数值分析学期期末考试试题与答案(A)

期末考试试卷（A 卷）

2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120 分钟

学号姓名年级专业

一、判断题（每小题2分，共10分）

1. 用计算机求

1000

n n

=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。（）

2. 为了减少误差,进行计算。（）

3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）

4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（）

5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有

关，与常数项无关。

（）

二、填空题（每空2分，共36分）

1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.

2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-????

则1A =_____，2x =______，Ax ∞

=_____.

3. 已知5

()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .

4. 为使求积公式

1231

()()(0)33

f x dx A f A f A f -≈-

++?

的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有次的代数精度。

5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .

6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)

()(0,1,2,)k k X

MX N k +=+=产

生的向量序列{

}()

k X

收敛的充分必要条件是 .

7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩

阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -??

=????

，则

L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则

11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，

<，=，不一定）。

8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题(0)1y x y

y '=+??=?

的数值解，其迭代公式为

___________________________.

三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）

1. 以02x =为初值用牛顿迭代法求方程3

()310f x x x =--=在区间(1,2)内的根，要求

（1）证明用牛顿法解此方程是收敛的；

（2）给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算12,,x x 计算结果

取到小数点后4位）。

2. 给定线性方程组

1231231230.40.410.40.820.40.83

x x x x x x x x x ++=??

++=??++=?

（1）分别写出用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组的迭代公式；

（2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。

3. 已知函数()y f x =在如下节点处的函数值

（1）（2）根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式2()P x ，并计算(1.1)y 的近似值；（3）采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。

5. 已知函数()y f x =在以下节点处的函数值，利用差商表求(3)f '和(3)f ''的近似值。

6. 写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列

常微分方程的数值解。

22(01,0.2)(0)0

y x y x h y '?=+≤≤=?

四、（8分）已知n+1个数据点(,)(0,1,2,,)i i x y i n ，请用多种方法建立这些数据点之间

的函数关系，并说明各种函数的适用条件。

期末考试答案及评分标准（A 卷）

2007学年第二学期考试科目：数值分析

一、判断题：（每小题2分，共10分）

1. ×

2. √

3. ×

4. ×

5. ×

二、填空题：（每空2分，共36分） 1. 0.005或2

0.510-? ，0.5 2.

3. 0,2

4. 1,0,1,3

()A A ρ≤

6. ()1M ρ<

7. 1042,,1,10212??

-????=????????

8. 11()(1)2

n n n n n n y y x y x y +=+++++或1 1.5 2.50.5,0,1,2,

n n n y x y n +=++

三、解答题（第1～4小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分） 1. （1）证明：3

()31f x x x =--，由于

a) (1)30,(2)10,f f =-<=> b) 2()330

((1,2)),f x x x '=-≠∈

()60((1,2)),f x x x ''=>∈ 即()f x ''在(1,2)上不变号，

d) 对于初值02x =，满足(2)(2)0,f f ''> 所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。

………………………………………4分

（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为

()31

()33

n n n n n n n n f x x x x x x f x x +--=-=-'- ………………………………………2分

取初值02x =进行迭代，得

1 1.8889,x =

………………………………………1分

2 1.8795.x =

………………………………………1分

2. 解：（1）Jacobi 迭代公式为

(1)()()

123(1)()()

13(1)()()3

120.40.410.40.820.40.83

k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++?=--+?=--+??=--+? ……………………………2分 Gauss-Seidel 迭代公式为

(1)()()

123(1)(1)()

13(1)(1)(1)3

120.40.410.40.820.40.83

k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++?=--+?=--+??=--+?……………………………2分（2）Jacobi 迭代矩阵的特征方程为0.40.4

0.40.800.4

0.8

λ=，展开得

30.960.2560λλ-+=，即

(0.8)(0.40.40λλλ-+++-=，

从而得 123-1.0928,0.8000,0.2928λλλ===，（或由单调性易判断必有一个大于1

的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1，所以Jacobi 迭代法发散。

……………………………2分

Gauss-Seidel 迭代矩阵的特征方程为0.40.4

0.40.800.40.8λ

λλ

=，展开得

2(0.8320.128)0λλλ-+=，解得1230,0.628,0.204,λλλ=≈≈迭代矩阵的谱半径

小于1，所以Gauss-Seidel 迭代法收敛。

……………………………2分

3. 解：（1）建立差分表

………………………………………2分（2）建立牛顿后插公式为

2232

022********

()()()()!!

()()()P x x x x x x x x =-

----=-----=-+ 则所求近似值为

211279(.).P =

………………………………………3分

（3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为

12214

31112312124

()()()()!!

()()P x x x x x x x x x =-

---=----=-++ 则 1211268()

(.).P =

根据事后误差估计法

1222209091

()

()(.)(.)x R x P P x -??≈

-??+ 故截断误差

209

112792680047121

.(.)(..)..R -≈

?-≈- ………………………………………3分

4. 解：设所求二次最小平方逼近多项式为2

2012().P x a a x a x =++ 根据已知数据，得

01211111002,,11151240a M A a Y a -????

?????????

???===????

??????????????

……………………………2分

则

4268268,468186M M M Y ????

????''==????

????????

……………………………1分

建立法方程组为

0124268268468186a a a ????????????=???????????

??????? ……………………………2分

解得

0123.5, 1.5, 1.5.a a a ===-

……………………………1分

从而得所求一次最小平方逼近多项式为2

1() 3.5 1.5 1.5.P x x x =+-

……………………………1分

5. 解：设2()P x 为已知节点数据的插值二次多项式。构造如下差商表：

……………………………2分

因为二次多项式的二阶差商为常数，又2()P x 是

()f x 的插值函数，故有

225[4,3,3][3,3,3]2

P P ==

……………………………2分

而

22[3,3]75

[4,3,3]342

P P -=

=-，

因此得

29[3,3]2

P =

， ……………………………1分

由于

()()![,,,

,]k n k f x k P x x x x +≈，

从而得

293332

()[,],f P '==

2323335()![,,].f P ''==

……………………………2分

6. 解：前进欧拉公式：

1(,)0.20.2n n n n n n n y y h f x y y x y +=+?=++…………1分

后退欧拉公式：

2211111(,)0.20.2n n n n n n n y y h f x y y x y +++++=+?=++ ……1分

预估时采用欧拉公式

*22

10.20.2n n n n y y x y +=++

……………………………1分

校正时采用后退欧拉公式

()

10.20.2n n n n y y x

+++=++

……………………………1分

由初值000002,,.x y h ===知，节点分别为0.2,(1,2,3,4,5)i x i i ==

当1

0.2,x =

*2210000.20.20,y y x y =++=

()

101

02020008*...y y x y

=++=，

……………………………1分

当2

0.4,x =

*2221110.20.20.0160,y y x y =++≈

()2

22122020200401*

...y y x y =++≈.

……………………………1分

当3

0.6,x =

*2232220.20.20.0724,y y x y =++≈

()2

23233020201131*...y y x y =++≈.

……………………………1分

当4

0.8,x =

*2243330.20.20.1877,y y x y =++≈

()

434

020202481*...y y x y

=++≈.

……………………………1分

当5

1.0,x =

*2254440.20.20.3884,y y x y =++≈

()

545

020204783*...y y x y

=++≈.

四、（8分）

答：1、可以建立插值函数：（1）Newton 基本差商公式

00100121001110()()()[,]()()[,,]

()()

()[,

,,]

n n n P x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x -=+-+--+

+---

……………………………1分

（2）Lagrange 插值多项式

0011()()()()()n i i n n L x a f x a f x a f x a f x =++

+++

其中01101101()()()()

,(,,

,)()()()()

i i n i i i i i i i n x x x x x x x x a i n x x x x x x x x -+-+----=

=----.

……………………………1分

这两类插值函数的适用条件是：n 不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。

……………………………2分

2、可以建立拟合函数：

2012()m m m P x a a x a x a x =++++

……………………………1分

其中系数012,,,,n a a a a 满足法方程组M MA M Y ''=,

000000211111

12()1()1,,()1m m m m n n n

n a f x y x x x a f x y x x x M A Y a f x y x x x ????????

?????????

???????====????????

?????????????????

……………………………1分

拟合函数的适用条件是：n 比较大，而且并不要求函数严格通过已知数据点，或者已知数据点本身的误差较大。

……………………………2分