 -+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b. ∴公共根是a= 12-+b b 或b=1 2-+a a .
初三数学的相似三角形的常见模型
相似三角形常见模型一【知识清单】 【典例剖析】 知识点一：A字型的相似三角形 A字型、反A字型（斜A字型） B（平行） B （不平行）
（1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△ （2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则 ACB ADE ∽△△ 1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. 2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连接DE ，可得?=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21=，AE AD 3 2=， 求AC AB 的值。 变式练习： 1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则 111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =， F E D C B A B M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F
::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN = 3、（2014?乌鲁木齐）如图，AD ∥BC ，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 知识点二：8字型相似三角形 J O A D B C A B C D （蝴蝶型） （平行） （不平行） （1）如图，若CD AB ∥，则DOC AOB ∽△△ （2）如图，若C A ∠=∠，则CDJ ABJ ∽△△ 1、已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点 P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相 交于点E ，F ，G ，H 求证：PE PH PF PG = P H G F E D C B A
2013年中考深刻复习收集相似三角形判定(中考真命题,竞赛)典范题20道
_ 1、如图，D 是ABC ?的边AC 上一点，CBD ∠的平分线交AC 于点E ， AB AE =.求证：AC AD AE ?=2 . E D C B A 2、如图，BD 、CE 是ABC ?的两条高，AM 是BAC ∠的平分线，交BC 于M ，交DE 于N ， 求证：（1）;DE BC AN AM =（2）.ECB EDB ∠=∠
M N E D C B A 3、如图，在ABC ?中，D 为BC 的中点， AC AD =，BC DE ⊥，与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F ，求证：（1）ABC ?∽FCD ?；（2）FD AF = . 4、在ABC ?中，AC AB =，
点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，求证：.FE DF CE BD = 5、如图，在ABC ?中，AC AB =，AC BD ⊥于D ，求证：AC CD BC ?=22 .
D C B A 6、如图，在ABC ?中，cm AB 8=，cm BC 16=.点P 从点A 开始，沿AB 边向点B 以s cm /2的速度移动；点Q 从点B 开始，沿边 BC 向点s cm /4以的速度移动，如果P 、 Q 同时出发，经过几秒钟，PBQ ?与ABC ?相似？ P C A Q B
7、如图，在ABC?中，?= ACB，AD为边 ∠90 BC上的中线，AD CP⊥于P，求证：AD? ?. = PB AB BD 8、如图，在ABC?中，?= AD⊥于 BAC，BC ∠90
D，E为AC的中点，ED、AB的延长线交于点F，求证：DF AC AF AB? = ?. F E D C A B 9、如图，P是正方形ABCD的边BC上一点，PC BP3=.M是CD的中点，AP MN⊥于N，
初中数学竞赛专题选讲-三点共线
初中数学竞赛专题选讲 三点共线 一、内容提要 1. 要证明A ，B ，C 三点在同一直线上， A 。 B 。 C 。 常用方法有：①连结AB ，BC 证明∠ABC 是平角 ②连结AB ，AC 证明AB ，AC 重合 ③连结AB ，BC ，AC 证明 AB ＋BC ＝AC ④连结并延长AB 证明延长线经过点C 2. 证明三点共线常用的定理有： ① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 ③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 ④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半 ⑤ 两圆相切，切点在连心线上 ⑥ 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上 二、例题 例1.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点P 是形内的任一点，PM ⊥AB ， PN ⊥CD 求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：过点P 作EF ∥AB ， ∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180 ∵PM ⊥AB ，PN ⊥CD ∴∠1＝90 ，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180 ∴ M ，N ，P 三点在同一直线上 例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直 线上 已知：平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，O 是AC 和 BD 的交点 求证：M ，O ，N 三点在同一直线上 证明一：连结MO ，NO ∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线 ∴MO ∥AB ，NO ∥AB 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
∴ M ，O ，N 三点在同一直线上 证明二：连结MO 并延长交BC 于N ， ∵MO 是△DAB 的中位线 ∴MO ∥AB 在△CAB 中 ∵AO ＝OC ，ON ，∥AB ∴BN ，＝N ，C ，即N ，是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点， ∴点N ，和点N 重合 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上 例3.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90 ，M ，N 分别是AB 和CD 的中点，BC ，AD 的延长线相交于P 求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：∵∠A ＋∠B ＝90 ， ∠APB ＝Rt ∠ 连结PM ，PN 根据直角三角形斜边中线性质 PM ＝MA ＝MB ，PN ＝DN ＝DC ∴∠MPB ＝∠B ，∠NPC ＝∠B ∴PM 和PN 重合 ∴M ，N ，P 三点在同一直线上 例4.在平面直角坐标系中，点A 关于横轴的对称点为B ，关于纵轴的对称 点是C ，求证B 和C 是关于原点O 解：连结OA ，OB ，OC ∵A ，B 关于X 轴对称， ∴OA ＝OB ，∠AOX ＝∠BOX 同理OC ＝OA ，∠AOY ＝∠COY ∴∠COY ＋∠BOX ＝90 X ∴B ，O ，C 三点在同一直线上 ∵OB ＝OC ∴ B 和C 是关于原点O 的对称点 例5.已知：⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B O 1 和⊙O 2于E ，F 。 求证：AE ，AF 和⊙O 1和⊙O 2的直径成比例 ,
相似三角形竞赛试题
第十六讲相似三角形(二) 上一讲主要讲述了相似三角形与比例线段之间的关系的计算与证明，本讲主要讲述相似三角形的判定与性质的应用． 例1 如图2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC． 分析设法通过添辅助线构造相似三角形，这里应注意利用角平分线产生等角的条件． 证过B引BE∥AC，且与AD的延长线交于E．因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因为BE∥AC，所以 ∠2=∠3． 从而∠1=∠3，AB=BE．显然 △BDE∽△CDA， 所以 BE∶AC=BD∶DC， 所以 AB∶AC=BD∶DC． 说明这个例题在解决相似三角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用．类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题，这个命题将在练习中出现，请同学们自己试证． 在构造相似三角形的方法中，利用平行线的性质(如内错角相等、同位角相等)，将等角“转移”到合适的位置，形成相似三角形是一种常用的方法． 例2如图 2-77所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．
分析利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明△MEF∽△MAB，从而EF∥AB． 证过B引BG∥AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H．因为AE 是∠BAC的平分线，所以 ∠BAE=∠CAE． 因为BG∥AC，所以 ∠CAE=∠G，∠BAE=∠G， 所以 BA=BG． 又BD⊥AG，所以△ABG是等腰三角形，所以 ∠ABF=∠HBF， 从而 AB∶BH=AF∶FH． 又M是BC边的中点，且BH∥AC，易知ABHC是平行四边形，从而 BH=AC， 所以 AB∶AC=AF∶FH． 因为AE是△ABC中∠BAC的平分线，所以 AB∶AC=BE∶EC， 所以 AF∶FH=BE∶EC， 即 (AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC．)．由合分比定理，上式变为 AM∶MB=FM∶ME．
初中数学竞赛专题选讲对称式(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.5） 对称式 一、内容提要 一.定义 1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式. 例如： 代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, y x 11+， xyz x z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式. 2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式. 例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abc c b a 1111-++， （xy+yz+zx ）( )111z y x ++， 2 22222222111b a c a c b c b a -++-++-+. 都是轮换式. 显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式. 二.性质 1. 含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍. 2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等. 例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中， 如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为： m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数. 3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.
初中数学相似三角形六大证明技巧(推荐)
相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型.
“旋转相似”与“一线三等角” 反A 型与反X 型 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =?
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算 【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证： DC CF AE AD =． A B C F D E 【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=?，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于 D ，交AB 于 E ．求证：2AM MD ME =? C B A E D M 【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ， 交AD 于F ．求证： BF AB BE BC =． D B A C F E 技巧一：三点定型 比例式的证明方法
八年级数学竞赛题：相似三角形
八年级数学竞赛题：相似三角形 相似三角形的基本性质有： 1．对应角相等； 2．对应边成比例； 3．对应线段（高、中线、角平分线）之比等于相似比． 4．周长之比等于相似比； 5．面积之比等于相似比的平方． 相似三角形的性质，丰富了与线段、角、周长、面积等相关的知识和方法；扩展了研究角、面积等问题的视野． 例1 如图，△ABC内有一点P，过P作各边的平行线，把△ABC分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积S1、S2、S3分别为1、1、2，则△ABC的面积是___________． 例2 一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高的长为22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）． A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张 例3 某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图1）． （1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元／m2，当△AMD地带种满花后，共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用； （2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元／m2和10元／m2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？ （3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌△DPC且S△APD=S△BPC，并说出你的理由． 例4如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接
BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△ABF≌△COE． （2）当O为AC边中点，AC AB =2时，如图②，求 OF OE 的值； （3）当D为AC边中点，AC AB =n时，请直接写出 OF OE 的值． 例5 如图，已知直线l1的解析式为y=3x+6，直线l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l2经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2上从点C向点B移动，点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒． （1）求直线l2的解析式； （2）设△POQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式； （3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？ 1．如图，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动，当DM=____________时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似． 2．如图，点D是Rt△ABC的斜边AB上的一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是________________． 3．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S△DOE：S△COB=9：16，则AD：DB=___________．4．在直角边分别为5cm和12cm的直角三角形中作菱形，使菱形的一个内角恰好是三角形的一个角，其余顶点都在三角形的边上，则所作菱形的边长为________________． 5．在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次是（）． A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6 6．如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的一点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：
初中数学竞赛专题《换元法》
初中数学竞赛专题选讲 换元法 一、内容提要 1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法. 2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系. 例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换. 3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换. 5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0. 两边都除以x 2,得a(x 2+ 21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0. 对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0. ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程. 形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x )－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x =y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0. 二、例题 例1. 解方程1112---+ +x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x . 原方程化为： y －2 1y 2=0 . 解得 y=0；或y=2. 当y=0时， 11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2， 解得，x=4 5. 检验（略）.